Первообразная и неопределенный интеграл - История изменений

User17 в 08:01, 6 августа 2012

2012-08-06T08:01:52Z

User9 в 12:20, 12 августа 2010

2010-08-12T12:20:33Z

← Предыдущая		Версия 12:20, 12 августа 2010
Строка 29:		Строка 29:
	[[Image:A10460.jpg]]<br>'''Доказательство.''' 1. Пусть у = F(х) — первообразная для функции у = f(х) на промежутке X. Это значит, что для всех х из X выполняется равенство x"(х) = f(х). Найдем производную любой функции вида у = F(х)+С:<br>(F(х) +С) = F'(х) +С = f(x) +0 = f(x).<br>Итак, (F(х)+С) = f(х). Это значит, что у = F(х) +С является первообразной для функции у = f(х).<br>Таким образом, мы доказали, что если у функции у = f(х) есть первообразная у=F(х), то у функции {f = f(x) бесконечно много первообразных, например, любая функция вида у = F(х)+С является первообразной.<br>2. Докажем теперь, что указанным видом функций исчерпывается все множество первообразных.<br>Пусть у=F<sub>1</sub>(х) и у=F(х) — две первообразные для функции У = f(x)на промежутке X. Это значит, что для всех х из промежутка X выполняются соотношения: F^ (х) = f(х); F'(х) = f(х).<br>Рaсмотрим функцию у = F<sub>1</sub> (х) -.F(х) и найдем ее производную: (F, (х) -F(х))' = F[(х)-F(х) = f(х) - f(х) = 0.<br>Известно, что если производная функции на промежутке X тождественно равна нулю, то функция постоянна на промежутке X (см. теорему 3 из § 35). Значит, F<sub>1</sub>(х)-F(х) =С, т.е. Fх) = F(х)+С.<br>Теорема доказана.   <br>'''Пример 5. '''Задан закон изменения скорости от времени v = -5sin2t. Найти закон движения s = s(t), если известно, что в момент времени t=0 координата точки равнялась числу 1,5 (т.е. s(t) = 1,5).<br>'''Решение. '''Так как скорость — производная координаты как функции от времени, то нам прежде всего нужно найти первообразную от скорости, т.е. первообразную для функции v = -5sin2t. Одной из таких первообразных является функция [[Image:A10461.jpg]], а множество всех первообразных имеет вид:		[[Image:A10460.jpg]]<br>'''Доказательство.''' 1. Пусть у = F(х) — первообразная для функции у = f(х) на промежутке X. Это значит, что для всех х из X выполняется равенство x"(х) = f(х). Найдем производную любой функции вида у = F(х)+С:<br>(F(х) +С) = F'(х) +С = f(x) +0 = f(x).<br>Итак, (F(х)+С) = f(х). Это значит, что у = F(х) +С является первообразной для функции у = f(х).<br>Таким образом, мы доказали, что если у функции у = f(х) есть первообразная у=F(х), то у функции {f = f(x) бесконечно много первообразных, например, любая функция вида у = F(х)+С является первообразной.<br>2. Докажем теперь, что указанным видом функций исчерпывается все множество первообразных.<br>Пусть у=F<sub>1</sub>(х) и у=F(х) — две первообразные для функции У = f(x)на промежутке X. Это значит, что для всех х из промежутка X выполняются соотношения: F^ (х) = f(х); F'(х) = f(х).<br>Рaсмотрим функцию у = F<sub>1</sub> (х) -.F(х) и найдем ее производную: (F, (х) -F(х))' = F[(х)-F(х) = f(х) - f(х) = 0.<br>Известно, что если производная функции на промежутке X тождественно равна нулю, то функция постоянна на промежутке X (см. теорему 3 из § 35). Значит, F<sub>1</sub>(х)-F(х) =С, т.е. Fх) = F(х)+С.<br>Теорема доказана.   <br>'''Пример 5. '''Задан закон изменения скорости от времени v = -5sin2t. Найти закон движения s = s(t), если известно, что в момент времени t=0 координата точки равнялась числу 1,5 (т.е. s(t) = 1,5).<br>'''Решение. '''Так как скорость — производная координаты как функции от времени, то нам прежде всего нужно найти первообразную от скорости, т.е. первообразную для функции v = -5sin2t. Одной из таких первообразных является функция [[Image:A10461.jpg]], а множество всех первообразных имеет вид:

-	[[Image:A10462.jpg]]<br>Чтобы найти конкретное значение постоянной С, воспользуемся начальными условиями, согласно которым, s(0) = 1,5. Подставив в формулу (1) значения t=0, S = 1,5, получим:	+	[[Image:A10462.jpg]]<br>Чтобы найти конкретное значение постоянной С, воспользуемся начальными условиями, согласно которым, s(0) = 1,5. Подставив в формулу (1) значения t=0, S = 1,5, получим:

-	[[Image:~~a10463~~.jpg]]<br>Подставив найденное значение С в формулу (1), получим интересующий нас закон движения:	+	[[Image:A10463.jpg]]<br>Подставив найденное значение С в формулу (1), получим интересующий нас закон движения:

-	[[Image:~~a10464~~.jpg]]<br>'''Определение 2. '''Если функция у = f(х) имеет на промежутке X первообразную у = F(х), то множество всех первообразных, т.е. множество функций вида у = F(х) + С, называют неопределенным интегралом от функции у = f(x) и обозначают:	+	[[Image:A10464.jpg]]<br>'''Определение 2. '''Если функция у = f(х) имеет на промежутке X первообразную у = F(х), то множество всех первообразных, т.е. множество функций вида у = F(х) + С, называют неопределенным интегралом от функции у = f(x) и обозначают:

-	[[Image:~~a10465~~.jpg]]<br>(читают: «неопределенный интеграл эф от икс дэ икс»).<br>В следующем параграфе мы выясним, в чем состоит скрытый смысл указанного обозначения.<br>Опираясь на имеющуюся в этом параграфе таблицу первообразных, составим таблицу основных неопределенных интегралов:	+	[[Image:A10465.jpg]]<br>(читают: «неопределенный интеграл эф от икс дэ икс»).<br>В следующем параграфе мы выясним, в чем состоит скрытый смысл указанного обозначения.<br>Опираясь на имеющуюся в этом параграфе таблицу первообразных, составим таблицу основных неопределенных интегралов:

-	[[Image:~~a10466~~.jpg]]<br>Опираясь на приведенные выше три правила отыскания первообразных, мы можем сформулировать соответствующие правила интегрирования.<br>'''Правило 1. '''Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций:	+	[[Image:A10466.jpg]]<br>Опираясь на приведенные выше три правила отыскания первообразных, мы можем сформулировать соответствующие правила интегрирования.<br>'''Правило 1. '''Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций:

-	~~<br>\{!(х) + ё(х))йх = \Кх)йх+\ё(х)<1х~~.~~<br>~~Правило 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:<br>Правило 3. Если ~~   = 2?(х)+С, то<br>Е(кх+т)<br><br>к<br>~~Пример 6. Найти неопределенные интегралы:~~<br>а) Г(-\|=-Д- V; б)~~ [~~--в)~~ [зт2^.<br>    соз<3-^ ^<br>Решение, а) Воспользовавшись первым и вторым правилами интегрирования, получим:~~    =~~<br>Теперь воспользуемся 3-й и 4-й формулами интегрирования: В итоге получаем:~~<br>\{ з _ б ')ах=б^+-+с~~.~~<br>3{т1х х2)    X<br>~~б) Воспользовавшись третьим правилом интегрирования и формулой 8, получим:~~<br><br>2\|о.. 111 з I 3<br>соз Зх — 3<br>+ С~~.<br>в) ~~Д^я~~ непосредственного нахождения заданного интеграла у нас нет ни соответствующей формулы, ни соответствующего правила. В подобных случаях иногда помогают предварительно выполненные тождественные преобразования выражения, содержащегося под знаком интеграла.<br>Воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени: . ~~, 1-соз2х<br>31П X =-.<br>2<br>~~Тогда последовательно находим:~~<br>\|зт2хйх = —С°в2хйх = ^ \|(1 -соз2х)йх = ^ • -^ \|соз2хйх =<br>1 1 (1~~ . ~~„ ^ _ х 1<br>г +С=—■<br>= - X----81П2 +С=---81П2Х+С.    /=,<br>2 2 [2 ) 2 4    <■~~<br>~~201~~<br><br><br>	+	[[Image:a10467.jpg]]
		+
		+	'''Правило 2. '''Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
		+
		+	[[Image:a10468.jpg]]<br>'''Правило 3.''' Если
		+
		+	[[Image:a10469.jpg]]
		+
		+	'''Пример 6.''' Найти неопределенные интегралы:
		+
		+	[[Image:a10470.jpg]]<br>'''Решение''', а) Воспользовавшись первым и вторым правилами интегрирования, получим:
		+
		+	[[Image:a10471.jpg]]<br>Теперь воспользуемся 3-й и 4-й формулами интегрирования:
		+
		+	[[Image:a10472.jpg]]
		+
		+	В итоге получаем:
		+
		+	[[Image:a10473.jpg]]
		+
		+	б) Воспользовавшись третьим правилом интегрирования и формулой 8, получим:
		+
		+	[[Image:a10474.jpg]]<br>в) Для непосредственного нахождения заданного интеграла у нас нет ни соответствующей формулы, ни соответствующего правила. В подобных случаях иногда помогают предварительно выполненные тождественные преобразования выражения, содержащегося под знаком интеграла.<br>Воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени:
		+
		+	[[Image:a10475.jpg]]
		+
		+	Тогда последовательно находим:
		+
		+	[[Image:a10476.jpg]]<br><br><br><br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9 в 12:13, 12 августа 2010

2010-08-12T12:13:17Z

← Предыдущая		Версия 12:13, 12 августа 2010
Строка 25:		Строка 25:
	[[Image:A10457.jpg]]		[[Image:A10457.jpg]]

-	в) Первообразной для х<sup>7</sup> служит [[Image:~~a10458~~.jpg]] значит, для функции у=(4-5х)<sup>7</sup> первообразной будет функция [[Image:~~a10459~~.jpg]]<br>'''3. Неопределенный интеграл'''<br>Выше мы уже отмечали, что задача отыскания первообразной для заданной функции у = f(х)имеет не одно решение. Обсудим этот вопрос более детально.	+	в) Первообразной для х<sup>7</sup> служит [[Image:A10458.jpg]] значит, для функции у=(4-5х)<sup>7</sup> первообразной будет функция [[Image:A10459.jpg]]<br>'''3. Неопределенный интеграл'''<br>Выше мы уже отмечали, что задача отыскания первообразной для заданной функции у = f(х)имеет не одно решение. Обсудим этот вопрос более детально.

-	[[Image:~~a10460~~.jpg]]<br>'''Доказательство.''' 1. Пусть у = F(х) — первообразная для функции у = f(х) на промежутке X. Это значит, что для всех х из X выполняется равенство x"(х) = f(х). Найдем производную любой функции вида у = F(х)+С:<br>(F(х) +С) = F'(х) +С = f(x) +0 = f(x).<br>Итак, (F(х)+С) = f(х). Это значит, что у = F(х) +С является первообразной для функции у = f(х).<br>Таким образом, мы доказали, что если у функции у = f(х) есть первообразная у=F(х), то у функции {f = f(x) бесконечно много первообразных, например, любая функция вида у = F(х)+С является первообразной.<br>2. Докажем теперь, что указанным видом функций исчерпывается все множество первообразных.<br>Пусть у=F<sub>1</sub>(х) и у=F(х) — две первообразные для функции У = f(x)на промежутке X. Это значит, что для всех х из промежутка X выполняются соотношения: F^ (х) = f(х); F'(х) = f(х).<br>Рaсмотрим функцию у = F<sub>1</sub> (х) -.F(х) и найдем ее производную: (F, (х) -F(х))' = F[(х)-F(х) = f(х) - f(х) = 0.<br>Известно, что если производная функции на промежутке X тождественно равна нулю, то функция постоянна на промежутке X (см. теорему 3 из § 35). Значит, F<sub>1</sub>(х)-F(х) =С, т.е. Fх) = F(х)+С.<br>Теорема доказана.   <br>'''Пример 5. '''Задан закон изменения скорости от времени v = -5sin2t. Найти закон движения s = s(t), если известно, что в момент времени t=0 координата точки равнялась числу 1,5 (т.е. s(t) = 1,5).<br>'''Решение. '''Так как скорость — производная координаты как функции от времени, то нам прежде всего нужно найти первообразную от скорости, т.е. первообразную для функции v = -5sin2t. Одной из таких первообразных является функция [[Image:~~a10461~~.jpg]], а множество всех первообразных имеет вид:	+	[[Image:A10460.jpg]]<br>'''Доказательство.''' 1. Пусть у = F(х) — первообразная для функции у = f(х) на промежутке X. Это значит, что для всех х из X выполняется равенство x"(х) = f(х). Найдем производную любой функции вида у = F(х)+С:<br>(F(х) +С) = F'(х) +С = f(x) +0 = f(x).<br>Итак, (F(х)+С) = f(х). Это значит, что у = F(х) +С является первообразной для функции у = f(х).<br>Таким образом, мы доказали, что если у функции у = f(х) есть первообразная у=F(х), то у функции {f = f(x) бесконечно много первообразных, например, любая функция вида у = F(х)+С является первообразной.<br>2. Докажем теперь, что указанным видом функций исчерпывается все множество первообразных.<br>Пусть у=F<sub>1</sub>(х) и у=F(х) — две первообразные для функции У = f(x)на промежутке X. Это значит, что для всех х из промежутка X выполняются соотношения: F^ (х) = f(х); F'(х) = f(х).<br>Рaсмотрим функцию у = F<sub>1</sub> (х) -.F(х) и найдем ее производную: (F, (х) -F(х))' = F[(х)-F(х) = f(х) - f(х) = 0.<br>Известно, что если производная функции на промежутке X тождественно равна нулю, то функция постоянна на промежутке X (см. теорему 3 из § 35). Значит, F<sub>1</sub>(х)-F(х) =С, т.е. Fх) = F(х)+С.<br>Теорема доказана.   <br>'''Пример 5. '''Задан закон изменения скорости от времени v = -5sin2t. Найти закон движения s = s(t), если известно, что в момент времени t=0 координата точки равнялась числу 1,5 (т.е. s(t) = 1,5).<br>'''Решение. '''Так как скорость — производная координаты как функции от времени, то нам прежде всего нужно найти первообразную от скорости, т.е. первообразную для функции v = -5sin2t. Одной из таких первообразных является функция [[Image:A10461.jpg]], а множество всех первообразных имеет вид:

-	[[Image:~~a10462~~.jpg]]<br>Чтобы найти конкретное значение постоянной С, воспользуемся начальными условиями, согласно которым, 8(0) = 1,5. Подставив в формулу (1) значения ~~<~~=0, 8 = 1,5, получим:~~<br>1,5 = 2,5 соз0 + С,<br>1,5 = 2,5 +С,<br>С = -1~~.<br>Подставив найденное значение С в формулу (1), получим интересующий нас закон движения:~~<br>8 = 2,5соз2<-1~~.~~    <■~~<br>Определение 2. Если функция у = Дх) имеет на промежутке ~~Xпервообразную~~ у = Р(х), то множество всех первообразных, т.е. множество функций вида у = Р(х) + С, называют неопределенным интегралом от функции у = и обозначают:~~<br>1цх)с1х~~<br>(читают: «неопределенный интеграл эф от икс дэ икс»).<br>В следующем параграфе мы выясним, в чем состоит скрытый смысл указанного обозначения.<br>Опираясь на имеющуюся в этом параграфе таблицу первообразных, составим таблицу основных неопределенных интегралов:~~<br>\|йх = х + С~~.<br>г    "+1<br>\хп(1х = -—+С,(пеЛГ). }_/1 + 1_<br>_3 ХГ X_<br>\|^ = 2 4~х+С.<br>181П хЛх = -соз х + С. \|соз хйх = 81П Х+С.<br>+ С.<br>' 31П X<br>г ах    _<br>)-т- = х% х+С. } соа х<br>200<br>Опираясь на приведенные выше три правила отыскания первообразных, мы можем сформулировать соответствующие правила интегрирования.<br>Правило 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций:<br>\{!(х) + ё(х))йх = \Кх)йх+\ё(х)<1х.<br>Правило 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:<br>Правило 3. Если    = 2?(х)+С, то<br>Е(кх+т)<br><br>к<br>Пример 6. Найти неопределенные интегралы:<br>а) Г(-\|=-Д- V; б) [--в) [зт2^.<br>*    соз<3-^ ^<br>Решение, а) Воспользовавшись первым и вторым правилами интегрирования, получим:    =<br>Теперь воспользуемся 3-й и 4-й формулами интегрирования: В итоге получаем:<br>\{ з _ б ')ах=б^+-+с.<br>3{т1х х2)    X<br>б) Воспользовавшись третьим правилом интегрирования и формулой 8, получим:<br><br>2\|о.. 111 з I 3<br>соз Зх — 3<br>+ С.<br>в) Д^я непосредственного нахождения заданного интеграла у нас нет ни соответствующей формулы, ни соответствующего правила. В подобных случаях иногда помогают предварительно выполненные тождественные преобразования выражения, содержащегося под знаком интеграла.<br>Воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени: . , 1-соз2х<br>31П X =-.<br>2<br>Тогда последовательно находим:<br>\|зт2хйх = —С°в2хйх = ^ \|(1 -соз2х)йх = ^ • -^ \|соз2хйх =<br>1 1 (1 . „ ^ _ х 1<br>г +С=—■<br>= - X----81П2 +С=---81П2Х+С.    /=,<br>2 2 [2 ) 2 4    <■<br>201<br><br><br>	+	[[Image:A10462.jpg]]<br>Чтобы найти конкретное значение постоянной С, воспользуемся начальными условиями, согласно которым, s(0) = 1,5. Подставив в формулу (1) значения t=0, S = 1,5, получим:
		+
		+	[[Image:a10463.jpg]]<br>Подставив найденное значение С в формулу (1), получим интересующий нас закон движения:
		+
		+	[[Image:a10464.jpg]]<br>'''Определение 2. '''Если функция у = f(х) имеет на промежутке X первообразную у = F(х), то множество всех первообразных, т.е. множество функций вида у = F(х) + С, называют неопределенным интегралом от функции у = f(x) и обозначают:
		+
		+	[[Image:a10465.jpg]]<br>(читают: «неопределенный интеграл эф от икс дэ икс»).<br>В следующем параграфе мы выясним, в чем состоит скрытый смысл указанного обозначения.<br>Опираясь на имеющуюся в этом параграфе таблицу первообразных, составим таблицу основных неопределенных интегралов:
		+
		+	[[Image:a10466.jpg]]<br>Опираясь на приведенные выше три правила отыскания первообразных, мы можем сформулировать соответствующие правила интегрирования.<br>'''Правило 1. '''Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций:
		+
		+	<br>\{!(х) + ё(х))йх = \Кх)йх+\ё(х)<1х.<br>Правило 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:<br>Правило 3. Если    = 2?(х)+С, то<br>Е(кх+т)<br><br>к<br>Пример 6. Найти неопределенные интегралы:<br>а) Г(-\|=-Д- V; б) [--в) [зт2^.<br>    соз<3-^ ^<br>Решение, а) Воспользовавшись первым и вторым правилами интегрирования, получим:    =<br>Теперь воспользуемся 3-й и 4-й формулами интегрирования: В итоге получаем:<br>\{ з _ б ')ах=б^+-+с.<br>3{т1х х2)    X<br>б) Воспользовавшись третьим правилом интегрирования и формулой 8, получим:<br><br>2\|о.. 111 з I 3<br>соз Зх — 3<br>+ С.<br>в) Д^я непосредственного нахождения заданного интеграла у нас нет ни соответствующей формулы, ни соответствующего правила. В подобных случаях иногда помогают предварительно выполненные тождественные преобразования выражения, содержащегося под знаком интеграла.<br>Воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени: . , 1-соз2х<br>31П X =-.<br>2<br>Тогда последовательно находим:<br>\|зт2хйх = —С°в2хйх = ^ \|(1 -соз2х)йх = ^ • -^ \|соз2хйх =<br>1 1 (1 . „ ^ _ х 1<br>г +С=—■<br>= - X----81П2 +С=---81П2Х+С.    /=,<br>2 2 [2 ) 2 4    <■<br>201<br><br><br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9 в 12:09, 12 августа 2010

2010-08-12T12:09:06Z

Внесённые изменения

User9 в 12:00, 12 августа 2010

2010-08-12T12:00:09Z

Внесённые изменения

User9 в 11:51, 12 августа 2010

2010-08-12T11:51:41Z

Внесённые изменения

User9 в 11:43, 12 августа 2010

2010-08-12T11:43:40Z

Внесённые изменения

User9 в 11:40, 12 августа 2010

2010-08-12T11:40:12Z

Внесённые изменения

User9 в 11:23, 12 августа 2010

2010-08-12T11:23:49Z

← Предыдущая		Версия 11:23, 12 августа 2010
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Первообразная и неопределенный интеграл<metakeywords>Первообразная и неопределенный интеграл</metakeywords>'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Первообразная и неопределенный интеграл<metakeywords>Первообразная и неопределенный интеграл</metakeywords>'''
		+
		+	<br>'''§ 37. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ'''<br>'''1. Первообразная'''<br>В предыдущих параграфах мы по заданной функции, руководствуясь различными формулами и правилами, находили ее производную. Мы убедились в том, что производная имеет многочисленные применения: производная — это скорость движения (или, обобщая, скорость протекания любого процесса); производная — это угловой коэффициент касательной к графику функции; с помощью производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы; производная помогает решать задачи на оптимизацию.<br>Но в реальной жизни приходится решать и обратные задачи: например, наряду с задачей об отыскании скорости по известному закону движения встречается и задача о восстановлении закона движения по известной скорости. Рассмотрим одну из таких задач.<br>'''Пример 1. '''По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой u = tg. Найти закон движения.<br>'''Решение. '''Пусть s = s(t) — искомый закон движения. Известно, что s'(t) = u"(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию s = s(t), производная которой равна tg. Нетрудно догадаться, что
		+
		+	[[Image:a10430.jpg]]
		+
		+	Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получили, что [[Image:a10431.jpg]] На самом деле, задача имеет бесконечно много решений: любая функция вида [[Image:a10432.jpg]] произвольная константа, может служить законом движения, поскольку
		+
		+
		+
		+	194<br>(«е Л    =    \иг)    +С<br>2 V V        2 \ V    <br><br>Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся точки в какой-либо момент времени, например, при I=0. Если, ска-<br>Ж2<br>жем, 8(0) = 80, то из равенства 8(1) =-+С получаем 8(0) = 0+С, т.е.<br>2<br>80 = С. Теперь закон движения определен однозначно: 8 = 5— + 80.<br>2<br>В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения: например, возведение в квадрат (х2) и извлечение квадратного корня (л/х); синус(з1пх) и арксинус (агсзт х) и т.д. Процесс отыскания производной по заданной функции называют дифференцированием, а обратную операцию, т.е. процесс отыскания функции по заданной производной — интегрированием.<br>Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция у - /(х) «производит на свет» новую функцию у'= /'(*)• Функция у = /(х) выступает как бы в качестве «родителя», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем», они говорят, что это, по отношению к функции у'=Т'(х), первичный образ, или, короче, первообразная.<br>Определение 1. Функцию у = Р(х) называют первообразной для функции у = Цх) на заданном промежутке X, если для всех х из X выполняется равенство Р'(х)=Цх).<br>На практике промежуток X обычно не указывают, но подразумевают ( в качестве естественной области определения функции).<br>Приведем примеры:<br>1) Функция у = х2 является первообразной для функции у = 2х, поскольку для всех х справедливо равенство (х2)' =2х.<br>2функция у — х3 является первообразной для функции у-Зх2, поскольку для всех х справедливо равенство (х3)' = Зх2.<br>3)    Функция у-81пх является первообразной для функции у=соах, поскольку для всех х справедливо равенство (атх)' =соах.<br>4)    Функция у =<br>являетс
		+
		+	я первообразной для функции у = ——<br>24Х<br>на промежутке (0, поскольку для всех х > 0 справедливо равенство (-1х)'=—.<br>2 4х<br>195<br>Вообще, зная формулы для отыскания производных, нетрудно составить таблицу формул для отыскания первообразных.<br>Функция у = Л)    Первообразная у = Р(х)<br>0    С<br>1    x<br>    х2<br>    2<br>х'ЧпеЛГ)    71+1<br>1    1<br>2    x<br>1 ^    24х (при х>0)<br>зтх    -соз л:<br>соз л:    31пх<br>1 81п2 x    -С18<br>1 с082 x    18<br>Надеемся, вы поняли, как составлена эта таблица: производная функции, которая записана во втором столбце, равна той функции, которая записана в соответствующей строке первого столбца (проверьте, не поленитесь, это очень полезно). Например, для функции<br>6<br>у = х первообразной, как вы установите, служит функция у = —<br>6<br>(см. четвертую строку таблицы).<br>Замечания: 1. Ниже мы докажем теорему о том, что если у = Р(х) — первообразная для функции у = {(х), то у функции у = /(х)бесконечно много первообразных и все они имеют вид у = Р(х) + С. Поэтому правильней было бы во втором столбце таблицы всюду добавить слагаемое С, где С — произвольное действительное число.<br>2. Ради краткости иногда вместо фразы «функция у = Р(х) является первообразной для функции I/ = /()», говорят Р(х) — первообразная для /()».<br>196<br>2. Правила отыскания первообразных<br>При отыскании первообразных, как и при отыскании производных, используются не только формулы (они указаны в таблице на с. 196), но и некоторые правила. Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных.<br>Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Это правило порождает соответствующее правило отыскания первообразных.<br>Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.<br>Обращаем ваше внимание на некоторую «легковесность» этой формулировки. На самом деле следовало бы сформулировать теорему: если функции у = /(х) и у=ё{х) имеют на промежутке X первообразные, соответственно у-Р(х) и у-СЦх), то и сумма функций у = /(х)+§(х) имеет на промежутке X первообразную, причем этой первообразной является функция у = Р(х)+С(х). Но обычно, формулируя правила (а не теоремы), оставляют только ключевые слова — так удобнее для применения правила на практике<br>Пример 2. Найти первообразную для функции у = 2х + соз х.<br>Решение. Первообразной для 2х служит х'; первообразной для созх служит зш х. Значит, первообразной для функции у=2х + соз х будет служить функция у = х2 + зш х (и вообще любая функция вида У = хг + 81пх + С).    <■<br>Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Это правило порождает соответствующее правило отыскания первообразных.<br>Правило 2. Постоянный множитель можно вынести за знак первообразной.<br>Пример 3. Найти первообразные для заданных функций:<br>соз x<br>а)у    = 5зтх; б )у =--; в) у = 12х3 +8х-1.<br>3<br>Ре ш е н и е. а) Первообразной для зт х служит -соз х; значит, для функцииу = 5 зт х первообразной будет функция у = -5соз х.<br>б)    Первообразной для соз ж служит зтж; значит, для функции<br>у = —соз х первообразной будет функция у = — зт х.<br>3    3<br>х4    х2<br>в)    Первообразной для х3 служит —; первообразной для х служит —;<br>первообразной для функции у = 1 служит функция у = х. Используя первое и второе правила отыскания первообразных, получим, что первообразной<br>х4 хг<br>для функции у = \2хъ + 8х-1 служит функция у = 12- —+ 8- —-х, т.е. у=3х* +4х2 -х.    <Ц<br>197<br>Замечание. Как известно, производная произведения не равна произведению производных (правило дифференцирования произведения более сложное) и производная частного не равна частному от производных. Поэтому нет и правил для отыскания первообразной от произведения или первообразной от частного двух функций. Будьте внимательны!<br>Получим еще одно правило отыскания первообразных. Мы знаем, что производная функции у = Цкх+т) вычисляется по формуле<br>(Г(кх+т))' = кГ(кх+т).<br>Это правило порождает соответствующее правило отыскания первообразных.<br>Правило 3. Если у = Р(х) — первообразная для функции у = {(х), то первообразной для функции у={(кх+т) служит функция<br>у=—Е(кх+т\ к<br>В самом деле,<br>(±Е(кх+т)] =кПкХ+тКНкх+т). {к ; к<br>Это и означает, что у =—Р(кх+т) является первообразной для<br>к<br>функции у = {(кх+т).    •<br>Смысл третьего правила заключается в следующем. Если вы знаете, что первообразной для функции у = 1(х) является функция у = Р(х),а.вам нужно найти первообразную функции у = {(кх+т), то действуйте так: берите ту же самую функцию Р, но вместо аргумента х подставьте выражение кх+т; кроме того, не забудьте перед<br>знаком функции записать «поправочный множитель» —.<br>к<br>Пример 4. Найти первообразные для заданных функций:<br>а) у = вт2х; б) у=сов—; в) у=(4-5х)7. 3<br>Решение, а) Первообразной для зт х служит -соз х; значит, для функции у = 81п2х первообразной будет функция у=—■ (~соз2х), т.е. функция<br>2<br>соз 2<br>б) Первообразной для соз х служит зт х; значит, для функции у=соз—<br>3<br>л:    1    1<br>первообразной будет функция у=3зш—; здесь к = ~, значит, -=3.<br>3    3    к<br>198<br>X<br>в) Первообразной для х7 служит —; значит, для функции у=(4-5х)7<br>первообразной будет функция У =    ^^ . т.е. функция<br>5 8<br>„ = -±.(4-5^)».    <Ц<br>У 40 1<br>3. Неопределенный интеграл<br>Выше мы уже отмечали, что задача отыскания первообразной для заданной функции у = /(х)имеет не одно решение. Обсудим этот вопрос более детально.<br>Теорема. Если у=Р(х) — первообразная для функции у = /() на промежутке X, то у функции у = /() бесконечно много первообразных и все они имеют вид у = Р(х)+С.<br>Доказательство. 1. Пусть у = Р(х) — первообразная для функции у = /(х) на промежутке X. Это значит, что для всех х из X выполняется равенство "(х) = /(х). Найдем производную любой функции вида у = Р(х)+С:<br>(Р(х) +С) = Р'(х) +С = /() +0 = /().<br>Г<br>Итак, (.Р(х)+С) = /(х). Это значит, что у = Р(х) +С является первообразной для функции у = /(х).<br>Таким образом, мы доказали, что если у функции у = /(х) есть первообразная у=Р(х), то у функции {/ = /() бесконечно много первообразных, например, любая функция вида у = Р(х)+С является первообразной.<br>2. Докажем теперь, что указанным видом функций исчерпывается все множество первообразных.<br>Пусть у=Рг(х) и у=Р(х) — две первообразные для функции У = /()на промежутке X. Это значит, что для всех х из промежутка X выполняются соотношения: Р^ (х) = /(х); Р'(х) = /(х).<br>Р^смотрим функцию у = Р1 (х) -.Р(х) и найдем ее производную: (Р, (х) -Р(х))' = Р[(х)-Р\х) = /(х) - /(х) = 0.<br>Известно, что если производная функции на промежутке X тождественно равна нулю, то функция постоянна на промежутке X (см. теорему 3 из § 35). Значит, Р1(х)-Р(х) =С, т.е. ^(х) = Р(х)+С.<br>Теорема доказана.    •<br>Пример 5. Задан закон изменения скорости от времени V = -5зт22. Найти закон движения 8 = 8(2), если известно, что в момент времени 2=0 координата точки равнялась числу 1,5 (т.е. 8(0) = 1,5).<br>Решение. Так как скорость — производная координаты как функции от времени, то нам прежде всего нужно найти первообразную от скорости,<br>199<br>т.е. первообразную для функции V = -5зт2/. Одной из таких первообразных является функция 8 =-5 — (-соз2<), т.е. 8 =2,5соз2/, а множество всех<br>2<br>первообразных имеет вид:<br>8 = 2,5соз 21+ С.    (1)<br>Чтобы найти конкретное значение постоянной С, воспользуемся начальными условиями, согласно которым, 8(0) = 1,5. Подставив в формулу (1) значения <=0, 8 = 1,5, получим:<br>1,5 = 2,5 соз0 + С,<br>1,5 = 2,5 +С,<br>С = -1.<br>Подставив найденное значение С в формулу (1), получим интересующий нас закон движения:<br>8 = 2,5соз2<-1.    <■<br>Определение 2. Если функция у = Дх) имеет на промежутке Xпервообразную у = Р(х), то множество всех первообразных, т.е. множество функций вида у = Р(х) + С, называют неопределенным интегралом от функции у = и обозначают:<br>1цх)с1х<br>(читают: «неопределенный интеграл эф от икс дэ икс»).<br>В следующем параграфе мы выясним, в чем состоит скрытый смысл указанного обозначения.<br>Опираясь на имеющуюся в этом параграфе таблицу первообразных, составим таблицу основных неопределенных интегралов:<br>\|йх = х + С.<br>г    "+1<br>\хп(1х = -—+С,(пеЛГ). }_/1 + 1_<br>_3 ХГ X_<br>\|^ = 2 4~х+С.<br>181П хЛх = -соз х + С. \|соз хйх = 81П Х+С.<br>+ С.<br>' 31П X<br>г ах    _<br>)-т- = х% х+С. } соа х<br>200<br>Опираясь на приведенные выше три правила отыскания первообразных, мы можем сформулировать соответствующие правила интегрирования.<br>Правило 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций:<br>\{!(х) + ё(х))йх = \Кх)йх+\ё(х)<1х.<br>Правило 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:<br>Правило 3. Если    = 2?(х)+С, то<br>Е(кх+т)<br><br>к<br>Пример 6. Найти неопределенные интегралы:<br>а) Г(-\|=-Д- V; б) [--в) [зт2^.<br>    соз<3-^ ^<br>Решение, а) Воспользовавшись первым и вторым правилами интегрирования, получим:    =<br>Теперь воспользуемся 3-й и 4-й формулами интегрирования: В итоге получаем:<br>\{ з _ б ')ах=б^+-+с.<br>3{т1х х2)    X<br>б) Воспользовавшись третьим правилом интегрирования и формулой 8, получим:<br><br>2\|о.. 111 з I 3<br>соз Зх — 3<br>+ С.<br>в) Д^я непосредственного нахождения заданного интеграла у нас нет ни соответствующей формулы, ни соответствующего правила. В подобных случаях иногда помогают предварительно выполненные тождественные преобразования выражения, содержащегося под знаком интеграла.<br>Воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени: . , 1-соз2х<br>31П X =-.<br>2<br>Тогда последовательно находим:<br>\|зт2хйх = —С°в2хйх = ^ \|(1 -соз2х)йх = ^ • -^ \|соз2хйх =<br>1 1 (1 . „ ^ _ х 1<br>г +С=—■<br>= - X----81П2 +С=---81П2Х+С.    /=,<br>2 2 [2 ) 2 4    <■<br>201<br><br><br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9: Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

2010-07-31T13:45:51Z

Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]>>Математика: Первообразная и неопределенный интеграл<metakeywords>Первообразная и неопределенный интеграл</metakeywords>'''

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

 

Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие

Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].