Понятие логарифма - История изменений

User17 в 13:45, 6 августа 2012

2012-08-06T13:45:41Z

User17 в 10:30, 6 августа 2012

2012-08-06T10:30:15Z

← Предыдущая		Версия 10:30, 6 августа 2012
Строка 1:		Строка 1:
-	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>~~Математика:~~ Понятие логарифма~~<metakeywords>Понятие логарифма</metakeywords>~~'''	+	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 10 класс, урок, на Тему, Понятие логарифма</metakeywords>
		+
		+	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>> Понятие логарифма'''
	<br>		<br>

-	'''§ 48. ~~ПОНЯТИЕ ЛОГАРИФМА<br>~~'''Рассмотрим уравнение 2<sup>х</sup> =4, решим его графически. Для этого в одной системе координат построим график функции у = 2 <sup>х</sup> и прямую у = 4(рис. 213). Они пересекаются в точкеА(2; 4), значит, х-2 — единственный корень уравнения.<br>Рассуждая точно так же, находим корень уравнения 2<sup>х</sup> =8 (см. рис. 213): х = 3.	+	'''§ 48. Понятие логарифма'''Рассмотрим уравнение 2<sup>х</sup> =4, решим его графически. Для этого в одной системе координат построим график функции у = 2 <sup>х</sup> и прямую у = 4(рис. 213). Они пересекаются в точкеА(2; 4), значит, х-2 — единственный корень уравнения.<br>Рассуждая точно так же, находим корень уравнения 2<sup>х</sup> =8 (см. рис. 213): х = 3.

	[[Image:a10178.jpg]]<br>А теперь попробуем решить уравнение 2 <sup>х</sup> =6; геометрическая иллюстрация представлена на рис. 213. Ясно, что уравнение имеет один корень, но в отличие от предыдущих случаев, где корни уравнений были найдены без труда (причем их очень легко было найти и не пользуясь графиками), с уравнением 21 = 6 у нас возникают трудности: по чертежу мы не можем определить значение корня, можем только установить, что этот корень заключен в промежутке от 2 до 3.<br>С подобной ситуацией мы уже встречались в § 39, когда, решая уравнение х<sup>4</sup> = 5, поняли, что надо вводить новый символ математического языка [[Image:a10179.jpg]] Обдумывая ситуацию с показательным уравнением 2<sup>х</sup> =6, математики ввели в рассмотрение новый символ log<sub>2</sub>, который назвали логарифмом по основанию 2 и с помощью этого символа корень уравнения 2<sup>х</sup> =6 записали так: х =log<sub>2</sub> 6 (читается: «логарифм числа 6 по основанию 2»). Теперь для любого уравнения вида 2х =Ь, где 6 >0, можно найти корень — им будет число log<sub>2</sub> b (рис. 214).<br>Мы говорили об уравнении 2<sup>х</sup> =6. С равным успехом мы могли говорить и об уравнении 3<sup>x</sup> =5, и об уравнении 10<sup>x</sup> =0,3 и об уравнении [[Image:a10180.jpg]], и вообще о любом уравнении вида a<sup>x</sup>=b, где а и Ь —<br>положительные числа, причем а<sup>x</sup> 1. Единственный корень уравнения а<sup>х</sup> =Ъ математики договорились записывать так:		[[Image:a10178.jpg]]<br>А теперь попробуем решить уравнение 2 <sup>х</sup> =6; геометрическая иллюстрация представлена на рис. 213. Ясно, что уравнение имеет один корень, но в отличие от предыдущих случаев, где корни уравнений были найдены без труда (причем их очень легко было найти и не пользуясь графиками), с уравнением 21 = 6 у нас возникают трудности: по чертежу мы не можем определить значение корня, можем только установить, что этот корень заключен в промежутке от 2 до 3.<br>С подобной ситуацией мы уже встречались в § 39, когда, решая уравнение х<sup>4</sup> = 5, поняли, что надо вводить новый символ математического языка [[Image:a10179.jpg]] Обдумывая ситуацию с показательным уравнением 2<sup>х</sup> =6, математики ввели в рассмотрение новый символ log<sub>2</sub>, который назвали логарифмом по основанию 2 и с помощью этого символа корень уравнения 2<sup>х</sup> =6 записали так: х =log<sub>2</sub> 6 (читается: «логарифм числа 6 по основанию 2»). Теперь для любого уравнения вида 2х =Ь, где 6 >0, можно найти корень — им будет число log<sub>2</sub> b (рис. 214).<br>Мы говорили об уравнении 2<sup>х</sup> =6. С равным успехом мы могли говорить и об уравнении 3<sup>x</sup> =5, и об уравнении 10<sup>x</sup> =0,3 и об уравнении [[Image:a10180.jpg]], и вообще о любом уравнении вида a<sup>x</sup>=b, где а и Ь —<br>положительные числа, причем а<sup>x</sup> 1. Единственный корень уравнения а<sup>х</sup> =Ъ математики договорились записывать так:
Строка 24:		Строка 26:
	<br>		<br>

-	<sub>~~Материалы~~ по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], ~~задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике~~ [[Математика\|скачать]]</sub>	+	<br> <br> <sub>Календарно-тематическое планирование по математике, [http://xvatit.com/it/audio_television/ '''видео'''] по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], Математика в школе [[Математика\|скачать]]</sub>

	'''<u>Содержание урока</u>'''		'''<u>Содержание урока</u>'''

User9 в 06:17, 8 августа 2010

2010-08-08T06:17:59Z

← Предыдущая		Версия 06:17, 8 августа 2010
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Понятие логарифма<metakeywords>Понятие логарифма</metakeywords>'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Понятие логарифма<metakeywords>Понятие логарифма</metakeywords>'''
		+	<br>
		+
		+	'''§ 48. ПОНЯТИЕ ЛОГАРИФМА<br>'''Рассмотрим уравнение 2<sup>х</sup> =4, решим его графически. Для этого в одной системе координат построим график функции у = 2 <sup>х</sup> и прямую у = 4(рис. 213). Они пересекаются в точкеА(2; 4), значит, х-2 — единственный корень уравнения.<br>Рассуждая точно так же, находим корень уравнения 2<sup>х</sup> =8 (см. рис. 213): х = 3.
		+
		+	[[Image:a10178.jpg]]<br>А теперь попробуем решить уравнение 2 <sup>х</sup> =6; геометрическая иллюстрация представлена на рис. 213. Ясно, что уравнение имеет один корень, но в отличие от предыдущих случаев, где корни уравнений были найдены без труда (причем их очень легко было найти и не пользуясь графиками), с уравнением 21 = 6 у нас возникают трудности: по чертежу мы не можем определить значение корня, можем только установить, что этот корень заключен в промежутке от 2 до 3.<br>С подобной ситуацией мы уже встречались в § 39, когда, решая уравнение х<sup>4</sup> = 5, поняли, что надо вводить новый символ математического языка [[Image:a10179.jpg]] Обдумывая ситуацию с показательным уравнением 2<sup>х</sup> =6, математики ввели в рассмотрение новый символ log<sub>2</sub>, который назвали логарифмом по основанию 2 и с помощью этого символа корень уравнения 2<sup>х</sup> =6 записали так: х =log<sub>2</sub> 6 (читается: «логарифм числа 6 по основанию 2»). Теперь для любого уравнения вида 2х =Ь, где 6 >0, можно найти корень — им будет число log<sub>2</sub> b (рис. 214).<br>Мы говорили об уравнении 2<sup>х</sup> =6. С равным успехом мы могли говорить и об уравнении 3<sup>x</sup> =5, и об уравнении 10<sup>x</sup> =0,3 и об уравнении [[Image:a10180.jpg]], и вообще о любом уравнении вида a<sup>x</sup>=b, где а и Ь —<br>положительные числа, причем а<sup>x</sup> 1. Единственный корень уравнения а<sup>х</sup> =Ъ математики договорились записывать так:
		+
		+	x=log<sub>5</sub>b (читается: «логарифм числа b по основанию а»).<br>Кстати, вернемся к уравнению [[Image:a10181.jpg]] которое встретилось нам в примере 4 § 46 и которое мы не смогли решить. Теперь ответ ясен: [[Image:a10182.jpg]]<br>'''Определение.''' Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число Ь.<br>Например,
		+
		+	[[Image:a10183.jpg]]<br>Особо выделим три формулы (попробуйте их обосновать, это очень просто):
		+
		+	[[Image:a10184.jpg]]<br>Для числа log<sub>2</sub> 6, которое встретилось нам в начале параграфа, точного рационального значения мы указать не можем, поскольку log<sub>2</sub> 6 — иррациональное число. Доказывается это довольно красиво.<br>Предположим, что log<sub>2</sub>6 рациональное число, т.е. что [[Image:a10185.jpg]]<br> Последнее равенство невозможно, поскольку его правая часть есть целое число, которое делится без остатка на 3, а левая часть делиться без остатка на 3 никак не может.<br>Полученное противоречие означает, что наше предположение неверно и, следовательно, log<sub>2</sub> 6 — иррациональное число.    <br>Мы дали определение логарифма на обычном языке, а теперь приведем то же определение на языке символов:<br>[[Image:a10186.jpg]]<br>В самом деле, что надо подставить вместо x в равенство а<sup>x</sup> =b? Какое число должно находиться в показателе степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b? Ответ следует из данного выше определения: этим показателем является log<sub>а</sub> b. Значит, вместо * надо подставить число log<sub>а</sub> b, что мы и сделали.<br>Например, [[Image:a10187.jpg]]<br>Подчеркнем, что log<sub>а</sub>Ь=с и а<sup>с</sup> =Ь — одна и та же математическая модель (одна и та же зависимость между числами а, Ь и с), но только вторая описана на более простом языке (использует более простые символы), чем первая.<br>Операцию нахождения логарифма числа обычно называют логарифмированием. Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием. Сравните:
		+
		+	[[Image:a10188.jpg]]<br>Вычисление значения логарифма сводится, как правило, к решению некоторого показательного уравнения.<br>'''Пример.''' Вычислить:
		+
		+	[[Image:a10189.jpg]]<br>'''Решение.''' а) Положим: log<sup>4</sup>128 = x. Тогда по определению логарифма 4<sup>x</sup> =128. Решая это показательное уравнение, последовательно находим:<br>22<sup>x</sup> =27, 2<sup>х</sup> = 7, х=3,5.<br>б)    Положим: [[Image:a10190.jpg]] Решая это показательное уравнение, последовательно находим:
		+
		+	[[Image:a10191.jpg]]<br>в)    Положим: [[Image:a10192.jpg]]<br>Решая это показательное уравнение, последовательно находим:
		+
		+	[[Image:a10193.jpg]]<br>Логарифм по основанию 10 обычно называют десятичным логарифмом. Так, log<sub>10</sub> 5, log<sub>10</sub> 3,4 — десятичные логарифмы. Вместо символа log<sub>10</sub> принято использовать символ так, вместо log<sub>10</sub> 5 пишут 5, а вместо log <sub>10</sub> 3,4 пишут 3,4. В недалеком прошлом десятичным логарифмам отдавали предпочтение; опираясь на особенности принятой десятичной системы счисления, составляли весьма подробные таблицы десятичных логарифмов, наносили на шкалы специальных логарифмических линеек. В эпоху всеобщей компьютеризации десятичные логарифмы утратили свою ведущую роль, более важны стали логарифмы по основанию 2, но особенно широко используются в математике и технике логарифмы, основанием которых служит особое число е (такое же знаменитое, как число п); с этим числом мы познакомимся позднее (в § 54).<br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9: Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

2010-08-08T05:36:47Z

Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]>>Математика: Понятие логарифма<metakeywords>Понятие логарифма</metakeywords>'''

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

 

Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие

Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].