Обобщение понятия о показателе степени - История изменений

User17 в 10:01, 6 августа 2012

2012-08-06T10:01:50Z

User17 в 09:09, 6 августа 2012

2012-08-06T09:09:54Z

← Предыдущая		Версия 09:09, 6 августа 2012
Строка 1:		Строка 1:
-	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>~~Математика:~~ Обобщение понятия о показателе степени~~<metakeywords>Обобщение понятия о показателе степени</metakeywords>~~'''	+	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 10 класс, урок, на Тему, Обобщение понятия о показателе степени</metakeywords>
		+
		+	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>> Обобщение понятия о показателе степени'''

	<br>		<br>

-	'''§ 43. ~~ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПОКАЗАТЕЛЕ СТЕПЕНИ~~'''<br>Вы умеете вычислять значение степени с любым целочисленным показателем, руководствуясь при этом следующими определениями:	+	'''§ 43. Обобщение понятия о показателе степени'''<br>Вы умеете вычислять значение степени с любым целочисленным показателем, руководствуясь при этом следующими определениями:

	[[Image:A1092.jpg]]<br>Но математики на этом не остановились, они научились работать не только с целочисленными показателями. В этом параграфе мы обсудим, какой смысл придается в математике понятию степени с дробным показателем, т.е. выясним, что означают такие символы математического языка, как 2<sup>5</sup>, З<sup>-0'3</sup> и т.д.		[[Image:A1092.jpg]]<br>Но математики на этом не остановились, они научились работать не только с целочисленными показателями. В этом параграфе мы обсудим, какой смысл придается в математике понятию степени с дробным показателем, т.е. выясним, что означают такие символы математического языка, как 2<sup>5</sup>, З<sup>-0'3</sup> и т.д.
Строка 61:		Строка 63:
	<br>		<br>

-	<sub>~~Материалы~~ по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн~~]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика\|скачать~~]]</sub>	+	[http://xvatit.com/relax/fun-videos/ '''<sub>Видео</sub>''']<sub>по математике [[Математика\|скачать]], домашнее задание, учителям и школьникам на помощь [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]]</sub>

	'''<u>Содержание урока</u>'''		'''<u>Содержание урока</u>'''

User9 в 14:09, 6 августа 2010

2010-08-06T14:09:34Z

← Предыдущая		Версия 14:09, 6 августа 2010
Строка 25:		Строка 25:
	[[Image:A10103.jpg]]		[[Image:A10103.jpg]]

-	г) Это задание некорректно, поскольку нет определения степени с дробным показателем для случая отрицательного основания. Математики договорились возводить в дробные степени только неотрицательные числа (и это оговорено в определении). Так что запись вида [[Image:A10104.jpg]] считается в математике лишенной смысла.  <br>'''Замечание.''' Иногда приходится слышать возражения: неверно, что запись [[Image:~~a10104~~.jpg]] лишена смысла, ведь можно вычислить корень 3-й степени из числа -8; получится [[Image:~~a10105~~.jpg]] Так почему бы не считать, что	+	г) Это задание некорректно, поскольку нет определения степени с дробным показателем для случая отрицательного основания. Математики договорились возводить в дробные степени только неотрицательные числа (и это оговорено в определении). Так что запись вида [[Image:A10104.jpg]] считается в математике лишенной смысла.  <br>'''Замечание.''' Иногда приходится слышать возражения: неверно, что запись [[Image:A10104.jpg]] лишена смысла, ведь можно вычислить корень 3-й степени из числа -8; получится [[Image:A10105.jpg]] Так почему бы не считать, что

-	[[Image:~~a10106~~.jpg]]<br>Если бы математики не запретили себе возводить в дробные степени отрицательные числа, то вот с какими неприятностями пришлось бы столкнуться:	+	[[Image:A10106.jpg]]<br>Если бы математики не запретили себе возводить в дробные степени отрицательные числа, то вот с какими неприятностями пришлось бы столкнуться:

-	[[Image:~~a10107~~.jpg]]<br>Получилось «равенство» -2 = 2. Выбирая определения, математики как раз и заботятся о том, чтобы все было точно, определенно, недвусмысленно. Поэтому в определении степени с нулевым показателем а° появилось ограничение [[Image:~~a10108~~.jpg]] а в определении степени с положительным дробным показателем [[Image:~~a10109~~.jpg]]<br>Разумеется, математики не ограничились понятием степени с положительным дробным показателем, они ввели и определение степени с отрицательным дробным показателем, используя известную идею:	+	[[Image:A10107.jpg]]<br>Получилось «равенство» -2 = 2. Выбирая определения, математики как раз и заботятся о том, чтобы все было точно, определенно, недвусмысленно. Поэтому в определении степени с нулевым показателем а° появилось ограничение [[Image:A10108.jpg]] а в определении степени с положительным дробным показателем [[Image:A10109.jpg]]<br>Разумеется, математики не ограничились понятием степени с положительным дробным показателем, они ввели и определение степени с отрицательным дробным показателем, используя известную идею:

-	[[Image:~~a10110~~.jpg]]<br>Но наличие дробного показателя заставляет сделать ограничение а>0, а наличие знаменателя заставляет сделать ограничение а= 0; в итоге приходится накладывать ограничение а > 0.<br>'''Определение 2.''' Если	+	[[Image:A10110.jpg]]<br>Но наличие дробного показателя заставляет сделать ограничение а>0, а наличие знаменателя заставляет сделать ограничение а= 0; в итоге приходится накладывать ограничение а > 0.<br>'''Определение 2.''' Если

-	[[Image:~~a10111~~.jpg]]	+	[[Image:A10111.jpg]]

-	Итак, теперь мы знаем, что такое степень с любым рациональным показателем. Справедливы следующие свойства (мы считаем, что а> 0, b> 0, s и t — произвольные рациональные числа):	+	Итак, теперь мы знаем, что такое степень с любым рациональным показателем. Справедливы следующие свойства (мы считаем, что а> 0, b> 0, s и t — произвольные рациональные числа):

-	[[Image:~~a10112~~.jpg]]<br>Частичные обоснования указанных свойств были сделаны выше; этим мы и ограничимся.<br>~~5)<br><br>~~Пример 2. Упростить выражение:~~<br>X3 + у3<br>-2$Гху--Д-г~~.<br>~~V (3/УГ2<br>~~Решение.<br>1)<br>\2<br>х3 + у3<br>Г 1 Л2<br>+ 2х3 у3 +<br>V У 1 1<br>Г 1 V<br>У<br>\ У<br>= х3 + 2х3 у3 + у3.<br>2)фсу=(ху)3    =х3 у3. 1 _ . ( ^<br>3)<br>4)<br>2    ^ г<br>х3 +2х3 у3 +у3<br>= у 3.<br>11 2 2 -2д:~~3у3 -у3 =х3.<br>Ответ: х3~~.<br>Пример 3. Решить уравнения: ~~а) л/? = 1; б) 3 = 1~~.<br>Решение, а) Возведя обе части уравнения в куб, получаем:<br>х2=1, х = ±1.<br>б) Это практически то же самое уравнение, что и в п. а), но с одной существенной оговоркой: поскольку переменная х возводится в дробную степень, она, по определению, должна принимать только неотрицательные значения. Значит, из найденных выше двух значений х в качестве корня уравнения мы имеем право взять лишь значение х = 1.<br>Ответ: а) ±1; б) 1.<br>~~2<br>~~Пример 4. Решить уравнение: ~~х 3 -2х 3-8 = 0~~.<br>Решение. Введем новую переменную ~~у = х 3~~. ~~Тогда~~<br>~~\2<br>= у2.~~ Значит, получаем квадратное уравнение относительно~~<br>~~новой переменной у:<br>у2 -2у-8 = 0. Решив это уравнение, получим: уг =-2, уг =4. Теперь задача сводится к решению двух уравнений:~~<br>-1 _1 дГ3 = -2; х 3 =4~~.<br>Первое уравнение не имеет корней, поскольку (напомним еще раз) область допустимых значений для переменной х в подобных случаях ~~опреде-<br>234<br>ляется~~ условием х > 0. Решая второе уравнение, последовательно~~<br>1 л Г 1 вГ 1 Г1!' 1 находим: -т= 4; х3 =-; Ух=-\ х= -~~ ~~; =—.<br>Х1    4    4 {4) 64<br>Ответ~~: —.~~<br>64<br>~~Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или возводится в дробную степень, называют иррациональными. Первое знакомство с иррациональными уравнениями состоялось у вас в курсе алгебры 8-го класса, где встречались уравнения, содержащие переменную под знаком квадратного корня. В этой главе мы рассмотрели еще несколько примеров решения иррациональных уравнений — пример 2 из § 39, пример 2 из § 40 и примеры 3 и 4 из § 43.<br>Основные методы решения иррациональных уравнений:<br>—    метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;<br>—    метод введения новых переменных;<br>—    функционально-графический метод.<br>Если используется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, то возможно появление посторонних корней, значит, обязательна проверка всех найденных решений — об этом мы говорили и раньше, в курсе алгебры 8-го класса.	+	[[Image:A10112.jpg]]<br>Частичные обоснования указанных свойств были сделаны выше; этим мы и ограничимся.<br>'''Пример 2.''' Упростить выражение:
		+
		+	[[Image:a10113.jpg]]<br>'''Решение.'''
		+
		+	[[Image:a10114.jpg]]<br>'''Пример 3.''' Решить уравнения: [[Image:a10115.jpg]]<br>'''Решение:''' а) Возведя обе части уравнения в куб, получаем:
		+
		+	х<sup>2</sup>=1,
		+
		+	х = ±1.<br>б) Это практически то же самое уравнение, что и в п. а), но с одной существенной оговоркой: поскольку переменная х возводится в дробную степень, она, по определению, должна принимать только неотрицательные значения. Значит, из найденных выше двух значений х в качестве корня уравнения мы имеем право взять лишь значение х = 1.<br>Ответ: а) ±1; б) 1.<br>'''Пример 4.''' Решить уравнение: [[Image:a10116.jpg]]<br>'''Решение.''' Введем новую переменную [[Image:a10117.jpg]]<br>Значит, получаем квадратное уравнение относительно новой переменной у:
		+
		+	у<sup>2</sup> -2у-8 = 0.
		+
		+	Решив это уравнение, получим: у<sub>1</sub> =-2, у<sub>2</sub> =4. Теперь задача сводится к решению двух уравнений:
		+
		+	[[Image:a10118.jpg]]<br>Первое уравнение не имеет корней, поскольку (напомним еще раз) область допустимых значений для переменной х в подобных случаях определяется условием х > 0. Решая второе уравнение, последовательно  находим:
		+
		+	[[Image:a10119.jpg]]
		+
		+	Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или возводится в дробную степень, называют иррациональными. Первое знакомство с иррациональными уравнениями состоялось у вас в курсе алгебры 8-го класса, где встречались уравнения, содержащие переменную под знаком квадратного корня. В этой главе мы рассмотрели еще несколько примеров решения иррациональных уравнений — пример 2 из § 39, пример 2 из § 40 и примеры 3 и 4 из § 43.<br>Основные методы решения иррациональных уравнений:<br>—    метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;<br>—    метод введения новых переменных;<br>—    функционально-графический метод.<br>Если используется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, то возможно появление посторонних корней, значит, обязательна проверка всех найденных решений — об этом мы говорили и раньше, в курсе алгебры 8-го класса.

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9 в 13:50, 6 августа 2010

2010-08-06T13:50:12Z

← Предыдущая		Версия 13:50, 6 августа 2010
Строка 11:		Строка 11:
	[[Image:A1094.jpg]]<br>Положим [[Image:A1095.jpg]] Тогда интересующее нас равенство можно переписать в виде а<sup>5</sup>=2<sup>3</sup>, откуда получаем [[Image:A1096.jpg]] Значит, появились основания определить [[Image:A1097.jpg]]		[[Image:A1094.jpg]]<br>Положим [[Image:A1095.jpg]] Тогда интересующее нас равенство можно переписать в виде а<sup>5</sup>=2<sup>3</sup>, откуда получаем [[Image:A1096.jpg]] Значит, появились основания определить [[Image:A1097.jpg]]

-	Подобные соображения и позволили математикам принять следующее определение.<br>'''Определение 1.''' Если	+	Подобные соображения и позволили математикам принять следующее определение.<br>'''Определение 1.''' Если

-	[[Image:~~a1098~~.jpg]]	+	[[Image:A1098.jpg]]

	Самое любопытное, что введенное определение оказалось настолько удачным, что при нем сохранились все привычные свойства степеней, которые были доказаны для натуральных показателей: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, при делении — вычитаются и т.д. Пусть, например, нам нужно выполнить умножение		Самое любопытное, что введенное определение оказалось настолько удачным, что при нем сохранились все привычные свойства степеней, которые были доказаны для натуральных показателей: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, при делении — вычитаются и т.д. Пусть, например, нам нужно выполнить умножение

-	[[Image:~~a1099~~.jpg]]	+	[[Image:A1099.jpg]]

-	Поскольку складывать дроби легче, чем применять свойства радикалов, на практике предпочитают заменять радикалы степенями с дробными показателями. Для иллюстрации этого положения вернемся к примеру [[Image:~~a10100~~.jpg]] Если перейти к дробным показателям, то получим:	+	Поскольку складывать дроби легче, чем применять свойства радикалов, на практике предпочитают заменять радикалы степенями с дробными показателями. Для иллюстрации этого положения вернемся к примеру [[Image:A10100.jpg]] Если перейти к дробным показателям, то получим:

-	[[Image:~~a10101~~.jpg]]<br>Видите, насколько быстрее и проще мы получили здесь тот же результат, что и в § 42.<br>'''Пример 1. '''Вычислить: [[Image:~~a10102~~.jpg]]<br>'''Решение.'''	+	[[Image:A10101.jpg]]<br>Видите, насколько быстрее и проще мы получили здесь тот же результат, что и в § 42.<br>'''Пример 1. '''Вычислить: [[Image:A10102.jpg]]<br>'''Решение.'''

-	[[Image:~~a10103~~.jpg]]	+	[[Image:A10103.jpg]]

-	г) Это задание некорректно, поскольку нет определения степени с дробным показателем для случая отрицательного основания. Математики договорились возводить в дробные степени только неотрицательные числа (и это оговорено в определении). Так что запись вида [[Image:~~a10104~~.jpg]] считается в математике лишенной смысла.  <br>'''Замечание.''' Иногда приходится слышать возражения: неверно, что~~<br>1<br>~~запись~~(-8)3~~ лишена смысла, ведь можно вычислить корень 3-й степени из~~<br>~~числа -8; получится ~~^/(-8) =-2~~. Так почему бы не считать, что~~(-8)3 = -21~~<br>Если бы математики не запретили себе возводить в дробные степени отрицательные числа, то вот с какими неприятностями пришлось бы столкнуться:~~<br>I    2 _<br>—2 =(—8)3 =(-8)6    = ^64 =2~~.<br>Получилось «равенство» -2 = 2. Выбирая определения, математики как раз и заботятся о том, чтобы все было точно, определенно, недвусмысленно. Поэтому в определении степени с нулевым показателем а° появилось~~<br>~~ограничение а а в определении степени с положительным дробным ~~по-р<br>казателем ая появилось ограничение а>0~~.<br>Разумеется, математики не ограничились понятием степени с положительным дробным показателем, они ввели и определение степени с отрицательным дробным показателем, используя известную идею:~~<br>"7 1<br>а 4 =—~~. ~~р<br>а"~~<br>Но наличие дробного показателя заставляет сделать ограничение а>0, а наличие знаменателя заставляет сделать ограничение а* 0; в итоге приходится накладывать ограничение а > 0.<br>Определение 2. Если ~~— — обыкновенная дробь (ц * 1) и а >0, то<br>Я<br>-Е 1 пода " понимают—~~:~~<br>а"<br>- 1<br>а 4 =—, а> О~~.~~<br>а®<br>-- 11 -- 1 1 Например, 3 2 =-=-=, 7 4 = —=-— и т.д.<br>- л/3    - 4т<br>32    V»<br>~~Итак, теперь мы знаем, что такое степень с любым рациональным показателем. Справедливы следующие свойства (мы считаем, что а> 0, Ь> 0, 8 и — произвольные рациональные числа):~~<br>1    )а' а' =ам;<br>2    )а'~~:~~а' =а'"';<br>233<br>3)(а')' =а"; 4 )(аЬ)' =а'Ъ'\<br>Ъ"'~~<br>Частичные обоснования указанных свойств были сделаны выше; этим мы и ограничимся.<br>5)<br><br>Пример 2. Упростить выражение:<br>X3 + у3<br>-2$Гху--Д-г.<br>V (3/УГ2<br>Решение.<br>1)<br>\2<br>х3 + у3<br>Г 1 Л2<br>+ 2х3 у3 +<br>V У 1 1<br>Г 1 V<br>У<br>\ У<br>= х3 + 2х3 у3 + у3.<br>2)фсу=(ху)3    =х3 у3. 1 _ . ( ^<br>3)<br>4)<br>2    ^ г<br>х3 +2х3 у3 +у3<br>= у 3.<br>11 2 2 -2д:3у3 -у3 =х3.<br>Ответ: х3.<br>Пример 3. Решить уравнения: а) л/? = 1; б) 3 = 1.<br>Решение, а) Возведя обе части уравнения в куб, получаем:<br>х2=1, х = ±1.<br>б) Это практически то же самое уравнение, что и в п. а), но с одной существенной оговоркой: поскольку переменная х возводится в дробную степень, она, по определению, должна принимать только неотрицательные значения. Значит, из найденных выше двух значений х в качестве корня уравнения мы имеем право взять лишь значение х = 1.<br>Ответ: а) ±1; б) 1.<br>2<br>Пример 4. Решить уравнение: х 3 -2х 3-8 = 0.<br>Решение. Введем новую переменную у = х 3. Тогда<br>\2<br>= у2. Значит, получаем квадратное уравнение относительно<br>новой переменной у:<br>у2 -2у-8 = 0. Решив это уравнение, получим: уг =-2, уг =4. Теперь задача сводится к решению двух уравнений:<br>-1 _1 дГ3 = -2; х 3 =4.<br>Первое уравнение не имеет корней, поскольку (напомним еще раз) область допустимых значений для переменной х в подобных случаях опреде-<br>234<br>ляется условием х > 0. Решая второе уравнение, последовательно<br>1 л Г 1 вГ 1 Г1!' 1 находим: -т= 4; х3 =-; Ух=-\ х= - ; =—.<br>Х1    4    4 {4) 64<br>Ответ: —.<br>64<br>Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или возводится в дробную степень, называют иррациональными. Первое знакомство с иррациональными уравнениями состоялось у вас в курсе алгебры 8-го класса, где встречались уравнения, содержащие переменную под знаком квадратного корня. В этой главе мы рассмотрели еще несколько примеров решения иррациональных уравнений — пример 2 из § 39, пример 2 из § 40 и примеры 3 и 4 из § 43.<br>Основные методы решения иррациональных уравнений:<br>—    метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;<br>—    метод введения новых переменных;<br>—    функционально-графический метод.<br>Если используется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, то возможно появление посторонних корней, значит, обязательна проверка всех найденных решений — об этом мы говорили и раньше, в курсе алгебры 8-го класса.	+	г) Это задание некорректно, поскольку нет определения степени с дробным показателем для случая отрицательного основания. Математики договорились возводить в дробные степени только неотрицательные числа (и это оговорено в определении). Так что запись вида [[Image:A10104.jpg]] считается в математике лишенной смысла.  <br>'''Замечание.''' Иногда приходится слышать возражения: неверно, что запись [[Image:a10104.jpg]] лишена смысла, ведь можно вычислить корень 3-й степени из числа -8; получится [[Image:a10105.jpg]] Так почему бы не считать, что
		+
		+	[[Image:a10106.jpg]]<br>Если бы математики не запретили себе возводить в дробные степени отрицательные числа, то вот с какими неприятностями пришлось бы столкнуться:
		+
		+	[[Image:a10107.jpg]]<br>Получилось «равенство» -2 = 2. Выбирая определения, математики как раз и заботятся о том, чтобы все было точно, определенно, недвусмысленно. Поэтому в определении степени с нулевым показателем а° появилось ограничение [[Image:a10108.jpg]] а в определении степени с положительным дробным показателем [[Image:a10109.jpg]]<br>Разумеется, математики не ограничились понятием степени с положительным дробным показателем, они ввели и определение степени с отрицательным дробным показателем, используя известную идею:
		+
		+	[[Image:a10110.jpg]]<br>Но наличие дробного показателя заставляет сделать ограничение а>0, а наличие знаменателя заставляет сделать ограничение а= 0; в итоге приходится накладывать ограничение а > 0.<br>'''Определение 2.''' Если
		+
		+	[[Image:a10111.jpg]]
		+
		+	Итак, теперь мы знаем, что такое степень с любым рациональным показателем. Справедливы следующие свойства (мы считаем, что а> 0, b> 0, s и t — произвольные рациональные числа):
		+
		+	[[Image:a10112.jpg]]<br>Частичные обоснования указанных свойств были сделаны выше; этим мы и ограничимся.<br>5)<br><br>Пример 2. Упростить выражение:<br>X3 + у3<br>-2$Гху--Д-г.<br>V (3/УГ2<br>Решение.<br>1)<br>\2<br>х3 + у3<br>Г 1 Л2<br>+ 2х3 у3 +<br>V У 1 1<br>Г 1 V<br>У<br>\ У<br>= х3 + 2х3 у3 + у3.<br>2)фсу=(ху)3    =х3 у3. 1 _ . ( ^<br>3)<br>4)<br>2    ^ г<br>х3 +2х3 у3 +у3<br>= у 3.<br>11 2 2 -2д:3у3 -у3 =х3.<br>Ответ: х3.<br>Пример 3. Решить уравнения: а) л/? = 1; б) 3 = 1.<br>Решение, а) Возведя обе части уравнения в куб, получаем:<br>х2=1, х = ±1.<br>б) Это практически то же самое уравнение, что и в п. а), но с одной существенной оговоркой: поскольку переменная х возводится в дробную степень, она, по определению, должна принимать только неотрицательные значения. Значит, из найденных выше двух значений х в качестве корня уравнения мы имеем право взять лишь значение х = 1.<br>Ответ: а) ±1; б) 1.<br>2<br>Пример 4. Решить уравнение: х 3 -2х 3-8 = 0.<br>Решение. Введем новую переменную у = х 3. Тогда<br>\2<br>= у2. Значит, получаем квадратное уравнение относительно<br>новой переменной у:<br>у2 -2у-8 = 0. Решив это уравнение, получим: уг =-2, уг =4. Теперь задача сводится к решению двух уравнений:<br>-1 _1 дГ3 = -2; х 3 =4.<br>Первое уравнение не имеет корней, поскольку (напомним еще раз) область допустимых значений для переменной х в подобных случаях опреде-<br>234<br>ляется условием х > 0. Решая второе уравнение, последовательно<br>1 л Г 1 вГ 1 Г1!' 1 находим: -т= 4; х3 =-; Ух=-\ х= - ; =—.<br>Х1    4    4 {4) 64<br>Ответ: —.<br>64<br>Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или возводится в дробную степень, называют иррациональными. Первое знакомство с иррациональными уравнениями состоялось у вас в курсе алгебры 8-го класса, где встречались уравнения, содержащие переменную под знаком квадратного корня. В этой главе мы рассмотрели еще несколько примеров решения иррациональных уравнений — пример 2 из § 39, пример 2 из § 40 и примеры 3 и 4 из § 43.<br>Основные методы решения иррациональных уравнений:<br>—    метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;<br>—    метод введения новых переменных;<br>—    функционально-графический метод.<br>Если используется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, то возможно появление посторонних корней, значит, обязательна проверка всех найденных решений — об этом мы говорили и раньше, в курсе алгебры 8-го класса.

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9 в 13:42, 6 августа 2010

2010-08-06T13:42:13Z

Внесённые изменения

User9 в 13:34, 6 августа 2010

2010-08-06T13:34:59Z

← Предыдущая		Версия 13:34, 6 августа 2010
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Обобщение понятия о показателе степени<metakeywords>Обобщение понятия о показателе степени</metakeywords>'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Обобщение понятия о показателе степени<metakeywords>Обобщение понятия о показателе степени</metakeywords>'''
		+
		+
		+
		+	'''§ 43. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПОКАЗАТЕЛЕ СТЕПЕНИ'''<br>Вы умеете вычислять значение степени с любым целочисленным показателем, руководствуясь при этом следующими определениями:
		+
		+	[[Image:a1092.jpg]]<br>Но математики на этом не остановились, они научились работать не только с целочисленными показателями. В этом параграфе мы обсудим, какой смысл придается в математике понятию степени с дробным показателем, т.е. выясним, что означают такие символы математического языка, как 2<sup>5</sup>, З<sup>-0'3</sup> и т.д.
		+
		+	Зададимся вопросом: если вводить символ [[Image:a1093.jpg]] то каким математическим содержанием его наполнить? Хорошо бы, рассуждали математики, чтобы сохранялись привычные свойства степеней, например, чтобы при возведении степени в степень показатели перемножались, в частности, чтобы выполнялось следующее равенство:
		+
		+	[[Image:a1094.jpg]]<br>Положим [[Image:a1095.jpg]] Тогда интересующее нас равенство можно переписать в виде а<sup>5</sup>=2<sup>3</sup>, откуда получаем [[Image:a1096.jpg]] Значит, появились основания определить [[Image:a1097.jpg]]
		+
		+	Подобные соображения и позволили математикам принять следующее определение.<br>'''Определение 1.''' Если — — обыкновенная дробь(д 1)и а> 0, то под Я<br>р _<br>а" понимают л/а^, т. е.<br>а4 =Цар , а>О.<br>Л    о. __<br>Например,З2 =л/3; 74 =л/7б ит.д.<br>Самое любопытное, что введенное определение оказалось настолько удачным, что при нем сохранились все привычные свойства степеней, которые были доказаны для натуральных показателей: при умножении степеней с одинаковыми основаниями<br>показатели складываются, при делении — вычитаются и т.д. Пусть,<br>1 1<br>например, нам нужно выполнить умножение а2 а3. Поскольку<br>1 1<br>а2 =>/а, а3 =\[а, то задача сводится к умножению радикалов:<br>а а* =4а-\[а=Ча? -^[а?    а2 =а.<br>111    115 1 1 Ы<br>Итак, а2 а3 =а6. Но, между прочим, - + -= —, т.е. а2 а3 -а2 3.<br>Поскольку складывать дроби легче, чем применять свойства радикалов, на практике предпочитают заменять радикалы степенями с дробными показателями. Для иллюстрации этого положения вернемся к примеру 5аиз § 42: л/?-1^11. Если перейти к дробным показателям, то получим:<br>_ _ з и з и 31<br>Видите, насколько быстрее и проще мы получили здесь тот же результат, что и в § 42.<br>I    1 51    I<br>Пример 1. Вычислить: а)646; б)273; в)04; г)(-8)3.<br>Решение. а)646 =3/64=2.<br>2<br>б)    273 =3/27^=(3/27Уг=32=9.<br>51<br>в)    о4 =№г=/д=о.<br>г) Это задание некорректно, поскольку нет определения степени с дробным показателем для случая отрицательного основания. Математики договорились возводить в дробные степени только неотрицательные числа<br>(и это оговорено в определении). Так что запись вида (-8)3 считается в математике лишенной смысла.    <И\|<br>232<br>(<br>Замечание. Иногда приходится слышать возражения: неверно, что<br>1<br>запись(-8)3 лишена смысла, ведь можно вычислить корень 3-й степени из<br>числа -8; получится ^/(-8) =-2. Так почему бы не считать, что(-8)3 = -21<br>Если бы математики не запретили себе возводить в дробные степени отрицательные числа, то вот с какими неприятностями пришлось бы столкнуться:<br>I    2 _<br>—2 =(—8)3 =(-8)6    = ^64 =2.<br>Получилось «равенство» -2 = 2. Выбирая определения, математики как раз и заботятся о том, чтобы все было точно, определенно, недвусмысленно. Поэтому в определении степени с нулевым показателем а° появилось<br>ограничение а а в определении степени с положительным дробным по-р<br>казателем ая появилось ограничение а>0.<br>Разумеется, математики не ограничились понятием степени с положительным дробным показателем, они ввели и определение степени с отрицательным дробным показателем, используя известную идею:<br>"7 1<br>а 4 =—. р<br>а"<br>Но наличие дробного показателя заставляет сделать ограничение а>0, а наличие знаменателя заставляет сделать ограничение а 0; в итоге приходится накладывать ограничение а > 0.<br>Определение 2. Если — — обыкновенная дробь (ц * 1) и а >0, то<br>Я<br>-Е 1 пода " понимают—:<br>а"<br>- 1<br>а 4 =—, а> О.<br>а®<br>-- 11 -- 1 1 Например, 3 2 =-=-=, 7 4 = —=-— и т.д.<br>- л/3    - 4т<br>32    V»<br>Итак, теперь мы знаем, что такое степень с любым рациональным показателем. Справедливы следующие свойства (мы считаем, что а> 0, Ь> 0, 8 и — произвольные рациональные числа):<br>1    )а' а' =ам;<br>2    )а':а' =а'"';<br>233<br>3)(а')' =а"; 4 )(аЬ)' =а'Ъ'\<br>Ъ"'<br>Частичные обоснования указанных свойств были сделаны выше; этим мы и ограничимся.<br>5)<br><br>Пример 2. Упростить выражение:<br>X3 + у3<br>-2$Гху--Д-г.<br>V (3/УГ2<br>Решение.<br>1)<br>\2<br>х3 + у3<br>Г 1 Л2<br>+ 2х3 у3 +<br>V У 1 1<br>Г 1 V<br>У<br>\ У<br>= х3 + 2х3 у3 + у3.<br>2)фсу=(ху)3    =х3 у3. 1 _ . ( ^<br>3)<br>4)<br>2    ^ г<br>х3 +2х3 у3 +у3<br>= у 3.<br>11 2 2 -2д:3у3 -у3 =х3.<br>Ответ: х3.<br>Пример 3. Решить уравнения: а) л/? = 1; б) 3 = 1.<br>Решение, а) Возведя обе части уравнения в куб, получаем:<br>х2=1, х = ±1.<br>б) Это практически то же самое уравнение, что и в п. а), но с одной существенной оговоркой: поскольку переменная х возводится в дробную степень, она, по определению, должна принимать только неотрицательные значения. Значит, из найденных выше двух значений х в качестве корня уравнения мы имеем право взять лишь значение х = 1.<br>Ответ: а) ±1; б) 1.<br>2<br>Пример 4. Решить уравнение: х 3 -2х 3-8 = 0.<br>Решение. Введем новую переменную у = х 3. Тогда<br>\2<br>= у2. Значит, получаем квадратное уравнение относительно<br>новой переменной у:<br>у2 -2у-8 = 0. Решив это уравнение, получим: уг =-2, уг =4. Теперь задача сводится к решению двух уравнений:<br>-1 _1 дГ3 = -2; х 3 =4.<br>Первое уравнение не имеет корней, поскольку (напомним еще раз) область допустимых значений для переменной х в подобных случаях опреде-<br>234<br>ляется условием х > 0. Решая второе уравнение, последовательно<br>1 л Г 1 вГ 1 Г1!' 1 находим: -т= 4; х3 =-; Ух=-\ х= - ; =—.<br>Х1    4    4 {4) 64<br>Ответ: —.<br>64<br>Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или возводится в дробную степень, называют иррациональными. Первое знакомство с иррациональными уравнениями состоялось у вас в курсе алгебры 8-го класса, где встречались уравнения, содержащие переменную под знаком квадратного корня. В этой главе мы рассмотрели еще несколько примеров решения иррациональных уравнений — пример 2 из § 39, пример 2 из § 40 и примеры 3 и 4 из § 43.<br>Основные методы решения иррациональных уравнений:<br>—    метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;<br>—    метод введения новых переменных;<br>—    функционально-графический метод.<br>Если используется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, то возможно появление посторонних корней, значит, обязательна проверка всех найденных решений — об этом мы говорили и раньше, в курсе алгебры 8-го класса.

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9: Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

2010-08-06T13:26:12Z

Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]>>Математика: Обобщение понятия о показателе степени<metakeywords>Обобщение понятия о показателе степени</metakeywords>'''

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

 

Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие

Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].