Геометрическая прогрессия - История изменений

User17 в 14:40, 10 октября 2012

2012-10-10T14:40:53Z

User17 в 13:39, 10 октября 2012

2012-10-10T13:39:00Z

User9 в 12:52, 1 июля 2010

2010-07-01T12:52:32Z

← Предыдущая		Версия 12:52, 1 июля 2010
Строка 21:		Строка 21:
	[[Image:Al91732.jpg]]<br>б) Имеем		[[Image:Al91732.jpg]]<br>б) Имеем

-	[[Image:Al91733.jpg]]<br>[[Image:~~al91734~~.jpg]]<br>Так как 512 = 2<sup>9</sup>, то получаем п - 1 = 9, п = 10.	+	[[Image:Al91733.jpg]]<br>[[Image:Al91734.jpg]]<br>Так как 512 = 2<sup>9</sup>, то получаем п - 1 = 9, п = 10.

-	в) Имеем	+	в) Имеем

-	[[Image:~~al91735~~.jpg]]<br>г) Имеем	+	[[Image:Al91735.jpg]]<br>г) Имеем

-	[[Image:~~al91736~~.jpg]]<br>'''Пример 7.''' Разность между седьмым и пятым членами геометрической прогрессии равна 48, сумма пятого и шестого членов прогрессии также равна 48. Найти двенадцатый член этой прогрессии.<br>'''Решение. Первый этап.''' Составление математической модели.<br>Условия задачи можно кратко записать так:<br>[[Image:~~al91737~~.jpg]]<br>Воспользовавшись формулой п-го члена геометрической прогрессии, получим:[[Image:~~al91738~~.jpg]]<br>Тогда второе условие задачи (Ь<sub>7</sub> - Ь<sub>5</sub> = 48) можно записать в виде	+	[[Image:Al91736.jpg]]<br>'''Пример 7.''' Разность между седьмым и пятым членами геометрической прогрессии равна 48, сумма пятого и шестого членов прогрессии также равна 48. Найти двенадцатый член этой прогрессии.<br>'''Решение. Первый этап.''' Составление математической модели.<br>Условия задачи можно кратко записать так:<br>[[Image:Al91737.jpg]]<br>Воспользовавшись формулой п-го члена геометрической прогрессии, получим:[[Image:Al91738.jpg]]<br>Тогда второе условие задачи (Ь<sub>7</sub> - Ь<sub>5</sub> = 48) можно записать в виде

-	[[Image:~~al91739~~.jpg]]<br>Третье условие задачи (Ь<sub>5</sub> + Ь<sub>6</sub> = 48) можно записать в виде	+	[[Image:Al91739.jpg]]<br>Третье условие задачи (Ь<sub>5</sub> + Ь<sub>6</sub> = 48) можно записать в виде

-	[[Image:~~al91740~~.jpg]]<br>В итоге получаем систему двух уравнений с двумя переменными Ь<sub>1</sub> и q:	+	[[Image:Al91740.jpg]]<br>В итоге получаем систему двух уравнений с двумя переменными Ь<sub>1</sub> и q:

-	[[Image:~~al91741~~.jpg]]<br>которая в сочетании с записанным выше условием 1) и представляет собой математическую модель задачи.<br>'''Второй этап.''' Работа с составленной моделью. Приравняв левые части обоих уравнений системы, получим:	+	[[Image:Al91741.jpg]]<br>которая в сочетании с записанным выше условием 1) и представляет собой математическую модель задачи.<br>'''Второй этап.''' Работа с составленной моделью. Приравняв левые части обоих уравнений системы, получим:

-	[[Image:~~al91742~~.jpg]]<br>(мы разделили обе части уравнения на выражение Ъ<sub>1</sub>q<sup>4</sup>, отличное от нуля).<br>Из уравнения q<sub>2</sub> - q - 2 = 0 находим q<sub>1</sub> = 2, q<sup>2</sup> = -1. Подставив значение q = 2 во второе уравнение системы, получим [[Image:~~al91743~~.jpg]]<br>Подставив значение q = -1 во второе уравнение системы, получим Ь<sub>1</sub> • 1 • 0 = 48; это уравнение не имеет решений.<br>Итак, b<sub>1</sub>=1, q = 2 — эта пара является решением составленной системы уравнений.<br>Теперь мы можем записать геометрическую прогрессию, о которой идет речь в задаче: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .<br>'''Третий этап.''' Ответ на вопрос задачи. Требуется вычислить b<sub>12</sub>. Имеем	+	[[Image:Al91742.jpg]]<br>(мы разделили обе части уравнения на выражение Ъ<sub>1</sub>q<sup>4</sup>, отличное от нуля).<br>Из уравнения q<sub>2</sub> - q - 2 = 0 находим q<sub>1</sub> = 2, q<sup>2</sup> = -1. Подставив значение q = 2 во второе уравнение системы, получим [[Image:Al91743.jpg]]<br>Подставив значение q = -1 во второе уравнение системы, получим Ь<sub>1</sub> • 1 • 0 = 48; это уравнение не имеет решений.<br>Итак, b<sub>1</sub>=1, q = 2 — эта пара является решением составленной системы уравнений.<br>Теперь мы можем записать геометрическую прогрессию, о которой идет речь в задаче: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .<br>'''Третий этап.''' Ответ на вопрос задачи. Требуется вычислить b<sub>12</sub>. Имеем

-	[[Image:al91744.jpg]]<br>О т в е т: b<sub>12</sub> = 2048.<br>137<br>4.16. \|\|<br>ПРОГРЕССИИ<br>3. Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии.<br>Пусть дана конечная геометрическая прогрессия<br>Н ь1,ь2,ь3,...,ъп_2,ъп_1,ьп.<br>Обозначим через 5 сумму ее членов, т.е.<br>8п = Ь1 + Ь2 + Ъ3 +<br>+ ь. + ьп. + ь<br>П-2 Л-1    Л<br>Выведем формулу для отыскания этой суммы.<br>Начнем с самого простого случая, когда д = 1. Тогда геометрическая прогрессия Ьх, Ь2, Ь3,..., Ъп состоит из п чисел, равных Ъх, т.е. прогрессия имеет вид Ъх, Ъх, Ъх, ..., Ьх. Сумма этих чисел равна пЪх.<br>Пусть теперь д Ф 1. Для отыскания <§п применим искусственный прием: выполним некоторые преобразования выражения 8д. Имеем:<br>5 д = (Ьх + Ь2 + Ь3 + ... + Ъп 2 + Ь^ + Ьп)д = = Ьхц + Ь2д + &3д + ... + Ьп2д + Ъп_хд + Ь„д = = + + Ь. + ... + & , + Ь + Ьа =<br>2 3 4    п-1 п л<br>4 1 2 3    п-2 п-1 п' п1 1<br>= 5 + &д-& =5 +(Ь -д^-д-Ь =5 +Ь,дп-Ь,.<br>п    1    п у 1 ^ ' 1    п    1<br>Итак, мы доказали, что<br>5 д = 8 + 6,д" - Ь,.<br>п* п I* 1<br>(1)<br>Выполняя преобразования, мы, во-первых, пользовались определением геометрической прогрессии, согласно которому Ьхд = Ь2, Ъ2д = Ь3, Ь3Я = ЪА,..., Ъп_2 • д = Ьп_х, Ъп_х ■ д = Ьп (см. третью строчку рассуждений); во-вторых, прибавили и вычли отчего значение выражения, разумеется, не изменилось (см. четвертую строчку рассуждений);<br>в-третьих, воспользовались формулой п-го члена геометрической прогрессии:<br>КЯ = (ЪгЯп1)Ч = Ьхд\ Из формулы (1) находим:<br>138<br>4.16.<br>ПРОГРЕССИИ<br>«<7-8    1).<br>3(д- 1) = Ь1(д"-1),<br>5 =<br>_ - 1)<br>9-1<br>Это — формула суммы п членов геометрической прогрессии (для случая, когда д * 1).<br>Пример 8. Дана конечная геометрическая прогрессия «V Ь2, Ъ3,...,Ьп. Известно, что Ьг = 3, д = 2, л = 6. Найти:<br>а)    сумму членов прогрессии; б) сумму квадратов ее членов. Р е ш е н и е. а) Имеем<br>= 3(2* - 1) = 3.63 = 189. 6 я - 1    2-1<br>б)    Выше (см. с. 132) мы уже отмечали, что если все члены геометрической прогрессии возвести в квадрат, то получится геометрическая прогрессия с первым членом Ь2 и знаменателем д2. Тогда сумма шести членов новой прогрессии будет вычисляться по<br>Ь2((а2)6 -1)<br>формуле 8. = -. Подставив в эту формулу Ъ, = 3, д = 2,<br>0    <7 1<br>получим<br>= 9(212-1) = 3 4()95 = 12 285 в 22 -1 Ответ: а) 189; б) 12 285.<br>Пример 9. Найти 8-й член геометрической прогрессии, у которой Ъх = 3, Ьп = 96, 8п = 189.<br>Решение. Так как Ьп = Ь^"'1, то получаем:<br>96 = Зд"1,<br>_ 32.<br>Далее,<br>8 =<br>д-1 '<br>139<br>4.16. \|\|<br>ПРОГРЕССИИ<br>Т.е.<br>189 =<br>д-1<br>63(д-1) = д»-1.    (2)<br>Выше мы нашли, что д"-1 = 32. Умножив обе части этого равенства на <7, получим д" = 32д. Подставив 32д вместо д" в формулу (2), находим:<br>63(д- 1) = 32д - 1, 31д = 62, д = 2.<br>Зная, что = 3 и д = 2, вычислим Ь8: ЬВ = Ь1-д7, т.е. Ь8 = 3-27 = 384. О т в е т: Ь8 = 384.<br>4. Характеристическое свойство геометрической прогрессии.<br>Пусть дана геометрическая прогрессия Ь2, Ь3, ••■,Ьп, ... . Рассмотрим три ее члена, следующие друг за другом: Ьп1, Ьп, Ьп+1. Известно, что<br>ц    л-1<br>ъ Ч = Ъ<br>п* л+1<br>Перемножив эти равенства, получим<br>Ьг =Ь ,6<br>п    п-1 Л+1<br>Это значит, что квадрат каждого члена геометрической прогрессии (кроме первого и последнего)равен произведению предшествующего и последующего членов.<br>Верно и обратное: если последовательность (Ьп) такова, что для любого п > 1 выполняется равенство<br>л л-1 л+1'<br>то (Ьп) — геометрическая прогрессия.<br>В самом деле, последнее равенство можно переписать в виде Ь :Ь =Ь .. :Ь .<br>л л-1 л+1 л<br>Это значит, в частности, что Ь2 : = Ь3 : Ь2, Ь3 : Ь2 = Ь4 : Ь3 и т.д. Иными словами, отношение любого члена последовательности к<br>140<br>4.16. \|\|<br>ПРОГРЕССИИ<br>предшествующему члену всегда одно и то же, а это и означает, что задана геометрическая прогрессия.<br>Фактически мы доказали следующую теорему.<br>Числовая, последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого Теорема    (и последнего, в случае конечной последователь-<br>ности ),равен произведению предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство геометрической прогрессии ).<br>В предыдущем параграфе мы получили характеристическое свойство арифметической прогрессии: любой ее член равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Обратимся теперь к характеристическому свойству геометрической прогрессии и выполним некоторые преобразования равенства<br>Ьг<br>' Ьп-1 Ьп+1-<br>Имеем<br><br>т.е.<br><br>0+1<br>Число л/аЬ называют средним геометрическим чисел а и Ь. Таким образом, последнее равенство означает, что модуль любого члена геометрической прогрессии равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. В такой формулировке отчетливее обнаруживается аналогия между характеристическими свойствами арифметической и геометрической прогрессий.<br>Пример 10. При каком значении х числа Юх + 7, 4х + 6 и 2х + 3 образуют геометрическую прогрессию?<br>Решение. Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению<br>(4х + б)2 = (Юзе + 7)(2х + 3). Решая это уравнение, находим:<br>16х2 + 48* + 36 = 20х2 + 44х + 21,<br>141<br>4.16. \|\|<br>I<br>ПРОГРЕССИИ<br>4хг - - 15 = О, хх = 2,5, х2= 1,5.<br>Подставляя х1 = 2,5 в заданные выражения 10х + 7, 4х + 6, 2х + 3, находим соответственно 32,16, 8. Это — конечная геометрическая прогрессия. Подставляя х2 = -1,5 в заданные выражения 10х + 7, 4х + 6, 2х + 3, находим соответственно -8, 0,0 — это не геометрическая прогрессия.<br>О т в е т: х = 2,5.<br>Завершая разговор о прогрессиях, рассмотрим достаточно сложный пример (из серии так называемых «смешанных задач на прогрессии»).<br>Пример 11. Взяли три числа, которые образуют конечную возрастающую геометрическую прогрессию. Заметили, что если второе число увеличить на 2, а первое и третье числа оставить без изменения, то получится арифметическая прогрессия. Если после этого третье число увеличить на 9, то снова получится геометрическая прогрессия. Какие три числа были взяты сначала?<br>Решение. Первый этап. Составление математической модели.<br>Условия задачи можно кратко записать так:<br>Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, условие 2) означает, что<br>Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии, условие 3) означает, что<br>1)    т4 Ь2, Ь3;<br>2)    ^-Ь1,Ь2 + 2, Ь3;<br>3Ь2 + 2,Ь3 + 9.<br>т.е.<br>2(Ь1д + 2) = Ь1 + Ь1д\ 6,(1 + ^-20 = 4.<br>(3)<br>т.е.<br>(Ь2 + 2)2 = Ь1(Ь3 + 9), (Ь1д + 2)2 = Ь1(Ь1д2 + 9),<br>142<br>ПРОГРЕССИИ<br>62д2 + 46,д + 4= б^ + Эб,, 1    6,(9 - 49) = 4.    (4)<br>Таким образом, получаем систему двух уравнений ((3) и (4)) с двумя переменными 6, и д:<br>\|б,(1 + д2-2д) = 4, \|б,(9 - 49) = 4,<br>которая в сочетании с записанным выше условием 1) и представляет собой математическую модель задачи.<br>Второй этап. Работа с составленной моделью. Приравняв левые части обоих уравнений системы, получим: 6,(1 + д2-2д) = 6,(9 -4д), 1 + д2 - 2д = 9 - 4д (мы разделили обе части уравнения на 6,, т.е. на число, отличное от нуля). Далее имеем<br>д2 + 2д-8 = 0, д, = 2, д2 = -4.<br>Подставив значение д = 2 во второе уравнение системы, получим 6, = 4. Зная 6, и д, нетрудно записать три числа, образующие геометрическую прогрессию: 4,8,16.<br>Подставив значение д = -4 во второе уравнение системы, полу-<br>4<br>чим = 25 • Зная 6, и д, нетрудно записать три числа, образующие<br>4 16 64 геометрическую прогрессию: т^ . _25 ' 25 '<br>Третий этап. Ответ на вопрос задачи.<br>Из двух найденных геометрических прогрессий только первая является возрастающей, как того требует условие задачи. О т в е т: 4, 8, 16.	+	[[Image:Al91744.jpg]]<br>О т в е т: b<sub>12</sub> = 2048.<br>'''3'''. Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии.<br>Пусть дана конечная геометрическая прогрессия
		+
		+	[[Image:al91745.jpg]]<br>Обозначим через S<sub>n</sub> сумму ее членов, т.е.
		+
		+	[[Image:al91746.jpg]]<br>Выведем формулу для отыскания этой суммы.<br>Начнем с самого простого случая, когда д = 1. Тогда геометрическая прогрессия Ь<sub>1</sub>, Ь<sub>2</sub>, Ь<sub>3</sub>,..., Ъп состоит из п чисел, равных Ъ<sub>1</sub>, т.е. прогрессия имеет вид Ъ<sub>1</sub>, Ъ<sub>2</sub>, Ъ<sub>3</sub>, ..., Ь<sub>4</sub>. Сумма этих чисел равна nb<sub>1</sub>.<br>Пусть теперь q = 1 Для отыскания S<sub>n</sub> применим искусственный прием: выполним некоторые преобразования выражения S<sub>n</sub>q. Имеем:
		+
		+	[[Image:al91747.jpg]]<br>Выполняя преобразования, мы, во-первых, пользовались определением геометрической прогрессии, согласно которому [[Image:al91748.jpg]] (см. третью строчку рассуждений); во-вторых, прибавили и вычли отчего значение выражения, разумеется, не изменилось (см. четвертую строчку рассуждений); в-третьих, воспользовались формулой п-го члена геометрической прогрессии:
		+
		+	[[Image:al91749.jpg]]<br>Из формулы (1) находим:
		+
		+	[[Image:al91750.jpg]]<br>''Это — формула суммы п членов геометрической прогрессии (для случая, когда q = 1).''<br>'''Пример 8.''' Дана конечная геометрическая прогрессия
		+
		+	[[Image:al91751.jpg]]
		+
		+	а)    сумму членов прогрессии; б) сумму квадратов ее членов.
		+
		+	'''Р е ш е н и е. а)''' Имеем
		+
		+	[[Image:al91752.jpg]]<br>'''б)'''    Выше (см. с. 132) мы уже отмечали, что если все члены геометрической прогрессии возвести в квадрат, то получится геометрическая прогрессия с первым членом Ь<sub>2</sub> и знаменателем q<sub>2</sub>. Тогда сумма шести членов новой прогрессии будет вычисляться по<br>[[Image:al91753.jpg]]<br>'''Пример 9.''' Найти 8-й член геометрической прогрессии, у которой [[Image:al91754.jpg]]<br>'''Решение.''' [[Image:al91755.jpg]]<br>Фактически мы доказали следующую теорему.<br>'''Числовая, последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого Теорема    (и последнего, в случае конечной последовательности ),равен произведению предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство геометрической прогрессии ).<br>В предыдущем параграфе мы получили характеристическое свойство арифметической прогрессии: любой ее член равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Обратимся теперь к характеристическому свойству геометрической прогрессии и выполним некоторые преобразования равенства'''.<br><br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

User9 в 12:38, 1 июля 2010

2010-07-01T12:38:25Z

Внесённые изменения

User9 в 12:25, 1 июля 2010

2010-07-01T12:25:22Z

Внесённые изменения

User9 в 12:12, 1 июля 2010

2010-07-01T12:12:18Z

Внесённые изменения

User9 в 11:34, 1 июля 2010

2010-07-01T11:34:21Z

Внесённые изменения

User9: Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

2010-07-01T11:25:45Z

Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 9 класс|Математика 9 класс]]>>Математика: Геометрическая прогрессия<metakeywords>Геометрическая прогрессия</metakeywords>'''

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

 

Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие

Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].