Пересечение двух сфер - История изменений

User17 в 06:34, 9 августа 2012

2012-08-09T06:34:40Z

← Предыдущая		Версия 06:34, 9 августа 2012
Строка 1:		Строка 1:
-	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 11 класс, Геометрия, урок, на Тему, Пересечение двух сфер</metakeywords>	+	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 11 класс, Геометрия, урок, на Тему, Пересечение двух сфер, Теорема, плоскость, перпендикуляр, треугольник</metakeywords>

	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 11 класс\|Математика 11 класс]]>>Математика:Пересечение двух сфер'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 11 класс\|Математика 11 класс]]>>Математика:Пересечение двух сфер'''
Строка 7:		Строка 7:
	<br>Теорема 20.6. Линия пересечения двух сфер есть окружность.		<br>Теорема 20.6. Линия пересечения двух сфер есть окружность.

-	Доказательство. Пусть О<sub>1</sub> и О<sub>2</sub> — центры сфер и А — их точка пересечения (рис. 460). Проведем через точку А плоскость [[Image:24-06-52.jpg]], перпендикулярную прямой О<sub>1</sub>О<sub>2</sub>.	+	Доказательство. Пусть О<sub>1</sub> и О<sub>2</sub> — центры сфер и А — их точка пересечения (рис. 460). Проведем через точку А '''[[Презентація до теми Розміщення прямої та площини в просторі. Ознака паралельності прямої та площини\|плоскость]]''' [[Image:24-06-52.jpg]], '''[[Теорема о трех перпендикулярах\|перпендикулярную]]''' прямой О<sub>1</sub>О<sub>2</sub>.

-	Обозначим через В точку пересечения плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] с прямой О<sub>1</sub>О<sub>2</sub>. По теореме 20.3 плоскость [[Image:24-06-52.jpg]] пересекает обе сферы по окружности К с центром В, проходящей через точку А. Таким образом, окружность К принадлежит пересечению сфер.	+	Обозначим через В точку пересечения плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] с прямой О<sub>1</sub>О<sub>2</sub>. По '''[[Теоремы и доказательства. Полные уроки\|теореме]]''' 20.3 плоскость [[Image:24-06-52.jpg]] пересекает обе сферы по окружности К с центром В, проходящей через точку А. Таким образом, окружность К принадлежит пересечению сфер.

	Покажем теперь, что сферы не имеют других точек пересечения, кроме точек окружности К. Допустим, точка X пересечения сфер не лежит на окружности К. Проведем плоскость через точку X и прямую О<sub>1</sub>О<sub>2</sub>. Она пересечет сферы по окружностям с центрами О<sub>1</sub> и О<sub>2</sub>. Эти окружности пересекаются в двух точках, принадлежащих окружности К, да еще в точке X. Но две окружности не могут иметь больше двух точек пересечения. Мы пришли к противоречию. Итак, пересечение наших сфер есть окружность (К). Теорема доказана.		Покажем теперь, что сферы не имеют других точек пересечения, кроме точек окружности К. Допустим, точка X пересечения сфер не лежит на окружности К. Проведем плоскость через точку X и прямую О<sub>1</sub>О<sub>2</sub>. Она пересечет сферы по окружностям с центрами О<sub>1</sub> и О<sub>2</sub>. Эти окружности пересекаются в двух точках, принадлежащих окружности К, да еще в точке X. Но две окружности не могут иметь больше двух точек пересечения. Мы пришли к противоречию. Итак, пересечение наших сфер есть окружность (К). Теорема доказана.
Строка 15:		Строка 15:
	'''''Задача (44).''''' Два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.		'''''Задача (44).''''' Два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.

-	'''''Решение'''''. Проведем сечение через центры шаров (рис. 461). Линия, о которой идет речь в задаче, есть окружность (теорема 20.6). Ее радиус равен высоте равностороннего треугольника ОАО<sub>1</sub> со сторонами, равными  R.	+	'''''Решение'''''. Проведем сечение через центры шаров (рис. 461). Линия, о которой идет речь в задаче, есть окружность (теорема 20.6). Ее радиус равен высоте равностороннего '''[[Презентація уроку на тему «Трикутник і його елементи»\|треугольника]]''' ОАО<sub>1</sub> со сторонами, равными  R.

-	Высота равна	+	Высота равна

	[[Image:2-07-37.jpg\|60px\|Формула]].<br> <br>[[Image:2-07-38.jpg\|120px\|Формула]]		[[Image:2-07-37.jpg\|60px\|Формула]].<br> <br>[[Image:2-07-38.jpg\|120px\|Формула]]

User17 в 19:32, 8 августа 2012

2012-08-08T19:32:17Z

Внесённые изменения

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

2010-07-02T08:00:08Z

Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

Новая страница

<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 11 класс, Геометрия, урок, на Тему, Пересечение двух сфер</metakeywords>

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 11 класс|Математика 11 класс]]>>Математика:Пересечение двух сфер'''

                                          '''ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ СФЕР'''

 Теорема 20.6. '''''Линия пересечения двух сфер есть окружность.'''''

Доказательство. Пусть О1 и О2 — центры сфер и А — их точка пересечения (рис. 460). Проведем через точку А плоскость [[Image:24-06-52.jpg]], перпендикулярную прямой О1О2.

Обозначим через В точку пересечения плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] с прямой О1О2. По теореме 20.3 плоскость [[Image:24-06-52.jpg]] пересекает обе сферы по окружности К с центром В, проходящей через точку А. Таким образом, окружность К принадлежит пересечению сфер.

Покажем теперь, что сферы не имеют других точек пересечения, кроме точек окружности К. Допустим, точка X пересечения сфер не лежит на окружности К. Проведем плоскость через точку X и прямую О1О2. Она пересечет сферы по окружностям с центрами О1 и О2. Эти окружности пересекаются в двух точках, принадлежащих окружности К, да еще в точке X. Но две окружности не могут иметь больше двух точек пересечения. Мы пришли к противоречию. Итак, пересечение наших сфер есть окружность (К). Теорема доказана.

Задача (44). Два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.

Решение. Проведем сечение через центры шаров (рис. 461). Линия, о которой идет речь в задаче, есть окружность (теорема 20.6). Ее радиус равен высоте равностороннего треугольника ОАО1 со сторонами, равными  R. Высота равна [[Image:2-07-37.jpg]].   [[Image:2-07-38.jpg]]   Следовательно, длина линии равна 

[[Image:2-07-39.jpg]]

 ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' 

Библиотека с учебниками и книгами на скачку бесплатно [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], Математика для 11 класса [[Математика|скачать]], школьная программа по математике, планы конспектов уроков 

 

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
''''''
Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].