User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

2010-06-12T17:54:35Z

Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

Новая страница

<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Понятие квадратного корня из неотрицательного числа</metakeywords>

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]>>Математика:Понятие квадратного корня из неотрицательного числа'''

 

                                '''ПОНЯТИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОГО ЧИСЛА '''

 Рассмотрим уравнение х2 = 4. Решим его графически. Для этого в одной системе координат построим параболу у = х2 и прямую у = 4 (рис. 74). Они пересекаются в двух точках А (- 2; 4) и B(2; 4). Абсциссы точек А и В являются корнями уравнения х2 = 4. Итак, х1 = - 2, х2 = 2.

Рассуждая точно так же, находим корни уравнения х2 = 9 (см. рис. 74): x1 = - 3, х2 = 3. 

А теперь попробуем решить уравнение х2 = 5; геометрическая иллюстрация представлена на рис. 75. Ясно, что это уравнение имеет два корня х1 и х2, причем эти числа, как и в двух предыдущих случаях, равны по абсолютной величине и противоположны по знаку (х1 — - х2)- Но в отличие от предыдущих случаев, где корни уравнения были найдены без труда (причем их можно было найти и не пользуясь графиками), с уравнением х2 = 5 дело обстоит не так: по чертежу мы не можем указать значения корней, можем только установить, что один корень располагается чуть левее точки - 2, а второй — чуть правее 

точки 2. 

 

[[Image:12-06-11.jpg]] Что же это за число (точка), которое располагается чуть правее точки 2 и которое в квадрате дает 5? Ясно, что это не 3, так как З2 = 9, т. е. получается больше, чем нужно (9 > 5).

Значит, интересующее нас число расположено между числами 2 и 3. Но между числами 2 и 3 находится бесконечное множество рациональных чисел, например [[Image:12-06-12.jpg]] и т. д. Может быть, среди них найдется такая дробь [[Image:12-06-13.jpg]], что [[Image:12-06-14.jpg]]? Тогда никаких проблем с уравнением х2 — 5 у нас не будет, мы сможем написать, что [[Image:12-06-15.jpg]] Но тут нас ждет неприятный сюрприз. Оказывается, нет такой дроби [[Image:12-06-16.jpg]], для которой выполняется равенство [[Image:12-06-14.jpg]] Доказательство сформулированного утверждения довольно сложно. Тем не менее мы его приводим, поскольку оно красиво и поучительно, очень полезно попытаться его понять.

Предположим, что имеется такая несократимая дробь [[Image:12-06-16.jpg]] , для которой выполняется равенство [[Image:12-06-14.jpg]]. Тогда [[Image:12-06-17.jpg]], т. е. m2 = 5n2. Последнее равенство означает, что натуральное число m2 делится без остатка на 5 (в частном получится п2).

Следовательно, число m2 оканчивается либо цифрой 5, либо цифрой 0. Но тогда и натуральное число m оканчивается либо цифрой 5, либо цифрой 0, т.е. число m делится на 5 без остатка. Иными словами, если число т разделить на 5, то в частном получится какое-то натуральное число k. Это значит, что m = 5k. А теперь смотрите: m2 = 5n2; Подставим 5k вместо m в первое равенство:

(5k)2 = 5n2, т. е. 25k2 = 5n2 или n2 = 5k2. Последнее равенство означает, что число. 5n2 делится на 5 без остатка. Рассуждая, как и выше, приходим к выводу о том, что и число n делится на 5 без остатка. Итак, m делится на 5, n делится на 5, значит, дробь [[Image:12-06-16.jpg]] можно сократить (на 5). Но ведь мы предполагали, что дробь [[Image:12-06-16.jpg]]  несократимая. В чем же дело? Почему, правильно рассуждая, мы пришли к абсурду или, как чаще говорят математики, получили противоречие"! Да потому, что неверной была исходная посылка, будто бы существует такая несократимая дробь [[Image:12-06-16.jpg]] , для которой выполняется равенство [[Image:12-06-14.jpg]] Отсюда делаем вывод: такой дроби нет. Метод доказательства, который мы применили только что, называют в математике методом доказательства от противного. Суть его в следующем. Нам нужно доказать некоторое утверждение, а мы предполагаем, что оно не выполняется (математики говорят: «предположим противное» — не в смысле «неприятное», а в смысле «противоположное тому, что требуется"). Если в результате правельных рассуждений приходим к противоречию с условием, то делаем вывод: наше предположение неверно, значит, верно то, что требовалось доказать.

 Итак, располагая только рациональными числами (а других чисел мы с вами пока не знаем), уравнение х2 = 5 мы решить не сможем. Встретившись впервые с подобной ситуацией, матема- тики поняли, что надо приду- мать способ ее описания на математическом языке. Они ввели в рассмотрение новый символ V , который назвали квадратным корнем, и с по- мощью этого символа корни уравнения х так: хх = ется: «корень квадратный из 1 \ \\У \ = х L- V !\ \\ i i ft \ \ У . ч а \ 0 _ | / / /! / / / ¦ Га У = а 2 = 5 записали Х2 ~ ~ ft> (чита- пяти»). Теперь для любого ис> уравнения вида х2 — а, где а > О, можно найти корни — ими являются числа Jo, и -Jo, (рис. 76). Еще раэ подчеркнем, что число ^5 не целое и не дробь. Значит, у[Ь — не рациональное число, это число новой природы, о таких числах мы специально поговорим позднее, в главе 5. Пока лишь отметим, что новое число ^5 на- ходится между числами 2 и 3, поскольку 22 = 4, а это меньше, чем 5; З2 = 9, а это больше, чем 5. Можно уточнить: 2,2 < Л <2,3. В самом деле, 2,22 = 4,84 < 5, а 2,32 = 5,29 > 5. Можно еще уточнить: 2,23 < ^5 < 2,24; действительно, 2,232 = 4,9729 < 5, а 2,242 = 5,0176 > 5. На практике обычно полагают, что число ^5 равно 2,23 или оно равно 2,24, только это не обычное равенство, а при- ближенное равенство, для обозначения которого используют символ ». Итак, ^5 ~ 2,23 или ft * 2,24. обратите внимание Обсуждая решение уравнения х2 — а, мы столкнулись с довольно типичным для мате- матики положением дел. Попадая в нестан- дартную, нештатную (как любят выражаться космонавты) ситуацию и не найдя выхода из нее с помощью известных средств, математики придумывают для впервые встретившейся им математической модели новый термин и новое обозначение (новый символ); иными словами, они вводят новое понятие, а затем изучают свойства этого понятия. Тем самым новое понятие и его обозначение становятся достоянием математического языка. Мы действо- вали так же: ввели термин «корень квадратный из числа а», ввели символ ^а для его обозначения, а чуть позднее изучим свойства нового понятия. Пока мы знаем лишь одно: если а > 0, то ^ja — положительное число, удовлетворяющее уравнению х2 = а. Иными словами, ^а — это такое положительное число, при возведении которого в квадрат получается число а. Поскольку уравнение х2 = 0 имеет корень х = 0, условились считать, что ^0 = 0. Теперь мы готовы дать строгое определение. Определение. Квадратным корнем из неотри- цательного числа а называют такое неотрица- тельное число, квадрат которого равен а. Это число обозначают ^[а , число а при этом назы- вают подкоренным числом. Итак, если а — неотрицательное число, то: J = д- ] Если а < О, то уравнение х2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла. Таким образом, выражение \fa имеет смысл лишь при а > 0. к Говорят, что Jo. = Ъ nb2 = а — одна и та же L математическая модель (одна и та же Ш зависимость между неотрицательными числами * а и Ь), но только вторая описана на более простом языке, чем первая (использует более простые символы). Операцию нахождения квадратного корня из неотрицательного числа называют извлечением квадратного корня. Эта операция является обратной по отношению к возведению в квадрат. Сравните: квадратный корень подкоренное число извлечение квадратного корня Возведение в квадрат 52 = 25 102 = 100 0.32 = 0,09 Извлечение квадратного корня ,/25 =5 л/ioo =ю VWJ9 =0,3 обратите внимание Еще раз обратите внимание: в таблице фигурируют только положительные числа, поскольку это оговорено в определении квад- ратного корня. И хотя, например, (- 5J = 25 — верное равенство, перейти от него к записи с использованием квадратного корня (т.е. написать, что .^25 = -5) нельзя. По определению, .^25 — положительное число, зна- чит, >/25 = 5 (а не - 5). Часто говорят не «квадратный корень», а «арифметиче- ский квадратный корень». Термин «арифметический» мы опускаем для краткости. e) 7961; Пример 1. Вычислить: а) 749 ; в) ТО ; Решение. а) 749 = 7, поскольку 7 > 0 и 72 = 49. б) 70,25 = 0,5, так как 0,5 > 0 и 0,52 = 0,25. в) ТО = 0. г) В отличие от предыдущих примеров мы не можем ука- зать точное значение числа 7^7 . Ясно лишь, что оно больше, чем 4, но меньше, чем 5, поскольку 42 = 16 (это меньше, чем 17), а 52 = 25 (это больше, чем 17). Впрочем, приближенное значение числа 7^7 можно найти с помощью микрокалькулятора, который содержит операцию извлечения квадратного корня; это значение равно 4,123. Итак, 717 * 4,123. Число 7^7 , как и рассмотренное выше число 75 » не является рациональным. обратите внимание д) Вычислить 7~4 нельзя, поскольку квад- ратный корень из отрицательного числа не существует; запись J-4 лишена смысла. Предложенное задание некорректно. е) ^/961 = 31, так как 31 > 0 и 312 = 961. В подобных случаях приходится использовать таблицу квадратов натуральных чисел или микрокалькулятор. ж) .^5625 = 75, поскольку 75 > 0 и 752 = 5625. <Ш В простейших случаях значение квадратного корня вычисляется сразу: дД = 1, ^/4 = 2, ^16 = 4, ^/0,01 = 0,1 и т. д. В более сложных случаях приходится использовать таблицу квадратов чисел или проводить вычисления с помощью микрокалькулятора. А как быть, если под рукой нет ни таблицы, ни калькулятора? Ответим на этот вопрос, решив следующий пример. Пример 2. Вычислить ^2809 . Решение. Первый этап. Нетрудно догадаться, что в ответе получится 50 с «хвостиком». В самом деле, 502 = 2500, а 602 = 3600, число же 2809 находится между числами 2500 и 3600. Второй этап. Найдем «хвостик», т.е. последнюю циф- ру искомого числа. Пока мы знаем, что если корень извлека- ется, то в ответе может получиться 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 или 59. Проверить надо только два числа: 53 и 57, поскольку только они при возведении в квадрат дадут в результате четырехзначное число, оканчивающееся циф- рой 9, т. е. той же цифрой, которой оканчивается число 2809. Имеем 532 = 2809 — это то, что нам нужно (нам повезло, мы сразу попали в «яблочко»). Значит, J280! 53. Ответ: Пример 3. Катеты прямоугольного треугольника равны 1 см и 2 см. Чему равна гипотенуза треугольника известной из геометрии теоремой Пифагора: сумма квадратов длин катетов прямоугольного тре- угольника равна квадрату длины его гипотенузы, т. е. а2 + Ъ2 = с2, где а, Ъ — катеты, с — гипоте- нуза прямоугольного треуголь- ника. Значит, 2 Рис. 77 с- Ответ: см. Этот пример показывает, что введение квадратных корней — не прихоть математиков, а объективная необходимость: в реальной жизни встречаются ситуации, математические модели которых содержат операцию извлечения квадратного корня. Пожалуй, самая важная из таких ситуаций связана с решением квадратных уравнений. До сих пор, встречаясь с квадратными уравнениями ах2 + Ъх + с = 0, мы либо раскла- дывали левую часть на множители (что получалось далеко не всегда), либо использовали графические методы (что тоже не очень надежно, хотя и красиво). На самом деле для отыскания корней хх и хг квадратного уравнения ах2 + Ъх + с = 0 в математике используются формулы содержащие, как видно, знак квадратного корня. Эти формулы применяются на практике следующим образом. Пусть, например, надо решить уравнение 2х2 + Ъх - 7 = 0. Здесь а = 2, Ъ = 5, с = - 7. Следовательно, Ъ2 - Аас = 52 - 4 • 2 • (- 7) = 81. Далее находим ^81 = 9. Значит, -5 + 9 2-2 -5-9 Выше мы отметили, что ^5 — не рациональное число. Математики такие числа называют иррациональными. Ирра- циональным является любое число вида Jn , если квадратный корень не извлекается. Например, JH, ,JVf, -/20 и т.д. — иррациональные числа. В главе 5 мы более подробно поговорим о рациональных и иррациональных числах. Рациональные и иррациональные числа вместе составляют множество действительных чисел, т.е. множество всех тех чисел, которыми мы оперируем в реальной жизни (в действитель- ности). Например, -5; 0; 1,3; 3,25; ^5,2 + ,Д , 1 - JTJ — все это действительные числа. Подобно тому, как выше мы определили понятие квадратного корня, можно определить и понятие кубического корня: кубическим корнем из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число, куб которого равен а. Иными словами, равенство %fa = Ъ означает, что Ь3 = а. Например, ^/27 = 3, так как З3 = 27; ^/б4 = 4, так как 43 = 64; ^/0,001 = 0,1, так как ОД3 = 0,001. Более того, в математике введено понятие корня п-й степени (л = 2, 3, 4, ...) из неотрицательного числа: если а *> 0, то запись ц[а = Ъ означает, что Ъ > 0 и b" = а. Например, ^/81 = 3, так как 3 > 0 и З4 = 81; ^/32 = 2, так как 2 > 0 и 25 = 32. Все это мы будем изучать в курсе алгебры 11-го класса. кубический корень 89 85 

 

Помощь школьнику [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], Математика для 8 класса [[Математика|скачать]], календарно-тематическое планирование

 

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
''''''
Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

Понятие квадратного корня из неотрицательного числа - История изменений

User17 в 09:22, 8 октября 2012

User16 в 19:10, 12 июня 2010

User16 в 18:37, 12 июня 2010

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...