Подобие правильных выпуклых многоугольников - История изменений

User17 в 12:03, 11 октября 2012

2012-10-11T12:03:22Z

User16 в 15:44, 29 июня 2010

2010-06-29T15:44:03Z

← Предыдущая		Версия 15:44, 29 июня 2010
Строка 1:		Строка 1:
-	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 9 класс, ~~Алгебра~~, урок, на Тему, Подобие правильных выпуклых многоугольников</metakeywords>	+	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 9 класс, Геометрия, урок, на Тему, Подобие правильных выпуклых многоугольников</metakeywords>

	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 9 класс\|Математика 9 класс]]>>Математика:Подобие правильных выпуклых многоугольников'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 9 класс\|Математика 9 класс]]>>Математика:Подобие правильных выпуклых многоугольников'''

User16 в 18:41, 24 июня 2010

2010-06-24T18:41:07Z

← Предыдущая		Версия 18:41, 24 июня 2010
Строка 5:		Строка 5:
	<br>		<br>

-	'''ПОДОБИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ВЫПУКЛЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ'''	+	'''ПОДОБИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ВЫПУКЛЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ'''

-	<br>Теорема 13.4. '''''Правильные выпуклые п-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны'''''.	+	<br>Теорема 13.4. '''''Правильные выпуклые п-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны'''''.

-	Доказательство. Докажем сначала второе утверждение теоремы. Итак, пусть Р<sub>1</sub>: А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>...А<sub>n</sub>, P<sub>2</sub>: B<sub>1</sub>B<sub>2</sub>...B<sub>n</sub> — правильные выпуклые n-угольники с одинаковыми сторонами (рис. 287). Докажем, что они равны, т. е. совмещаются движением.	+	Доказательство. Докажем сначала второе утверждение теоремы. Итак, пусть Р<sub>1</sub>: А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>...А<sub>n</sub>, P<sub>2</sub>: B<sub>1</sub>B<sub>2</sub>...B<sub>n</sub> — правильные выпуклые n-угольники с одинаковыми сторонами (рис. 287). Докажем, что они равны, т. е. совмещаются движением.

-	Треугольники А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>А<sub>3</sub> и В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>В<sub>3</sub> равны по первому признаку. У них А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>=В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>, А2Аз = В2Вл и [[Image:20-06-61.jpg]]А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>А<sub>3</sub>= [[Image:20-06-61.jpg]]В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>В<sub>3</sub>.	+	Треугольники А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>А<sub>3</sub> и В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>В<sub>3</sub> равны по первому признаку. У них А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>=В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>, А2Аз = В2Вл и [[Image:20-06-61.jpg]]А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>А<sub>3</sub>= [[Image:20-06-61.jpg]]В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>В<sub>3</sub>.

-	<br> <br>[[Image:24-06-87.jpg]]<br><br><br>Подвергнем многоугольник Pi движению, при котором его вершины ~~Ai, А2, A3~~ переходят в вершины ~~Bi, В2, Вз~~ соответственно. Как мы знаем, такое движение существует. При этом вершина А^ перейдет в некоторую точку С. Точки Вл иС лежат по одну сторону с точкой В\ относительно прямой ~~В2В3~~. Так как движение сохраняет углы и расстояния, то /~~^В2ВзС=~~ /-~~В2В3В4~~ и ~~ВЗС~~=~~ВЗВА~~- А значит, точка С совпадает с точкой В^. Итак, при нашем движении вершина А^ переходит в вершину В^. Далее таким же способом заключаем, что вершина переходит в вершину В5 и т. д. То есть многоугольник Р\ переводится движением в многоугольник Р2, а значит, они равны.<br>Чтобы доказать первое утверждение теоремы, подвергнем сначала многоугольник Pi преобразованию подобия, например~~<br>В~~ в~~<br>~~гомотетии,  с  коэффициентом  подобия  ~~k —~~ -р-^-.  При  этом~~<br>~~получим правильный п-угольник Р' с такими же сторонами, как и у ~~Рг.~~<br>По доказанному многоугольник Р' переводится движением в многоугольник Ps, а значит, многоугольник Рг переводится в многоугольник Рг преобразованием подобия и движением. А это есть снова преобразование подобия. Теорема доказана.~~<br>~~У подобных фигур коэффициент подобия равен отношению соответствующих линейных размеров. У правильных «-угольников такими линейными размерами являются длины сторон, радиусы вписанных и описанных окружностей. Отсюда следует, что у правильных п-угольников отношения сторон, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны. А так как периметры п-угольников тоже относятся как стороны, то у правильных п-угольников отношения периметров, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны.<br><br>	+	<br> <br>[[Image:24-06-87.jpg]]<br><br><br>Подвергнем многоугольник P<sub>1</sub> движению, при котором его вершины А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>А<sub>3</sub> переходят в вершины В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>В<sub>3</sub> соответственно. Как мы знаем, такое движение существует. При этом вершина А<sub>4</sub> перейдет в некоторую точку С. Точки В<sub>4</sub> иС лежат по одну сторону с точкой В<sub>1</sub> относительно прямой В<sub>2</sub>В<sub>3</sub>. Так как движение сохраняет углы и расстояния, то [[Image:20-06-61.jpg]]В<sub>2</sub>В<sub>3</sub>С= [[Image:20-06-61.jpg]]В<sub>2</sub>В<sub>3</sub>В<sub>4</sub> и В<sub>З</sub>С=В<sub>З</sub>В<sub>4</sub>- А значит, точка С совпадает с точкой В<sub>4</sub>. Итак, при нашем движении вершина А4<sub></sub> переходит в вершину В<sub>4</sub>. Далее таким же способом заключаем, что вершина переходит в вершину В<sub>5</sub> и т. д. То есть многоугольник Р<sub>1</sub> переводится движением в многоугольник Р<sub>2</sub>, а значит, они равны.<br>
		+
		+	Чтобы доказать первое утверждение теоремы, подвергнем сначала многоугольник P<sub>1</sub> преобразованию подобия, например  в гомотетии,  с  коэффициентом  подобия  [[Image:24-06-88.jpg]]-.  При  этом получим правильный n-угольник Р' с такими же сторонами, как и у Р<sub>2</sub>.
		+
		+	По доказанному многоугольник Р' переводится движением в многоугольник P<sub>2</sub>, а значит, многоугольник Р<sub>1</sub> переводится в многоугольник Р<sub>2</sub> преобразованием подобия и движением. А это есть снова преобразование подобия. Теорема доказана.
		+
		+	У подобных фигур коэффициент подобия равен отношению соответствующих линейных размеров. У правильных n-угольников такими линейными размерами являются длины сторон, радиусы вписанных и описанных окружностей. Отсюда следует, что у правильных n-угольников отношения сторон, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны. А так как периметры n-угольников тоже относятся как стороны, то у правильных n-угольников отношения периметров, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны.<br><br>

	<br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>		<br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

2010-06-24T17:40:38Z

Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

Новая страница

<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 9 класс, Алгебра, урок, на Тему, Подобие правильных выпуклых многоугольников</metakeywords>

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 9 класс|Математика 9 класс]]>>Математика:Подобие правильных выпуклых многоугольников'''

 

                                              '''ПОДОБИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ВЫПУКЛЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ'''

 Теорема 13.4. '''''Правильные выпуклые п-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны'''''.

Доказательство. Докажем сначала второе утверждение теоремы. Итак, пусть Р1: А1А2...Аn, P2: B1B2...Bn — правильные выпуклые n-угольники с одинаковыми сторонами (рис. 287). Докажем, что они равны, т. е. совмещаются движением.

Треугольники А1А2А3 и В1В2В3 равны по первому признаку. У них А1А2=В1В2, А2Аз = В2Вл и [[Image:20-06-61.jpg]]А1А2А3= [[Image:20-06-61.jpg]]В1В2В3.

   [[Image:24-06-87.jpg]] Подвергнем многоугольник Pi движению, при котором его вершины Ai, А2, A3 переходят в вершины Bi, В2, Вз соответственно. Как мы знаем, такое движение существует. При этом вершина А^ перейдет в некоторую точку С. Точки Вл иС лежат по одну сторону с точкой В\ относительно прямой В2В3. Так как движение сохраняет углы и расстояния, то /^В2ВзС= /-В2В3В4 и ВЗС=ВЗВА- А значит, точка С совпадает с точкой В^. Итак, при нашем движении вершина А^ переходит в вершину В^. Далее таким же способом заключаем, что вершина переходит в вершину В5 и т. д. То есть многоугольник Р\ переводится движением в многоугольник Р2, а значит, они равны. Чтобы доказать первое утверждение теоремы, подвергнем сначала многоугольник Pi преобразованию подобия, например В в гомотетии,  с  коэффициентом  подобия  k — -р-^-.  При  этом получим правильный п-угольник Р' с такими же сторонами, как и у Рг. По доказанному многоугольник Р' переводится движением в многоугольник Ps, а значит, многоугольник Рг переводится в многоугольник Рг преобразованием подобия и движением. А это есть снова преобразование подобия. Теорема доказана. У подобных фигур коэффициент подобия равен отношению соответствующих линейных размеров. У правильных «-угольников такими линейными размерами являются длины сторон, радиусы вписанных и описанных окружностей. Отсюда следует, что у правильных п-угольников отношения сторон, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны. А так как периметры п-угольников тоже относятся как стороны, то у правильных п-угольников отношения периметров, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны.  

 ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' 

Планирование по математике , учебники и книги [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], курсы и задачи по математике для 9 класса [[Математика|скачать]] 

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
''''''
Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].