Определенный интеграл - История изменений

User17 в 08:17, 6 августа 2012

2012-08-06T08:17:25Z

User9 в 14:39, 12 августа 2010

2010-08-12T14:39:35Z

← Предыдущая		Версия 14:39, 12 августа 2010
Строка 51:		Строка 51:
	[[Image:A10518.jpg]]<br> Сопоставив этот результат с формулой (1), получим:		[[Image:A10518.jpg]]<br> Сопоставив этот результат с формулой (1), получим:

-	[[Image:A10519,jpg]]<br>Вообще, в курсе математического анализа доказана следующая теорема.	+	[[Image:A10519.jpg]]<br>Вообще, в курсе математического анализа доказана следующая теорема.

	[[Image:A10520.jpg]]<br>Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона—Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643—1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646—1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.<br>'''Замечание. '''То, что математическую формулу вывели философ и физик, никого не удивляет, ведь математика — язык, на котором говорит сама природа.<br>На практике вместо записи F(Ь)-F(а) используют запись [[Image:A10521.jpg]] (ее называют иногда двойной подстановкой) и соответственно переписывают формулу Ньютона—Лейбница в виде:		[[Image:A10520.jpg]]<br>Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона—Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643—1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646—1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.<br>'''Замечание. '''То, что математическую формулу вывели философ и физик, никого не удивляет, ведь математика — язык, на котором говорит сама природа.<br>На практике вместо записи F(Ь)-F(а) используют запись [[Image:A10521.jpg]] (ее называют иногда двойной подстановкой) и соответственно переписывают формулу Ньютона—Лейбница в виде:
Строка 97:		Строка 97:
	[[Image:A10540.jpg]]<br>Если x = 2, то у = 2<sup>2</sup> -4-2 +2 = -2. Значит, вершиной параболы служит точка (2; -2), а осью параболы — прямая x = 2. Возьмем две пары точек,		[[Image:A10540.jpg]]<br>Если x = 2, то у = 2<sup>2</sup> -4-2 +2 = -2. Значит, вершиной параболы служит точка (2; -2), а осью параболы — прямая x = 2. Возьмем две пары точек,

-	[[Image:~~a10541~~.jpg]]<br>	+	[[Image:A10541.jpg]]<br>

-	симметричных относительно оси параболы: (1; -1) и (3; -1), (0; 2) и (4; 2) и построим параболу по пяти точкам (рис. 163). Парабола и прямая пересекаются в двух точках A и B, для отыскания абсцисс этих точек надо решить уравнение х<sup>2</sup> -4х + 2 = х-2. Находим последовательно:	+	симметричных относительно оси параболы: (1; -1) и (3; -1), (0; 2) и (4; 2) и построим параболу по пяти точкам (рис. 163). Парабола и прямая пересекаются в двух точках A и B, для отыскания абсцисс этих точек надо решить уравнение х<sup>2</sup> -4х + 2 = х-2. Находим последовательно:

-	[[Image:~~a10542~~.jpg]]	+	[[Image:A10542.jpg]]

-	Фигура, площадь которой надо найти, ограничена линиями у = х<sup>2</sup> -4x + 2 (снизу) и у = x —2 (сверху). Можно считать, что с боков эта фигура ограничена прямыми x = 1 и x = 4. Значит, для вычисления площади фигуры можно применить формулу (3).	+	Фигура, площадь которой надо найти, ограничена линиями у = х<sup>2</sup> -4x + 2 (снизу) и у = x —2 (сверху). Можно считать, что с боков эта фигура ограничена прямыми x = 1 и x = 4. Значит, для вычисления площади фигуры можно применить формулу (3).

-	[[Image:~~a10543~~.jpg]]<br>Ответ: S = 4,5.<br><br>	+	[[Image:A10543.jpg]]<br>Ответ: S = 4,5.<br><br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9 в 14:08, 12 августа 2010

2010-08-12T14:08:57Z

← Предыдущая		Версия 14:08, 12 августа 2010
Строка 85:		Строка 85:
	'''4. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла'''<br>С помощью интеграла можно вычислить площади не только криволинейных трапеций того вида, который представлен на рис. 160, но и плоских фигур более сложного вида, например, такого, который представлен на рис. 161. Фигура F (рис. 161а) ограничена прямыми x =а, и графиками непрерывных функций у = f(х), у = g(х), причем на отрезке [а, Ь] выполняется неравенство g(х)<f(х). Для вычисления площади такой фигуры будем рассуждать следующим образом.		'''4. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла'''<br>С помощью интеграла можно вычислить площади не только криволинейных трапеций того вида, который представлен на рис. 160, но и плоских фигур более сложного вида, например, такого, который представлен на рис. 161. Фигура F (рис. 161а) ограничена прямыми x =а, и графиками непрерывных функций у = f(х), у = g(х), причем на отрезке [а, Ь] выполняется неравенство g(х)<f(х). Для вычисления площади такой фигуры будем рассуждать следующим образом.

-	[[Image:A10536.jpg]]<br>Выполним параллельный перенос фигуры Р на т единиц вверх (m > 0) так, чтобы фигура Р оказалась расположенной в координатной плоскости выше оси абсцисс (рис. 161 б). Теперь она ограничена сверху и снизу графиками функций у = f(х)+m, у = g(х)+m, причем обе функции непрерывны и неотрицательны на отрезке [а, Ь]. Имеем:	+	[[Image:A10536.jpg]]<br>Выполним параллельный перенос фигуры Р на т единиц вверх (m > 0) так, чтобы фигура Р оказалась расположенной в координатной плоскости выше оси абсцисс (рис. 161 б). Теперь она ограничена сверху и снизу графиками функций у = f(х)+m, у = g(х)+m, причем обе функции непрерывны и неотрицательны на отрезке [а, Ь]. Имеем:

-	[[Image:~~a10537~~.jpg]]<br>Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = Ь и графиками функций у = f(х)>v = S(х)> непрерывных на отрезке [а, Ь] и таких, что g(х)<f(х)длявсеххиз отрезка [а, Ь], вычисляется по формуле	+	[[Image:A10537.jpg]]<br>Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = Ь и графиками функций у = f(х)>v = S(х)> непрерывных на отрезке [а, Ь] и таких, что g(х)<f(х)длявсеххиз отрезка [а, Ь], вычисляется по формуле

-	[[Image:~~a10539~~.jpg]]<br>'''Пример 4. '''Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х,у = Ъ- х, x = 1, х = 2.<br>'''Решение.''' Фигура, площадь которой надо найти, изображена на рис. 162. Воспользовавшись формулой (3), получим:	+	[[Image:A10539.jpg]]<br>'''Пример 4. '''Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х,у = Ъ- х, x = 1, х = 2.<br>'''Решение.''' Фигура, площадь которой надо найти, изображена на рис. 162. Воспользовавшись формулой (3), получим:

-	[[Image:~~a10538~~.jpg]]	+	[[Image:A10538.jpg]]

-	'''Пример 5.''' Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой у-х-2 и параболой у = x2 -4x + 2.<br>'''Решение'''. Прямую у = х-2 можно построить по точкам (2; 0) и (0; -2) (рис. 163). Абсциссу вершины параболы найдем из условия у'=0. Имеем:	+	'''Пример 5.''' Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой у-х-2 и параболой у = x2 -4x + 2.<br>'''Решение'''. Прямую у = х-2 можно построить по точкам (2; 0) и (0; -2) (рис. 163). Абсциссу вершины параболы найдем из условия у'=0. Имеем:

-	[[Image:~~a10540~~.jpg]]<br>Если x = 2, то у = 2<sup>2</sup> -4-2 +2 = -2. Значит, вершиной параболы служит точка (2; -2), а осью параболы — прямая x = 2. Возьмем две пары точек,	+	[[Image:A10540.jpg]]<br>Если x = 2, то у = 2<sup>2</sup> -4-2 +2 = -2. Значит, вершиной параболы служит точка (2; -2), а осью параболы — прямая x = 2. Возьмем две пары точек,

-	<br>        у                        1 1 1            <br>    >    к                        У-        Л    <br>                                /            <br>    ч                        /                <br>        ч                /                    <br>            ч        ✓                        <br>                X                            <br>                    ч                        <br>    0    /                ч                    <br>    /        2                ч                X<br>                                к            <br>                            1111                <br>211<br>            кУ    1                                <br>                \х=2                                <br>                        у        х-4х+2                <br>                            _        х-    2        <br>                        шж                        <br>                    лз                            <br>            V У                                    <br>        0            / л                            X<br>        ?                                        <br>                                                <br>симметричных относительно оси параболы: (1; -1) и (3; -1), (0; 2) и (4; 2) и построим параболу по пяти точкам (рис. 163). Парабола и прямая пересекаются в двух точках Л и Б, для отыскания абсцисс этих точек надо решить уравнение<br>х2 -4х + 2 = х-2. Находим последовательно: ~~дс2 — 5дс + 4 =0; х1=1;х2 =4~~.~~<br>~~Фигура, площадь которой надо найти, ограничена линиями у = х2 -~~4дс~~ + 2 (снизу) и у = дс —2 (сверху). Можно считать, что с боков эта фигура ограничена прямыми дс = 1 и дс = 4. Значит, для вычисления площади фигуры можно применить формулу (3).~~<br>'б2<br>Рис. 163<br>5 = \|(( х - 2) - (х2 - 4х + 2))йх = \|(5х - х2 - 4)йх =<br>* А<br>----4дс<br>42 43 5 --—-4 4 2 3<br>I2 I3 5--—-—4 1 2 3<br>=4,5~~.<br>Ответ: 5 = 4,5.<br><br>	+	[[Image:a10541.jpg]]<br>
		+
		+	симметричных относительно оси параболы: (1; -1) и (3; -1), (0; 2) и (4; 2) и построим параболу по пяти точкам (рис. 163). Парабола и прямая пересекаются в двух точках A и B, для отыскания абсцисс этих точек надо решить уравнение х<sup>2</sup> -4х + 2 = х-2. Находим последовательно:
		+
		+	[[Image:a10542.jpg]]
		+
		+	Фигура, площадь которой надо найти, ограничена линиями у = х<sup>2</sup> -4x + 2 (снизу) и у = x —2 (сверху). Можно считать, что с боков эта фигура ограничена прямыми x = 1 и x = 4. Значит, для вычисления площади фигуры можно применить формулу (3).
		+
		+	[[Image:a10543.jpg]]<br>Ответ: S = 4,5.<br><br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс