User17 в 19:26, 8 октября 2012

2012-10-08T19:26:23Z

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

2010-06-15T07:11:05Z

Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

Новая страница

<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Исследование функций на монотонность</metakeywords>

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]>>Математика:Исследование функций на монотонность'''

 

'''                                                     ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НА МОНОТОННОСТЬ ''' 

 С понятиями возрастающей и убывающей функций мы впервые познакомились в курсе алгебры 7-го класса. Глядя на график функции, мы снимали соответствующую информацию: если двигаясь по графику слева направо мы в то же время движемся снизу вверх (как бы поднимаемся в горку), то мы объявляли функцию возрастающей (рис. 124); если же мы движемся сверху вниз (спускаемся с горки), то мы объявляли функцию убывающей (рис. 125). 

 

[[Image:15-06-16.jpg]] Однако математики не очень жалуют такой способ исследования свойств функции. Они считают, что определения понятий не должны опираться на рисунок, — чертеж должен лишь иллюстрировать то или ин е свойство функции на ее графике. Дадим строгие определения понятий возрастания и убывания функции. 

'''''Определение 1.'''''Функцию у = f(x) называют возрастающей на промежутке X, если из неравенства х1 < х2- где хг и х2 — любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x1) < f(x2). 

'''''Определение 2.''''' Функцию у = f(x) называют убывающей на промежутке X, если из неравенства х1 < х2, где х1 и х2 — любые две точки прс лежутка X, следует неравенство f(x1) > f(x2). На практике удобнее пользоваться следующими формулировками: '''''функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции; функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.''''' 

Используя эти определения и установленные в § 33 свойства числовых неравенств, мы сможем обосновать выводы о возрастании или убывании ранее изученных функций. 

'''                                      1. Линейная функция у = kx +m ''' 

 Если k > О, то функция возрастает на всей числовой прямой (рис. 126); если k < 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127). 

Доказательство. Положим f(х) = kx +m. Если х1 < х2 и k > О, то, согласно свойству 3 числовых неравенств (см. § 33), kx1 < kx2. Далее, согласно свойству 2, из kx1 < kx2 следует, что kx1 + m < kx2 + m, т. е. f(х1) < f(х2). 

 

[[Image:15-06-17.jpg]] Итак, из неравенства х1 < х2 следует, что f(х1) < f(x2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. линейной функции у = kx+ m. Если же х1 < х2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx1 > kx2, а согласно свойству 2, из kx1 > kx2 следует, что kx1 + m> kx2 + т. 

Итак, из неравенства х1 < х2 следует, что f(х1) > f(х2). Это и означает убывание функции у = f(x), т. е. линейной функции у = kx + m. 

Если функция возрастает (убывает) во всей своей области определения, то ее можно называть возрастающей (убывающей), не указывая промежутка. Например, про функцию у = 2х - 3 можно сказать, что она возрастает на всей числовой прямой, но можно сказать и короче: у = 2х - 3 — возрастающая функция. 

 '''                                                       2. Функция у = х2 ''' 

 1. Рассмотрим функцию у = х2 на луче [0, + 00). Пусть 0 [[Image:15-06-18.jpg]] х1 < х2. Тогда, согласно свойству 6 числовых неравенств, [[Image:15-06-19.jpg]], т. е.f(x1) < f(x2)- Итак, из х1 < х2 следует f(x1) < f(x2). Таким образом, функция у = х2 возрастает на луче [0, + 00) (рис. 128). 

[[Image:15-06-20.jpg]] 

2. Рассмотрим функцию у = х2 на луче (- со, 0]. Возьмем два неположительных числа х1 и х2, таких, что х1 < х2. Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х1 > - х2. Так как числа - х1 и - х2 неотрицательны, то, возведя в квадрат обе части последнего неравенства, получим неравенство того же смысла (-х1)2 > (-х2)2, т.е. [[Image:15-06-21.jpg]] Это значит, что f(х1) >f(х2). Итак, из неравенства х1 < х2 следует, что f(х1) > f(х2). Поэтому функция у = х2 убывает на луче (- 00, 0] (рис. 128). 3. Функция у [[Image:15-06-22.jpg]] 1. Рассмотрим функцию [[Image:15-06-22.jpg]] на промежутке (0, + 00). Пусть х1 < х2. Так как х1 и х2 — положительные числа, то из х1< x2  следует [[Image:15-06-23.jpg]] (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x1) > f(x2). Итак, из неравенства х1 < х2 следует, что f(x1) > f(x2). Это значит, что функция убывает на открытом луче (0, + 00) (рис. 129). 

[[Image:15-06-24.jpg]] 2. Рассмотрим функцию [[Image:15-06-22.jpg]] на промежутке (-оо, 0). Пусть х1 < х2, х1 и х2 — отрицательные числа. Тогда - х1 > - х2, причем  обе части последнего неравен- ства — положительные числа, а потому [[Image:15-06-25.jpg]] (мы снова воспользовались неравенством, доказанным в примере 1 из § 33). Далее имеем [[Image:15-06-26.jpg]][[Image:15-06-27.jpg]], откуда получаем [[Image:15-06-28.jpg]] . Итак, из неравенства х1 < х2 следует, что f(x1) >f(x2)  т.е. функция убывает на открытом луче (-00, 0) Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание и убывание называют исследованием функции на монотонность. 

'''Пример'''. Построить и прочитать график функции y = f{x), где 

 

[[Image:15-06-29.jpg]] Решение. 

1) Построим график функции у = 2х2 и возьмем ветвь этой параболы при х < 0 (рис. 130). 

2) Построим график функции [[Image:15-06-30.jpg]] и выделим его часть на отрезке [0, 4] (рис. 131). 

[[Image:15-06-31.jpg]] 

 3) Построим гиперболу [[Image:15-06-32.jpg]] и выделим ее часть на открытом луче (4, + 00) (рис. 132). 4) Все три «кусочка» изобразим в одной системе координат — это и есть график функции у = f(x) (рис. 133). Прочитаем график функции у = f(x). 1. Область определения функции — вся числовая прямая. 

2. у = 0 при х = 0; у > 0 при х > 0. 

3. Функция убывает на луче (-оо, 0], возрастает на отрезке [0, 4], убывает на луче [4, + оо).

4. Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.

5. унаим. = 0 (достигается при х = 0); Yнаиб- не существует.

6. Функция непрерывна.

7. Область значений функции — луч [0, + оо).

8. Функция выпукла вниз на луче (-оо, 0], выпукла вверх на отрезке [0, 4], выпукла вниз на луче [4, + оо).

[[Image:15-06-33.jpg]] 

 

Рефераты, домашняя работа по математике [[Математика|скачать]], учебники скатать бесплатно, [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]] уроки, вопросы и ответы

 

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
''''''
Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

Исследование функций на монотонность - История изменений

User17 в 19:26, 8 октября 2012

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...