Показательная функция, ее свойства и график - История изменений

User17 в 11:43, 6 августа 2012

2012-08-06T11:43:20Z

User17 в 10:29, 6 августа 2012

2012-08-06T10:29:54Z

← Предыдущая		Версия 10:29, 6 августа 2012
Строка 1:		Строка 1:
-	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>~~Математика:~~ Показательная функция, ее свойства и график~~<metakeywords>Показательная функция, ее свойства и график</metakeywords>~~'''	+	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 10 класс, урок, на Тему, Показательная функция, ее свойства, и график</metakeywords>
		+
		+	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>> Показательная функция, ее свойства и график'''

	<br>		<br>

-	'''~~ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ~~, ~~ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК~~'''<br>Рассмотрим выражение 2х и найдем его значения при различных рациональных значениях переменной х, например, при х=2;	+	'''Показательная функция, ее свойства и график'''<br>Рассмотрим выражение 2х и найдем его значения при различных рациональных значениях переменной х, например, при х=2;

	[[Image:M101.jpg]]<br>Вообще, какое бы рациональное значение мы ни придали переменной х, всегда можно вычислить соответствующее числовое значение выражения 2<sup>х</sup>. Таким образом, можно говорить о показательной функции у=2<sup>х</sup>, определенной на множестве Q рациональных чисел:<br>[[Image:M102.jpg]]<br>Рассмотрим некоторые свойства этой функции.		[[Image:M101.jpg]]<br>Вообще, какое бы рациональное значение мы ни придали переменной х, всегда можно вычислить соответствующее числовое значение выражения 2<sup>х</sup>. Таким образом, можно говорить о показательной функции у=2<sup>х</sup>, определенной на множестве Q рациональных чисел:<br>[[Image:M102.jpg]]<br>Рассмотрим некоторые свойства этой функции.
Строка 79:		Строка 81:
	<br>		<br>

-	<sub>~~Материалы~~ по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн~~]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика\|скачать~~]]</sub>	+	[http://xvatit.com/relax/fun-videos/ '''<sub>Видео</sub>'''] <sub>по математике [[Математика\|скачать]], домашнее задание, учителям и школьникам на помощь [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]]</sub>

	'''<u>Содержание урока</u>'''		'''<u>Содержание урока</u>'''

User9 в 09:07, 6 сентября 2010

2010-09-06T09:07:29Z

← Предыдущая		Версия 09:07, 6 сентября 2010
Строка 53:		Строка 53:
	[[Image:M1051.jpg]]<br>Итак, из уравнения [[Image:M1053.jpg]] мы получили х = 0.<br>		[[Image:M1051.jpg]]<br>Итак, из уравнения [[Image:M1053.jpg]] мы получили х = 0.<br>

-	б) Построив в одной системе координат графики функций [[Image:M1054.jpg]] у = 3, замечаем (см. рис. 205), что они имеют одну общую точку (-1; 3). Значит, уравнение [[Image:M1055.jpg]]  имеет единственный корень х = -1.<br>Итак, из уравнения [[Image:M1056.jpg]]  мы получили х = -1.<br>в) и г) Исходя из тех же соображений, делаем вывод, что уравнение [[Image:~~m1057~~.jpg]] имеет единственный корень, причем для его отыскания графики  соответствующих функций можно и не строить; ясно, что х = - 2, поскольку [[Image:~~m1058~~.jpg]] . Аналогично находим единственный корень уравнения [[Image:~~m1059~~.jpg]]<br>Итак, из уравнения [[Image:~~m1060~~.jpg]] мы получили х =- 2, а из уравнения [[Image:~~m1061~~.jpg]] мы получили х = 2 <br>д) График функции [[Image:~~m1062~~.jpg]] расположен выше графика функции у = 1 при x <0 — это хорошо читается по рис. 205. Значит, решением неравенства  [[Image:~~m1063~~.jpg]]<br>е) График функции [[Image:~~m1064~~.jpg]] расположен ниже графика функции у = 3 при х > —1 — это хорошо читается по рис. 205. Значит, решением неравенства [[Image:~~m1065~~.jpg]]<br>В основе всех выводов, сделанных при решении примера 2, лежало свойство монотонности (убывания) функции [[Image:~~m1066~~.jpg]]. Аналогичные рассуждения позволяют убедиться в справедливости следующих двух теорем.	+	б) Построив в одной системе координат графики функций [[Image:M1054.jpg]] у = 3, замечаем (см. рис. 205), что они имеют одну общую точку (-1; 3). Значит, уравнение [[Image:M1055.jpg]]  имеет единственный корень х = -1.<br>Итак, из уравнения [[Image:M1056.jpg]]  мы получили х = -1.<br>в) и г) Исходя из тех же соображений, делаем вывод, что уравнение [[Image:M1057.jpg]] имеет единственный корень, причем для его отыскания графики  соответствующих функций можно и не строить; ясно, что х = - 2, поскольку [[Image:M1058.jpg]] . Аналогично находим единственный корень уравнения [[Image:M1059.jpg]]<br>Итак, из уравнения [[Image:M1060.jpg]] мы получили х =- 2, а из уравнения [[Image:M1061.jpg]] мы получили х = 2 <br>д) График функции [[Image:M1062.jpg]] расположен выше графика функции у = 1 при x <0 — это хорошо читается по рис. 205. Значит, решением неравенства  [[Image:M1063.jpg]]<br>е) График функции [[Image:M1064.jpg]] расположен ниже графика функции у = 3 при х > —1 — это хорошо читается по рис. 205. Значит, решением неравенства [[Image:M1065.jpg]]<br>В основе всех выводов, сделанных при решении примера 2, лежало свойство монотонности (убывания) функции [[Image:M1066.jpg]]. Аналогичные рассуждения позволяют убедиться в справедливости следующих двух теорем.

-	[[Image:~~m1067~~.jpg]]<br>'''Пример 3.''' Построить график функции у = 3-3<sup>x</sup> +2 и найти наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [-2, 2].<br>'''Решение.''' Можно действовать так: построить график функции у-3<sup>х</sup>, затем осуществить его растяжение от оси х с коэффициентом 3, а затем полученный график поднять вверх на 2 единицы масштаба. Но удобнее воспользоваться тем, что 3- 3* =3<sup>+1,</sup> и, следовательно, строить  график функции у=З<sup>х1 ~~+ 2~~</sup>.	+	[[Image:M1067.jpg]]<br>'''Пример 3.''' Построить график функции у = 3-3<sup>x</sup> +2 и найти наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [-2, 2].<br>'''Решение.''' Можно действовать так: построить график функции у-3<sup>х</sup>, затем осуществить его растяжение от оси х с коэффициентом 3, а затем полученный график поднять вверх на 2 единицы масштаба. Но удобнее воспользоваться тем, что 3- 3* =3<sup>+1,</sup> и, следовательно, строить  график функции у=З<sup>х1 </sup>+ 2.

-	[[Image:~~m1068~~.jpg]]	+	[[Image:M1068.jpg]]

-	~~<br>- у=ах ~(0<а<1у~Г" ~<br>///иКА<br>гггу-н<br>И;<br>254<br>1=-Г<br>-У'1.<br>I<br>-1<br>мм<br>+2.<br>"У =2<br>Рис. 207~~<br>Перейдем, как неоднократно уже делали в таких случаях, к вспомогательной системе координат с началом в точке (-1; 2) — пунктирные прямые х = - 1 и 1/ = 2 на рис. 207. «Привяжем» функцию у=3* к новой системе координат. Для этого выберем контрольные точки для функции<br>( 1Л<br>у=3:~~(0; 1), (1;3), -1;-~~ , но строить их будем не ~~V 3<br>~~в старой, а в новой системе координат (эти точки отмечены на рис. 207). Затем по точкам построим экспоненту — это и будет требуемый график (см. рис. 207).<br>Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения заданной функции на отрезке [-2, 2], воспользуемся тем, что заданная функция возрастает, а потому свои наименьшее и наибольшее значения она принимает соответственно в левом и правом концах отрезка.<br>Итак:~~<br>2)=3-м+2=21;<br>У«=Л2)=3м+2=29~~.<br>Пример 4. Решить уравнение и неравенства:~~<br>а) 5* =6-х; б)5>6-х; в)5<6-х~~.<br>Решение, а) Построим в одной системе координат графики функций у=5* и у=6-х (рис. 208). Они пересекаются в одной точке; судя по чертежу, это — точка (1; 5). Проверка показывает, что на самом деле точка (1; 5) удовлетворяет и уравнению у = 5, и уравнению у=6-х. Абсцисса этой точки служит единственным корнем заданного уравнения.<br>Итак, уравнение 5х = 6- х имеет единственный корень х = 1.<br>б) и в) Экспонента у- 5х лежит выше прямой у=6-х, если х>1, — это хорошо видно на рис. 208. Значит, решение неравенства5>6-х можно записать так: х>1. А решение неравенства 5х <6 - х можно записать так: х < 1.<br>Ответ: а)х = 1; б)х>1; в)х<1.~~<br><br>    --к    у 1~~.1..1.            <br>ч    ч    у-    -5*        <br>    -5                <br>        ч    ч-        <br>            Ч    ч    11<br>    0    1 I        7    = 6-х<br>Рис. 208<br>Пример 5. Дана функция у = /(х), где /()= 10. Доказать, что ~~/(81п2)/(со32) = 10~~.<br>Решение. По условию /(х) = 10. ~~Значит, /(зт2 х) = Ю"1"' , а /(соз2 х) = 10е0' \~~ Имеем:<br>~~/(зт2 х)• /(соз2 х) =10"~~'~~х •10""~~'~~х = ю81"~~'~~х+сов~~' .<br>~~Ноет2 х+соа2х = 1~~. Значит, +«''~~=Ю1 =10.<br>Итак, /(зш2 х) • /(соз2 х) = Ю, что и требовалось доказать~~.  ~~  <Я<br>255<br>Пример 6. Решить уравнение: \| —<br>+ — = 2 7<br>7<br>Решение. Положим /X лс)=^ +12,<br>§(х)-2'.~~ Заметим, что функция у = {(х)убывает, а функция у = §(х) возрастает. Воспользуемся известным фактом: если функция у = /(х)~~убыва-ет~~, а функция у = ё(х)возрастает, и если уравнение ~~Длс~~)=#(лс) имеет корень, то только один. Нетрудно догадаться, что заданное уравнение имеет корень х = 1: подставив значение х = 1 в ~~за-<br>Г2"<br>данное~~ уравнение, получим ~~— ное~~ числовое равенство.<br>                                            <br>                                            <br>                            /                <br>                                            <br>                                            <br>                                            <br>                                    12 У=Т        <br>                                            <br>                                            <br>                                            <br>                0    1                        X<br>                    I                        <br>Рис. 209<br>вер-<br>Так как функция у = ~~\| —~~<br>~~2^1~~<br>~~+ ^ убывает, а функция у = 2"~~ возрастает, то~~<br>~~корень у заданного уравнения только один, и этим корнем является найденное выше значение х = 1 (рис. 209). Ответ: дс = 1.~~<br><br>~~<br>''	+	<br>Перейдем, как неоднократно уже делали в таких случаях, к вспомогательной системе координат с началом в точке (-1; 2) — пунктирные прямые х = - 1 и 1x = 2 на рис. 207. «Привяжем» функцию у=3* к новой системе координат. Для этого выберем контрольные точки для функции [[Image:m1069.jpg]] , но строить их будем не в старой, а в новой системе координат (эти точки отмечены на рис. 207). Затем по точкам построим экспоненту — это и будет требуемый график (см. рис. 207).<br>Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения заданной функции на отрезке [-2, 2], воспользуемся тем, что заданная функция возрастает, а потому свои наименьшее и наибольшее значения она принимает соответственно в левом и правом концах отрезка.<br>Итак:
		+
		+	[[Image:m1070.jpg]]<br>'''Пример 4.''' Решить уравнение и неравенства:
		+
		+	[[Image:m1071.jpg]]<br>'''Решение''', а) Построим в одной системе координат графики функций у=5* и у=6-х (рис. 208). Они пересекаются в одной точке; судя по чертежу, это — точка (1; 5). Проверка показывает, что на самом деле точка (1; 5) удовлетворяет и уравнению у = 5, и уравнению у=6-х. Абсцисса этой точки служит единственным корнем заданного уравнения.<br>Итак, уравнение 5<sup>х</sup> = 6- х имеет единственный корень х = 1.<br>б) и в) Экспонента у- 5х лежит выше прямой у=6-х, если х>1, — это хорошо видно на рис. 208. Значит, решение неравенства5>6-х можно записать так: х>1. А решение неравенства 5х <6 - х можно записать так: х < 1.<br>Ответ: а)х = 1; б)х>1; в)х<1.
		+
		+	[[Image:m1072.jpg]]<br>'''Пример 5. '''Дана функция [[Image:m1073.jpg]]  Доказать, что [[Image:m1074.jpg]]<br>'''Решение.''' По условию [[Image:m1075.jpg]] Имеем:
		+
		+	[[Image:m1076.jpg]]
		+
		+	[[Image:m1077.jpg]]<br>'''Пример 6.''' Решить уравнение:[[Image:m1078.jpg]]<br>'''Решение. '''Положим [[Image:m1079.jpg]]   Заметим, что функция у = f(х)убывает, а функция у =g(х) возрастает. Воспользуемся известным фактом: если функция у = f(х)убывает, а функция у = g(х)возрастает, и если уравнение f()=g(x) имеет корень, то только один. Нетрудно догадаться, что заданное уравнение имеет корень х = 1: подставив значение х = 1 в заданное уравнение, получим [[Image:m1080.jpg]] верное числовое равенство.<br>Так как функция [[Image:m1081.jpg]]  убывает, а функция у = 2<sup>x</sup> возрастает, то корень у заданного уравнения только один, и этим корнем является найденное выше значение х = 1 (рис. 209).
		+
		+	Ответ: x = 1.''<br>''

	<br>		<br>