Переход к новому основанию логарифма - История изменений

User17 в 19:57, 6 августа 2012

2012-08-06T19:57:55Z

User17 в 10:29, 6 августа 2012

2012-08-06T10:29:12Z

← Предыдущая		Версия 10:29, 6 августа 2012
Строка 1:		Строка 1:
-	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>~~Математика:~~ Переход к новому основанию логарифма~~<metakeywords>Переход к новому основанию логарифма</metakeywords>~~'''	+	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 10 класс, урок, на Тему, Переход к новому основанию логарифма</metakeywords>
		+
		+	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>> Переход к новому основанию логарифма'''

	<br>		<br>

-	'''§ 53. ~~ПЕРЕХОД К НОВОМУ ОСНОВАНИЮ ЛОГАРИФМА~~'''<br>Логарифмических функций бесконечно много:[[Image:A10245.jpg]] и т.д. Возникает вопрос,<br>как они связаны между собой? Есть ли, например, какая-то связь между функциями у=log<sub>2</sub> х и y=log<sub>3</sub> x? На рис. 231 изображены графики функций у=log<sub>2</sub> х и у=log<sub>3</sub> х. Не кажется ли вам, что график первой функции получается из графика второй функции растяжением от оси х с некоторым коэффициентом к >1. Если наше геометрическое наблюдение верно, то должно выполняться равенство:	+	'''§ 53. Переход к новому основанию логарифма'''<br>Логарифмических функций бесконечно много:[[Image:A10245.jpg]] и т.д. Возникает вопрос,<br>как они связаны между собой? Есть ли, например, какая-то связь между функциями у=log<sub>2</sub> х и y=log<sub>3</sub> x? На рис. 231 изображены графики функций у=log<sub>2</sub> х и у=log<sub>3</sub> х. Не кажется ли вам, что график первой функции получается из графика второй функции растяжением от оси х с некоторым коэффициентом к >1. Если наше геометрическое наблюдение верно, то должно выполняться равенство:

	[[Image:A10246.jpg]]<br>Так ли это? На все поставленные вопросы мы ответим в этом параграфе. Теоретической основой для ответа является следующая теорема.		[[Image:A10246.jpg]]<br>Так ли это? На все поставленные вопросы мы ответим в этом параграфе. Теоретической основой для ответа является следующая теорема.
Строка 33:		Строка 35:
	<br>		<br>

-	<sub>~~Материалы~~ по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн~~]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика\|скачать~~]]</sub>	+	[http://xvatit.com/relax/fun-videos/ '''<sub>Видео</sub>'''] <sub>по математике [[Математика\|скачать]], домашнее задание, учителям и школьникам на помощь [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]]</sub>

	'''<u>Содержание урока</u>'''		'''<u>Содержание урока</u>'''

User9 в 09:25, 8 августа 2010

2010-08-08T09:25:47Z

← Предыдущая		Версия 09:25, 8 августа 2010
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Переход к новому основанию логарифма<metakeywords>Переход к новому основанию логарифма</metakeywords>'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Переход к новому основанию логарифма<metakeywords>Переход к новому основанию логарифма</metakeywords>'''

-	<br>	+	<br>

-	'''§ 53. ПЕРЕХОД К НОВОМУ ОСНОВАНИЮ ЛОГАРИФМА'''<br>Логарифмических функций бесконечно много:[[Image:~~a10245~~.jpg]] и т.д. Возникает вопрос,<br>как они связаны между собой? Есть ли, например, какая-то связь между функциями у=log<sub>2</sub> х и y=log<sub>3</sub> x? На рис. 231 изображены графики функций у=log<sub>2</sub> х и у=log<sub>3</sub> х. Не кажется ли вам, что график первой функции получается из графика второй функции растяжением от оси х с некоторым коэффициентом к >1. Если наше геометрическое наблюдение верно, то должно выполняться равенство:	+	'''§ 53. ПЕРЕХОД К НОВОМУ ОСНОВАНИЮ ЛОГАРИФМА'''<br>Логарифмических функций бесконечно много:[[Image:A10245.jpg]] и т.д. Возникает вопрос,<br>как они связаны между собой? Есть ли, например, какая-то связь между функциями у=log<sub>2</sub> х и y=log<sub>3</sub> x? На рис. 231 изображены графики функций у=log<sub>2</sub> х и у=log<sub>3</sub> х. Не кажется ли вам, что график первой функции получается из графика второй функции растяжением от оси х с некоторым коэффициентом к >1. Если наше геометрическое наблюдение верно, то должно выполняться равенство:

-	[[Image:~~a10246~~.jpg]]<br>Так ли это? На все поставленные вопросы мы ответим в этом параграфе. Теоретической основой для ответа является следующая теорема.	+	[[Image:A10246.jpg]]<br>Так ли это? На все поставленные вопросы мы ответим в этом параграфе. Теоретической основой для ответа является следующая теорема.
		+
		+	[[Image:A10247.jpg]]<br>Теперь нетрудно ответить на поставленный выше вопрос: как связаны между собой различные логарифмические функции? Рассмотрим две логарифмические функции у =log<sub>2</sub> х и у =log<sub>3</sub> х, графики которых изображены на рис. 231. Имеем:
		+
		+	[[Image:A10248.jpg]]<br>Таким образом, наша догадка подтвердилась: действительно, справедливо соотношение [[Image:a10249.jpg]]; подтвердилась и наша догадка о том, что в данном случае к > 1, поскольку log<sub>2</sub> 3 > 1.<br>Аналогичные формулы связывают и другие логарифмические функции. Например, справедливы соотношения:<br>
		+
		+	[[Image:a10250.jpg]]<br>
		+
		+	Рассмотрим два важных частных случая формулы перехода к новому основанию логарифма, два следствия из доказанной теоремы.<br>'''Следствие 1.''' Если а и b положительные и отличные от 1 числа, то справедливо равенство:
		+
		+	[[Image:a10251.jpg]]<br>'''Доказательство'''. Положив в формуле (1) с =Ь, получим: [[Image:a10252.jpg]]<br>'''Следствие 2'''. Если а и b — положительные числа, причем [[Image:a10253.jpg]], то для любого числа [[Image:a10254.jpg]] справедливо равенство:
		+
		+	[[Image:a10255.jpg]]<br>'''Доказательство.''' Перейдем в выражении [[Image:a10256.jpg]] к логарифмам по основанию а: [[Image:a10257.jpg]]<br>'''Пример 1.''' Дано: [[Image:a10258.jpg]]
		+
		+	'''Решение.'''
		+
		+	[[Image:a10259.jpg]]<br>'''Пример 2'''. Решить уравнение: [[Image:a10260.jpg]]<br>'''Решение.''' Перейдем во всех логарифмах к одному основанию 4. Для этого дважды воспользуемся формулой, доказанной в следствии 2:
		+
		+	[[Image:a10261.jpg]]<br>Теперь заданное уравнение можно переписать в более простой форме:
		+
		+	[[Image:a10262.jpg]]<br>Ответ: х = 3.<br>

-	[[Image:a10247.jpg]]<br>Теперь нетрудно ответить на поставленный выше вопрос: как связаны между собой различные логарифмические функции? Рассмотрим две логарифмические функции у =log<sub>2</sub> х и у =log<sub>3</sub> х, графики которых изображены на рис. 231. Имеем:

-	[[Image:a10248.jpg]]<br>Таким образом, наша догадка подтвердилась: действительно, справедливо соотношение 1о^2 х = к1о§3 х, где к =1о§2 3; подтвердилась и наша догадка о том, что в данном случае к > 1, поскольку 1О§2 3 > 1.<br>Аналогичные формулы связывают и другие логарифмические функции. Например, справедливы соотношения: 1о§5 х = /г1о§7 х, где к =\о&ь 7;<br>1§ х = к1о§05 х, где к=1&0,5и т.д.<br>Рассмотрим два важных частных случая формулы перехода к новому основанию логарифма, два следствия из доказанной теоремы.<br>Следствие 1. Если аиЪ положительные и отличные от 1 числа, то справедливо равенство:<br>1оеаь= 1 . _д<br>Например, 1о§23=—-—; 1§5 =—-—.<br>1ое3 2    \о§б 10<br>Доказательство. Положив в формуле (1) с =Ь, получим: 1° ёаЬ = \<br>_<br>1од„а 1оё„а<br>Следствие 2. Если аиЪ — положительные числа, причем аФ 1, то для любого числа гфО справедливо равенство:<br>1оеаЬ = 1оёа, ьг.<br>Например, 1ое23=1о§22 З2 =10^ 3 1    л/Зит.д.<br>Доказательство. Перейдем в выражении 1о§аГЬГ к лога-<br>, .. 1ое„Ьг г\овЬ , рифмам по основанию а: 1о§ г о =——— =—=-2— =1о§ Ь.<br>1о ёааг г<br>Пример 1. Дано: 3 = а, 5 = Ь. Вычислить 1ое215. Решение.<br>1ое 15^15 = М3 5К    =а+Ь<br>г 1в2 18(10:5) 1810-185 1-Ь'<br>284<br><я<br>Пример 2. Решить уравнение: х + х = ^ 3.<br>Решение. Перейдем во всех логарифмах к одному основанию 4. Для этого дважды воспользуемся формулой, доказанной в следствии 2:<br>1ое2 х = 1ое2> х2 = 1о&4 х2;<br>1о8^3 = 1ое(.Л).33=1ое427.<br>Теперь заданное уравнение можно переписать в более простой форме: 1ое4 х2 + 1о&4х = 1ое427.<br>Далее получаем:<br>1о§4(^х) = 1ог427, 1ое4х3=1ое427, х2 =27, х = 3.<br>Ответ: х = 3.<br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9 в 09:09, 8 августа 2010

2010-08-08T09:09:12Z

← Предыдущая		Версия 09:09, 8 августа 2010
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Переход к новому основанию логарифма<metakeywords>Переход к новому основанию логарифма</metakeywords>'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Переход к новому основанию логарифма<metakeywords>Переход к новому основанию логарифма</metakeywords>'''
		+
		+	<br>
		+
		+	'''§ 53. ПЕРЕХОД К НОВОМУ ОСНОВАНИЮ ЛОГАРИФМА'''<br>Логарифмических функций бесконечно много:[[Image:a10245.jpg]] и т.д. Возникает вопрос,<br>как они связаны между собой? Есть ли, например, какая-то связь между функциями у=log<sub>2</sub> х и y=log<sub>3</sub> x? На рис. 231 изображены графики функций у=log<sub>2</sub> х и у=log<sub>3</sub> х. Не кажется ли вам, что график первой функции получается из графика второй функции растяжением от оси х с некоторым коэффициентом к >1. Если наше геометрическое наблюдение верно, то должно выполняться равенство:
		+
		+	[[Image:a10246.jpg]]<br>Так ли это? На все поставленные вопросы мы ответим в этом параграфе. Теоретической основой для ответа является следующая теорема.
		+
		+	[[Image:a10247.jpg]]<br>Теперь нетрудно ответить на поставленный выше вопрос: как связаны между собой различные логарифмические функции? Рассмотрим две логарифмические функции у =log<sub>2</sub> х и у =log<sub>3</sub> х, графики которых изображены на рис. 231. Имеем:
		+
		+	[[Image:a10248.jpg]]<br>Таким образом, наша догадка подтвердилась: действительно, справедливо соотношение 1о^2 х = к1о§3 х, где к =1о§2 3; подтвердилась и наша догадка о том, что в данном случае к > 1, поскольку 1О§2 3 > 1.<br>Аналогичные формулы связывают и другие логарифмические функции. Например, справедливы соотношения: 1о§5 х = /г1о§7 х, где к =\о&ь 7;<br>1§ х = к1о§05 х, где к=1&0,5и т.д.<br>Рассмотрим два важных частных случая формулы перехода к новому основанию логарифма, два следствия из доказанной теоремы.<br>Следствие 1. Если аиЪ положительные и отличные от 1 числа, то справедливо равенство:<br>1оеаь= 1 . _д<br>Например, 1о§23=—-—; 1§5 =—-—.<br>1ое3 2    \о§б 10<br>Доказательство. Положив в формуле (1) с =Ь, получим: 1° ёаЬ = \<br>_<br>1од„а 1оё„а<br>Следствие 2. Если аиЪ — положительные числа, причем аФ 1, то для любого числа гфО справедливо равенство:<br>1оеаЬ = 1оёа, ьг.<br>Например, 1ое23=1о§22 З2 =10^ 3 1    л/Зит.д.<br>Доказательство. Перейдем в выражении 1о§аГЬГ к лога-<br>, .. 1ое„Ьг г\овЬ , рифмам по основанию а: 1о§ г о =——— =—=-2— =1о§ Ь.<br>1о ёааг г<br>Пример 1. Дано: 3 = а, 5 = Ь. Вычислить 1ое215. Решение.<br>1ое 15^15 = М3 5К    =а+Ь<br>г 1в2 18(10:5) 1810-185 1-Ь'<br>284<br><я<br>Пример 2. Решить уравнение: х + х = ^ 3.<br>Решение. Перейдем во всех логарифмах к одному основанию 4. Для этого дважды воспользуемся формулой, доказанной в следствии 2:<br>1ое2 х = 1ое2> х2 = 1о&4 х2;<br>1о8^3 = 1ое(.Л).33=1ое427.<br>Теперь заданное уравнение можно переписать в более простой форме: 1ое4 х2 + 1о&4х = 1ое427.<br>Далее получаем:<br>1о§4(^х) = 1ог427, 1ое4х3=1ое427, х2 =27, х = 3.<br>Ответ: х = 3.<br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9: Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

2010-08-08T08:58:16Z

Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]>>Математика: Переход к новому основанию логарифма<metakeywords>Переход к новому основанию логарифма</metakeywords>'''

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

 

Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие

Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].