Перпендикулярность прямых в пространстве - История изменений

User17 в 13:22, 7 августа 2012

2012-08-07T13:22:57Z

← Предыдущая		Версия 13:22, 7 августа 2012
Строка 1:		Строка 1:
-	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 10 класс, Геометрия, урок, на Тему, Перпендикулярность прямых в пространстве</metakeywords>	+	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 10 класс, Геометрия, урок, на Тему, Перпендикулярность прямых в пространстве, перпендикулярные, плоскости, прямая</metakeywords>

	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика:Перпендикулярность прямых в пространстве'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика:Перпендикулярность прямых в пространстве'''
Строка 7:		Строка 7:
	<br>'''Перпендикулярность прямых в пространстве'''		<br>'''Перпендикулярность прямых в пространстве'''

-	<br>Так же как и на плоскости, две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.	+	<br>Так же как и на плоскости, две прямые называются '''[[Задачі до уроку на тему «Паралельні та перпендикулярні прямі, їх властивості. Доведення від супротивного»\|перпендикулярными]]''', если они пересекаются под прямым углом.

	'''Теорема 17.1.''' Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.<br>		'''Теорема 17.1.''' Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.<br>
Строка 17:		Строка 17:
	Если прямые а, b, а<sub>1</sub>, b<sub>1</sub> лежат в одной плоскости, то они обладают указанным в теореме свойством, как это известно из планиметрии.<br>		Если прямые а, b, а<sub>1</sub>, b<sub>1</sub> лежат в одной плоскости, то они обладают указанным в теореме свойством, как это известно из планиметрии.<br>

-	Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Тогда прямые а и b лежат в некоторой плоскости [[Image:24-06-52.jpg]], а прямые а<sub>1</sub> и b<sub>1</sub> — в некоторой плоскости [[Image:24-06-52.jpg]]1<sub></sub> (рис. 350). По теореме 16.4 плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] и [[Image:24-06-52.jpg]]<sub>1</sub> параллельны.. Пусть С — точка пересечения прямых а и b, а C<sub>1</sub> — точка пересечения прямых	+	Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной '''[[Пересечение прямой с плоскостью\|плоскости]]'''. Тогда прямые а и b лежат в некоторой плоскости [[Image:24-06-52.jpg]], а прямые а<sub>1</sub> и b<sub>1</sub> — в некоторой плоскости [[Image:24-06-52.jpg]]1<sub></sub> (рис. 350). По теореме 16.4 плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] и [[Image:24-06-52.jpg]]<sub>1</sub> параллельны.. Пусть С — точка пересечения прямых а и b, а C<sub>1</sub> — точка пересечения прямых

-	а<sub>1</sub> и b<sub>1</sub>. Проведем в плоскости параллельных прямых [[Image:24-06-52.jpg]] и [[Image:24-06-52.jpg]]<sub>1</sub> прямую, параллельную прямой СС<sub>1</sub>. Она пересечет прямые а и а<sub>1</sub> в точках А и А<sub>1</sub>.B плоскости прямых b и b<sub>1</sub> проведем прямую, параллельную прямой СС<sub>1</sub>, и обозначим через В и В<sub>1</sub> точки ее пересечения с прямыми b и b<sub>1</sub>.	+	а<sub>1</sub> и b<sub>1</sub>. Проведем в плоскости параллельных прямых [[Image:24-06-52.jpg]] и [[Image:24-06-52.jpg]]<sub>1</sub> прямую, параллельную прямой СС<sub>1</sub>. Она пересечет прямые а и а<sub>1</sub> в точках А и А<sub>1</sub>.B плоскости прямых b и b<sub>1</sub> проведем прямую, параллельную '''[[Презентація до теми Розміщення прямої та площини в просторі. Ознака паралельності прямої та площини\|прямой]]''' СС<sub>1</sub>, и обозначим через В и В<sub>1</sub> точки ее пересечения с прямыми b и b<sub>1</sub>.

	<br>		<br>
Строка 29:		Строка 29:
	Задача (1). Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.		Задача (1). Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

-	Решение. Пусть a — прямая а А — точка на ней (рис. 351). Возьмем любую точку X вне прямой a и проведем через эту точку и прямую a плоскость [[Image:24-06-52.jpg]] (теорема 15.1). В плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] через точку А можно провести прямую b, перпендикулярную прямой a.~~<br>~~<br><br>	+	Решение. Пусть a — прямая а А — точка на ней (рис. 351). Возьмем любую точку X вне прямой a и проведем через эту точку и прямую a плоскость [[Image:24-06-52.jpg]] (теорема 15.1). В плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] через точку А можно провести прямую b, перпендикулярную прямой a.<br><br> <br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>

-	~~<br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>~~	+	<br> <sub>Календарно-тематическое планирование по математике, [http://xvatit.com/it/audio_television/ '''видео'''] по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], Математика в школе [[Математика\|скачать]]</sub>
-		+
-	~~<br>~~ <br> <sub>Календарно-тематическое планирование по математике, [http://xvatit.com/it/audio_television/ '''видео'''] по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], Математика в школе [[Математика\|скачать]]</sub>	+

	<br>		<br>

User17 в 12:55, 7 августа 2012

2012-08-07T12:55:51Z

Внесённые изменения

User16 в 10:48, 30 июня 2010

2010-06-30T10:48:06Z

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

2010-06-30T10:35:38Z

Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

Новая страница

<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 10 класс, Геометрия, урок, на Тему, Перпендикулярность прямых в пространстве</metakeywords>

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]>>Математика:Перпендикулярность прямых в пространстве'''

 

 '''                                      ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ    ПРЯМЫХ    В    ПРОСТРАНСТВЕ'''

''''' Так же как и на плоскости, две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.'''''

Теорема 17.1. '''''Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.''''' 

Доказательство. Пусть а и b — перпендикулярные прямые, а1 и b1 — параллельные им пересекающиеся прямые. 

Докажем, что прямые а1 и b1перпендикулярны. 

Если прямые а, b, а1, b1 лежат в одной плоскости, то они обладают указанным в теореме свойством, как это известно из планиметрии. 

Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Тогда прямые а и b лежат в некоторой плоскости [[Image:24-06-52.jpg]], а прямые а1 и b1 — в некоторой плоскости [[Image:24-06-52.jpg]]1 (рис. 350). По теореме 16.4 плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] и [[Image:24-06-52.jpg]]1 параллельны.. Пусть С — точка пересечения прямых а и b, а C1 — точка пересечения прямых

а1 и b1. Проведем в плоскости параллельных прямых [[Image:24-06-52.jpg]] и [[Image:24-06-52.jpg]]1 прямую, параллельную прямой СС1. Она пересечет прямые а и а1 в точках А и А1.B плоскости прямых b и b1 проведем пря-

[[Image:30-06-20.jpg]]   мую, параллельную прямой СС1, и обозначим через В и В1 точки ее пересечения с прямыми b и b1.

Четырехугольники САА1С1и СВВ1С1 — параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник АВВ| А i также параллелограмм. У него стороны АА\, ВВ] параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой CCi. Таким образом, четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые АА] и ВВ\. А она пересекает параллельные плоскости а и а: по параллельным прямым АВ и А\В\. Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то АВ = А[В,, AC=AiC\, BC = B,Ci. По третьему признаку равенства треугольников треугольники ABC и А]В,С\ равны. Итак, угол А,С\В\, равный углу АСВ, прямой, т. е. прямые О] и Ь] перпендикулярны. Теорема доказана. Задача (1). Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую. Решение. Пусть с — прямая а А — точка на ней (рис. 351). Возьмем любую точку X вне прямой с и проведем через эту точку и прямую с плоскость а (теорема 15.1). В плоскости а через точку А можно провести прямую Ь, перпендикулярную прямой с.  

 ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' 

Математика [[Математика|скачать]], задача школьнику 10 класса, материалы по математике для 10 класса [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]]

 

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
''''''
Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

← Предыдущая		Версия 10:48, 30 июня 2010
Строка 5:		Строка 5:
	<br>		<br>

-	<br>'''                                      ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ    ПРЯМЫХ    В    ПРОСТРАНСТВЕ'''	+	<br>'''                                      ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ    ПРЯМЫХ    В    ПРОСТРАНСТВЕ'''

-	'''''<br>Так же как и на плоскости, две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.'''''	+	'''''<br>Так же как и на плоскости, две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.'''''

-	Теорема 17.1. '''''Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.'''''<br>	+	Теорема 17.1. '''''Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.'''''<br>

-	Доказательство. Пусть а и b — перпендикулярные прямые, а<sub>1</sub><sub></sub> и b<sub>1</sub> — параллельные им пересекающиеся прямые.<br>	+	Доказательство. Пусть а и b — перпендикулярные прямые, а<sub>1</sub><sub></sub> и b<sub>1</sub> — параллельные им пересекающиеся прямые.<br>

-	Докажем, что прямые а<sub>1</sub> и b<sub>1</sub>перпендикулярны.<br>	+	Докажем, что прямые а<sub>1</sub> и b<sub>1</sub>перпендикулярны.<br>

-	Если прямые а, b, а<sub>1</sub>, b<sub>1</sub> лежат в одной плоскости, то они обладают указанным в теореме свойством, как это известно из планиметрии.<br>	+	Если прямые а, b, а<sub>1</sub>, b<sub>1</sub> лежат в одной плоскости, то они обладают указанным в теореме свойством, как это известно из планиметрии.<br>

-	Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Тогда прямые а и b лежат в некоторой плоскости [[Image:24-06-52.jpg]], а прямые а<sub>1</sub> и b<sub>1</sub> — в некоторой плоскости [[Image:24-06-52.jpg]]1<sub></sub> (рис. 350). По теореме 16.4 плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] и [[Image:24-06-52.jpg]]<sub>1</sub> параллельны.. Пусть С — точка пересечения прямых а и b, а C<sub>1</sub> — точка пересечения прямых	+	Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Тогда прямые а и b лежат в некоторой плоскости [[Image:24-06-52.jpg]], а прямые а<sub>1</sub> и b<sub>1</sub> — в некоторой плоскости [[Image:24-06-52.jpg]]1<sub></sub> (рис. 350). По теореме 16.4 плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] и [[Image:24-06-52.jpg]]<sub>1</sub> параллельны.. Пусть С — точка пересечения прямых а и b, а C<sub>1</sub> — точка пересечения прямых

-	а<sub>1</sub> и b<sub>1</sub>. Проведем в плоскости параллельных прямых [[Image:24-06-52.jpg]] и [[Image:24-06-52.jpg]]<sub>1</sub> прямую, параллельную прямой СС<sub>1</sub>. Она пересечет прямые а и а<sub>1</sub> в точках А и А<sub>1</sub>.B плоскости прямых b и b<sub>1</sub> проведем пря-	+	а<sub>1</sub> и b<sub>1</sub>. Проведем в плоскости параллельных прямых [[Image:24-06-52.jpg]] и [[Image:24-06-52.jpg]]<sub>1</sub> прямую, параллельную прямой СС<sub>1</sub>. Она пересечет прямые а и а<sub>1</sub> в точках А и А<sub>1</sub>.B плоскости прямых b и b<sub>1</sub> проведем пря-

		+	<br>

		+	[[Image:30-06-20.jpg]]<br> <br><br>мую, параллельную прямой СС<sub>1</sub>, и обозначим через В и В<sub>1</sub> точки ее пересечения с прямыми b и b<sub>1</sub>.

-	~~[[Image:30-06-20~~.~~jpg]]~~<br>~~ ~~<br><br>~~мую~~, ~~параллельную~~ прямой СС<sub>1</sub>, ~~и обозначим~~ через В и В<sub>1</sub> ~~точки ее пересечения с прямыми b~~ и b<sub>1</sub>.	+	Четырехугольники САА<sub>1</sub>С<sub>1</sub>и СВВ<sub>1</sub>С<sub>1</sub> — параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник АВВ<sub>1</sub> А<sub>1</sub> также параллелограмм. У него стороны АА<sub>1</sub>, ВВ<sub>1</sub> параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой CC<sub>1</sub>. Таким образом, четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые АА<sub>1</sub> и ВВ<sub>1</sub>. А она пересекает параллельные плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] и [[Image:24-06-52.jpg]]<sub>1</sub> по параллельным прямым АВ и А<sub>1</sub>В<sub>1</sub>.

-	~~Четырехугольники САА~~<sub>1</sub><sub></sub>С<sub>1</sub>~~и СВВ~~<sub>1</sub>С<sub>1</sub> — параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник АВВ\| А i также параллелограмм. У него стороны АА\, ВВ] параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой CCi. Таким образом, четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые АА] и ВВ\. А она пересекает параллельные плоскости а и а: по параллельным прямым АВ и А\В\.<br>~~Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то АВ = А[В,, AC=AiC\, BC = B,Ci~~. По третьему признаку равенства треугольников треугольники ABC и А]В~~,С\~~ равны. Итак, угол А~~,С\В\~~, равный углу АСВ, прямой, т. е. прямые О] и Ь] перпендикулярны. Теорема доказана.~~<br>~~Задача (1). Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.~~<br>~~Решение. Пусть с — прямая а А — точка на ней (рис. 351). Возьмем любую точку X вне прямой с и проведем через эту точку и прямую с плоскость а (теорема 15.1). В плоскости а через точку А можно провести прямую Ь, перпендикулярную прямой с.<br><br><br>	+	Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то АВ = А<sub>1</sub>В<sub>1</sub>, AC=А<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC = B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>. По третьему признаку равенства треугольников треугольники ABC и А<sub>1</sub>В<sub>1</sub>C<sub>1</sub> равны. Итак, угол А<sub>1</sub>C<sub>1</sub>B<sub>1</sub>, равный углу АСВ, прямой, т. е. прямые а<sub>1</sub> и b<sub>1</sub> перпендикулярны. Теорема доказана.
		+
		+	Задача (1). Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.
		+
		+	Решение. Пусть a — прямая а А — точка на ней (рис. 351). Возьмем любую точку X вне прямой a и проведем через эту точку и прямую a плоскость [[Image:24-06-52.jpg]] (теорема 15.1). В плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] через точку А можно провести прямую b, перпендикулярную прямой a.<br><br><br>

	<br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>		<br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>