Вычисление производных - История изменений

User17 в 06:57, 6 августа 2012

2012-08-06T06:57:04Z

User17 в 21:22, 5 августа 2012

2012-08-05T21:22:20Z

← Предыдущая		Версия 21:22, 5 августа 2012
Строка 1:		Строка 1:
-	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>~~Математика:~~ Вычисление производных ~~<metakeywords>Вычисление производных</metakeywords>~~'''	+	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 10 класс, урок, на Тему, Вычисление производных</metakeywords>
		+
		+	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>> Вычисление производных'''

	<br>		<br>

-	'''§ 33. ~~ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ~~'''<br>'''1. Формулы дифференцирования'''<br>Формулами дифференцирования обычно называют формулы для отыскания производных конкретных функций, например:	+	'''§ 33. Вычисление производных'''
		+
		+	<br>'''1. Формулы дифференцирования'''
		+
		+	<br>Формулами дифференцирования обычно называют формулы для отыскания производных конкретных функций, например:

	[[Image:A10267.jpg]]<br>Вы, конечно, узнали эти формулы — они были получены нами в §32.<br>Список формул дифференцирования будет постепенно пополняться. Здесь мы добавим три формулы, которые выводятся по алгоритму, приведенному в § 32. Определенные технические трудности при этом, естественно, возникают. Поступим так: сначала укажем новые формулы дифференцирования, потом разберем несколько примеров, а в конце покажем новые формулы. Итак, сообщаем три формулы дифференцирования:		[[Image:A10267.jpg]]<br>Вы, конечно, узнали эти формулы — они были получены нами в §32.<br>Список формул дифференцирования будет постепенно пополняться. Здесь мы добавим три формулы, которые выводятся по алгоритму, приведенному в § 32. Определенные технические трудности при этом, естественно, возникают. Поступим так: сначала укажем новые формулы дифференцирования, потом разберем несколько примеров, а в конце покажем новые формулы. Итак, сообщаем три формулы дифференцирования:
Строка 91:		Строка 97:
	[[Image:A10316.jpg]]<br> Доказательство теоремы приведем после решения примера.<br>'''Пример 7.''' Найти значение производной функции у = f(х), где [[Image:A10317.jpg]]<br>'''Решение'''. Сначала найдем производную в произвольной точке х. Известно, что [[Image:A10318.jpg]] По этой формуле найдем интересующую нас производную, но при этом учтем два обстоятельства:		[[Image:A10316.jpg]]<br> Доказательство теоремы приведем после решения примера.<br>'''Пример 7.''' Найти значение производной функции у = f(х), где [[Image:A10317.jpg]]<br>'''Решение'''. Сначала найдем производную в произвольной точке х. Известно, что [[Image:A10318.jpg]] По этой формуле найдем интересующую нас производную, но при этом учтем два обстоятельства:

-	1) под знаком корня напишем не х, а 7- 2,16х; 2) укажем дополнительный множитель, равный -2,16, — это коэффициент при х. Таким образом,	+	1) под знаком корня напишем не х, а 7- 2,16х; 2) укажем дополнительный множитель, равный -2,16, — это коэффициент при х. Таким образом,

-	[[Image:~~a10319~~.jpg]]<br>Чтобы вычислить f'(1), в полученное выражение подставим х = 1:	+	[[Image:A10319.jpg]]<br>Чтобы вычислить f'(1), в полученное выражение подставим х = 1:

-	[[Image:~~a10320~~.jpg]]	+	[[Image:A10320.jpg]]

-	Завершая этот параграф, докажем сформулированную выше теорему.<br>Введем обозначение 1 = кх+m и заметим,,что если аргументу х придать приращение [[Image:~~a10321~~.jpg]] то переменная t получит приращение к • [[Image:~~a10321~~.jpg]]. В самом деле,	+	Завершая этот параграф, докажем сформулированную выше теорему.<br>Введем обозначение 1 = кх+m и заметим,,что если аргументу х придать приращение [[Image:A10321.jpg]] то переменная t получит приращение к • [[Image:A10321.jpg]]. В самом деле,

-	[[Image:~~a10322~~.jpg]]<br>А теперь применим известный алгоритм из пяти шагов для отыскания производной.<br>1)    Положим, ради удобства, f(кх+m) = h(х). Для фиксированного значения х имеем: h(х) = f(hх+m) = f(x).<br>2)    В точке	+	[[Image:A10322.jpg]]<br>А теперь применим известный алгоритм из пяти шагов для отыскания производной.<br>1)    Положим, ради удобства, f(кх+m) = h(х). Для фиксированного значения х имеем: h(х) = f(hх+m) = f(x).<br>2)    В точке

-	[[Image:~~a10323~~.jpg]]	+	[[Image:A10323.jpg]]

	<br>		<br>

-	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс	+	''А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс''

	<br>		<br>

-	<sub>~~Материалы~~ по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн~~]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика\|скачать~~]]</sub>	+	[http://xvatit.com/relax/fun-videos/ '''<sub>Видео </sub>''']<sub>по математике [[Математика\|скачать]], домашнее задание, учителям и школьникам на помощь [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]]</sub>

	'''<u>Содержание урока</u>'''		'''<u>Содержание урока</u>'''
-	'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] конспект урока '''	+	'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] конспект урока '''
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] опорный каркас	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] презентация урока	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] презентация урока
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] акселеративные методы	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] интерактивные технологии	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии

	'''<u>Практика</u>'''		'''<u>Практика</u>'''
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] задачи и упражнения	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] самопроверка	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] самопроверка
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] домашние задания	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] домашние задания
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] дискуссионные вопросы	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] риторические вопросы от учеников	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников
-		+
	'''<u>Иллюстрации</u>'''		'''<u>Иллюстрации</u>'''
-	'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''	+	'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] фотографии, картинки	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] графики, таблицы, схемы	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

	'''<u>Дополнения</u>'''		'''<u>Дополнения</u>'''
-	'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] рефераты'''	+	'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] статьи	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] статьи
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] фишки для любознательных	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] шпаргалки	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] учебники основные и дополнительные	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] словарь терминов	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] прочие	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] прочие

	<u>Совершенствование учебников и уроков		<u>Совершенствование учебников и уроков
-	</u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''	+	</u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] элементы новаторства на уроке	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] замена устаревших знаний новыми	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми
-		+
	'''<u>Только для учителей</u>'''		'''<u>Только для учителей</u>'''
-	'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] идеальные уроки '''	+	'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] календарный план на год	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] методические рекомендации	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] программы	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] программы
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] обсуждения	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] обсуждения

User9 в 12:39, 8 августа 2010

2010-08-08T12:39:55Z

← Предыдущая		Версия 12:39, 8 августа 2010
Строка 81:		Строка 81:
	[[Image:A10310.jpg]]		[[Image:A10310.jpg]]

-	'''3. Дифференцирование функции у = f(кх+m)'''<br>Мы знаем, чему равны производные функций: [[Image:A10311.jpg]]. Нередко на практике приходится находить производные функций [[Image:A10312.jpg]] и т.д. Возникает вопрос: если мы знаем, чему равна производная функции у = f(х), то как вычислить производную функции у = f(кх+m)?<br>С функцией у = sin2х можно поступить так. Известно, что sin2х = 28 созх. Тогда:	+	'''3. Дифференцирование функции у = f(кх+m)'''<br>Мы знаем, чему равны производные функций: [[Image:A10311.jpg]]. Нередко на практике приходится находить производные функций [[Image:A10312.jpg]] и т.д. Возникает вопрос: если мы знаем, чему равна производная функции у = f(х), то как вычислить производную функции у = f(кх+m)?<br>С функцией у = sin2х можно поступить так. Известно, что sin2х = 28 созх. Тогда:

-	[[Image:~~a10313~~.jpg]]<br>Воспользовавшись правилом дифференцирования произведения и правилом вынесения постоянного множителя за знак производной, а также формулами синуса и косинуса двойного аргумента, мы доказали, что [[Image:~~a10314~~.jpg]]<br>Хорошо, скажете вы, а как быть с производной функций у = sinЗx, у= соs4x? Неужели каждый раз придется применять соответствующие формулы тригонометрии? Отвечаем: не придется. Обратите внимание на выведенную формулу. Чем она отличается от формулы дифференцирования функции у = sin х? Только тем, что появился дополнительный множитель 2, да в роли аргумента выступает не х, а 2х. Точно так же будет обстоять дело и в других аналогичных случаях: используется известная формула дифференцирования и появляется дополнительный множитель, равный коэффициенту при х. Например, справедливы следующие формулы:	+	[[Image:A10313.jpg]]<br>Воспользовавшись правилом дифференцирования произведения и правилом вынесения постоянного множителя за знак производной, а также формулами синуса и косинуса двойного аргумента, мы доказали, что [[Image:A10314.jpg]]<br>Хорошо, скажете вы, а как быть с производной функций у = sinЗx, у= соs4x? Неужели каждый раз придется применять соответствующие формулы тригонометрии? Отвечаем: не придется. Обратите внимание на выведенную формулу. Чем она отличается от формулы дифференцирования функции у = sin х? Только тем, что появился дополнительный множитель 2, да в роли аргумента выступает не х, а 2х. Точно так же будет обстоять дело и в других аналогичных случаях: используется известная формула дифференцирования и появляется дополнительный множитель, равный коэффициенту при х. Например, справедливы следующие формулы:

-	[[Image:~~a10315~~.jpg]]	+	[[Image:A10315.jpg]]

-	Вообще, справедливо следующее утверждение.	+	Вообще, справедливо следующее утверждение.

-	[[Image:~~a10316~~.jpg]]<br> Доказательство теоремы приведем после решения примера.<br>'''Пример 7.''' Найти значение производной функции у = f(х), где [[Image:~~a10317~~.jpg]]<br>'''Решение'''. Сначала найдем производную в произвольной точке х. Известно, что [[Image:~~a10318~~.jpg]] По этой формуле найдем интересующую нас производную, но при этом учтем два обстоятельства:	+	[[Image:A10316.jpg]]<br> Доказательство теоремы приведем после решения примера.<br>'''Пример 7.''' Найти значение производной функции у = f(х), где [[Image:A10317.jpg]]<br>'''Решение'''. Сначала найдем производную в произвольной точке х. Известно, что [[Image:A10318.jpg]] По этой формуле найдем интересующую нас производную, но при этом учтем два обстоятельства:

-	1) под знаком корня напишем не х, а 7- 2,16х; 2) укажем дополнительный множитель, равный -2,16, — это коэффициент при х. Таким образом,~~<br>(77-2,16)'=-2,16—г=--<br>    241 -2,16х~~<br>Чтобы вычислить /'(1), в полученное выражение подставим х = 1: ~~/'(!) =-2,16- , 1 =-2,16- 1 - 2Д6- 27<br>2-^/7 -2,16 ' 2^/434 4,4 55'<br>27<br>Ответ~~: ~~/'(1)=--~~.~~<br>55<br>~~Завершая этот параграф, докажем сформулированную выше теорему.<br>Введем обозначение 1 = кх+т и заметим,,что если аргументу х придать приращение ~~Дх,~~ то переменная I получит приращение к • Дх. В самом деле,~~<br>1(х) = кх+т, 1(х+Ах) = к(х+Ах) + т, Д* ={к(х+Ах)+т)-{кх+т) = кАх~~.<br>А теперь применим известный алгоритм из пяти шагов для отыскания производной.<br>1)    Положим, ради ~~уд''обства~~, /(кх+т) = Л(х). Для фиксированного значения х имеем: й(х) = /(йх+т) = /().<br>2)    В точке ~~х+ Дх имеем~~: ~~Л(х+Дх) = /(й(х+Дх) + т) = = 1(кх+т + кАх) = 1(1 + А1)~~.<br>3)    Дг/ = Л(х+Дх)-Л(х) = + ДО -1(1).<br>Ау _ т + АО - АО _ к№ + АО - №) _ к№ + Ар - т) Ах    Ах    к-Ах    АI<br>5) Ит ^ =Ит    = к Г{1) = кПкх+т).<br>Итак, (/(Ах+тп))' = к{'(кх+т).    •''	+	1) под знаком корня напишем не х, а 7- 2,16х; 2) укажем дополнительный множитель, равный -2,16, — это коэффициент при х. Таким образом,
		+
		+	[[Image:a10319.jpg]]<br>Чтобы вычислить f'(1), в полученное выражение подставим х = 1:
		+
		+	[[Image:a10320.jpg]]
		+
		+	Завершая этот параграф, докажем сформулированную выше теорему.<br>Введем обозначение 1 = кх+m и заметим,,что если аргументу х придать приращение [[Image:a10321.jpg]] то переменная t получит приращение к • [[Image:a10321.jpg]]. В самом деле,
		+
		+	[[Image:a10322.jpg]]<br>А теперь применим известный алгоритм из пяти шагов для отыскания производной.<br>1)    Положим, ради удобства, f(кх+m) = h(х). Для фиксированного значения х имеем: h(х) = f(hх+m) = f(x).<br>2)    В точке
		+
		+	[[Image:a10323.jpg]]
		+
		+	<br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9 в 12:28, 8 августа 2010

2010-08-08T12:28:48Z

← Предыдущая		Версия 12:28, 8 августа 2010
Строка 75:		Строка 75:
	[[Image:A10306.jpg]]<br>Понятно, что эта формула справедлива лишь при допустимых значениях х, т.е. при [[Image:A10307.jpg]]<br>б) Рассуждая аналогично (советуем вам выполнить соответствующие рассуждения), получим:		[[Image:A10306.jpg]]<br>Понятно, что эта формула справедлива лишь при допустимых значениях х, т.е. при [[Image:A10307.jpg]]<br>б) Рассуждая аналогично (советуем вам выполнить соответствующие рассуждения), получим:

-	[[Image:A10308.jpg]]<br>В математике наряду с прямой задачей часто решают обратную. До сих пор мы говорили о том, как по функции найти ее производную. Но часто бывает так, что известна производная, а найти нужно саму функцию. Если, например, известно, что f'(x) =соs х, то f(х) = sin х; в самом деле, производная от sin х равна соs х. Если известно, что f'(х) = х<sup>2</sup>, то нетрудно догадаться, что<br>	+	[[Image:A10308.jpg]]<br>В математике наряду с прямой задачей часто решают обратную. До сих пор мы говорили о том, как по функции найти ее производную. Но часто бывает так, что известна производная, а найти нужно саму функцию. Если, например, известно, что f'(x) =соs х, то f(х) = sin х; в самом деле, производная от sin х равна соs х. Если известно, что f'(х) = х<sup>2</sup>, то нетрудно догадаться, что<br>

-	[[Image:~~a10309~~.jpg]]<br>Далее в § 37 мы подробнее поговорим о решении обратных задач, т.е. о том, как, зная производную функции, найти саму функцию.<br>Завершая этот пункт, выполним данное выше обещание, выведем правило дифференцирования произведения, т.е. функции y = f(х)g(х).<br>Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.<br>1)    Положим, ради удобства, f(х)g(х) = h(х). Для фиксированного значения х имеем: f(х) = h{х)g(х).<br>2)    В точке	+	[[Image:A10309.jpg]]<br>Далее в § 37 мы подробнее поговорим о решении обратных задач, т.е. о том, как, зная производную функции, найти саму функцию.<br>Завершая этот пункт, выполним данное выше обещание, выведем правило дифференцирования произведения, т.е. функции y = f(х)g(х).<br>Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.<br>1)    Положим, ради удобства, f(х)g(х) = h(х). Для фиксированного значения х имеем: f(х) = h{х)g(х).<br>2)    В точке

-	[[Image:~~a10310~~.jpg]]	+	[[Image:A10310.jpg]]

-	'''3. Дифференцирование функции у = f(кх+m)'''<br>Мы знаем, чему равны производные функций: [[Image:~~a10311~~.jpg]]. Нередко на практике приходится находить производные функций [[Image:~~a10312~~.jpg]] и т.д. Возникает вопрос: если мы знаем, чему равна производная функции у = f(х), то как вычислить производную функции у = f(кх+m)?<br>С функцией у = ~~81п2х~~ можно поступить так. Известно, что ~~8т2х~~ = ~~28тзс~~ созх. Тогда:~~<br>(8т2х)' =(28тхсо8х)' =2((8та~~:~~)'с08зс+8тзс(с08а:)') =<br>= 2(с08зсс08зс+8тзс(-8тзс))=2(с082 зс-81П2 зс)=2сов2зс~~.<br>Воспользовавшись правилом дифференцирования произведения и правилом вынесения постоянного множителя за знак производной, а также формулами синуса и косинуса двойного аргумента, мы доказали, что~~<br>(зт2х)' =2сов2лс~~.<br>Хорошо, скажете вы, а как быть с производной функций у = ~~зшЗдг~~, у= ~~соз4г~~? Неужели каждый раз придется применять соответствующие формулы тригонометрии? Отвечаем: не придется. Обратите внимание на выведенную формулу. Чем она отличается от формулы дифференцирования функции у = ~~зтх~~? Только тем, что появился дополнительный множитель 2, да в роли аргумента выступает не х, а 2х. Точно так же будет обстоять дело и в других аналогичных случаях: используется известная формула дифференцирования и появляется дополнительный множитель, равный коэффициенту при х. Например, справедливы следующие формулы: ~~(сов4х)' = -4- 8ш4ж; (зтЗх)' =ЗсозЗдг,<br>/<br>((2+1)5) =2 5(2+1)4 =10(2+1)\<br>~~Вообще, справедливо следующее утверждение.~~<br>Теорема~~. ~~Производная функции у= {(кх+т) вычисляется по формуле~~<br>~~({(кх+т))'=к{'(кх+т).~~ Доказательство теоремы приведем после решения примера.<br>Пример 7. Найти значение производной функции у = /(х), где ~~/(х)= .у/7 - 2,16л~~: ~~, в точке х = 1~~.<br>Решение. Сначала найдем производную в произвольной точке х. Известно, что~~(-Ух)'=—7=~~.По этой формуле найдем интересующую нас ~~произ-2-у/х<br>164<br>водную~~, но при этом учтем два обстоятельства: 1) под знаком корня напишем не х, а 7- 2,16х; 2) укажем дополнительный множитель, равный -2,16, — это коэффициент при х. Таким образом,<br>(77-2,16)'=-2,16—г=--<br>*    241 -2,16х<br>Чтобы вычислить /'(1), в полученное выражение подставим х = 1: /'(!) =-2,16- , 1 =-2,16- 1 - 2Д6- 27<br>2-^/7 -2,16 ' 2^/434 4,4 55'<br>27<br>Ответ: /'(1)=--.<br>55<br>Завершая этот параграф, докажем сформулированную выше теорему.<br>Введем обозначение 1 = кх+т и заметим,,что если аргументу х придать приращение Дх, то переменная I получит приращение к • Дх. В самом деле,<br>1(х) = кх+т, 1(х+Ах) = к(х+Ах) + т, Д* ={к(х+Ах)+т)-{кх+т) = кАх.<br>А теперь применим известный алгоритм из пяти шагов для отыскания производной.<br>1)    Положим, ради уд''обства, /(кх+т) = Л(х). Для фиксированного значения х имеем: й(х) = /(йх+т) = /().<br>2)    В точке х+ Дх имеем: Л(х+Дх) = /(й(х+Дх) + т) = = 1(кх+т + кАх) = 1(1 + А1).<br>3)    Дг/ = Л(х+Дх)-Л(х) = + ДО -1(1).<br>Ау _ т + АО - АО _ к№ + АО - №) _ к№ + Ар - т) Ах    Ах    к-Ах    АI<br>5) Ит ^ =Ит    = к Г{1) = кПкх+т).<br>Итак, (/(Ах+тп))' = к{'(кх+т).    •''	+	'''3. Дифференцирование функции у = f(кх+m)'''<br>Мы знаем, чему равны производные функций: [[Image:A10311.jpg]]. Нередко на практике приходится находить производные функций [[Image:A10312.jpg]] и т.д. Возникает вопрос: если мы знаем, чему равна производная функции у = f(х), то как вычислить производную функции у = f(кх+m)?<br>С функцией у = sin2х можно поступить так. Известно, что sin2х = 28 созх. Тогда:
		+
		+	[[Image:a10313.jpg]]<br>Воспользовавшись правилом дифференцирования произведения и правилом вынесения постоянного множителя за знак производной, а также формулами синуса и косинуса двойного аргумента, мы доказали, что [[Image:a10314.jpg]]<br>Хорошо, скажете вы, а как быть с производной функций у = sinЗx, у= соs4x? Неужели каждый раз придется применять соответствующие формулы тригонометрии? Отвечаем: не придется. Обратите внимание на выведенную формулу. Чем она отличается от формулы дифференцирования функции у = sin х? Только тем, что появился дополнительный множитель 2, да в роли аргумента выступает не х, а 2х. Точно так же будет обстоять дело и в других аналогичных случаях: используется известная формула дифференцирования и появляется дополнительный множитель, равный коэффициенту при х. Например, справедливы следующие формулы:
		+
		+	[[Image:a10315.jpg]]
		+
		+	Вообще, справедливо следующее утверждение.
		+
		+	[[Image:a10316.jpg]]<br> Доказательство теоремы приведем после решения примера.<br>'''Пример 7.''' Найти значение производной функции у = f(х), где [[Image:a10317.jpg]]<br>'''Решение'''. Сначала найдем производную в произвольной точке х. Известно, что [[Image:a10318.jpg]] По этой формуле найдем интересующую нас производную, но при этом учтем два обстоятельства:
		+
		+	1) под знаком корня напишем не х, а 7- 2,16х; 2) укажем дополнительный множитель, равный -2,16, — это коэффициент при х. Таким образом,<br>(77-2,16)'=-2,16—г=--<br>    241 -2,16х<br>Чтобы вычислить /'(1), в полученное выражение подставим х = 1: /'(!) =-2,16- , 1 =-2,16- 1 - 2Д6- 27<br>2-^/7 -2,16 ' 2^/434 4,4 55'<br>27<br>Ответ: /'(1)=--.<br>55<br>Завершая этот параграф, докажем сформулированную выше теорему.<br>Введем обозначение 1 = кх+т и заметим,,что если аргументу х придать приращение Дх, то переменная I получит приращение к • Дх. В самом деле,<br>1(х) = кх+т, 1(х+Ах) = к(х+Ах) + т, Д* ={к(х+Ах)+т)-{кх+т) = кАх.<br>А теперь применим известный алгоритм из пяти шагов для отыскания производной.<br>1)    Положим, ради уд''обства, /(кх+т) = Л(х). Для фиксированного значения х имеем: й(х) = /(йх+т) = /().<br>2)    В точке х+ Дх имеем: Л(х+Дх) = /(й(х+Дх) + т) = = 1(кх+т + кАх) = 1(1 + А1).<br>3)    Дг/ = Л(х+Дх)-Л(х) = + ДО -1(1).<br>Ау _ т + АО - АО _ к№ + АО - №) _ к№ + Ар - т) Ах    Ах    к-Ах    АI<br>5) Ит ^ =Ит    = к Г{1) = кПкх+т).<br>Итак, (/(Ах+тп))' = к{'(кх+т).    •''

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9 в 12:20, 8 августа 2010

2010-08-08T12:20:46Z

← Предыдущая		Версия 12:20, 8 августа 2010
Строка 67:		Строка 67:
	Использованный здесь метод рассуждения носит в математике название метод математической индукции.<br>Пользуясь формулой (1) и соответствующими правилами дифференцирования, можно найти производную любого многочлена.<br>'''Пример 5'''. Найти точки, в которых касательная к графику функции у = х<sup>3</sup> - Зх + 2 параллельна оси х.<br>'''Решение.''' Имеем: у'=(х<sup>3</sup> -3х + 2)'=3х<sup>2</sup> -3. Если касательная параллельна оси х, то ее угловой коэффициент равен нулю. Но, с другой стороны, угловой коэффициент касательной равен значению производной в абсциссе точки касания. Значит, нам нужно найти точки, в которых производная обращается в нуль. Имеем: Зх2 -3=0; находим: х1 =1,х2 =-1. Далее,f(1)=13 -3 1+2 = 0; f(-1)=(-1)3-3 (-1)+2=4. Итак, касательная, проведенная к графику функции у = х<sup>3</sup><sup></sup> -Зх + 2в точке (1; 0) или в точке (-1; 4), будет параллельна оси х. На рис. 125 дана геометрическая иллюстрация полученного результата — построен график функции у=х<sup>3</sup>-Зх+2. При этом мы учли, что f(-2)=0, т.е. график пересекает ось абсцисс в точке х = -2.		Использованный здесь метод рассуждения носит в математике название метод математической индукции.<br>Пользуясь формулой (1) и соответствующими правилами дифференцирования, можно найти производную любого многочлена.<br>'''Пример 5'''. Найти точки, в которых касательная к графику функции у = х<sup>3</sup> - Зх + 2 параллельна оси х.<br>'''Решение.''' Имеем: у'=(х<sup>3</sup> -3х + 2)'=3х<sup>2</sup> -3. Если касательная параллельна оси х, то ее угловой коэффициент равен нулю. Но, с другой стороны, угловой коэффициент касательной равен значению производной в абсциссе точки касания. Значит, нам нужно найти точки, в которых производная обращается в нуль. Имеем: Зх2 -3=0; находим: х1 =1,х2 =-1. Далее,f(1)=13 -3 1+2 = 0; f(-1)=(-1)3-3 (-1)+2=4. Итак, касательная, проведенная к графику функции у = х<sup>3</sup><sup></sup> -Зх + 2в точке (1; 0) или в точке (-1; 4), будет параллельна оси х. На рис. 125 дана геометрическая иллюстрация полученного результата — построен график функции у=х<sup>3</sup>-Зх+2. При этом мы учли, что f(-2)=0, т.е. график пересекает ось абсцисс в точке х = -2.

-	[[Image:~~a10303~~.jpg]]<br>'''Пример 6.''' Найти производные функций: а) у = tg х; б) у = сtg х.	+	[[Image:A10303.jpg]]<br>'''Пример 6.''' Найти производные функций: а) у = tg х; б) у = сtg х.

-	'''Решение,''' а) Воспользуемся тем, что [[Image:~~a10304~~.jpg]] и правилом дифференцирования частного. Получим:	+	'''Решение,''' а) Воспользуемся тем, что [[Image:A10304.jpg]] и правилом дифференцирования частного. Получим:

-	[[Image:~~a10305~~.jpg]]<br>Таким образом, мы вывели еще одну формулу дифференцирования:	+	[[Image:A10305.jpg]]<br>Таким образом, мы вывели еще одну формулу дифференцирования:

-	[[Image:~~a10306~~.jpg]]<br>Понятно, что эта формула справедлива лишь при допустимых значениях х, т.е. при [[Image:~~a10307~~.jpg]]<br>б) Рассуждая аналогично (советуем вам выполнить соответствующие рассуждения), получим:	+	[[Image:A10306.jpg]]<br>Понятно, что эта формула справедлива лишь при допустимых значениях х, т.е. при [[Image:A10307.jpg]]<br>б) Рассуждая аналогично (советуем вам выполнить соответствующие рассуждения), получим:

-	[[Image:~~a10308~~.jpg]]<br>В математике наряду с прямой задачей часто решают обратную. До сих пор мы говорили о том, как по функции найти ее производную. Но часто бывает так, что известна производная, а найти нужно саму функцию. Если, например, известно, что /'() =~~созх~~, то /(х) = ~~зтх~~; в самом деле, производная от зт х равна ~~сое~~ х. Если~~<br>х3<br>~~известно, что {'(х) = х2, то нетрудно догадаться, что ~~/(ас) =—; в са-~~<br>~~мом деле,<br>3<br>V<br>= -{х3У=--Зх2=х2~~. ~~3 3~~<br>Далее в § 37 мы подробнее поговорим о решении обратных задач, т.е. о том, как, зная производную функции, найти саму функцию.<br>Завершая этот пункт, выполним данное выше обещание, выведем правило дифференцирования произведения, т.е. функции У = Нх)8(х).<br>Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.<br>1)    Положим, ради удобства, {(х)§(х) = Ы,х). Для фиксированного значения х имеем: Цх) =~~ ?~~{х)§(х).<br>2)    В ~~точкех+Ахимеем: Н(х+Ах) =~~ ~~?(х+Ах)§(х+ Ах) = =(Г(х) + А/) (§(х)+А§) = ГШ(х) + АМх) + Пх)А§+А/Д^~~.<br>3)    Ау = Л(х+ Ах)-Ь(х) =(Г(х)§(х) + АМх) + Г(х)А§+ АГА§) --Кх)ё(х) = АЩх) + Г(х)Аё+А/А§.<br>4)ау=Д<br>Ах    Ах    Ах Ах Ах Ах''~~<br>д->одх д->о1 Дх    Дх Ах Ах<br>= Г(х)ё(х)+8~~'~~(х)Г(х) + Пх)8'(х)0 = Г(х)ё(х)+Пх)е'(х). Итак,<br>(Кх)§{х))' = Г(х) §(х)+Г(х)§'(х).    #<br>~~3. Дифференцирование функции у = {(кх+т)<br>Мы знаем, чему равны производные функций: ~~у = хп, у = зтх, у=созх, у = Щ х, у = у~~[х. Нередко на практике приходится находить~~<br>( х\<br>~~производные функций ~~у = зт2зс, у=со8 3—~~ и т.д. Возникает ~~воп-<br>V 2)<br>о    163<br>рос~~: если мы знаем, чему равна производная функции у = /(х), то как вычислить производную функции у = ~~Цкх~~+т)?<br>С функцией у = 81п2х можно поступить так. Известно, что 8т2х = 28тзс созх. Тогда:<br>(8т2х)' =(28тхсо8х)' =2((8та:)'с08зс+8тзс(с08а:)') =<br>= 2(с08зсс08зс+8тзс(-8тзс))=2(с082 зс-81П2 зс)=2сов2зс.<br>Воспользовавшись правилом дифференцирования произведения и правилом вынесения постоянного множителя за знак производной, а также формулами синуса и косинуса двойного аргумента, мы доказали, что<br>(зт2х)' =2сов2лс.<br>Хорошо, скажете вы, а как быть с производной функций у = зшЗдг, у= соз4г? Неужели каждый раз придется применять соответствующие формулы тригонометрии? Отвечаем: не придется. Обратите внимание на выведенную формулу. Чем она отличается от формулы дифференцирования функции у = зтх? Только тем, что появился дополнительный множитель 2, да в роли аргумента выступает не х, а 2х. Точно так же будет обстоять дело и в других аналогичных случаях: используется известная формула дифференцирования и появляется дополнительный множитель, равный коэффициенту при х. Например, справедливы следующие формулы: (сов4х)' = -4- 8ш4ж; (зтЗх)' =ЗсозЗдг,<br>/<br>((2+1)5) =2 5(2+1)4 =10(2+1)\<br>Вообще, справедливо следующее утверждение.<br>Теорема. Производная функции у= {(кх+т) вычисляется по формуле<br>({(кх+т))'=к{'(кх+т). Доказательство теоремы приведем после решения примера.<br>Пример 7. Найти значение производной функции у = /(х), где /(х)= .у/7 - 2,16л: , в точке х = 1.<br>Решение. Сначала найдем производную в произвольной точке х. Известно, что(-Ух)'=—7=.По этой формуле найдем интересующую нас произ-2-у/х<br>164<br>водную, но при этом учтем два обстоятельства: 1) под знаком корня напишем не х, а 7- 2,16х; 2) укажем дополнительный множитель, равный -2,16, — это коэффициент при х. Таким образом,<br>(77-2,16)'=-2,16—г=--<br>    241 -2,16х<br>Чтобы вычислить /'(1), в полученное выражение подставим х = 1: /'(!) =-2,16- , 1 =-2,16- 1 - 2Д6- 27<br>2-^/7 -2,16 ' 2^/434 4,4 55'<br>27<br>Ответ: /'(1)=--.<br>55<br>Завершая этот параграф, докажем сформулированную выше теорему.<br>Введем обозначение 1 = кх+т и заметим,,что если аргументу х придать приращение Дх, то переменная I получит приращение к • Дх. В самом деле,<br>1(х) = кх+т, 1(х+Ах) = к(х+Ах) + т, Д* ={к(х+Ах)+т)-{кх+т) = кАх.<br>А теперь применим известный алгоритм из пяти шагов для отыскания производной.<br>1)    Положим, ради ~~удобства~~, /(кх+т) = Л(х). Для фиксированного значения х имеем: й(х) = /(йх+т) = /().<br>2)    В точке х+ Дх имеем: Л(х+Дх) = /(й(х+Дх) + т) = = 1(кх+т + кАх) = 1(1 + А1).<br>3)    Дг/ = Л(х+Дх)-Л(х) = + ДО -1(1).<br>Ау _ т + АО - АО _ к№ + АО - №) _ к№ + Ар - т) Ах    Ах    к-Ах    АI<br>5) Ит ^ =Ит    = к Г{1) = кПкх+т).<br>Итак, (/(Ах+тп))' = к{'(кх+т).    •''	+	[[Image:A10308.jpg]]<br>В математике наряду с прямой задачей часто решают обратную. До сих пор мы говорили о том, как по функции найти ее производную. Но часто бывает так, что известна производная, а найти нужно саму функцию. Если, например, известно, что f'(x) =соs х, то f(х) = sin х; в самом деле, производная от sin х равна соs х. Если известно, что f'(х) = х<sup>2</sup>, то нетрудно догадаться, что<br>
		+
		+	[[Image:a10309.jpg]]<br>Далее в § 37 мы подробнее поговорим о решении обратных задач, т.е. о том, как, зная производную функции, найти саму функцию.<br>Завершая этот пункт, выполним данное выше обещание, выведем правило дифференцирования произведения, т.е. функции y = f(х)g(х).<br>Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.<br>1)    Положим, ради удобства, f(х)g(х) = h(х). Для фиксированного значения х имеем: f(х) = h{х)g(х).<br>2)    В точке
		+
		+	[[Image:a10310.jpg]]
		+
		+	'''3. Дифференцирование функции у = f(кх+m)'''<br>Мы знаем, чему равны производные функций: [[Image:a10311.jpg]]. Нередко на практике приходится находить производные функций [[Image:a10312.jpg]] и т.д. Возникает вопрос: если мы знаем, чему равна производная функции у = f(х), то как вычислить производную функции у = f(кх+m)?<br>С функцией у = 81п2х можно поступить так. Известно, что 8т2х = 28тзс созх. Тогда:<br>(8т2х)' =(28тхсо8х)' =2((8та:)'с08зс+8тзс(с08а:)') =<br>= 2(с08зсс08зс+8тзс(-8тзс))=2(с082 зс-81П2 зс)=2сов2зс.<br>Воспользовавшись правилом дифференцирования произведения и правилом вынесения постоянного множителя за знак производной, а также формулами синуса и косинуса двойного аргумента, мы доказали, что<br>(зт2х)' =2сов2лс.<br>Хорошо, скажете вы, а как быть с производной функций у = зшЗдг, у= соз4г? Неужели каждый раз придется применять соответствующие формулы тригонометрии? Отвечаем: не придется. Обратите внимание на выведенную формулу. Чем она отличается от формулы дифференцирования функции у = зтх? Только тем, что появился дополнительный множитель 2, да в роли аргумента выступает не х, а 2х. Точно так же будет обстоять дело и в других аналогичных случаях: используется известная формула дифференцирования и появляется дополнительный множитель, равный коэффициенту при х. Например, справедливы следующие формулы: (сов4х)' = -4- 8ш4ж; (зтЗх)' =ЗсозЗдг,<br>/<br>((2+1)5) =2 5(2+1)4 =10(2+1)\<br>Вообще, справедливо следующее утверждение.<br>Теорема. Производная функции у= {(кх+т) вычисляется по формуле<br>({(кх+т))'=к{'(кх+т). Доказательство теоремы приведем после решения примера.<br>Пример 7. Найти значение производной функции у = /(х), где /(х)= .у/7 - 2,16л: , в точке х = 1.<br>Решение. Сначала найдем производную в произвольной точке х. Известно, что(-Ух)'=—7=.По этой формуле найдем интересующую нас произ-2-у/х<br>164<br>водную, но при этом учтем два обстоятельства: 1) под знаком корня напишем не х, а 7- 2,16х; 2) укажем дополнительный множитель, равный -2,16, — это коэффициент при х. Таким образом,<br>(77-2,16)'=-2,16—г=--<br>*    241 -2,16х<br>Чтобы вычислить /'(1), в полученное выражение подставим х = 1: /'(!) =-2,16- , 1 =-2,16- 1 - 2Д6- 27<br>2-^/7 -2,16 ' 2^/434 4,4 55'<br>27<br>Ответ: /'(1)=--.<br>55<br>Завершая этот параграф, докажем сформулированную выше теорему.<br>Введем обозначение 1 = кх+т и заметим,,что если аргументу х придать приращение Дх, то переменная I получит приращение к • Дх. В самом деле,<br>1(х) = кх+т, 1(х+Ах) = к(х+Ах) + т, Д* ={к(х+Ах)+т)-{кх+т) = кАх.<br>А теперь применим известный алгоритм из пяти шагов для отыскания производной.<br>1)    Положим, ради уд''обства, /(кх+т) = Л(х). Для фиксированного значения х имеем: й(х) = /(йх+т) = /().<br>2)    В точке х+ Дх имеем: Л(х+Дх) = /(й(х+Дх) + т) = = 1(кх+т + кАх) = 1(1 + А1).<br>3)    Дг/ = Л(х+Дх)-Л(х) = + ДО -1(1).<br>Ау _ т + АО - АО _ к№ + АО - №) _ к№ + Ар - т) Ах    Ах    к-Ах    АI<br>5) Ит ^ =Ит    = к Г{1) = кПкх+т).<br>Итак, (/(Ах+тп))' = к{'(кх+т).    •''

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9 в 12:08, 8 августа 2010

2010-08-08T12:08:13Z

Внесённые изменения

User9 в 11:56, 8 августа 2010

2010-08-08T11:56:03Z

Внесённые изменения

User9 в 11:44, 8 августа 2010

2010-08-08T11:44:51Z

Внесённые изменения

User9 в 11:37, 8 августа 2010

2010-08-08T11:37:57Z

Внесённые изменения

User9 в 11:27, 8 августа 2010

2010-08-08T11:27:27Z

Внесённые изменения

← Предыдущая		Версия 21:22, 5 августа 2012
Строка 1:		Строка 1:
-	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>~~Математика:~~ Вычисление производных ~~<metakeywords>Вычисление производных</metakeywords>~~'''	+	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 10 класс, урок, на Тему, Вычисление производных</metakeywords>
		+
		+	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>> Вычисление производных'''

	<br>		<br>

-	'''§ 33. ~~ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ~~'''<br>'''1. Формулы дифференцирования'''<br>Формулами дифференцирования обычно называют формулы для отыскания производных конкретных функций, например:	+	'''§ 33. Вычисление производных'''
		+
		+	<br>'''1. Формулы дифференцирования'''
		+
		+	<br>Формулами дифференцирования обычно называют формулы для отыскания производных конкретных функций, например:

	[[Image:A10267.jpg]]<br>Вы, конечно, узнали эти формулы — они были получены нами в §32.<br>Список формул дифференцирования будет постепенно пополняться. Здесь мы добавим три формулы, которые выводятся по алгоритму, приведенному в § 32. Определенные технические трудности при этом, естественно, возникают. Поступим так: сначала укажем новые формулы дифференцирования, потом разберем несколько примеров, а в конце покажем новые формулы. Итак, сообщаем три формулы дифференцирования:		[[Image:A10267.jpg]]<br>Вы, конечно, узнали эти формулы — они были получены нами в §32.<br>Список формул дифференцирования будет постепенно пополняться. Здесь мы добавим три формулы, которые выводятся по алгоритму, приведенному в § 32. Определенные технические трудности при этом, естественно, возникают. Поступим так: сначала укажем новые формулы дифференцирования, потом разберем несколько примеров, а в конце покажем новые формулы. Итак, сообщаем три формулы дифференцирования:
Строка 91:		Строка 97:
	[[Image:A10316.jpg]]<br> Доказательство теоремы приведем после решения примера.<br>'''Пример 7.''' Найти значение производной функции у = f(х), где [[Image:A10317.jpg]]<br>'''Решение'''. Сначала найдем производную в произвольной точке х. Известно, что [[Image:A10318.jpg]] По этой формуле найдем интересующую нас производную, но при этом учтем два обстоятельства:		[[Image:A10316.jpg]]<br> Доказательство теоремы приведем после решения примера.<br>'''Пример 7.''' Найти значение производной функции у = f(х), где [[Image:A10317.jpg]]<br>'''Решение'''. Сначала найдем производную в произвольной точке х. Известно, что [[Image:A10318.jpg]] По этой формуле найдем интересующую нас производную, но при этом учтем два обстоятельства:

-	1) под знаком корня напишем не х, а 7- 2,16х; 2) укажем дополнительный множитель, равный -2,16, — это коэффициент при х. Таким образом,	+	1) под знаком корня напишем не х, а 7- 2,16х; 2) укажем дополнительный множитель, равный -2,16, — это коэффициент при х. Таким образом,

-	[[Image:~~a10319~~.jpg]]<br>Чтобы вычислить f'(1), в полученное выражение подставим х = 1:	+	[[Image:A10319.jpg]]<br>Чтобы вычислить f'(1), в полученное выражение подставим х = 1:

-	[[Image:~~a10320~~.jpg]]	+	[[Image:A10320.jpg]]

-	Завершая этот параграф, докажем сформулированную выше теорему.<br>Введем обозначение 1 = кх+m и заметим,,что если аргументу х придать приращение [[Image:~~a10321~~.jpg]] то переменная t получит приращение к • [[Image:~~a10321~~.jpg]]. В самом деле,	+	Завершая этот параграф, докажем сформулированную выше теорему.<br>Введем обозначение 1 = кх+m и заметим,,что если аргументу х придать приращение [[Image:A10321.jpg]] то переменная t получит приращение к • [[Image:A10321.jpg]]. В самом деле,

-	[[Image:~~a10322~~.jpg]]<br>А теперь применим известный алгоритм из пяти шагов для отыскания производной.<br>1)    Положим, ради удобства, f(кх+m) = h(х). Для фиксированного значения х имеем: h(х) = f(hх+m) = f(x).<br>2)    В точке	+	[[Image:A10322.jpg]]<br>А теперь применим известный алгоритм из пяти шагов для отыскания производной.<br>1)    Положим, ради удобства, f(кх+m) = h(х). Для фиксированного значения х имеем: h(х) = f(hх+m) = f(x).<br>2)    В точке

-	[[Image:~~a10323~~.jpg]]	+	[[Image:A10323.jpg]]

	<br>		<br>

-	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс	+	''А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс''

	<br>		<br>

-	<sub>~~Материалы~~ по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн~~]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика\|скачать~~]]</sub>	+	[http://xvatit.com/relax/fun-videos/ '''<sub>Видео </sub>''']<sub>по математике [[Математика\|скачать]], домашнее задание, учителям и школьникам на помощь [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]]</sub>

	'''<u>Содержание урока</u>'''		'''<u>Содержание урока</u>'''
-	'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] конспект урока '''	+	'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] конспект урока '''
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] опорный каркас	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] презентация урока	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] презентация урока
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] акселеративные методы	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] интерактивные технологии	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии

	'''<u>Практика</u>'''		'''<u>Практика</u>'''
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] задачи и упражнения	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] самопроверка	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] самопроверка
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] домашние задания	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] домашние задания
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] дискуссионные вопросы	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] риторические вопросы от учеников	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников
-		+
	'''<u>Иллюстрации</u>'''		'''<u>Иллюстрации</u>'''
-	'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''	+	'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] фотографии, картинки	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] графики, таблицы, схемы	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

	'''<u>Дополнения</u>'''		'''<u>Дополнения</u>'''
-	'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] рефераты'''	+	'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] статьи	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] статьи
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] фишки для любознательных	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] шпаргалки	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] учебники основные и дополнительные	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] словарь терминов	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] прочие	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] прочие

	<u>Совершенствование учебников и уроков		<u>Совершенствование учебников и уроков
-	</u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''	+	</u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] элементы новаторства на уроке	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] замена устаревших знаний новыми	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми
-		+
	'''<u>Только для учителей</u>'''		'''<u>Только для учителей</u>'''
-	'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] идеальные уроки '''	+	'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] календарный план на год	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] методические рекомендации	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] программы	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] программы
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] обсуждения	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] обсуждения