Показательные уравнения - История изменений

User17 в 11:45, 6 августа 2012

2012-08-06T11:45:58Z

User17 в 10:30, 6 августа 2012

2012-08-06T10:30:08Z

← Предыдущая		Версия 10:30, 6 августа 2012
Строка 1:		Строка 1:
-	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>~~Математика:~~ Показательные уравнения~~<metakeywords>Показательные уравнения</metakeywords>~~'''	+	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 10 класс, урок, на Тему, Показательные уравнения</metakeywords>
		+
		+	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>> Показательные уравнения'''

	<br>		<br>

-	'''§ 46. ~~ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ~~'''<br>Показательными уравнениями называют уравнения вида	+	'''§ 46. Показательные уравнения'''<br>Показательными уравнениями называют уравнения вида

	[[Image:A10125.jpg]]<br>где а — положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.<br>Опираясь на полученные в предыдущем параграфе теоремы 1 и 3, согласно которым равенство [[Image:A10126.jpg]], справедливо тогда и только тогда, когда t =s, мы можем сформулировать следующее утверждение.		[[Image:A10125.jpg]]<br>где а — положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.<br>Опираясь на полученные в предыдущем параграфе теоремы 1 и 3, согласно которым равенство [[Image:A10126.jpg]], справедливо тогда и только тогда, когда t =s, мы можем сформулировать следующее утверждение.
Строка 49:		Строка 51:
	<br>		<br>

-	<sub>~~Материалы~~ по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], ~~задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике~~ [[Математика\|скачать]]</sub>	+	<br> <br> <sub>Календарно-тематическое планирование по математике, [http://xvatit.com/it/audio_television/ '''видео'''] по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], Математика в школе [[Математика\|скачать]]</sub>

	'''<u>Содержание урока</u>'''		'''<u>Содержание урока</u>'''

User9 в 15:17, 6 августа 2010

2010-08-06T15:17:49Z

← Предыдущая		Версия 15:17, 6 августа 2010
Строка 9:		Строка 9:
	[[Image:A10127.jpg]]<br>'''Пример 1. '''Решить уравнения:		[[Image:A10127.jpg]]<br>'''Пример 1. '''Решить уравнения:

-	[[Image:A10128.jpg]]<br>'''Решение.''' а) Представив 64 как 2<sup>6</sup> , перепишем заданное уравнение в виде 2<sup>2x-4</sup> =2<sup>6</sup>. Это уравнение равносильно уравнению 2x -4=6, откуда находим: х = 5.<br>б) Представив [[Image:A10129.jpg]] перепишем заданное уравнение в виде [[Image:A10130.jpg]]<br> Это уравнение равносильно уравнению 2x - 3,5 = 0,5, откуда находим: х = 2<br>в) Заданное уравнение равносильно уравнению х<sup>2</sup> - Зx = Зx-8. Далее имеем:	+	[[Image:A10128.jpg]]<br>'''Решение.''' а) Представив 64 как 2<sup>6</sup> , перепишем заданное уравнение в виде 2<sup>2x-4</sup> =2<sup>6</sup>. Это уравнение равносильно уравнению 2x -4=6, откуда находим: х = 5.<br>б) Представив [[Image:A10129.jpg]] перепишем заданное уравнение в виде [[Image:A10130.jpg]]<br> Это уравнение равносильно уравнению 2x - 3,5 = 0,5, откуда находим: х = 2<br>в) Заданное уравнение равносильно уравнению х<sup>2</sup> - Зx = Зx-8. Далее имеем:

-	[[Image:~~a10131~~.jpg]]<br>'''Пример 2.''' Решить уравнение: [[Image:~~a10132~~.jpg]]<br>'''Решение. '''Здесь есть возможность и левую, и правую части уравнения представить в виде степени с основанием 5. В самом деле:	+	[[Image:A10131.jpg]]<br>'''Пример 2.''' Решить уравнение: [[Image:A10132.jpg]]<br>'''Решение. '''Здесь есть возможность и левую, и правую части уравнения представить в виде степени с основанием 5. В самом деле:

-	[[Image:~~a10133~~.jpg]]<br>Таким образом, заданное уравнение мы преобразовали к виду: 5<sup>~х</sup>=5<sup>-2х.</sup><br>Далее получаем:x = 5-2 x и, следовательно, x = 5.   <br>'''Пример 3.''' Решить уравнение: [[Image:~~a10134~~.jpg]]<br>'''Решение.''' Заметив, что [[Image:~~a10135~~.jpg]] перепишем заданное уравнение в виде:	+	[[Image:A10133.jpg]]<br>Таким образом, заданное уравнение мы преобразовали к виду: 5<sup>~х</sup>=5<sup>-2х.</sup><br>Далее получаем:x = 5-2 x и, следовательно, x = 5.   <br>'''Пример 3.''' Решить уравнение: [[Image:A10134.jpg]]<br>'''Решение.''' Заметив, что [[Image:A10135.jpg]] перепишем заданное уравнение в виде:

-	[[Image:~~a10136~~.jpg]]<br>Есть смысл ввести новую переменную у = 2<sup>х</sup>; тогда уравнение примет вид: у<sup>2</sup> + 2у -24 = 0. Решив квадратное уравнение относительно у, находим у<sup>1</sup> =4, у<sup>2</sup> =-6. Но у = 2<sup>x</sup>, значит, нам остается решить два уравнения:<br>2<sup>х</sup> =4; 2<sup>х</sup> =-6.<br>Из первого уравнения находим x = 2, а второе уравнение не имеет корней, поскольку при любых значениях х выполняется неравенство 2<sup>х</sup> >0.<br>'''Ответ''': х = 2.<br>Подведем некоторые итоги. Можно выделить три основных метода решения показательных уравнений:<br>1) Функционально-графическийметод.    Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций. Мы применяли этот метод в § 45.<br>2)    Метод уравнивания показателей. Он основан на теореме о том, что уравнение [[Image:~~a10137~~.jpg]] равносильно уравнению f(х) = g(х), где a — положительное число, отличное от 1. Мы применили этот метод в примерах 1 и 2.<br>3)    Метод введения новой переменной. Мы применили этот метод в примере 3.<br>Рассмотрим более сложный пример, в котором для решения показательного уравнения используется метод введения новой переменной, и пример решения системы показательных уравнений.<br>'''Пример 4. '''Решить уравнение:<br>~~52+1 -13- 15х + 54-9"1 =0.~~ Решение. Воспользуемся тем, что~~<br>52хЛ=5-52', 15х = 5х 3х,<br>549'1 =54 — =6 9'=6 3?'~~. 9<br>Это позволяет переписать заданное уравнение в более удобном виде:<br>~~5 52х-13 5х Зх+6 32х=0.~~ Разделив обе части уравнения почленно наЗ2, получим равносильное ему уравнение:~~<br>ИСГ-'Н!)'^0-<br>С2«    2х<br>(2)<br>~~Мы воспользовались тем, что~~<br>З2'<br>, и тем, что -<br>5х 3х~~<br>Теперь, как видите, «проявилась» новая переменная: ~~у =<br>5^(5<br>зх=~~[~~з<br>5 "<br>~~,~~относи-<br>тельно~~ которой уравнение (2) имеет вид квадратного уравнения:~~<br>бу2 -131/+ 6 = 0~~.~~<br>3~~<br>Корнями этого уравнения служат числа ~~у1 =-, у2 =2~~. Значит, нам ~~оста-<br>5<br>ется~~ решить два уравнения:~~<br>= 2~~.<br>С первым из этих уравнений проблем нет:~~<br>Л-1<br>Г'<br>3<br>у—<br>у= 2—<br>х=т-1~~.<br>Со вторым уравнением у нас возникает проблема: как представить число 2 в виде некоторой~~<br>~~степени числа -, мы пока не знаем. Между тем<br>второе уравнение тоже имеет единственный корень — это хорошо видно из графической иллюстрации, представленной на рис. 210. Придется нам в дальнейшем еще раз вернуться к этому уравнению.<br>Ответ: х1 =-1, ~~х2 — корень уравнения~~<br>~~Рис. 210~~<br>~~= 2~~.<br>Пример 5. Решить систему уравнений:~~<br>\|2-(>/2Г» =168хЛ~~ [~~9х" -3х" = 72~~.<br>Решение. 1) Преобразуем первое уравнение системы к более простому виду:~~<br>258<br>2 (>/2 Г' =16""',<br>2-2^<х+1,) =2 4<8-"), ц1''») 2 2 =212х~4<br>1    + ^^=12-41/,<br>2<br>2    + Х+1/ = 24лс-81/,<br>23Х-91/ = 2~~.<br>2)    Преобразуем второе уравнение системы к более простому виду. Введем новую переменную ~~г=3+"~~. Тогда второе уравнение системы примет вид: г2 - г = 72, откуда находим: г1 =9, г2 = -8.<br>Из уравнения ~~3** = 9~~ находим х + у = 2; уравнение ~~3х" = -8~~ не имеет решений.<br>Итак, второе уравнение системы нам удалось преобразовать к виду: х + у = 2.<br>3)    Решим полученную систему уравнений:~~<br>(23х-9у = 2, \х + у=2~~.<br>Умножим обе части второго уравнения на 9 и сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:~~<br>(23х-9у)+(9х + 9у)=2 +18,<br>32=20, х = ~~~.~~<br>8<br>5    11~~<br>Из уравнения х + у = 2 находим: ~~—+ у = 2, у-—~~.<br>~~8 8<br>г5 1Г<br>Ответ: -; — 8 8<br>V''~~	+	[[Image:A10136.jpg]]<br>Есть смысл ввести новую переменную у = 2<sup>х</sup>; тогда уравнение примет вид: у<sup>2</sup> + 2у -24 = 0. Решив квадратное уравнение относительно у, находим у<sup>1</sup> =4, у<sup>2</sup> =-6. Но у = 2<sup>x</sup>, значит, нам остается решить два уравнения:<br>2<sup>х</sup> =4; 2<sup>х</sup> =-6.<br>Из первого уравнения находим x = 2, а второе уравнение не имеет корней, поскольку при любых значениях х выполняется неравенство 2<sup>х</sup> >0.<br>'''Ответ''': х = 2.<br>Подведем некоторые итоги. Можно выделить три основных метода решения показательных уравнений:<br>1) Функционально-графическийметод.    Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций. Мы применяли этот метод в § 45.<br>2)    Метод уравнивания показателей. Он основан на теореме о том, что уравнение [[Image:A10137.jpg]] равносильно уравнению f(х) = g(х), где a — положительное число, отличное от 1. Мы применили этот метод в примерах 1 и 2.<br>3)    Метод введения новой переменной. Мы применили этот метод в примере 3.<br>Рассмотрим более сложный пример, в котором для решения показательного уравнения используется метод введения новой переменной, и пример решения системы показательных уравнений.<br>'''Пример 4. '''Решить уравнение:
		+
		+	[[Image:a10138.jpg]]<br>''' Решение. '''Воспользуемся тем, что
		+
		+	[[Image:a10139.jpg]]<br>Это позволяет переписать заданное уравнение в более удобном виде:
		+
		+	[[Image:a10140.jpg]]<br>Разделив обе части уравнения почленно на З<sup>2x</sup>, получим равносильное ему уравнение:
		+
		+	[[Image:a10141.jpg]]
		+
		+	Мы воспользовались тем, что [[Image:a10142.jpg]]<br>Теперь, как видите, «проявилась» новая переменная: [[Image:a10143.jpg]] ,относительно которой уравнение (2) имеет вид квадратного уравнения:
		+
		+	[[Image:a10144.jpg]]<br>Корнями этого уравнения служат числа [[Image:a10145.jpg]] Значит, нам остается решить два уравнения:
		+
		+	[[Image:a10146.jpg]]<br>С первым из этих уравнений проблем нет:
		+
		+	[[Image:a10147.jpg]]<br>Со вторым уравнением у нас возникает проблема: как представить число 2 в виде некоторой степени числа [[Image:a10148.jpg]] мы пока не знаем. Между тем<br>второе уравнение тоже имеет единственный корень — это хорошо видно из графической иллюстрации, представленной на рис. 210. Придется нам в дальнейшем еще раз вернуться к этому уравнению.<br>'''Ответ:''' х<sup>1</sup> =-1, х<sup>2</sup> — корень уравнения [[Image:a10149.jpg]]<br>'''Пример 5.''' Решить систему уравнений:
		+
		+	[[Image:a10150.jpg]]<br>'''Решение.''' 1) Преобразуем первое уравнение системы к более простому виду:
		+
		+	[[Image:a10151.jpg]]<br>2)    Преобразуем второе уравнение системы к более простому виду. Введем новую переменную [[Image:a10152.jpg]] Тогда второе уравнение системы примет вид: z<sup>2</sup> - z = 72, откуда находим:z<sup>1</sup> =9, z<sup>2</sup> = -8.<br>Из уравнения [[Image:a10153.jpg]] находим х + у = 2; уравнение [[Image:a10154.jpg]] не имеет решений.<br>Итак, второе уравнение системы нам удалось преобразовать к виду: х + у = 2.<br>3)    Решим полученную систему уравнений:
		+
		+	[[Image:a10155.jpg]]<br>Умножим обе части второго уравнения на 9 и сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:
		+
		+	[[Image:a10156.jpg]]<br>Из уравнения х + у = 2 находим:
		+
		+	[[Image:a10157.jpg]]
		+
		+	<br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9 в 14:59, 6 августа 2010

2010-08-06T14:59:52Z

← Предыдущая		Версия 14:59, 6 августа 2010
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Показательные уравнения<metakeywords>Показательные уравнения</metakeywords>'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Показательные уравнения<metakeywords>Показательные уравнения</metakeywords>'''

		+	<br>

		+	'''§ 46. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ'''<br>Показательными уравнениями называют уравнения вида

-	~~'''§ 46~~. ~~ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ'''~~<br>~~Показательными уравнениями называют~~ уравнения ~~вида~~	+	[[Image:A10125.jpg]]<br>где а — положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.<br>Опираясь на полученные в предыдущем параграфе теоремы 1 и 3, согласно которым равенство [[Image:A10126.jpg]], справедливо тогда и только тогда, когда t =s, мы можем сформулировать следующее утверждение.

-	[[Image:~~a10125~~.jpg]]<br>~~где а — положительное число, отличное от~~ 1~~, и~~ уравнения, сводящиеся к этому виду.<br>Опираясь на полученные в предыдущем параграфе теоремы 1 и 3, согласно которым равенство [[Image:~~a10126.jpg]], справедливо тогда и только тогда, когда t =s, мы можем сформулировать следующее утверждение.~~	+	[[Image:A10127.jpg]]<br>'''Пример 1. '''Решить уравнения:

-	[[Image:~~a10127~~.jpg]]<br>'''~~Пример 1~~. '''~~Решить уравнения~~:	+	[[Image:A10128.jpg]]<br>'''Решение.''' а) Представив 64 как 2<sup>6</sup> , перепишем заданное уравнение в виде 2<sup>2x-4</sup> =2<sup>6</sup>. Это уравнение равносильно уравнению 2x -4=6, откуда находим: х = 5.<br>б) Представив [[Image:A10129.jpg]] перепишем заданное уравнение в виде [[Image:A10130.jpg]]<br> Это уравнение равносильно уравнению 2x - 3,5 = 0,5, откуда находим: х = 2<br>в) Заданное уравнение равносильно уравнению х<sup>2</sup> - Зx = Зx-8. Далее имеем:

-	[[Image:~~a10128~~.jpg]]<br>'''~~Решение~~.''' ~~а) Представив 64 как 2<sup>6</sup> , перепишем заданное~~ уравнение ~~в виде 2<sup>2x-4</sup> =2<sup>6</sup>. Это уравнение равносильно уравнению 2x -4=6, откуда находим~~: ~~х = 5.<br>б) Представив~~ [[Image:~~a10129.jpg]] перепишем заданное уравнение в виде [[Image:a10130~~.jpg]]<br> Это уравнение равносильно уравнению 2x - 3,5 = 0,5, откуда находим: х = 2<br>в) Заданное уравнение равносильно уравнению х2 - Зле = Зле-8. Далее имеем:<br>х2 -6лс + 8=0;<br>х1=2, =4.    <■<br>(О 2)'~~~0,5<br>Пример 2. Решить уравнение: ——— = 5-0,04х-2.<br>V 5<br>~~Решение. Здесь есть возможность и левую, и правую части уравнения представить в виде степени с основанием 5. В самом деле:~~<br>1 V-0'5<br>1 (5 1)дг"0'5 =50,5"<br>1)(0>2) . к<br>I 5<br>1<br>2)    -Уб =5^ =50,5;<br>3)    50,5~х~~ :~~50,5 =50'5--0-5 = 5"х;<br>1 Л1-2 4)5 0,04х"2 =5 I — 1 25<br>= 5 (5"2Г2 =5 5~2х+4 = 51"2х+4 =55"21~~.<br>Таким образом, заданное уравнение мы преобразовали к виду:<br>5~х=5-2х.<br>Далее получаем: ~~-лс~~ = 5-~~2лс~~ и, следовательно, лс = 5.  ~~  <Д~~<br>Пример 3. Решить уравнение: ~~4х + 2х1 - 24 = 0~~.<br>Решение. Заметив, что ~~4х =(22) =22х =(2Х)2, а2х+1=2-2х,~~ перепишем заданное уравнение в виде:~~<br>(2х/ +2 2'-24 = 0~~.<br>Есть смысл ввести новую переменную у = 2х; тогда уравнение примет вид: у2 + 2у -24 = 0. Решив квадратное уравнение относительно у, находим у1 =4, у2 =-6. Но у = 2", значит, нам остается решить два уравнения:<br>2х =4; 2х =-6.<br>Из первого уравнения находим лс = 2, а второе уравнение не имеет корней, поскольку при любых значениях х выполняется неравенство 2х >0.<br>Ответ: х = 2.<br>Подведем некоторые итоги. Можно выделить три основных метода решения показательных уравнений:<br>1)Функционально-графическийметод.    Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций. Мы применяли этот метод в § 45.<br>2)    Метод уравнивания показателей. Он основан на теореме о том, что уравнение ~~аПх) =а'(х)~~ равносильно уравнению {(х) = 8(х), где о — положительное число, отличное от 1. Мы применили этот метод в примерах 1 и 2.<br>3)    Метод введения новой переменной. Мы применили этот метод в примере 3.<br>Рассмотрим более сложный пример, в котором для решения показательного уравнения используется метод введения новой переменной, и пример решения системы показательных уравнений.<br>~~9 Мордкович .Алгебра, 10 кл.»<br>257<br>~~Пример 4. Решить уравнение:<br>52+1 -13- 15х + 54-9"1 =0. Решение. Воспользуемся тем, что<br>52хЛ=5-52', 15х = 5х 3х,<br>549'1 =54 — =6 9'=6 3?'. 9<br>Это позволяет переписать заданное уравнение в более удобном виде:<br>5 52х-13 5х Зх+6 32х=0. Разделив обе части уравнения почленно наЗ2, получим равносильное ему уравнение:<br>ИСГ-'Н!)'^0-<br>С2«    2х<br>(2)<br>Мы воспользовались тем, что<br>З2'<br>, и тем, что -<br>5х 3х<br>Теперь, как видите, «проявилась» новая переменная: у =<br>5^(5<br>зх=[з<br>5 "<br>,относи-<br>тельно которой уравнение (2) имеет вид квадратного уравнения:<br>бу2 -131/+ 6 = 0.<br>3<br>Корнями этого уравнения служат числа у1 =-, у2 =2. Значит, нам оста-<br>5<br>ется решить два уравнения:<br>= 2.<br>С первым из этих уравнений проблем нет:<br>Л-1<br>Г'<br>3<br>у—<br>у= 2—<br>х=т-1.<br>Со вторым уравнением у нас возникает проблема: как представить число 2 в виде некоторой<br>степени числа -, мы пока не знаем. Между тем<br>второе уравнение тоже имеет единственный корень — это хорошо видно из графической иллюстрации, представленной на рис. 210. Придется нам в дальнейшем еще раз вернуться к этому уравнению.<br>Ответ: х1 =-1, х2 — корень уравнения<br>Рис. 210<br>= 2.<br>Пример 5. Решить систему уравнений:<br>\|2-(>/2Г» =168хЛ [9х" -3х" = 72.<br>Решение. 1) Преобразуем первое уравнение системы к более простому виду:<br>258<br>2 (>/2 Г' =16""',<br>2-2^<х+1,) =2 4<8-"), ц1''») 2 2 =212х~4<br>1    + ^^=12-41/,<br>2<br>2    + Х+1/ = 24лс-81/,<br>23Х-91/ = 2.<br>2)    Преобразуем второе уравнение системы к более простому виду. Введем новую переменную г=3+". Тогда второе уравнение системы примет вид: г2 - г = 72, откуда находим: г1 =9, г2 = -8.<br>Из уравнения 3** = 9 находим х + у = 2; уравнение 3х" = -8 не имеет решений.<br>Итак, второе уравнение системы нам удалось преобразовать к виду: х + у = 2.<br>3)    Решим полученную систему уравнений:<br>(23х-9у = 2, \х + у=2.<br>Умножим обе части второго уравнения на 9 и сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:<br>(23х-9у)+(9х + 9у)=2 +18,<br>32=20, х = ~.<br>8<br>5    11<br>Из уравнения х + у = 2 находим: —+ у = 2, у-—.<br>8 8<br>г5 1Г<br>Ответ: -; — 8 8<br>V	+	[[Image:a10131.jpg]]<br>'''Пример 2.''' Решить уравнение: [[Image:a10132.jpg]]<br>'''Решение. '''Здесь есть возможность и левую, и правую части уравнения представить в виде степени с основанием 5. В самом деле:
		+
		+	[[Image:a10133.jpg]]<br>Таким образом, заданное уравнение мы преобразовали к виду: 5<sup>~х</sup>=5<sup>-2х.</sup><br>Далее получаем:x = 5-2 x и, следовательно, x = 5.   <br>'''Пример 3.''' Решить уравнение: [[Image:a10134.jpg]]<br>'''Решение.''' Заметив, что [[Image:a10135.jpg]] перепишем заданное уравнение в виде:
		+
		+	[[Image:a10136.jpg]]<br>Есть смысл ввести новую переменную у = 2<sup>х</sup>; тогда уравнение примет вид: у<sup>2</sup> + 2у -24 = 0. Решив квадратное уравнение относительно у, находим у<sup>1</sup> =4, у<sup>2</sup> =-6. Но у = 2<sup>x</sup>, значит, нам остается решить два уравнения:<br>2<sup>х</sup> =4; 2<sup>х</sup> =-6.<br>Из первого уравнения находим x = 2, а второе уравнение не имеет корней, поскольку при любых значениях х выполняется неравенство 2<sup>х</sup> >0.<br>'''Ответ''': х = 2.<br>Подведем некоторые итоги. Можно выделить три основных метода решения показательных уравнений:<br>1) Функционально-графическийметод.    Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций. Мы применяли этот метод в § 45.<br>2)    Метод уравнивания показателей. Он основан на теореме о том, что уравнение [[Image:a10137.jpg]] равносильно уравнению f(х) = g(х), где a — положительное число, отличное от 1. Мы применили этот метод в примерах 1 и 2.<br>3)    Метод введения новой переменной. Мы применили этот метод в примере 3.<br>Рассмотрим более сложный пример, в котором для решения показательного уравнения используется метод введения новой переменной, и пример решения системы показательных уравнений.<br>'''Пример 4. '''Решить уравнение:<br>52+1 -13- 15х + 54-9"1 =0. Решение. Воспользуемся тем, что<br>52хЛ=5-52', 15х = 5х 3х,<br>549'1 =54 — =6 9'=6 3?'. 9<br>Это позволяет переписать заданное уравнение в более удобном виде:<br>5 52х-13 5х Зх+6 32х=0. Разделив обе части уравнения почленно наЗ2, получим равносильное ему уравнение:<br>ИСГ-'Н!)'^0-<br>С2«    2х<br>(2)<br>Мы воспользовались тем, что<br>З2'<br>, и тем, что -<br>5х 3х<br>Теперь, как видите, «проявилась» новая переменная: у =<br>5^(5<br>зх=[з<br>5 "<br>,относи-<br>тельно которой уравнение (2) имеет вид квадратного уравнения:<br>бу2 -131/+ 6 = 0.<br>3<br>Корнями этого уравнения служат числа у1 =-, у2 =2. Значит, нам оста-<br>5<br>ется решить два уравнения:<br>= 2.<br>С первым из этих уравнений проблем нет:<br>Л-1<br>Г'<br>3<br>у—<br>у= 2—<br>х=т-1.<br>Со вторым уравнением у нас возникает проблема: как представить число 2 в виде некоторой<br>степени числа -, мы пока не знаем. Между тем<br>второе уравнение тоже имеет единственный корень — это хорошо видно из графической иллюстрации, представленной на рис. 210. Придется нам в дальнейшем еще раз вернуться к этому уравнению.<br>Ответ: х1 =-1, х2 — корень уравнения<br>Рис. 210<br>= 2.<br>Пример 5. Решить систему уравнений:<br>\|2-(>/2Г» =168хЛ [9х" -3х" = 72.<br>Решение. 1) Преобразуем первое уравнение системы к более простому виду:<br>258<br>2 (>/2 Г' =16""',<br>2-2^<х+1,) =2 4<8-"), ц1''») 2 2 =212х~4<br>1    + ^^=12-41/,<br>2<br>2    + Х+1/ = 24лс-81/,<br>23Х-91/ = 2.<br>2)    Преобразуем второе уравнение системы к более простому виду. Введем новую переменную г=3+". Тогда второе уравнение системы примет вид: г2 - г = 72, откуда находим: г1 =9, г2 = -8.<br>Из уравнения 3** = 9 находим х + у = 2; уравнение 3х" = -8 не имеет решений.<br>Итак, второе уравнение системы нам удалось преобразовать к виду: х + у = 2.<br>3)    Решим полученную систему уравнений:<br>(23х-9у = 2, \х + у=2.<br>Умножим обе части второго уравнения на 9 и сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:<br>(23х-9у)+(9х + 9у)=2 +18,<br>32=20, х = ~.<br>8<br>5    11<br>Из уравнения х + у = 2 находим: —+ у = 2, у-—.<br>8 8<br>г5 1Г<br>Ответ: -; — 8 8<br>V''

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9 в 14:50, 6 августа 2010

2010-08-06T14:50:55Z

← Предыдущая		Версия 14:50, 6 августа 2010
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Показательные уравнения<metakeywords>Показательные уравнения</metakeywords>'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Показательные уравнения<metakeywords>Показательные уравнения</metakeywords>'''
		+
		+
		+
		+	'''§ 46. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ'''<br>Показательными уравнениями называют уравнения вида
		+
		+	[[Image:a10125.jpg]]<br>где а — положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.<br>Опираясь на полученные в предыдущем параграфе теоремы 1 и 3, согласно которым равенство [[Image:a10126.jpg]], справедливо тогда и только тогда, когда t =s, мы можем сформулировать следующее утверждение.
		+
		+	[[Image:a10127.jpg]]<br>'''Пример 1. '''Решить уравнения:
		+
		+	[[Image:a10128.jpg]]<br>'''Решение.''' а) Представив 64 как 2<sup>6</sup> , перепишем заданное уравнение в виде 2<sup>2x-4</sup> =2<sup>6</sup>. Это уравнение равносильно уравнению 2x -4=6, откуда находим: х = 5.<br>б) Представив [[Image:a10129.jpg]] перепишем заданное уравнение в виде [[Image:a10130.jpg]]<br> Это уравнение равносильно уравнению 2x - 3,5 = 0,5, откуда находим: х = 2<br>в) Заданное уравнение равносильно уравнению х2 - Зле = Зле-8. Далее имеем:<br>х2 -6лс + 8=0;<br>х1=2, =4.    <■<br>(О 2)'~0,5<br>Пример 2. Решить уравнение: ——— = 5-0,04х-2.<br>V 5<br>Решение. Здесь есть возможность и левую, и правую части уравнения представить в виде степени с основанием 5. В самом деле:<br>1 V-0'5<br>1 (5 1)дг"0'5 =50,5"<br>1)(0>2) . к<br>I 5<br>1<br>2)    -Уб =5^ =50,5;<br>3)    50,5~х :50,5 =50'5--0-5 = 5"х;<br>1 Л1-2 4)5 0,04х"2 =5 I — 1 25<br>= 5 (5"2Г2 =5 5~2х+4 = 51"2х+4 =55"21.<br>Таким образом, заданное уравнение мы преобразовали к виду:<br>5~х=5-2х.<br>Далее получаем: -лс = 5-2лс и, следовательно, лс = 5.    <Д<br>Пример 3. Решить уравнение: 4х + 2х1 - 24 = 0.<br>Решение. Заметив, что 4х =(22) =22х =(2Х)2, а2х+1=2-2х, перепишем заданное уравнение в виде:<br>(2х/ +2 2'-24 = 0.<br>Есть смысл ввести новую переменную у = 2х; тогда уравнение примет вид: у2 + 2у -24 = 0. Решив квадратное уравнение относительно у, находим у1 =4, у2 =-6. Но у = 2", значит, нам остается решить два уравнения:<br>2х =4; 2х =-6.<br>Из первого уравнения находим лс = 2, а второе уравнение не имеет корней, поскольку при любых значениях х выполняется неравенство 2х >0.<br>Ответ: х = 2.<br>Подведем некоторые итоги. Можно выделить три основных метода решения показательных уравнений:<br>1)Функционально-графическийметод.    Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций. Мы применяли этот метод в § 45.<br>2)    Метод уравнивания показателей. Он основан на теореме о том, что уравнение аПх) =а'(х) равносильно уравнению {(х) = 8(х), где о — положительное число, отличное от 1. Мы применили этот метод в примерах 1 и 2.<br>3)    Метод введения новой переменной. Мы применили этот метод в примере 3.<br>Рассмотрим более сложный пример, в котором для решения показательного уравнения используется метод введения новой переменной, и пример решения системы показательных уравнений.<br>9 Мордкович .Алгебра, 10 кл.»<br>257<br>Пример 4. Решить уравнение:<br>52+1 -13- 15х + 54-9"1 =0. Решение. Воспользуемся тем, что<br>52хЛ=5-52', 15х = 5х 3х,<br>549'1 =54 — =6 9'=6 3?'. 9<br>Это позволяет переписать заданное уравнение в более удобном виде:<br>5 52х-13 5х Зх+6 32х=0. Разделив обе части уравнения почленно наЗ2, получим равносильное ему уравнение:<br>ИСГ-'Н!)'^0-<br>С2«    2х<br>(2)<br>Мы воспользовались тем, что<br>З2'<br>, и тем, что -<br>5х 3х<br>Теперь, как видите, «проявилась» новая переменная: у =<br>5^(5<br>зх=[з<br>5 "<br>,относи-<br>тельно которой уравнение (2) имеет вид квадратного уравнения:<br>бу2 -131/+ 6 = 0.<br>3<br>Корнями этого уравнения служат числа у1 =-, у2 =2. Значит, нам оста-<br>5<br>ется решить два уравнения:<br>= 2.<br>С первым из этих уравнений проблем нет:<br>Л-1<br>Г'<br>3<br>у—<br>у= 2—<br>х=т-1.<br>Со вторым уравнением у нас возникает проблема: как представить число 2 в виде некоторой<br>степени числа -, мы пока не знаем. Между тем<br>второе уравнение тоже имеет единственный корень — это хорошо видно из графической иллюстрации, представленной на рис. 210. Придется нам в дальнейшем еще раз вернуться к этому уравнению.<br>Ответ: х1 =-1, х2 — корень уравнения<br>Рис. 210<br>= 2.<br>Пример 5. Решить систему уравнений:<br>\|2-(>/2Г» =168хЛ [9х" -3х" = 72.<br>Решение. 1) Преобразуем первое уравнение системы к более простому виду:<br>258<br>2 (>/2 Г' =16""',<br>2-2^<х+1,) =2 4<8-"), ц1''») 2 2 =212х~4<br>1    + ^^=12-41/,<br>2<br>2    + Х+1/ = 24лс-81/,<br>23Х-91/ = 2.<br>2)    Преобразуем второе уравнение системы к более простому виду. Введем новую переменную г=3+". Тогда второе уравнение системы примет вид: г2 - г = 72, откуда находим: г1 =9, г2 = -8.<br>Из уравнения 3** = 9 находим х + у = 2; уравнение 3х" = -8 не имеет решений.<br>Итак, второе уравнение системы нам удалось преобразовать к виду: х + у = 2.<br>3)    Решим полученную систему уравнений:<br>(23х-9у = 2, \х + у=2.<br>Умножим обе части второго уравнения на 9 и сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:<br>(23х-9у)+(9х + 9у)=2 +18,<br>32=20, х = ~.<br>8<br>5    11<br>Из уравнения х + у = 2 находим: —+ у = 2, у-—.<br>8 8<br>г5 1Г<br>Ответ: -; — 8 8<br>V

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9: Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

2010-08-06T14:40:05Z

Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]>>Математика: Показательные уравнения<metakeywords>Показательные уравнения</metakeywords>'''

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

 

Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие

Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].