Дифференцирование показательной и логарифмической функций - История изменений

User17 в 11:54, 6 августа 2012

2012-08-06T11:54:39Z

← Предыдущая		Версия 11:54, 6 августа 2012
Строка 1:		Строка 1:
-	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 10 класс, урок, на Тему, Дифференцирование показательной, и логарифмической функций</metakeywords>	+	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 10 класс, урок, на Тему, Дифференцирование показательной, и логарифмической функций, график, дробь</metakeywords>

	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>> Дифференцирование показательной и логарифмической функций'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>> Дифференцирование показательной и логарифмической функций'''
Строка 5:		Строка 5:
	<br>		<br>

-	'''Дифференцирование показательной и логарифмической функций'''<br>'''1. '''Число е. Функция у = е<sup>х</sup>, ее свойства, график, дифференцирование<br>Рассмотрим показательную функцию у=а<sup>х</sup>, где а > 1. Для различных оснований а получаем различные графики (рис. 232—234), но можно заметить, что все они проходят через точку (0; 1), все они имеют горизонтальную асимптоту у =0 при [[Image:Qw400.jpg]], все они обращены выпуклостью вниз и, наконец, все они имеют касательные во всех своих точках. Проведем для примера касательную к графику функции у=2x в точке х = 0 (рис. 232). Если сделать точные построения и измерения, то можно убедиться в том, что эта касательная образует с осью х угол 35° (примерно).	+	'''Дифференцирование показательной и логарифмической функций'''

-	~~[[Image:Qw401~~.~~jpg]]~~	+	<br>'''1. '''Число е. Функция у = е<sup>х</sup>, ее свойства, график, дифференцирование

-	~~Теперь проведем касательную к графику функции~~ у=~~3<sup>~~x~~</sup> тоже в точке х = 0 (рис. 233~~)~~. Здесь угол между касательной и осью х будет больше — 48°. А для показательной функции~~ у = 10<sup>x</sup> ~~в аналогичной<br>ситуации~~ получаем ~~угол 66,5°~~ (рис. ~~234~~)~~.<br>Итак~~, ~~если основание а показательной функции~~ у=~~ах постепенно увеличивается от 2 до 10~~, ~~то угол между касательной~~ к графику функции в точке х=0 и ~~осью абсцисс постепенно увеличивается от 35° до 66~~,~~5°. Логично считать~~, что ~~существует основание а, для которого соответствующий~~ угол равен 45°. Это основание должно быть заключено между числами 2 и 3, поскольку для функции у- 2х интересующий нас угол равен 35°~~, что меньше, чем 45°, а для функции у=3<sup>x </sup>он равен 48°, что уже немного больше, чем 45°~~. Интересующее нас основание принято обозначать буквой е. Установлено, что число е — иррациональное, т.е. представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь:<br>e = 2,7182818284590...;	+	Рассмотрим показательную '''[[Что означает в математике запись у = f(x)\|функцию]]''' у=а<sup>х</sup>, где а > 1. Для различных оснований а получаем различные графики (рис. 232—234), но можно заметить, что все они проходят через точку (0; 1), все они имеют горизонтальную асимптоту у =0 при [[Image:Qw400.jpg]], все они обращены выпуклостью вниз и, наконец, все они имеют касательные во всех своих точках. Проведем для примера касательную к '''[[Линейная функция и ее график\|графику]]''' функции у=2x в точке х = 0 (рис. 232). Если сделать точные построения и измерения, то можно убедиться в том, что эта касательная образует с осью х угол 35° (примерно).

-	на практике обычно полагают, что e=2,7.<br>'''Замечание '''(не очень серьезное). Ясно, что Л.Н. Толстой никакого отношения к  числу e не имеет, тем не менее в записи числа<br>е, обратите внимание, два раза подряд повторяется число 1828 — год рождения Л.Н. Толстого.

-	[[Image:Qw402.jpg]]<br>График функции у=е<sup>х</sup> изображен на рис. 235. Это — экспонента, отличающаяся от других экспонент (графиков показательных функций с другими основаниями) тем, что угол между касательной к графику в точке х=0 и осью абсцисс равен 45°.<br>'''Свойства функции у = е<sup>х</sup> :'''<br>1) [[Image:Qw403.jpg]] <br>2)    не является ни четной, ни нечетной;<br>3)    возрастает;<br>4)    не ограничена сверху, ограничена снизу;<br>5)    не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;<br>6)    непрерывна;<br>7)  [[Image:Qw404.jpg]]<br>8)    выпукла вниз;<br>9)    дифференцируема.<br>Вернитесь к § 45, взгляните на имеющийся там перечень свойств показательной функции у=а<sup>х</sup> при а > 1. Вы обнаружите те же свойства 1—8 (что вполне естественно), а девятое свойство, связанное с<br>дифференцируемостью функции, мы тогда не упомянули. Обсудим его теперь.<br>Выведем формулу для отыскания производной у-ех. При этом мы не будем пользоваться обычным алгоритмом, который выработали в § 32 и который не раз с успехом применяли. В этом алгоритме на заключительном этапе надо вычислить предел, а знания по теории пределов у нас с вами пока весьма и весьма ограниченные. Поэтому будем опираться на геометрические предпосылки, считая, в частности, сам факт существования касательной к графику показательной функции не подлежащим сомнению (поэтому мы так уверенно записали в приведенном выше перечне свойств девятое свойство — дифференцируемость функции у=е<sup>х</sup>).

-	[[Image:~~Qw405~~.jpg]]<br>1.    Отметим, что для функции y = f(х), где f(х) =ех, значение производной в точке х =0 нам уже известно: f<sup>/</sup> = tg45°=1.<br>2.    Введем в рассмотрение функцию у=g(x), где g(х) -f(х-а), т.е. g(х)-ех'<sup>а</sup>. На рис. 236 изображен график функции у = g(х): он получен из графика функции у - fх) сдвигом по оси х на \|а\| единиц масштаба. Касательная к графику функции у=g(х) в точке х-а параллельна касательной к графику функции у = f(х) в точке х -0 (см. рис. 236), значит, она образует с осью х угол 45°. Используя геометрический смысл производной, можем записать, что g(а) =tg45°;=1.<br>3.    Вернемся к функции у = f(х). Имеем:	+	[[Image:Qw401.jpg\|550px\|Графики]]

-	~~[[Image:Qw406~~.~~jpg]]~~<br>~~4.    Мы установили~~, ~~что для любого значения а справедливо соотношение [[Image:Qw407~~.~~jpg]]~~. ~~Вместо буквы а можно, естественно, использовать и букву х; тогда получим~~	+	Теперь проведем касательную к графику функции у=3<sup>x</sup> тоже в точке х = 0 (рис. 233). Здесь угол между касательной и осью х будет больше — 48°. А для показательной функции у = 10<sup>x</sup> в аналогичной<br>ситуации получаем угол 66,5° (рис. 234).

-	[[Image:Qw408.jpg]]	+	Итак, если основание а показательной функции у=ах постепенно увеличивается от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке х=0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35° до 66,5°. Логично считать, что существует основание а, для которого соответствующий угол равен 45°. Это основание должно быть заключено между числами 2 и 3, поскольку для функции у- 2х интересующий нас угол равен 35°, что меньше, чем 45°, а для функции у=3<sup>x </sup>он равен 48°, что уже немного больше, чем 45°. Интересующее нас основание принято обозначать буквой е. Установлено, что число е — иррациональное, т.е. представляет собой бесконечную десятичную непериодическую '''[[Основное свойство алгебраической дроби\|дробь]]''':
		+
		+	<br>e = 2,7182818284590...;
		+
		+	на практике обычно полагают, что e=2,7.
		+
		+	'''Замечание '''(не очень серьезное). Ясно, что Л.Н. Толстой никакого отношения к  числу e не имеет, тем не менее в записи числа е, обратите внимание, два раза подряд повторяется число 1828 — год рождения Л.Н. Толстого.
		+
		+	[[Image:Qw402.jpg\|240px\|График]]
		+
		+	<br>График функции у=е<sup>х</sup> изображен на рис. 235. Это — экспонента, отличающаяся от других экспонент (графиков показательных функций с другими основаниями) тем, что угол между касательной к графику в точке х=0 и осью абсцисс равен 45°.
		+
		+	<br>'''Свойства функции у = е<sup>х</sup> :'''
		+
		+	<br>1) [[Image:Qw403.jpg]] <br>2)    не является ни четной, ни нечетной;<br>3)    возрастает;<br>4)    не ограничена сверху, ограничена снизу;<br>5)    не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;<br>6)    непрерывна;<br>7)  [[Image:Qw404.jpg]]<br>8)    выпукла вниз;<br>9)    дифференцируема.
		+
		+	<br>Вернитесь к § 45, взгляните на имеющийся там перечень свойств показательной функции у=а<sup>х</sup> при а > 1. Вы обнаружите те же свойства 1—8 (что вполне естественно), а девятое свойство, связанное с<br>дифференцируемостью функции, мы тогда не упомянули. Обсудим его теперь.
		+
		+	Выведем формулу для отыскания производной у-ех. При этом мы не будем пользоваться обычным алгоритмом, который выработали в § 32 и который не раз с успехом применяли. В этом алгоритме на заключительном этапе надо вычислить предел, а знания по теории пределов у нас с вами пока весьма и весьма ограниченные. Поэтому будем опираться на геометрические предпосылки, считая, в частности, сам факт существования касательной к графику показательной функции не подлежащим сомнению (поэтому мы так уверенно записали в приведенном выше перечне свойств девятое свойство — дифференцируемость функции у=е<sup>х</sup>).
		+
		+
		+
		+	[[Image:Qw405.jpg\|240px\|График]]
		+
		+	<br>1.    Отметим, что для функции y = f(х), где f(х) =ех, значение производной в точке х =0 нам уже известно: f<sup>/</sup> = tg45°=1.
		+
		+	2.    Введем в рассмотрение функцию у=g(x), где g(х) -f(х-а), т.е. g(х)-ех'<sup>а</sup>. На рис. 236 изображен график функции у = g(х): он получен из графика функции у - fх) сдвигом по оси х на \|а\| единиц масштаба. Касательная к графику функции у=g(х) в точке х-а параллельна касательной к графику функции у = f(х) в точке х -0 (см. рис. 236), значит, она образует с осью х угол 45°. Используя геометрический смысл производной, можем записать, что g(а) =tg45°;=1.
		+
		+	3.    Вернемся к функции у = f(х). Имеем:
		+
		+
		+
		+	[[Image:Qw406.jpg\|480px\|Задание]]<br>4.    Мы установили, что для любого значения а справедливо соотношение [[Image:Qw407.jpg]]. Вместо буквы а можно, естественно, использовать и букву х; тогда получим
		+
		+	[[Image:Qw408.jpg\|120px\|Задание]]

	Из этой формулы получается соответствующая формула интегрирования:		Из этой формулы получается соответствующая формула интегрирования:

-	[[Image:~~qw409~~.jpg]]<br>	+	[[Image:Qw409.jpg\|120px\|Формула]]<br>
		+
		+

-	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс	+	''А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс''

	<br>		<br>

User17 в 10:30, 6 августа 2012

2012-08-06T10:30:46Z

← Предыдущая		Версия 10:30, 6 августа 2012
Строка 1:		Строка 1:
-	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>~~Математика:~~ Дифференцирование показательной и логарифмической функций~~<metakeywords>Дифференцирование показательной и логарифмической функций</metakeywords>~~'''	+	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 10 класс, урок, на Тему, Дифференцирование показательной, и логарифмической функций</metakeywords>
		+
		+	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>> Дифференцирование показательной и логарифмической функций'''

	<br>		<br>

-	'''~~ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЙ~~'''<br>'''1. '''Число е. Функция у = е<sup>х</sup>, ее свойства, график, дифференцирование<br>Рассмотрим показательную функцию у=а<sup>х</sup>, где а > 1. Для различных оснований а получаем различные графики (рис. 232—234), но можно заметить, что все они проходят через точку (0; 1), все они имеют горизонтальную асимптоту у =0 при [[Image:Qw400.jpg]], все они обращены выпуклостью вниз и, наконец, все они имеют касательные во всех своих точках. Проведем для примера касательную к графику функции у=2x в точке х = 0 (рис. 232). Если сделать точные построения и измерения, то можно убедиться в том, что эта касательная образует с осью х угол 35° (примерно).	+	'''Дифференцирование показательной и логарифмической функций'''<br>'''1. '''Число е. Функция у = е<sup>х</sup>, ее свойства, график, дифференцирование<br>Рассмотрим показательную функцию у=а<sup>х</sup>, где а > 1. Для различных оснований а получаем различные графики (рис. 232—234), но можно заметить, что все они проходят через точку (0; 1), все они имеют горизонтальную асимптоту у =0 при [[Image:Qw400.jpg]], все они обращены выпуклостью вниз и, наконец, все они имеют касательные во всех своих точках. Проведем для примера касательную к графику функции у=2x в точке х = 0 (рис. 232). Если сделать точные построения и измерения, то можно убедиться в том, что эта касательная образует с осью х угол 35° (примерно).

	[[Image:Qw401.jpg]]		[[Image:Qw401.jpg]]
Строка 27:		Строка 29:
	<br>		<br>

-	<sub>~~Материалы~~ по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], ~~задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике~~ [[Математика\|скачать]]</sub>	+	<br> <br> <sub>Календарно-тематическое планирование по математике, [http://xvatit.com/it/audio_television/ '''видео'''] по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], Математика в школе [[Математика\|скачать]]</sub>

	'''<u>Содержание урока</u>'''		'''<u>Содержание урока</u>'''

User9 в 06:49, 28 сентября 2010

2010-09-28T06:49:15Z

Внесённые изменения

User9 в 06:47, 28 сентября 2010

2010-09-28T06:47:37Z

Внесённые изменения

User9 в 06:41, 28 сентября 2010

2010-09-28T06:41:31Z

Внесённые изменения

User9 в 06:34, 28 сентября 2010

2010-09-28T06:34:17Z

Внесённые изменения

User9: Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

2010-08-08T09:30:48Z

Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]>>Математика: Дифференцирование показательной и логарифмической функций<metakeywords>Дифференцирование показательной и логарифмической функций</metakeywords>'''

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

 

Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие

Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].