Графическое решение квадратных уравнений - История изменений

User17 в 08:27, 8 октября 2012

2012-10-08T08:27:49Z

User17 в 07:07, 8 октября 2012

2012-10-08T07:07:00Z

Внесённые изменения

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

2010-06-12T17:05:47Z

Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

Новая страница

<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Графическое решение квадратных уравнений</metakeywords>

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]>>Математика:Графическое решение квадратных уравнений'''

 

'''                                                                 ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ '''

 С квадратными уравнениями вы уже встречались в курсе алгебры 7-го класса. Напомним, что квадратным уравнением называют уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где а, b, с — любые числа (коэффициенты), причем а [[Image:12-06-1.jpg]]. Используя наши знания о некоторых функциях и их графиках, мы в состоянии уже теперь, не дожидаясь систематического изучения темы «Квадратные уравнения» (это будет позднее, в главе 4), решать некоторые квадратные уравнения, причем различными способами; мы рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения.

'''Пример.''' Решить уравнение х2 - 2х - 3 = 0. Решение. '''I способ'''. Построим график функции у = х2 - 2х - 3, воспользовавшись алгоритмом из § 13:

1) Имеем: а = 1, b = -2, х0 = [[Image:12-06-2.jpg]] = 1, у0 = f(1)= 12 - 2 - 3= -4. Значит, вершиной параболы служит точка (1; -4), а осью параболы — прямая х = 1.

2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки х = -1 и х = 3.

Имеем f(-1) = f(3) = 0. Построим на координатной плоскости точки (-1; 0) и (3; 0).

3) Через точки (-1; 0), (1; -4), (3; 0) проводим параболу (рис. 68).

Корнями уравнения х2 - 2х - 3 = 0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения таковы: х1 = - 1, х2 — 3.

'''II способ.''' Преобразуем уравнение к виду х2 = 2х + 3. Построим в одной системе координат графики функций у — х2 и у = 2х + 3 (рис. 69). Они пересекаются в двух точках А(- 1; 1) и В(3; 9). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, значит, х1 = - 1, х2 — 3.

[[Image:12-06-3.jpg]] '''III способ'''. Преобразуем уравнение к виду х2 - 3 = 2х. Построим в одной системе координат графики функций у = х2 - 3 и у = 2х (рис. 70). Они пересекаются в двух точках А(-1; - 2) и В (3; 6). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, поэтому х1 = - 1, х2 = 3.

'''IV способ.''' Преобразуем уравнение к виду х2-2х 4-1-4 = 0 и далее х2 - 2х + 1 = 4, т. е. (х - IJ = 4. Построим в одной системе координат параболу у = (х - 1)2 и прямую y = 4 (рис. 71). Они пересекаются в двух точках А(-1; 4) и В(3; 4). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, поэтому х1 = -1, х2 = 3.

'''V способ.''' Разделив почленно обе части уравнения на х, получим

[[Image:12-06-4.jpg]]

[[Image:12-06-5.jpg]]

[[Image:12-06-6.jpg]] Построим в одной системе координат гиперболу [[Image:12-06-7.jpg]] и прямую у = х - 2 (рис. 72).

Они пересекаются в двух точках А (-1; -3) и В(3; 1). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, следовательно, х1 = - 1, х2 = 3. 

Итак, квадратное уравнение х2 - 2х - 3 = 0 мы решили графически пятью способами. Давайте проанализируем, в чем суть этих способов.

'''I способ.''' Строят график функции у точки его пересечения с осью х.

'''II способ.''' Преобразуют уравнение к виду ах2 = -bх - с, строят параболу у = ах2 и прямую у = -bх - с, находят точки их пересечения (корнями уравнения служат абсциссы точек пересечения, если, разумеется, таковые имеются).

'''III способ.''' Преобразуют уравнение к виду ах2 + с = - bх,строят параболу у — ах2 + с и прямую у = -bх (она проходит через начало координат); находят точки их пересечения.

'''IV способ.''' Применяя метод выделения полного квадрата, преобразуют уравнение к виду

а (х + l)2 + m = О и далее а (х + I) = - m

Строят параболу у = а (х + I)2 и прямую у = - m, параллельную оси х; находят точки пересечения параболы и прямой.

'''V способ.''' Преобразуют уравнение к виду

[[Image:12-06-8.jpg]] Строят гиперболу [[Image:12-06-9.jpg]] (это — гипербола при условии, что [[Image:12-06-10.jpg]]) и прямую у = — ах — b; находят точки их пересечения.

Заметим, что первые четыре способа применимы к любым уравнениям вида ах2 + bх + с = 0, а пятый — только к тем, у которых с [[Image:12-06-10.jpg]]. На практике можно выбирать тот способ, который вам кажется наиболее приспособленным к данному уравнению или который вам больше нравится (или более понятен).

'''''Замечание'''''. Несмотря на обилие способов графического решения квадратных уравнений, уверенности в том, что любое квадратное уравнение мы сможем решить графически, нет. Пусть, например, нужно решить уравнение х2 - х - 3 = 0 (специально возьмем уравнение, похожее на то, что было в рассмотренном примере). Попробуем его решить, например, вторым способом: преобразуем уравнение к виду х2 = х + 3, построим параболу у = х2 и прямую у = х + 3, они пересекаются в точках А и В (рис. 73), значит, уравнение имеет два корня. Но чему равны эти корни, мы с помощью чертежа сказать не можем — точки А и В имеют не такие «хорошие» координаты, как в приведенном выше примере. А теперь рассмотрим уравнение х2- 16х— 95 = 0. Попробуем его решить, скажем, третьим способом. Преобразуем уравнение к виду х2 — 95 = 16х. Здесь надо построить параболу у = х2 - 95 и прямую у = 16х. Но ограниченные размеры листа тетради не позволяют этого сделать, ведь параболу у = х2 надо опустить на 95 клеток вниз.

Итак, графические способы решения квадратного уравнения красивы и приятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения. Учтем это в далнейшем. 

Математика [[Математика|скачать]], задача школьнику 8 класса, материалы по математике для 8 класса [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]]

 

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
''''''
Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

← Предыдущая		Версия 08:27, 8 октября 2012
Строка 1:		Строка 1:
-	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Графическое решение квадратных уравнений</metakeywords>	+	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Графическое решение квадратных уравнений, коэффициенты, алгоритмом, координатной плоскости, графики функций, уравнения, график, точки</metakeywords>

	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 8 класс\|Математика 8 класс]]>>Математика:Графическое решение квадратных уравнений'''<br>		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 8 класс\|Математика 8 класс]]>>Математика:Графическое решение квадратных уравнений'''<br>
Строка 7:		Строка 7:
	'''Графическое решение квадратных уравнений'''		'''Графическое решение квадратных уравнений'''

-	<br>С квадратными уравнениями вы уже встречались в [http://xvatit.com/vuzi/ '''курсе'''] алгебры 7-го класса. Напомним, что квадратным уравнением называют уравнение вида ах<sup>2</sup> + bх + с = 0, где а, b, с — любые числа (коэффициенты), причем а [[Image:12-06-1.jpg]]. Используя наши знания о некоторых функциях и их графиках, мы в состоянии уже теперь, не дожидаясь систематического изучения темы «Квадратные уравнения» (это будет позднее, в главе 4), решать некоторые квадратные уравнения, причем различными способами; мы рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения.	+	<br>С квадратными уравнениями вы уже встречались в [http://xvatit.com/vuzi/ '''курсе'''] алгебры 7-го класса. Напомним, что квадратным уравнением называют уравнение вида ах<sup>2</sup> + bх + с = 0, где а, b, с — любые числа ('''[[Задачі: Переставна і сполучна властивості множення. Коефіцієнт\|коэффициенты]]'''), причем а [[Image:12-06-1.jpg]]. Используя наши знания о некоторых функциях и их графиках, мы в состоянии уже теперь, не дожидаясь систематического изучения темы «Квадратные уравнения» (это будет позднее, в главе 4), решать некоторые квадратные уравнения, причем различными способами; мы рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения.

-	'''Пример.''' Решить уравнение х<sup>2</sup> - 2х - 3 = 0. <br>Решение. <br><u>'''I способ'''</u>. Построим график функции у = х<sup>2</sup> - 2х - 3, воспользовавшись алгоритмом из § 13:	+	'''Пример.''' Решить уравнение х<sup>2</sup> - 2х - 3 = 0. <br>Решение. <br><u>'''I способ'''</u>. Построим график функции у = х<sup>2</sup> - 2х - 3, воспользовавшись '''[[Урок 4. Программа действий. Алгоритм\|алгоритмом]]''' из § 13:

	1) Имеем: а = 1, b = -2, х<sub>0</sub> = [[Image:12-06-2.jpg]] = 1, у<sub>0</sub> = f(1)= 1<sup>2</sup> - 2 - 3= -4. Значит, вершиной параболы служит точка (1; -4), а осью параболы — прямая х = 1.		1) Имеем: а = 1, b = -2, х<sub>0</sub> = [[Image:12-06-2.jpg]] = 1, у<sub>0</sub> = f(1)= 1<sup>2</sup> - 2 - 3= -4. Значит, вершиной параболы служит точка (1; -4), а осью параболы — прямая х = 1.
Строка 15:		Строка 15:
	2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки х = -1 и х = 3.		2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки х = -1 и х = 3.

-	Имеем f(-1) = f(3) = 0. Построим на координатной плоскости точки (-1; 0) и (3; 0).	+	Имеем f(-1) = f(3) = 0. Построим на '''[[Ілюстрації до теми Координатна площина\|координатной плоскости]]''' точки (-1; 0) и (3; 0).

	3) Через точки (-1; 0), (1; -4), (3; 0) проводим параболу (рис. 68).		3) Через точки (-1; 0), (1; -4), (3; 0) проводим параболу (рис. 68).
Строка 25:		Строка 25:
	<br>		<br>

-	[[Image:12-06-3.jpg\|480px\|Графическое решение квадратных уравнений]]<br><br><br><u>'''III способ'''</u>. Преобразуем уравнение к виду х<sup>2</sup> - 3 = 2х. Построим в одной системе координат графики функций у = х<sup>2</sup> - 3 и у = 2х (рис. 70). Они пересекаются в двух точках А(-1; - 2) и В (3; 6). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, поэтому х<sub>1</sub> = - 1, х<sub>2</sub> = 3.	+	[[Image:12-06-3.jpg\|480px\|Графическое решение квадратных уравнений]]<br><br><br><u>'''III способ'''</u>. Преобразуем уравнение к виду х<sup>2</sup> - 3 = 2х. Построим в одной системе координат '''[[Линейная функция и ее график\|графики функций]]''' у = х<sup>2</sup> - 3 и у = 2х (рис. 70). Они пересекаются в двух точках А(-1; - 2) и В (3; 6). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, поэтому х<sub>1</sub> = - 1, х<sub>2</sub> = 3.

	<u>'''IV способ.'''</u> Преобразуем уравнение к виду х<sup>2</sup>-2х 4-1-4 = 0 <br>и далее <br>х<sup>2</sup> - 2х + 1 = 4, т. е. (х - IJ = 4. <br>Построим в одной системе координат параболу у = (х - 1)<sup>2</sup> и прямую y = 4 (рис. 71). Они пересекаются в двух точках А(-1; 4) и В(3; 4). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, поэтому х<sub>1</sub> = -1, х<sub>2</sub> = 3.		<u>'''IV способ.'''</u> Преобразуем уравнение к виду х<sup>2</sup>-2х 4-1-4 = 0 <br>и далее <br>х<sup>2</sup> - 2х + 1 = 4, т. е. (х - IJ = 4. <br>Построим в одной системе координат параболу у = (х - 1)<sup>2</sup> и прямую y = 4 (рис. 71). Они пересекаются в двух точках А(-1; 4) и В(3; 4). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, поэтому х<sub>1</sub> = -1, х<sub>2</sub> = 3.

-	<u>'''V способ.'''</u> Разделив почленно обе части уравнения на х, получим	+	<u>'''V способ.'''</u> Разделив почленно обе части '''[[Ілюстрації до теми Рівняння. Задачі на знаходження невідомого доданка\|уравнения]]''' на х, получим

	[[Image:12-06-4.jpg\|480px\|Графическое решение квадратных уравнений]]		[[Image:12-06-4.jpg\|480px\|Графическое решение квадратных уравнений]]
Строка 45:		Строка 45:
	Итак, квадратное уравнение х<sup>2</sup> - 2х - 3 = 0 мы решили графически пятью способами. Давайте проанализируем, в чем суть этих способов.		Итак, квадратное уравнение х<sup>2</sup> - 2х - 3 = 0 мы решили графически пятью способами. Давайте проанализируем, в чем суть этих способов.

-	<u>'''I способ.'''</u> Строят график функции у точки его пересечения с осью х.	+	<u>'''I способ.'''</u> Строят '''[[Приклади графіків залежностей між величинами\|график]]''' функции у точки его пересечения с осью х.

	<u>'''II способ.'''</u> Преобразуют уравнение к виду ах<sup>2</sup> = -bх - с, строят параболу у = ах<sup>2</sup> и прямую у = -bх - с, находят точки их пересечения (корнями уравнения служат абсциссы точек пересечения, если, разумеется, таковые имеются).		<u>'''II способ.'''</u> Преобразуют уравнение к виду ах<sup>2</sup> = -bх - с, строят параболу у = ах<sup>2</sup> и прямую у = -bх - с, находят точки их пересечения (корнями уравнения служат абсциссы точек пересечения, если, разумеется, таковые имеются).
Строка 55:		Строка 55:
	а (х + l)<sup>2</sup> + m = О <br>и далее <br>а (х + I) = - m		а (х + l)<sup>2</sup> + m = О <br>и далее <br>а (х + I) = - m

-	Строят параболу у = а (х + I)<sup>2</sup> и прямую у = - m, параллельную оси х; находят точки пересечения параболы и прямой.	+	Строят параболу у = а (х + I)<sup>2</sup> и прямую у = - m, параллельную оси х; находят '''[[Точка, пряма, площина. Промінь. Відрізок. Презентація уроку\|точки]]''' пересечения параболы и прямой.

	<u>'''V способ.'''</u> Преобразуют уравнение к виду		<u>'''V способ.'''</u> Преобразуют уравнение к виду