Понятие корня n-й степени из действительного числа - История изменений

User17 в 09:34, 6 августа 2012

2012-08-06T09:34:51Z

User17 в 09:10, 6 августа 2012

2012-08-06T09:10:19Z

← Предыдущая		Версия 09:10, 6 августа 2012
Строка 1:		Строка 1:
-	~~'''[[~~Гипермаркет ~~знаний~~ - первый в мире!\|Гипермаркет ~~знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[~~Математика 10 класс~~\|Математика 10 класс]]>>Математика: Понятие корня n-й степени из действительного числа<metakeywords>~~Понятие корня n-й степени из действительного числа</metakeywords>~~'''~~	+	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 10 класс, урок, на Тему, Понятие корня n-й степени из действительного числа</metakeywords>

-	<br> '''§ 39. ~~ПОНЯТИЕ КОРНЯ п~~-й ~~СТЕПЕНИ ИЗ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА~~'''<br>Рассмотрим уравнение x<sup>4</sup> =1 и решим его графически. Для этого в одной системе координат построим график функции у = х<sup>n</sup> прямую у = 1 (рис. 164 а). Они пересекаются в двух точках:	+	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>> Понятие корня n-й степени из действительного числа'''
		+
		+	<br> '''§ 39. Понятие корня n-й степени из действительного числа'''<br>Рассмотрим уравнение x<sup>4</sup> =1 и решим его графически. Для этого в одной системе координат построим график функции у = х<sup>n</sup> прямую у = 1 (рис. 164 а). Они пересекаются в двух точках:

	[[Image:A1028.jpg]] ,являются корнями уравнения х<sup>4</sup> = 1.<br>Рассуждая точно так же, находим корни уравнения х<sup>4</sup> =16:		[[Image:A1028.jpg]] ,являются корнями уравнения х<sup>4</sup> = 1.<br>Рассуждая точно так же, находим корни уравнения х<sup>4</sup> =16:
Строка 37:		Строка 39:
	<br>		<br>

-	<sub>~~Материалы~~ по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн~~]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика\|скачать~~]]</sub>	+	[http://xvatit.com/relax/fun-videos/ '''<sub>Видео</sub>''']<sub>по математике [[Математика\|скачать]], домашнее задание, учителям и школьникам на помощь [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]]</sub>

	'''<u>Содержание урока</u>'''		'''<u>Содержание урока</u>'''

User9 в 14:29, 31 июля 2010

2010-07-31T14:29:05Z

← Предыдущая		Версия 14:29, 31 июля 2010
Строка 11:		Строка 11:
	Если n = 3, то вместо «корень третьей степени» часто говорят «корень кубический». Первое знакомство с кубическим корнем у вас также состоялось в курсе алгебры 8-го класса. Мы использовали кубический корень в § 36 при решении примера 6.<br>Итак,		Если n = 3, то вместо «корень третьей степени» часто говорят «корень кубический». Первое знакомство с кубическим корнем у вас также состоялось в курсе алгебры 8-го класса. Мы использовали кубический корень в § 36 при решении примера 6.<br>Итак,

-	[[Image:A1036.jpg]]<br>Вообще, [[Image:~~a1037~~.jpg]] — одна и та же математическая модель (одна и та же зависимость между неотрицательными числами а и Ь), но только вторая описана более простым языком (использует более простые символы), чем первая.<br>Операцию нахождения корня из неотрицательного числа называют обычно извлечением корня. Эта операция является обратной по отношению к возведению в соответствующую степень. Сравните:	+	[[Image:A1036.jpg]]<br>Вообще, [[Image:A1037.jpg]] — одна и та же математическая модель (одна и та же зависимость между неотрицательными числами а и Ь), но только вторая описана более простым языком (использует более простые символы), чем первая.<br>Операцию нахождения корня из неотрицательного числа называют обычно извлечением корня. Эта операция является обратной по отношению к возведению в соответствующую степень. Сравните:

-	[[Image:~~a1038~~.jpg]]<br>Еще раз обратите внимание: в таблице фигурируют только положительные числа, поскольку это оговорено в определении 1. И хотя, например, (-6)<sup>6</sup> =36 — верное равенство, перейти от него к записи с использованием квадратного корня, т.е. написать, что [[Image:~~a1039~~.jpg]] нельзя. По определению	+	[[Image:A1038.jpg]]<br>Еще раз обратите внимание: в таблице фигурируют только положительные числа, поскольку это оговорено в определении 1. И хотя, например, (-6)<sup>6</sup> =36 — верное равенство, перейти от него к записи с использованием квадратного корня, т.е. написать, что [[Image:A1039.jpg]] нельзя. По определению

-	[[Image:~~a1040~~.jpg]]	+	[[Image:A1040.jpg]]

-	Иногда выражение [[Image:~~a1041~~.jpg]] называют радикалом (от латинского слова гаdix — «корень»). В русском языке термин радикальный используется довольно часто, например, «радикальные изменения» — это значит «коренные изменения». Между прочим, и само обозначение корня напоминает о слове гаdix: символ — это стилизованная буква r.<br>'''Пример 1.''' Вычислить:	+	Иногда выражение [[Image:A1041.jpg]] называют радикалом (от латинского слова гаdix — «корень»). В русском языке термин радикальный используется довольно часто, например, «радикальные изменения» — это значит «коренные изменения». Между прочим, и само обозначение корня напоминает о слове гаdix: символ — это стилизованная буква r.<br>'''Пример 1.''' Вычислить:

-	[[Image:~~a1042~~.jpg]]	+	[[Image:A1042.jpg]]

-	г) В отличие от предыдущих примеров мы не можем указать точное значение числа ~~^17~~. Ясно лишь, что оно больше, чем 2, но меньше, чем 3, поскольку 24=16 (это меньше, чем 17), а З4 = 81 (это больше, чем 17). Замечаем, что 24 намного ближе к 17, чем З4, так что есть основания использовать знак приближенного равенства: ~~^17 ~2~~.<br>Впрочем, более точное приближенное значение числа ~~^17~~ можно найти с помощью калькулятора, который содержит операцию извлечения корня, оно равно приближенно ~~2,03, т~~.~~е. ^17 = 2,03(с точностью до 0,01). <Д~~<br>Операцию извлечения корня определяют и для отрицательного подкоренного числа, но только в случае нечетного показателя корня. Иными словами, равенство (-2)5 =-32 можно переписать в эквивалентной форме как ~~V-32 = -2~~. При этом используется следующее определение.<br>Определение 2. Корнем нечетной степени л из отрицательного числа а (л = 3,5,...) называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень л, дает в результате число а.<br>Это число, как и в определении 1, обозначают ~~л/а~~, число а — подкоренное число, число л — показатель корня.<br>Итак,~~<br>если а <0,п =3,5,7,...,то~~: ~~1)^а<0; 2)(ч/а)я =а~~.<br>Таким образом, корень четной степени имеет смысл (т.е. определен ) только для неотрицательного подкоренного выражения; корень нечетной степени имеет смысл для любого подкоренного выражения.<br>Пример 2. Решить уравнения:~~<br>а)^Зх + 4=-2; б)/Зх-2=1; в)/2-5х=-4; г^х2 -5х + 68 = 2~~.<br>Решение, а) Если~~^у = -2, то у = -8~~. Фактически обе части заданного уравнения мы должны возвести в куб. Получим:~~<br>Зх + 4 = -8;<br>Зх = -12; х = -4~~.<br>б)    Рассуждая, как в примере а), возведем обе части уравнения в четвертую степень. Получим:~~<br>3* -2 = 1; 3х=3; х = 1~~.<br>в)    Здесь не надо возводить в четвертую степень, это уравнение не имеет решений. Почему? Потому, что согласно определению 1 корень четной степени — неотрицательное число.<br>г)    Возведя обе части уравнения в шестую степень, получим:<br>~~х2-5х +68=64; х2 -5х + 4=0;<br>х1 =1, х2 =4.    <■~~<br>~~216~~	+	г) В отличие от предыдущих примеров мы не можем указать точное значение числа [[Image:a1043.jpg]] Ясно лишь, что оно больше, чем 2, но меньше, чем 3, поскольку 2<sup>4</sup>=16 (это меньше, чем 17), а З<sup>4</sup> = 81 (это больше, чем 17). Замечаем, что 24 намного ближе к 17, чем З4, так что есть основания использовать знак приближенного равенства: [[Image:a1044.jpg]]<br>Впрочем, более точное приближенное значение числа [[Image:a1045.jpg]] можно найти с помощью калькулятора, который содержит операцию извлечения корня, оно равно приближенно [[Image:a1046.jpg]]<br>Операцию извлечения корня определяют и для отрицательного подкоренного числа, но только в случае нечетного показателя корня. Иными словами, равенство (-2)5 =-32 можно переписать в эквивалентной форме как [[Image:a1047.jpg]]. При этом используется следующее определение.<br>'''Определение 2.''' Корнем нечетной степени л из отрицательного числа а (n = 3,5,...) называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а.<br>Это число, как и в определении 1, обозначают [[Image:a1048.jpg]], число а — подкоренное число, число n — показатель корня.<br>Итак,
		+
		+	[[Image:a1049.jpg]]<br>Таким образом, корень четной степени имеет смысл (т.е. определен ) только для неотрицательного подкоренного выражения; корень нечетной степени имеет смысл для любого подкоренного выражения.<br>'''Пример 2'''. Решить уравнения:
		+
		+	[[Image:a1050.jpg]]<br>'''Решение:''' а) Если [[Image:a1051.jpg]]  Фактически обе части заданного уравнения мы должны возвести в куб. Получим:
		+
		+	[[Image:a1052.jpg]]<br>б)    Рассуждая, как в примере а), возведем обе части уравнения в четвертую степень. Получим:
		+
		+	[[Image:a1053.jpg]]<br>в)    Здесь не надо возводить в четвертую степень, это уравнение не имеет решений. Почему? Потому, что согласно определению 1 корень четной степени — неотрицательное число.<br>г)    Возведя обе части уравнения в шестую степень, получим:
		+
		+	[[Image:a1054.jpg]]<br><br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9 в 14:20, 31 июля 2010

2010-07-31T14:20:06Z

Внесённые изменения

User9 в 14:13, 31 июля 2010

2010-07-31T14:13:08Z

Внесённые изменения

User9 в 14:05, 31 июля 2010

2010-07-31T14:05:05Z

← Предыдущая		Версия 14:05, 31 июля 2010
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Понятие корня n-й степени из действительного числа<metakeywords>Понятие корня n-й степени из действительного числа</metakeywords>'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Понятие корня n-й степени из действительного числа<metakeywords>Понятие корня n-й степени из действительного числа</metakeywords>'''
		+
		+
		+	'''§ 39. ПОНЯТИЕ КОРНЯ п-й СТЕПЕНИ ИЗ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА'''<br>Рассмотрим уравнение x<sup>4</sup> =1 и решим его графически. Для этого в одной системе координат построим график функции у = х<sup></sup>и прямую у = 1 (рис. 164 а). Они пересекаются в двух точках:
		+
		+	[[Image:a1028.jpg]] ,являются корнями уравнения х<sup>4</sup> = 1.<br>Рассуждая точно так же, находим корни уравнения х<sup>4</sup> =16:
		+
		+	[[Image:a1029.jpg]]<br>А теперь попробуем решить уравнение х<sup>4</sup> =5; геометрическая иллюстрация представлена на рис. 164 б. Ясно, что уравнение имеет два корня x<sub>1</sub> и x<sub>2</sub>, причем эти числа, как и в двух предыдущих случаях, взаимно противоположны. Но для первых двух уравнений корни были найдены без труда (их можно было найти и не пользуясь графиками), а с уравнением х<sup>4</sup> =5 имеются проблемы: по чертежу мы не Гложем указать значения корней, а можем только установить, что один корень располагается левее точки -1, а второй — правее точки 1.<br>Можно доказать (примерно так же, как это сделано в нашем учебнике «Алгебра-8» для числа л/б), что х<sub>1</sub> и х<sub>2</sub> — иррациональные числа (т.е. бесконечные непериодические десятичные дроби).<br>Встретившись впервые с подобной ситуацией, математики поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке. Они ввели в рассмотрение новый символ который назвали корнем четвертой степени, и с помощью этого символа корни уравнения х<sup>4</sup> = 5 записали так: хг = -л/5, х2 =^5 (читается: «корень<br>четвертой степени из пяти»).<br>Замечание 1. Сравните эти рассуждения с аналогичными рассуждениями, проведенными в § 17, 32 и 38. Новыетермины и новые обозначения в математике появляются тогда, когда они необходимы для описания но-вой математической модели. Это — отражение особенности математического языка: его основная функция не коммуникативная — для общения, а организующая — для организации успешной работы с математическими моделями в разных областях знаний.<br>Мы говорили об уравнении х4 =а, где а >0. С равным успехом мы могли говорить и об уравнении хп =а, гдеа > 0, а п — любое натуральное число. Например, решая графически уравнение х5 = 1, находим х = 1 (рис. 165); решая уравнение х5' = 7, устанавливаем, что уравнение имеет один корень хг, который располагается на оси х чуть правее точки 1 (см. рис. 165). Для числа хх введем обозначение Чч.<br>Вообще, решая уравнение хп =а, гдеа >0, л е N, п>1, получаем в случае четного п два корня: - л/а, л/а (рис. 164, в); в случае нечетного п — один корень л/а (читается: «корень л-й степени из числа а»). Решая уравнение хп =0, получаем единственный корень х=0.<br>Замечание 2. В математическом языке, как и в обыденном языке, бывает так, что один и тот же термин применяется к разным понятиям; так, в предыдущем предложении слово « корень» употреблено в двух смыслах: как корень уравнения (к такому толкованию вы давно привыкли) и как корень л-й степени из числа (новое толкование). Обычно из контекста бывает ясно, какое толкование термина имеется в виду.<br>Теперь мы готовы дать точное определение.<br>Определение 1. Корнем л-й степени из неотрицательного числа а (л = 2, 3,4, 5,...) называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень л дает в результате число а.<br>Это число обозначают л/а, число а при этом называют подкоренным числом, а число л — показателем корня.<br>[Если л=2, то обычно не говорят «корень второй степени», а говорят"«корень квадратный». В этом случае не пишут \1а, а пишут л/а. Это тот частный случай, который вы специально изучали в курсе алгебры 8-го класса.<br>                <br>        1    — 7=    /__<br>        - - е        <br>        1-1    7=    1<br>    "Iй            <br>                <br>                <br>Рис. 165<br>214<br>Если п = 3, то вместо «корень третьей степени» часто говорят «корень кубический». Первое знакомство с кубическим корнем у вас также состоялось в курсе алгебры 8-го класса. Мы использовали кубический корень в § 36 при решении йримера 6.<br>Итак,<br>еслиа>0,п = 2,3,4,5,...,то: 1 )я4а>Щ 2)(3/а)" = а.<br>Вообще, л/а =Ь и Ьп =а — одна и та же математическая модель (одна и та же зависимость между неотрицательными числами а и Ь), но только вторая описана более простым языком (использует более простые символы), чем первая.<br>Операцию нахождения корня из неотрицательного числа называют обычно извлечением корня. Эта операция является обратной по отношению к возведению в соответствующую степень. Сравните:<br>Возведение в степень    Извлечение корня<br>52 =25    л/25=5<br>103 =1000    3/1000 = 10<br>0.34 =0,0081    ф,0081 =0,3<br>Еще раз обратите внимание: в таблице фигурируют только положительные числа, поскольку это оговорено в определении 1. И хотя, например, (-б)2 =36 — верное равенство, перейти от него к записи с использованием квадратного корня, т.е. написать, что л/36=-6, нельзя. По определению л/36 — положительное число, значит, л/36 =6 (а не -6). Точно так же, хотя и 24 =16, и (-2)4 =16, переходя к знакам корней, мы должны написать ^16 = 2 (и в то же время л/16 Ф -2).<br>Иногда выражение л/а называют радикалом (от латинского слова гасИх — «корень»). В русском языке термин радикальный используется довольно часто, например, «радикальные изменения» — это значит «коренные изменения». Между прочим, и само обозначение корня напоминает о слове гасИх: символ — это стилизованная буква г.<br>Пример 1. Вычислить: а) -749; б) ^0,125; в)л/0; г)^17.<br>Решение, а) л/49 =7, так как 7 >0и 7г = 49.<br>б)^0,125=0,5,    так как 0,5 >0и 0,5'= 0,125.<br>в)    >/0 = 0.<br>215<br>г) В отличие от предыдущих примеров мы не можем указать точное значение числа ^17. Ясно лишь, что оно больше, чем 2, но меньше, чем 3, поскольку 24=16 (это меньше, чем 17), а З4 = 81 (это больше, чем 17). Замечаем, что 24 намного ближе к 17, чем З4, так что есть основания использовать знак приближенного равенства: ^17 ~2.<br>Впрочем, более точное приближенное значение числа ^17 можно найти с помощью калькулятора, который содержит операцию извлечения корня, оно равно приближенно 2,03, т.е. ^17 = 2,03(с точностью до 0,01). <Д<br>Операцию извлечения корня определяют и для отрицательного подкоренного числа, но только в случае нечетного показателя корня. Иными словами, равенство (-2)5 =-32 можно переписать в эквивалентной форме как V-32 = -2. При этом используется следующее определение.<br>Определение 2. Корнем нечетной степени л из отрицательного числа а (л = 3,5,...) называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень л, дает в результате число а.<br>Это число, как и в определении 1, обозначают л/а, число а — подкоренное число, число л — показатель корня.<br>Итак,<br>если а <0,п =3,5,7,...,то: 1)^а<0; 2)(ч/а)я =а.<br>Таким образом, корень четной степени имеет смысл (т.е. определен ) только для неотрицательного подкоренного выражения; корень нечетной степени имеет смысл для любого подкоренного выражения.<br>Пример 2. Решить уравнения:<br>а)^Зх + 4=-2; б)/Зх-2=1; в)/2-5х=-4; г^х2 -5х + 68 = 2.<br>Решение, а) Если^у = -2, то у = -8. Фактически обе части заданного уравнения мы должны возвести в куб. Получим:<br>Зх + 4 = -8;<br>Зх = -12; х = -4.<br>б)    Рассуждая, как в примере а), возведем обе части уравнения в четвертую степень. Получим:<br>3* -2 = 1; 3х=3; х = 1.<br>в)    Здесь не надо возводить в четвертую степень, это уравнение не имеет решений. Почему? Потому, что согласно определению 1 корень четной степени — неотрицательное число.<br>г)    Возведя обе части уравнения в шестую степень, получим:<br>х2-5х +68=64; х2 -5х + 4=0;<br>х1 =1, х2 =4.    <■<br>216

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9: Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

2010-07-31T13:58:17Z

Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]>>Математика: Понятие корня n-й степени из действительного числа<metakeywords>Понятие корня n-й степени из действительного числа</metakeywords>'''

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

 

Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие

Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].