Первые представления о решении тригонометрических уравнений - История изменений

User17 в 19:49, 5 августа 2012

2012-08-05T19:49:13Z

User9 в 08:14, 9 июля 2010

2010-07-09T08:14:03Z

← Предыдущая		Версия 08:14, 9 июля 2010
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Первые представления о решении тригонометрических уравнений<metakeywords>Первые представления о решении тригонометрических уравнений</metakeywords>'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Первые представления о решении тригонометрических уравнений<metakeywords>Первые представления о решении тригонометрических уравнений</metakeywords>'''

		+	<br>

		+	'''§16. ПЕРВЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О РЕШЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ'''<br>В главе 1 мы научились решать некоторые тригонометрические уравнения вида [[Image:Alga21.jpg]] где а — действительное число. Например, мы знаем, что уравнения sin t = а и соs t =а не имеют решений, если а < -1 или а > 1, поскольку область значений функции s = sin t, равно как и функции s= соs t, есть отрезок [-1,1].<br>Напомним, как мы решали тригонометрические уравнения.<br>'''Пример 1.''' Решить уравнения:[[Image:Alga22.jpg]]<br>'''Решение:''' а) Используем геометрическую модель — числовую окружность на координатной плоскости (рис. 69). Отметим на окружности точки М и Р с абсциссой [[Image:Alga23.jpg]] (они лежат на прямой

-	'''§16. ПЕРВЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О РЕШЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ'''<br>В главе 1 мы научились решать некоторые тригонометрические уравнения вида [[Image:~~alga21~~.jpg]] где а — действительное число. Например, мы знаем, что уравнения sin t = а и соs t =а не имеют решений, если а < -1 или а > 1, поскольку область значений функции s = sin t, равно как и функции s= соs t, есть отрезок [-1,1].<br>~~Напомним, как мы решали тригонометрические уравнения.<br>'''Пример 1.''' Решить~~ уравнения:[[Image:alga22.jpg]]<br>'''Решение:''' а) Используем геометрическую модель — числовую окружность на координатной плоскости (рис. 69). Отметим на окружности точки М и Р с абсциссой [[Image:alga23.jpg]] (они лежат на прямой	+	[[Image:Alga24.jpg]]<br>В итоге получаем две серии решений уравнения:

-	[[Image:~~alga24~~.jpg]]<br>~~В итоге получаем две серии решений уравнения~~:	+	[[Image:Alga25.jpg]]<br>Обобщая, зто можно записать так:

-	[[Image:~~alga25~~.jpg]]~~<br>Обобщая, зто можно записать так:~~	+	[[Image:Alga26.jpg]]

-	[[Image:~~alga26~~.jpg]]	+	[[Image:Alga28.jpg]]<br>б) Используем геометрическую модель — числовую окружность на координатной плоскости (рис. 70). Отметим на окружности точки М и Р с ординатой -[[Image:Alga27.jpg]] Точка М соответствует значению —, т.е. всем числам вида [[Image:Alga29.jpg]] Точка Р соответствует значению —[[Image:Alga210.jpg]]

-	[[Image:~~alga28~~.jpg]]<br>~~б) Используем геометрическую модель — числовую окружность на координатной плоскости (рис~~. ~~70). Отметим на окружности точки М~~ и ~~Р с ординатой -~~[[Image:~~alga27~~.jpg]] ~~Точка М соответствует значению —~~, т.~~е. всем числам~~ вида [[Image:~~alga29~~.jpg]] ~~Точка Р соответствует значению —~~[[Image:~~alga210~~.jpg]]	+	[[Image:Alga211.jpg]]<br>В итоге получаем две серии решений уравнения: [[Image:Alga212.jpg]]<br>Решали мы и некоторые уравнения вида tg x =a, сtg х=а, используя для этого графики функций у = tg x, y = ctg x.  Так, в § 15 мы, решив уравнение [[Image:Alga213.jpg]]<br>Впрочем, и уравнения вида sin  х=а, соз х =а тоже можно решать графическим методом.<br>А как вы считаете, любое ли уравнение вида [[Image:Alga214.jpg]] можно решить графически или с помощью числовой окружности? Для ответа на этот вопрос рассмотрим пример.<br>'''Пример 2.''' Решить уравнения: [[Image:Alga215.jpg]]<br>'''Решение:''' а) Нам нужно найти на числовой окружности точки с абсциссой 0,4 и записать, каким числам X они соответствуют. Абсциссу 0,4 имеют точки МиР (рис. 71), но каким числам X они соответствуют, мы не знаем. Решить это тригонометрическое уравнений мы пока не можем, ■<br>б) Нам нужно найти на числовой окружности точки с ординатой - 0,3 и записать, каким числам X они соответствуют. Ординату - 0,3 имеют точки ЬиИ (рис. 71), но каким числам X они соответствуют, мы не знаем. Решить это тригонометрическое уравнение мы тоже пока не можем.<br>в) Графики функций у = tg х и у = 2 имеют бесконечно много общих точек, абсциссы всех этих точек имеют вид [[Image:Alga216.jpg]] абсцисса точки пересечения прямой у =2 с главной ветвью тангенсоиды (рис. 72). Но что это за число х0, мы не знаем. Так что и тригонометрическое уравнение х = 2 мы пока решить не можем.

-	[[Image:~~alga211~~.jpg]]<br>~~В итоге получаем две серии решений уравнения: [[Image:alga212~~.~~jpg]]~~<br>~~Решали~~ мы ~~и некоторые уравнения вида tg x =a, сtg х=а, используя для этого графики функций у = tg x, y = ctg x.  Так,~~ в ~~§ 15 мы, решив~~ уравнение~~ [[Image:alga213.jpg]]<br>Впрочем, и уравнения~~ вида sin~~  х~~=а, ~~соз х~~ =а тоже можно решать графическим методом.<br>А как вы считаете, любое ли уравнение вида [[Image:alga214.jpg]] можно решить графически или с помощью числовой окружности? Для ответа на этот вопрос рассмотрим пример.<br>'''Пример 2.''' Решить уравнения: [[Image:alga215.jpg]]<br>'''Решение:''' а) Нам нужно найти на числовой окружности точки с абсциссой 0,4 и записать, каким числам X они соответствуют. Абсциссу 0,4 имеют точки МиР (рис. 71), но каким числам X они соответствуют, мы не знаем. Решить это тригонометрическое уравнений мы пока не можем, ■<br>б) Нам нужно найти на числовой окружности точки с ординатой - 0,3 и записать, каким числам X они соответствуют. Ординату - 0,3 имеют точки ЬиИ (рис. 71), но каким числам X они соответствуют, мы не знаем. Решить это тригонометрическое уравнение мы тоже пока не можем.<br>в) Графики функций у = tg х и у = 2 имеют бесконечно много общих точек, абсциссы всех этих точек имеют вид [[Image:alga216.jpg]] абсцисса точки пересечения прямой у =2 с главной ветвью тангенсоиды (рис. 72). Но что это за число х0, мы не знаем. Так что и тригонометрическое уравнение х = 2 мы пока решить не можем.	+	[[Image:Alga217.jpg]]<br>К уравнениям из примера 2 мы вернемся после того, как заложим необходимую теоретическую базу.<br>Итак, пока мы в состоянии решить тригонометрическое уравнение вида sin t =а, соs t =а только для конкретных значений а:

-	[[Image:~~alga217~~.jpg]]~~<br>К уравнениям из примера 2 мы вернемся после того, как заложим необходимую теоретическую базу~~.~~<br>Итак, пока мы в состоянии решить тригонометрическое уравнение~~ вида ~~sin t~~ =а, ~~соs t~~ =а только для конкретных значений а:	+	[[Image:Alga218.jpg]] эти уравнения не имеют решений. Уравнения вида tg=а, сtg х =а мы тоже в состоянии решить пока только для конкретных значений а:

-	[[Image:alga218.jpg]] эти уравнения не имеют решений. Уравнения вида tg=а, сtg х =а мы тоже в состоянии решить пока только для конкретных значений а:	+	[[Image:Alga219.jpg]]<br>Но даже с помощью этого небольшого запаса знаний мы уже теперь можем решать некоторые более сложные уравнения.<br>'''Пример 3. '''Решить уравнение [[Image:Alga220.jpg]]
-		+
-	~~[[Image:alga219~~.jpg]]<br>Но даже с помощью этого небольшого запаса знаний мы уже теперь можем решать некоторые более сложные уравнения.<br>'''Пример 3. '''Решить уравнение [[Image:~~alga220~~.jpg]]	+

	'''Решение.''' Введем новую переменную z = sin t. Тогда уравнение примет вид		'''Решение.''' Введем новую переменную z = sin t. Тогда уравнение примет вид

-	[[Image:~~alga221~~.jpg]]<br> Первое из этих уравнений не имеет решений (вспомните почему), а для второго с помощью числовой окружности (рис. 73) находим две серии решений:	+	[[Image:Alga221.jpg]]<br> Первое из этих уравнений не имеет решений (вспомните почему), а для второго с помощью числовой окружности (рис. 73) находим две серии решений:
		+
		+	[[Image:Alga222.jpg]]<br>'''Пример 4.''' Решить уравнение [[Image:Alga223.jpg]]

-	~~[[Image:alga222.jpg]]<br>~~'''~~Пример 4~~.''' ~~Решить уравнение ~~[[Image:~~alga223~~.jpg]]	+	'''Решение.''' Воспользуемся тем, что [[Image:Alga224.jpg]]  Тогда заданное Уравнение можно переписать в виде:

-	~~'''Решение.''' Воспользуемся тем, что~~ [[Image:~~alga224~~.jpg]]~~  Тогда заданное Уравнение можно переписать в виде~~:	+	[[Image:Alga225.jpg]]<br>После понятных преобразований получим:

-	[[Image:~~alga225~~.jpg]]<br>~~После понятных преобразований получим~~:	+	[[Image:Alga226.jpg]]<br>Введем новую переменную z =соs x. Тогда уравнение примет вид [[Image:Alga227.jpg]], откуда находим[[Image:Alga228.jpg]] Первое из этих уравнений было решено в § 4 (см. пример 7): x= 2sin. Для второго уравнения с помощью числовой окружности (рис. 74) находим две серии решений:

-	[[Image:~~alga226~~.jpg]]<br>~~Введем новую переменную z =соs x. Тогда уравнение примет вид [[Image~~:~~alga227.jpg]], откуда находим~~[[Image:~~alga228~~.jpg]] Первое из этих уравнений было решено в § 4 (см. пример 7): x= 2sin. Для второго уравнения с помощью числовой окружности (рис. 74) находим две серии решений:	+	[[Image:Alga229.jpg]]<br>'''Ответ:''' [[Image:Alga230.jpg]]<br>

-	~~[[Image:alga229.jpg]]<br>'''Ответ:''' [[Image:alga230.jpg]]~~<br>	+	<br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9 в 10:03, 8 июля 2010

2010-07-08T10:03:50Z

← Предыдущая		Версия 10:03, 8 июля 2010
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Первые представления о решении тригонометрических уравнений<metakeywords>Первые представления о решении тригонометрических уравнений</metakeywords>'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Первые представления о решении тригонометрических уравнений<metakeywords>Первые представления о решении тригонометрических уравнений</metakeywords>'''
		+
		+
		+
		+	'''§16. ПЕРВЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О РЕШЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ'''<br>В главе 1 мы научились решать некоторые тригонометрические уравнения вида [[Image:alga21.jpg]] где а — действительное число. Например, мы знаем, что уравнения sin t = а и соs t =а не имеют решений, если а < -1 или а > 1, поскольку область значений функции s = sin t, равно как и функции s= соs t, есть отрезок [-1,1].<br>Напомним, как мы решали тригонометрические уравнения.<br>'''Пример 1.''' Решить уравнения:[[Image:alga22.jpg]]<br>'''Решение:''' а) Используем геометрическую модель — числовую окружность на координатной плоскости (рис. 69). Отметим на окружности точки М и Р с абсциссой [[Image:alga23.jpg]] (они лежат на прямой
		+
		+	[[Image:alga24.jpg]]<br>В итоге получаем две серии решений уравнения:
		+
		+	[[Image:alga25.jpg]]<br>Обобщая, зто можно записать так:
		+
		+	[[Image:alga26.jpg]]
		+
		+	[[Image:alga28.jpg]]<br>б) Используем геометрическую модель — числовую окружность на координатной плоскости (рис. 70). Отметим на окружности точки М и Р с ординатой -[[Image:alga27.jpg]] Точка М соответствует значению —, т.е. всем числам вида [[Image:alga29.jpg]] Точка Р соответствует значению —[[Image:alga210.jpg]]
		+
		+	[[Image:alga211.jpg]]<br>В итоге получаем две серии решений уравнения: [[Image:alga212.jpg]]<br>Решали мы и некоторые уравнения вида tg x =a, сtg х=а, используя для этого графики функций у = tg x, y = ctg x.  Так, в § 15 мы, решив уравнение [[Image:alga213.jpg]]<br>Впрочем, и уравнения вида sin  х=а, соз х =а тоже можно решать графическим методом.<br>А как вы считаете, любое ли уравнение вида [[Image:alga214.jpg]] можно решить графически или с помощью числовой окружности? Для ответа на этот вопрос рассмотрим пример.<br>'''Пример 2.''' Решить уравнения: [[Image:alga215.jpg]]<br>'''Решение:''' а) Нам нужно найти на числовой окружности точки с абсциссой 0,4 и записать, каким числам X они соответствуют. Абсциссу 0,4 имеют точки МиР (рис. 71), но каким числам X они соответствуют, мы не знаем. Решить это тригонометрическое уравнений мы пока не можем, ■<br>б) Нам нужно найти на числовой окружности точки с ординатой - 0,3 и записать, каким числам X они соответствуют. Ординату - 0,3 имеют точки ЬиИ (рис. 71), но каким числам X они соответствуют, мы не знаем. Решить это тригонометрическое уравнение мы тоже пока не можем.<br>в) Графики функций у = tg х и у = 2 имеют бесконечно много общих точек, абсциссы всех этих точек имеют вид [[Image:alga216.jpg]] абсцисса точки пересечения прямой у =2 с главной ветвью тангенсоиды (рис. 72). Но что это за число х0, мы не знаем. Так что и тригонометрическое уравнение х = 2 мы пока решить не можем.
		+
		+	[[Image:alga217.jpg]]<br>К уравнениям из примера 2 мы вернемся после того, как заложим необходимую теоретическую базу.<br>Итак, пока мы в состоянии решить тригонометрическое уравнение вида sin t =а, соs t =а только для конкретных значений а:
		+
		+	[[Image:alga218.jpg]] эти уравнения не имеют решений. Уравнения вида tg=а, сtg х =а мы тоже в состоянии решить пока только для конкретных значений а:
		+
		+	[[Image:alga219.jpg]]<br>Но даже с помощью этого небольшого запаса знаний мы уже теперь можем решать некоторые более сложные уравнения.<br>'''Пример 3. '''Решить уравнение [[Image:alga220.jpg]]
		+
		+	'''Решение.''' Введем новую переменную z = sin t. Тогда уравнение примет вид
		+
		+	[[Image:alga221.jpg]]<br> Первое из этих уравнений не имеет решений (вспомните почему), а для второго с помощью числовой окружности (рис. 73) находим две серии решений:
		+
		+	[[Image:alga222.jpg]]<br>'''Пример 4.''' Решить уравнение [[Image:alga223.jpg]]
		+
		+	'''Решение.''' Воспользуемся тем, что [[Image:alga224.jpg]]  Тогда заданное Уравнение можно переписать в виде:
		+
		+	[[Image:alga225.jpg]]<br>После понятных преобразований получим:
		+
		+	[[Image:alga226.jpg]]<br>Введем новую переменную z =соs x. Тогда уравнение примет вид [[Image:alga227.jpg]], откуда находим[[Image:alga228.jpg]] Первое из этих уравнений было решено в § 4 (см. пример 7): x= 2sin. Для второго уравнения с помощью числовой окружности (рис. 74) находим две серии решений:
		+
		+	[[Image:alga229.jpg]]<br>'''Ответ:''' [[Image:alga230.jpg]]<br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9: Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

2010-07-08T09:26:48Z

Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]>>Математика: Первые представления о решении тригонометрических уравнений<metakeywords>Первые представления о решении тригонометрических уравнений</metakeywords>'''

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

 

Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие

Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].