User9 в 09:59, 31 июля 2010

2010-07-31T09:59:56Z

← Предыдущая		Версия 09:59, 31 июля 2010
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Определение производной<metakeywords>Определение производной</metakeywords>'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Определение производной<metakeywords>Определение производной</metakeywords>'''
		+
		+
		+
		+	''' § 32. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ'''<br>'''1. Задачи, приводящие к понятию производной'''<br>Часто бывает так, что, решая задачи, очень далекие друг от друга по содержанию, мы приходим к одной и той же математической модели. Сила математики состоит в том, что она разрабатывает способы оперирования с той или иной математической моделью, которыми потом пользуются в других областях знаний. Вы умеете работать со многими математическими моделями — уравнениями, неравенствами, системами уравнений, системами неравенств и др. В этом параграфе речь пойдет о принципиально новой для вас математической модели. Сначала рассмотрим две различные задачи, физическую и геометрическую, процесс решения которых как раз и приводит к возникновению новой математической модели.<br>'''Задача 1''' (о скорости движения). По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан формулой s=s (t), где t — время (в секундах), s (t) — положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах). Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с).<br>'''Решение.''' Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке М(рис. 114), пройдя путь от начала движения ОМ = s{t). Дадим аргументу t приращение [[Image:alga723.jpg]] и рассмотрим момент времени [[Image:alga724.jpg]] Координата материальной точки стала другой, тело в этот момент будет находиться в точке [[Image:a;ga725.jpg]]<br>Значит, за [[Image:alga723.jpg]] секунд тело переместилось из точки М в точку Р, т.е. прошло путь МР. Имеем: [[Image:alga726.jpg]]<br>Полученную разность мы назвали в § 31 приращением функции: [[Image:alga727.jpg]]
		+
		+	[[Image:alga728.jpg]]<br>Путь [[Image:alga729.jpg]] тело прошло за [[Image:alga731.jpg]] секунд. Нетрудно найти среднюю скорость [[Image:alga730.jpg]] движения тела за промежуток времени
		+
		+	[[Image:alga732.jpg]]<br>А что такое скорость v (t) в момент времени t (ее называют иногда мгновенной скоростью)? Можно сказать так: это средняя скорость движения за промежуток времени [[Image:alga733.jpg]]  выбирается все меньше и меньше; иными словами, при условии, что [[Image:alga734.jpg]]<br>Подводя итог решению задачи 1, получаем:
		+
		+	[[Image:alga735.jpg]]<br>Прежде чем сформулировать вторую задачу и приступить к ее решению, обсудим вопрос, что следует понимать под касательной к плоской кривой. Термином «касательная» мы уже пользовались (на интуитивном уровне) в курсе алгебры 7—9-го классов. Например, мы говорили, что парабола у = х<sup>2</sup> касается оси х в точке х=0 или, что то же самое, ось х является касательной к параболе у = х<sup>2</sup> в точке х=0 (рис. 115). Иделоне в том, что ось х и парабола имеют одну общую точку. Ведь ось у тоже имеет с параболой у = х<sup>2</sup> одну общую точку, однако у вас не возникнет желания назвать ось у касательной к параболе. Обычно касательную определяют следующим образом.<br>Дана кривая Ь (рис. 116), на ней выбрана точка М. Возьмем еще одну точку на кривой, причем достаточно близкую к М, — точку Р. Проведем секущую МР. Далее будем приближать точку Р по кривой Ь к точке М. Секущая МР будет изменять свое положение, она как бы поворачивается вокруг точки М. Часто бывает так, что можно обнаружить в этом процессе прямую, представляющую собой некое предельное положение секущей; эту прямую — предельное положение секущей — называют касательной к кривой Ь в точке М.
		+
		+	[[Image:alga736.jpg]]<br>Поставьте эксперимент: возьмите параболу у = х<sup>2</sup>, проведите секущую ОР, где О — вершина параболы, Р — текущая точка. Возьмите точку Р поближе к О, проведите вторую секущую. Возьмите точку Р еще ближе к О, проведите третью секущую и т.д. Вы обнаружите, что предельным положением этих секущих будет ось х — это и есть касательная к параболе в ее вершине (что соответствует нашим интуитивным представлениям).<br>'''Задача 2''' (о касательной к графику функции). Дан график функции у = f(х). На нем выбрана точка М(а; f(а)), в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.<br>'''Решение'''. Дадим аргументу приращение Ах и рассмотрим на графике (рис. 117) точку Р с абсциссой [[Image:alga737.jpg]]. Ордината точки Р равна [[Image:alga738.jpg]] Угловой коэффициент секущей МР, т.е. тангенс угла между секущей и осью х, вычисляется по формуле
		+
		+	[[Image:alga739.jpg]]<br>Если мы теперь устремим Ах к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной [[Image:alga740.jpg]]<br>Используя приведенную выше формулу для
		+
		+	[[Image:alga741.jpg]]
		+
		+	'''Замечание. '''В приведенном решении задачи 2 упущен случай, когда касательная перпендикулярна оси абсцисс (см., например, рис. 118). Уравнение такой прямой имеет вид х = а, об угловом коэффициенте говорить в этом случае некорректно, поскольку он не существует.<br>Подведем итоги. Две различные задачи привели в процессе решения к одной и той же математической модели — пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при<br>условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Многие задачи физики, химии, экономики и т.д. приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т.е.:<br>а)    присвоить ей новый термин;<br>б)    ввести для нее обозначение;<br>в)    исследовать свойства новой модели.<br>Этим мы и займемся в следующем пункте.<br>'''2. Определение производной'''<br>'''Определение 1.''' Пусть функция у =f(х) определена в конкретной точке х и в некоторой ее окрестности. Дадим аргументу х приращение f(х), такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции [[Image:alga742.jpg]] Если существует предел этого отношения при условии [[Image:alga743.jpg]] то указанный предел называют производной функции у = f(х) в точке х и обозначают f'(х).<br>Итак,<br>[[Image:alga744.jpg]]<br>Для обозначения производной часто используют символ у'.<br>Отметим, что у'=f'(х) — это новая функция, но, естественно, связанная с функцией у = f(x), определенная во всех таких точках х, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у =f(х).<br>В примере 6 § 31 мы доказали, что для линейной функции у =кх + m справедливо равенство:[[Image:alga745.jpg]]<br>Это означает, что у'=к или, подробнее,
		+
		+	[[Image:alga746.jpg]]<br>В примере 7 § 31 мы доказали, что для функции у = х<sup>2</sup> справедливо равенство [[Image:alga747.jpg]]<br>Это означает, что у'=2х или подробнее,
		+
		+	[[Image:alga748.jpg]]<br>Рассмотренные в п. 1 задачи 1 и 2 позволяют истолковать производную с физической и геометрической точек зрения.<br>Физический (механический) смысл производной состоит в следующем. Если s(t) — закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t.
		+
		+	[[Image:alga749.jpg]]<br>На практике во многих отраслях науки используется обобщение полученного равенства: если некоторый процесс протекает по закону s =s (t), то производная s'(t) выражает скорость протекания процесса в момент времени t.<br>Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой х=а можно провести касательную, непараллельную оси у, то f'(а) выражает угловой коэффициент касательной (рис. 119):
		+
		+	[[Image:alga750.jpg]]<br>Поскольку к =tga, то верно равенство f'(а) =1tg а (рис. 119).<br>А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция у = f(х) имеет производную в конкретной точке х:
		+
		+	[[Image:alga751.jpg]]<br>Это означает, что в достаточно малой окрестности точки х выполняется приближенное равенство: [[Image:alga752.jpg]]<br>Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной (в заданной точке х). Например, для функции у = х<sup>2</sup> справедливо приближенное равенство [[Image:alga753.jpg]]<br>Если внимательно прочитать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм отыскания производной. Сформулируем его.
		+
		+	[[Image:alga754.jpg]]<br>'''Пример 1.''' Найти производную постоянной функции у =С.
		+
		+	'''Решение'''. Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.<br>1)    Для фиксированного значения х имеем: f (х) = С.<br>[[Image:alga755.jpg]]<br>'''Пример 2.''' Найти производную функции [[Image:alga756.jpg]].<br>'''Решение.''' Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.<br>1)    Для фиксированного значения х (разумеется, мы полагаем, что
		+
		+	[[Image:alga757.jpg]]
		+
		+	[[Image:ga758.jpg]]
		+
		+	Если функция у = f(х) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру отыскания производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x). Эти термины имеют глубокий математический смысл, но мы говорить о них не будем (нам не хватает теоретических знаний).<br>Обсудим такой вопрос: как связаны между собой те два достаточно тонких свойства функций, которые мы обсудили в этом и в предыдущем параграфах, — непрерывность и дифференцируемость функции в точке.<br>Пусть функция у = f(х) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х, f(х)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f'(x). Но тогда<br>график не может «разрываться» в точке М, т.е. функция обязана быть непрерывной в точке х.<br>Это были рассуждения «на пальцах». Приведем несколько более строгие рассуждения. Если функция y = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство [[Image:alga759.jpg]] Если в<br>этом равенстве [[Image:alga760.jpg]] будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке (см. п. 3 в § 31).<br>Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.<br>Обратное утверждение неверно. Смотрите: функция У=\х\ непрерывна везде, в частности, в точке х =0 (рис. 120), но касательной к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производной.<br>А вот еще один пример. На рис. 121 изображен график кусочной функции у = f(х), где
		+
		+	[[Image:alga761.jpg]]<br>Функция непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х=0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х=0. Но в точке х=0 касательная совпадает с осью у, т.е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х=0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и f'(0).<br>Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируе-мостью. Формальные определения тех или иных свойств функции — дело, конечно, хорошее, но у нас всегда были приемы «считывания информации» о наличии того или иного свойства функции по ее графику. Например, если график был сплошным, мы говорили, что функция непрерывна. А как по графику сделать вывод о дифференцируемости функции?<br>Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция недифференцируема. Так, по графику функции, изображенному на рис. 122, можно сделать вывод: функция непрерывна всюду, кроме точки х =а; функция дифференцируема всюду, кроме точек х=а,х=b — здесь касательная не существует, х—с — здесь касательная параллельна оси у.

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9: Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

2010-07-31T09:01:09Z

Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]>>Математика: Определение производной<metakeywords>Определение производной</metakeywords>'''

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

 

Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие

Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

Определение производной - История изменений

User17 в 06:44, 6 августа 2012

User17 в 21:24, 5 августа 2012

User9 в 09:59, 31 июля 2010

User9: Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...