Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения - История изменений

User17 в 21:08, 5 августа 2012

2012-08-05T21:08:28Z

User9 в 13:49, 29 июля 2010

2010-07-29T13:49:16Z

User9 в 13:36, 29 июля 2010

2010-07-29T13:36:57Z

← Предыдущая		Версия 13:36, 29 июля 2010
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения<metakeywords>Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения</metakeywords>'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения<metakeywords>Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения</metakeywords>'''
		+
		+	<br>
		+
		+	'''§ 26. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЯ'''<br>Продолжим изучение формул тригонометрии, но сначала обсудим один вопрос, который наверняка вы уже задавали своему учителю: формул тригонометрии очень много, неужели все эти формулы мы должны помнить, как таблицу умножения? Отвечаем: запоминать все формулы вы не должны! Но для чего, спросите вы, в предыдущих параграфах эти формулы выводились и как-то выделялись в тексте? Отвечаем и на этот вопрос: вы должны, во-первых, иметь представление о том, что такие-то и такие-то тригонометрические формулы существуют, и, во-вторых, научиться применять их на практике. Главное — выписать нужные формулы, удачно их расположить и держать перед глазами, когда решаете тригонометрический пример. В конце главы 3 мы составим такую «шпаргалку».<br>В этом параграфе речь пойдет о формулах, особенно полезных при решении тригонометрических уравнений, поскольку они позволяют сумму или разность синусов или косинусов разложить на множители.<br>'''1. Сумма синусов'''<br>Рассмотрим выражение [[Image:alga510.jpg]] Применив формулы синуса суммы и синуса разности, получим:
		+
		+	[[Image:alga511.jpg]]<br>Положим в этой формуле х = s+t, у = s-t. Если эти равенства сложить, получим [[Image:alga512.jpg]] Если же из первого равенства вычесть второе, получим [[Image:alga513.jpg]] А теперь заменим в формуле
		+
		+	[[Image:фдпф514юозп]]  Тогда форму ла  примет вид<br>
		+
		+	[[Image:alga515.jpg]]<br>'''2. Разность синусов'''<br>Воспользовавшись тем, что [[Image:alga516.jpg]] и полученной в п. 1 формулой суммы синусов, находим, что
		+
		+	[[Image:alga517.jpg]]<br>'''3. Сумма косинусов'''<br>Рассмотрим выражение соs (s+t)+соs (s-t). Применив формулы косинуса суммы и косинуса разности, получим:
		+
		+	[[Image:alga518.jpg]]<br>Итак, соз (s +t)+соз (s-t) = 2соз s соз t. Положив х = s + t, у = s-t, получим:
		+
		+	[[Image:alga519.jpg]]<br>'''4. Разность косинусов'''
		+
		+	Рассмотрим выражение [[Image:alga520.jpg]] Применив формулы косинуса суммы и косинуса разности, получим:
		+
		+	[[Image:alga521.jpg]]<br>'''Пример 1.''' Решить уравнения: [[Image:alga522.jpg]]<br>'''Решение:''' а) Преобразовав сумму синусов в произведение по формуле (1), получим:
		+
		+	[[Image:alga523.jpg]]<br>Теперь заданное уравнение можно переписать в виде:
		+
		+	[[Image:alga524.jpg]]<br>б) Имеем последовательно:
		+
		+	[[Image:alga525.jpg]]<br>Из первого уравнения находим: [[Image:alga526.jpg]]<br>Из второго уравнения находим: [[Image:alga527.jpg]]<br>в) Здесь придется воспользоваться формулой приведения:
		+
		+	[[Image:alga528.jpg]]<br>чтобы вместо разности синуса и косинуса получить разность косинусов, для которой у нас имеется формула (4). Тогда получим последовательно:
		+
		+	[[Image:alga529.jpg]]<br>'''Пример 2. '''Решить уравнение: [[Image:alga530.jpg]]
		+
		+	'''Решение. '''Сгруппируем первое и третье слагаемые левой части уравнения:
		+
		+	[[Image:alga531.jpg]]<br>'''Пример 3.''' Решить уравнение: [[Image:alga532.jpg]]<br>'''Решение.''' Это — достаточно сложный пример, требующий умения свободно оперировать формулами тригонометрии. Поэтому мы сделаем его не спеша, обстоятельно и «по действиям».<br>1) Дважды применим к левой части уравнения формулы понижения степени:
		+
		+	[[Image:alga533.jpg]]<br>2)    Теперь заданное уравнение можно переписать в виде: [[Image:alga534.jpg]]<br>откуда получаем:[[Image:alga535.jpg]]<br>3)    Преобразуем разность косинусов в произведение:
		+
		+	[[Image:alga536.jpg]]<br>Значит, задача сводится к решению уравнения 2sin4х sin2х =0.<br>4)    Полученное уравнение сводится к совокупности двух уравнений: sin4х=0; sin2х=0.
		+
		+	[[Image:alga537.jpg]]<br>'''Замечание'''. Полученный ответ можно записать компактнее. Поступим так: отметим все значения х, содержащиеся в серии [[Image:alga538.jpg]] точками на<br>числовой окружности — восемь точек на рис. 96а (они получаются, если параметру п придать последовательно значения 0,1, 2, 3,...). Отметим все<br>пп значения х, содержащиеся в серии [[Image:alga538.jpg]] точками на числовой окружности — четыре точки на рис. 966. Но они уже отмечены на рис. 96а. Что это значит? Это значит, что вторая серия не содержит новой информации о решениях заданного тригонометрического уравнения, т.е. все его решения пп исчерпываются первой сериеи: [[Image:alga538.jpg]]
		+
		+	[[Image:alga540.jpg]]<br><br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9: Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

2010-07-29T13:02:59Z

Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]>>Математика: Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения<metakeywords>Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения</metakeywords>'''

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

 

Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие

Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

← Предыдущая		Версия 13:49, 29 июля 2010
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения<metakeywords>Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения</metakeywords>'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения<metakeywords>Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения</metakeywords>'''

-	<br>	+	<br>

-	'''§ 26. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЯ'''<br>Продолжим изучение формул тригонометрии, но сначала обсудим один вопрос, который наверняка вы уже задавали своему учителю: формул тригонометрии очень много, неужели все эти формулы мы должны помнить, как таблицу умножения? Отвечаем: запоминать все формулы вы не должны! Но для чего, спросите вы, в предыдущих параграфах эти формулы выводились и как-то выделялись в тексте? Отвечаем и на этот вопрос: вы должны, во-первых, иметь представление о том, что такие-то и такие-то тригонометрические формулы существуют, и, во-вторых, научиться применять их на практике. Главное — выписать нужные формулы, удачно их расположить и держать перед глазами, когда решаете тригонометрический пример. В конце главы 3 мы составим такую «шпаргалку».<br>В этом параграфе речь пойдет о формулах, особенно полезных при решении тригонометрических уравнений, поскольку они позволяют сумму или разность синусов или косинусов разложить на множители.<br>'''1. Сумма синусов'''<br>Рассмотрим выражение [[Image:~~alga510~~.jpg]] Применив формулы синуса суммы и синуса разности, получим:	+	'''§ 26. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЯ'''<br>Продолжим изучение формул тригонометрии, но сначала обсудим один вопрос, который наверняка вы уже задавали своему учителю: формул тригонометрии очень много, неужели все эти формулы мы должны помнить, как таблицу умножения? Отвечаем: запоминать все формулы вы не должны! Но для чего, спросите вы, в предыдущих параграфах эти формулы выводились и как-то выделялись в тексте? Отвечаем и на этот вопрос: вы должны, во-первых, иметь представление о том, что такие-то и такие-то тригонометрические формулы существуют, и, во-вторых, научиться применять их на практике. Главное — выписать нужные формулы, удачно их расположить и держать перед глазами, когда решаете тригонометрический пример. В конце главы 3 мы составим такую «шпаргалку».<br>В этом параграфе речь пойдет о формулах, особенно полезных при решении тригонометрических уравнений, поскольку они позволяют сумму или разность синусов или косинусов разложить на множители.<br>'''1. Сумма синусов'''<br>Рассмотрим выражение [[Image:Alga510.jpg]] Применив формулы синуса суммы и синуса разности, получим:

-	[[Image:~~alga511~~.jpg]]<br>Положим в этой формуле х = s+t, у = s-t. Если эти равенства сложить, получим [[Image:~~alga512~~.jpg]] Если же из первого равенства вычесть второе, получим [[Image:~~alga513~~.jpg]] А теперь заменим в формуле	+	[[Image:Alga511.jpg]]<br>Положим в этой формуле х = s+t, у = s-t. Если эти равенства сложить, получим [[Image:Alga512.jpg]] Если же из первого равенства вычесть второе, получим [[Image:Alga513.jpg]] А теперь заменим в формуле

-	[[Image:~~фдпф514юозп~~]]  Тогда форму ла  примет вид<br>	+	[[Image:Alga514.jpg]]  Тогда форму ла  примет вид<br>

-	[[Image:~~alga515~~.jpg]]<br>'''2. Разность синусов'''<br>Воспользовавшись тем, что [[Image:~~alga516~~.jpg]] и полученной в п. 1 формулой суммы синусов, находим, что	+	[[Image:Alga515.jpg]]<br>'''2. Разность синусов'''<br>Воспользовавшись тем, что [[Image:Alga516.jpg]] и полученной в п. 1 формулой суммы синусов, находим, что

-	[[Image:~~alga517~~.jpg]]<br>'''3. Сумма косинусов'''<br>Рассмотрим выражение соs (s+t)+соs (s-t). Применив формулы косинуса суммы и косинуса разности, получим:	+	[[Image:Alga517.jpg]]<br>'''3. Сумма косинусов'''<br>Рассмотрим выражение соs (s+t)+соs (s-t). Применив формулы косинуса суммы и косинуса разности, получим:

-	[[Image:~~alga518~~.jpg]]<br>Итак, соз (s +t)+соз (s-t) = 2соз s соз t. Положив х = s + t, у = s-t, получим:	+	[[Image:Alga518.jpg]]<br>Итак, соз (s +t)+соз (s-t) = 2соз s соз t. Положив х = s + t, у = s-t, получим:

-	[[Image:~~alga519~~.jpg]]<br>'''4. Разность косинусов'''	+	[[Image:Alga519.jpg]]<br>'''4. Разность косинусов'''

-	Рассмотрим выражение [[Image:~~alga520~~.jpg]] Применив формулы косинуса суммы и косинуса разности, получим:	+	Рассмотрим выражение [[Image:Alga520.jpg]] Применив формулы косинуса суммы и косинуса разности, получим:

-	[[Image:~~alga521~~.jpg]]<br>'''Пример 1.''' Решить уравнения: [[Image:~~alga522~~.jpg]]<br>'''Решение:''' а) Преобразовав сумму синусов в произведение по формуле (1), получим:	+	[[Image:Alga521.jpg]]<br>'''Пример 1.''' Решить уравнения: [[Image:Alga522.jpg]]<br>'''Решение:''' а) Преобразовав сумму синусов в произведение по формуле (1), получим:

-	[[Image:~~alga523~~.jpg]]<br>Теперь заданное уравнение можно переписать в виде:	+	[[Image:Alga523.jpg]]<br>Теперь заданное уравнение можно переписать в виде:

-	[[Image:~~alga524~~.jpg]]<br>б) Имеем последовательно:	+	[[Image:Alga524.jpg]]<br>б) Имеем последовательно:

-	[[Image:~~alga525~~.jpg]]<br>Из первого уравнения находим: [[Image:~~alga526~~.jpg]]<br>Из второго уравнения находим: [[Image:~~alga527~~.jpg]]<br>в) Здесь придется воспользоваться формулой приведения:	+	[[Image:Alga525.jpg]]<br>Из первого уравнения находим: [[Image:Alga526.jpg]]<br>Из второго уравнения находим: [[Image:Alga527.jpg]]<br>в) Здесь придется воспользоваться формулой приведения:

-	[[Image:~~alga528~~.jpg]]<br>чтобы вместо разности синуса и косинуса получить разность косинусов, для которой у нас имеется формула (4). Тогда получим последовательно:	+	[[Image:Alga528.jpg]]<br>чтобы вместо разности синуса и косинуса получить разность косинусов, для которой у нас имеется формула (4). Тогда получим последовательно:

-	[[Image:~~alga529~~.jpg]]<br>'''Пример 2. '''Решить уравнение: [[Image:~~alga530~~.jpg]]	+	[[Image:Alga529.jpg]]<br>'''Пример 2. '''Решить уравнение: [[Image:Alga530.jpg]]

-	'''Решение. '''Сгруппируем первое и третье слагаемые левой части уравнения:	+	'''Решение. '''Сгруппируем первое и третье слагаемые левой части уравнения:

-	[[Image:~~alga531~~.jpg]]<br>'''Пример 3.''' Решить уравнение: [[Image:~~alga532~~.jpg]]<br>'''Решение.''' Это — достаточно сложный пример, требующий умения свободно оперировать формулами тригонометрии. Поэтому мы сделаем его не спеша, обстоятельно и «по действиям».<br>1) Дважды применим к левой части уравнения формулы понижения степени:	+	[[Image:Alga531.jpg]]<br>'''Пример 3.''' Решить уравнение: [[Image:Alga532.jpg]]<br>'''Решение.''' Это — достаточно сложный пример, требующий умения свободно оперировать формулами тригонометрии. Поэтому мы сделаем его не спеша, обстоятельно и «по действиям».<br>1) Дважды применим к левой части уравнения формулы понижения степени:

-	[[Image:~~alga533~~.jpg]]<br>2)    Теперь заданное уравнение можно переписать в виде: [[Image:~~alga534~~.jpg]]<br>откуда получаем:[[Image:~~alga535~~.jpg]]<br>3)    Преобразуем разность косинусов в произведение:	+	[[Image:Alga533.jpg]]<br>2)    Теперь заданное уравнение можно переписать в виде: [[Image:Alga534.jpg]]<br>откуда получаем:[[Image:Alga535.jpg]]<br>3)    Преобразуем разность косинусов в произведение:

-	[[Image:~~alga536~~.jpg]]<br>Значит, задача сводится к решению уравнения 2sin4х sin2х =0.<br>4)    Полученное уравнение сводится к совокупности двух уравнений: sin4х=0; sin2х=0.	+	[[Image:Alga536.jpg]]<br>Значит, задача сводится к решению уравнения 2sin4х sin2х =0.<br>4)    Полученное уравнение сводится к совокупности двух уравнений: sin4х=0; sin2х=0.

-	[[Image:~~alga537~~.jpg]]<br>'''Замечание'''. Полученный ответ можно записать компактнее. Поступим так: отметим все значения х, содержащиеся в серии [[Image:~~alga538~~.jpg]] точками на<br>числовой окружности — восемь точек на рис. 96а (они получаются, если параметру п придать последовательно значения 0,1, 2, 3,...). Отметим все<br>пп значения х, содержащиеся в серии [[Image:~~alga538~~.jpg]] точками на числовой окружности — четыре точки на рис. 966. Но они уже отмечены на рис. 96а. Что это значит? Это значит, что вторая серия не содержит новой информации о решениях заданного тригонометрического уравнения, т.е. все его решения пп исчерпываются первой сериеи: [[Image:~~alga538~~.jpg]]	+	[[Image:Alga537.jpg]]<br>'''Замечание'''. Полученный ответ можно записать компактнее. Поступим так: отметим все значения х, содержащиеся в серии [[Image:Alga538.jpg]] точками на<br>числовой окружности — восемь точек на рис. 96а (они получаются, если параметру п придать последовательно значения 0,1, 2, 3,...). Отметим все<br>пп значения х, содержащиеся в серии [[Image:Alga539.jpg]] точками на числовой окружности — четыре точки на рис. 966. Но они уже отмечены на рис. 96а. Что это значит? Это значит, что вторая серия не содержит новой информации о решениях заданного тригонометрического уравнения, т.е. все его решения пп исчерпываются первой сериеи: [[Image:Alga538.jpg]]

-	[[Image:~~alga540~~.jpg]]<br><br>	+	[[Image:Alga540.jpg]]<br><br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс