Множество рациональных чисел - История изменений

User17 в 13:23, 8 октября 2012

2012-10-08T13:23:36Z

User16 в 09:42, 14 июня 2010

2010-06-14T09:42:45Z

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

2010-06-14T09:35:07Z

Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

Новая страница

<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Множество рациональных чисел</metakeywords>

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]>>Математика:Множество рациональных чисел'''

 

'''                                 МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ''' 

 В главе 3 мы убедились в том, что, кроме рациональных чисел, существуют числа другой природы — к ним часто приводит операция извлечения квадратного корня (и не только она, просто мы с вами этого пока не знаем). Значит, нам нужно более обстоятельно познакомиться с новыми числами. Но сначала попробуем систематизировать наши знания о «старых», т. е. о рациональных, числах.

'''1. Некоторые символы математического языка ''' 

Вам хорошо известны натуральные числа: 1, 2, 3, 4, ... Множество всех натуральных чисел обычно обозначают буквой N. Если к натуральным числам присоединить число 0 и все целые отрицательные числа: -1,-2,-3,-4, ..., — то получится множество целых чисел. Это множество обычно обозначают буквой Z. Если к множеству целых чисел присоединить все обыкновенные дроби: [[Image:14-06-97.jpg]] и т. д., — то получится множество рацинальных чисел. Это множество обычно обозначают буквой Q. Любое целое число m можно записать в виде дроби [[Image:14-06-98.jpg]] , поэтому справедливо утверждение о том, что множество Q рациональных чисел — это множество,  состоящее из чисел вида [[Image:14-06-99.jpg]] Используя введенные обозначения N, Z, Q, условимся о следующем: 1. Вместо фразы «n — натуральное число» можно писать [[Image:14-06-100.jpg]] (читается: «элемент n принадлежит множеству N»), Математический символ [[Image:14-06-101.jpg]] называют знаком принадлежности. 2. Вместо фразы «m — целое число» можно писать m [[Image:14-06-101.jpg]] Z. 3. Вместо фразы «r — рациональное число» можно писать r[[Image:14-06-101.jpg]]Q. Понятно, что N — часть множества Z, а Z — часть множества Q. Для описания этой ситуации в математике также имеется специальное обозначение: [[Image:14-06-102.jpg]] Математический символ с называют знаком включения (одного множества в другое). Вообще, в математике запись х[[Image:14-06-101.jpg]] X означает, что х — один из элементов множества X. Запись [[Image:14-06-103.jpg]] означает, что множество А представляет собой часть множества В. Математики чаще говорят так: А — подмножество множества

Обратите внимание: множества в математике обычно обозначают прописными буквами, а элементы множества — строчными буквами. И еще на один момент обратите внимание: знаки принадлежности (элемент принадлежит множеству) и включения (одно множество содержится в другом) — различные, соответственно [[Image:14-06-104.jpg]] А как записать, что элемент х не принадлежит множеству X или что множество А не является частью (подмножеством) множества В? Используют те же символы, но перечеркнутые косой чертой: [[Image:14-06-105.jpg]]. Приведем несколько примеров использования введенных математических символов для сокращения записи верных математических утверждений — их называют также истинными высказываниями.

[[Image:14-06-106.jpg]] '''2. Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби'''

К рациональным числам, как мы уже не раз подчеркивали, относятся все те числа, с которыми вы успешно оперировали до тех пор, пока не встретились с квадратными корнями. Это были целые числа, обыкновенные дроби, десятичные дроби. Для всех этих чисел можно использовать один и тот же способ записи, который мы сейчас и обсудим. Рассмотрим, например, целое число 5, обыкновенную дробь [[Image:14-06-107.jpg]] и десятичную дробь 8,377. Целое число 5 можно записать в виде бесконечной десятичной дроби: 5,0000... Десятичную дробь 8,377 также можно записать в виде бесконечной десятичной дроби: 8,377000... Для числа [[Image:14-06-107.jpg]] воспользуемся методом «деления углом»:

[[Image:14-06-108.jpg]] Как видите, начиная со второй цифры после запятой происходит повторение одной и той же группы цифр: 18, 18, 18, ... . Таким образом, [[Image:14-06-107.jpg]] = 0,3181818... . Короче это записывают так: 0,3(18). Повторяющуюся группу цифр после запятой называют периодом, а саму десятичную дробь — бесконечной десятичной периодической дробью. бесконечной десятичной периодической дроби. Для этого надо в периоде записать число 0: 5 = 5,00000... = 5,(0). Так же обстоит дело и с числом 8,377: 8,377 = 8,377000... = 8,377(0). Чтобы все было аккуратно, говорят так: 8,377 — конечная десятичная дробь, а 8,377000... — бесконечная десятичная дробь. Таким образом, и число 5, и число [[Image:14-06-107.jpg]] , и число 8,377 удалось записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Вообще, любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби. 

'''''Замечание.''''' Этот вывод удобен для теории, но не очень удобен для практики. Ведь если дана конечная десятичная дробь 8,377, то зачем нужна ее запись в виде 8,377(0)? Поэтому обычно говорят так: любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконеч- ной десятичной периодической дроби. Выше мы показали, как обыкновенную дробь представляют в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Верно и обратное: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Это значит, что любая бесконечная десятичная периодическая дробь есть рациональное число. Покажем на примере, как бесконечную десятичную периодическую дробь превращают в обыкновенную дробь. 

'''Пример'''. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь: а) 1,(23); б) 1,5(23). Решение, а) Положим х = 1,(23), т. е. х = 1,232323... . Умножим х на такое число, чтобы запятая передвинулась вправо ровно на один период. Поскольку в периоде содержатся две цифры, нужно, чтобы запятая передвинулась вправо на две цифры, а для этого число х надо умножить на 100. 

Получим 

[[Image:14-06-109.jpg]] б) Положим х = 1,5(23) = 1,5232323... . Сначала умножим х на 10, чтобы в полученном произведении период начинался сразу после запятой: 10х = 15,232323... . Теперь число 10х умножим на 100 — тогда запятая сместится ровно на один период вправо: 1000х - 1523,232323... . Имеем

[[Image:14-06-110.jpg]] Теперь мы сформулируем основной результат этого параграфа: множество Q рациональных чисел можно рассматривать как множество чисел вида [[Image:14-06-111.jpg]],

где m — целое число, n — натуральное число, или как множество бесконечных десятичных периодических дробей. 

 

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], Математика в школе [[Математика|скачать]]

 

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
''''''
Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].