User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

2010-06-13T13:18:30Z

Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

Новая страница

<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Основные понятия-2(8 класс)</metakeywords>

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]>>Математика:Основные понятия-2(8 класс)'''

 

'''                                                              ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ''' 

 С квадратными уравнениями мы встречались не раз, теперь настало время изучить их более детально, что мы и сделаем в этой главе.

'''Определение 1.''' Квадратным уравнением называют уравнение вида ах2 + их + с = 0, где коэффициенты а, и, с — любые действительные числа, причем 

[[Image:12-06-1.jpg]]. Коэффициенты а, b, с различают по названиям: а — первый, или старший, коэффициент; b — второй коэффициент, или коэффициент при х; с — свободный член.

'''Определение 2.'''  Квадратным уравнением называют приведенным, если его старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1. Так, уравнение 2х2 - 5x + 3 = 0 — неприведенное квадратное уравнение (старший коэффициент равен 2), а уравнение х2 + Зх - 4 = 0 — приведенное квадратное уравнение. Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения. 

'''Определение 3.''' Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля. Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b, с равен нулю. 

Обратите внимание: об ах2 речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении. 

'''Определение 4.''' Корнем квадратного уравнения ах2 + bх + + с — 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах2 + bх + с обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.

Можно сказать и так: корень квадратного уравнения ах2 + + bх + с = 0 — это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство 0 = 0. Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет.

Сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать. Рассмотрим несколько таких уравнений.

'''Пример 1.''' Решить неполные квадратные уравнения:

а) 2х2 - 7х = 0;      б)-x2 + 5x = 0;       в) х2 - 16 = 0; г) - 2x2 + 7 = 0;    д) Зх2 + 10 = 0;     е) 5x2 = 0.

Р е ш е н и е. а) Имеем

2x2 -7x = 0; x( 2x -7) = 0 Поэтому либо х = 0, либо 2х - 7 = 0, откуда находим х = 3,5. Итак, уравнение имеет два корня: х1 = 0, х2 = 3,5.

б) Имеем -x2 + 5x = 0; -х(х-5) = 0. Уравнение имеет два корня: х1 = 0, х2 = 5.

в) Имеем x2-16 = 0; x2 = 16.

Ранее, в § 15, мы уже говорили о том, что уравнение вида х2 = а, где а > 0, имеет два корня: [[Image:13-06-1.jpg]] . Значит, для уравнения х2 = 16 получаем х2 = 4, х2 = - 4 (мы учли, что [[Image:13-06-2.jpg]] = 4). Допускается более экономная запись: х1,2- ±4.

г) Имеем -2x2 + 7 = 0; 2x2=7; x2=3,5. Уравнение имеет два корня: [[Image:13-06-3.jpg]]. И в этом случае можно записать короче:[[Image:13-06-4.jpg]].

д) Имеем Так как выражение Зx2 неотрицательно при любых значениях х, то уравнение Зx2 = - 10 не имеет корней. Иными словами, нет ни одного числа, подстановка которого вместо переменной х обратила бы это уравнение в верное числовое равенство.

Иногда в таких случаях уточняют: нет действительных корней. Дело в том, что в математике, кроме действительных чисел, о которых мы впервые упомянули на с. 92, а подробнее поговорим в гл. 5, рассматриваются так называемые мнимые числа; мнимые корни у этого уравнения есть.

е) Если 5x2 = 0, то х2 = 0, откуда находим х = 0 — единственный корень уравнения.

Этот пример показывает, как решаются неполные квадратные уравнения:

1. Если уравнение имеет вид ах2 = 0, то оно имеет один корень х — 0.

2. Если уравнение имеет вид ах2 + bх = 0, то используется метод разложения на множители: х (ах + b) = 0; значит, либо х = 0, либо ах + b = 0. В итоге получаем два корня: х1 = 0; [[Image:13-06-5.jpg]] 3. Если уравнение имеет вид ах2 + с = 0, то его преобразуют к виду ах2 = - с и далее х2 = - [[Image:13-06-6.jpg]] В случае, когда — отрицательное число, уравнение х = -[[Image:13-06-6.jpg]] не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - [[Image:13-06-6.jpg]] — положительное число, т. е. - [[Image:13-06-6.jpg]] = m, где т > 0, уравнение х2 = т имеет два корня: х1 = [[Image:13-06-7.jpg]] , х2 = - [[Image:13-06-7.jpg]] (в этом случае, как мы условились выше, допускается более короткая запись:

xl,2=±[[Image:13-06-7.jpg]]. Неполное квадратное уравнение, как мы только что видели, может иметь два корня, один корень, ни одного корня. То же можно сказать и о полном квадратном уравнении. Почему?

Мы с вами знаем, что графиком функции у = ах2 + bх + с является парабола. Корнями квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 служат абсциссы точек пересечения параболы у = ах2 + bх + с с осью х. Парабола может пересекать ось х в двух точках, может касаться оси х, т. е. иметь с ней лишь одну общую точку, может вообще не пересекаться с осью х (рис. 92, а, б, в). Это значит, что квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 может иметь либо два корня, либо один корень, либо вообще не иметь корней.

 J \ / / 1 Рис. 92, б В следующем параграфе мы приведем доказательство этого утверждения, не опирающееся на иллюстрации. Конечно, неплохо знать, сколько корней имеет квадрат- ное уравнение, но еще лучше уметь находить эти корни. Если уравнение неполное, то, как мы видели выше, особых проблем не возникает. А если мы имеем полное квадратное уравнение? Ниже на примере одного такого уравнения напомним, какими способами мы пользовались до сих пор, когда приходилось встречаться с квадратным уравне- нием. Пример 2. Решить уравнение х2 - 4х + 3 = 0. Решение. I способ. Рассмотрим квадратный трехчлен хг — 4х + 3 и разложим его на множители, используя способ группировки; предварительно представим слагаемое - 4х в виде - х - Зх. Имеем 4.19. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ х2 - Ах + 3 = х2 - х - Зх + 3 = (х2 - х) - (Зх - 3) = = х (х - 1) - 3 (х - 1) = (х - 1) (х - 3). Значит, заданное уравнение можно переписать в виде (х - 1) (х - 3) = 0, откуда ясно, что уравнение имеет два корня; х1 = 1, х2 = 3; при х = 1 обращается в нуль множитель х - 1, а при х = 3 обращается в нуль множитель х - 3. II способ. Рассмотрим квадратный трехчлен х2 - 4х + 3 и разложим его на множители, используя метод выделения пол- ного квадрата; предварительно представим слагаемое 3 в виде 4-1. Имеем х2 - 4х + 3 = х2 - 4х + 4 - 1 = (х - 2J - 1. Воспользовавшись формулой разности квадратов, получим (х - 2 + 1) (х - 2 - 1) = (х - 1) (х - 3). Рассуждая, как и в I способе, находим, что х1 = 1, х2 = 3. III способ. Построим график функции у = х2 - 4х + 3, воспользовавшись алгоритмом из § 13: 1) Имеем а = 1, Ъ = - 4, х0 = - ^ = 2; у0 = =/B) = 22-4-2 + 3 = -1. Значит, вершиной параболы является точка B; -1), а осью параболы — прямая х = 2. 2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки х = 1 и х = 3. Имеем /A) = /C) = У = 0; построим на координатной плоскости точки A; 0) и C; 0). 3) Через точки A; 0), B; -1), C;0) проводим параболу (рис. 93). Корнями уравнения х2 - 4х + + 3 = 0 служат абсциссы точек пересечения параболы с осью х. Таких точек две: A; 0) и C; 0). Итак, хг = 1, х2 = 3. IV способ. Преобразуем уравнение к виду х2 = 4х - 3. Построим в одной системе Рис. 93 координат графики функций у = х2иу=4х-3 (рис. 94). Они пересекаются в точках АA; 1) и ВC; 9). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, поэтому х1 = 1, х2 = 3. V способ. Преобразуем уравнение к виду х2 + 3 = 4х. По- строим в одной системе координат графики функций у = х2 + 3 и у = 4х (рис. 95). Они пересекаются в точках А A; 4) и В C; 12). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, таким обра- VI способ. Преобразуем уравнение к виду л;2~4;с + 4-1 = 0и далее х2 - 4х + 4 = 1, т. е. (х - 2J = 1. Построим в одной системе координат параболу у = (х - 2J и прямую у = 1 (рис. 96). Они пересекаются в точках АA; 1) и ВC; 1). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, следовательно, хг = 1, л:2 = 3. VII способ. Разделив почленно обе части уравнения на х, получим 3 х- 4 +- =0 и далее i у \ \у \ \ \ \ \ \ У, Он 2 1 0 j -в / щ 1 J -ТА- S#1 /j / -34— € к. х - i - 4 = - X 3 X У ¦ ^х' \ \ \ \ \ 12' в \ 1 1 \ л -JA- Л \ \ i \ 3 4 1 Построим в одной системе координат гиперболу у = - — и прямую у = х - 4. Они пересекаются в точках А A; - 3) и В C; - 1) (рис. 97). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, значит, х1 = 1, х2 = 3. (ц У VI \ \ А у \ 1 0 \ \ =с А N 1 < :-. В -1 / / / / / А г з у = 1 У / / 1 X 0 7 / у Ла \ \ s f (^ В У / Рис. 96 Рис. 97 Итак, мы решили уравнение х2 - 4х + 3 = О семью способами. Тем не менее знание этих спо- собов не есть, как говорится, панацея от всех бед. Ведь наши успехи в решении квадратных урав- нений зависели до сих пор от наличия одного из двух благоприятных обстоятельств: 1) квадратный трехчлен удавалось разложить на множители; 2) графики, которые мы использовали для графического решения уравнения, пересека- лись в «хороших» точках. Надеяться на такие подарки судьбы математики, естествен- но, не могли. Они искали универсальный способ, пригодный для решения любых квадратных уравнений, и нашли его; о нем и пойдет речь в следующем параграфе (заметим, что этот способ мы уже упоминали в конце § 15). 

 

Планирование по математике , учебники и книги [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], курсы и задачи по математике для 8 класса [[Математика|скачать]]

 

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
''''''
Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

Основные понятия-2(8 класс) - История изменений

User17 в 10:26, 8 октября 2012

User16 в 13:43, 13 июня 2010

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...