Приближенные значения действительных чисел - История изменений

User17 в 15:58, 8 октября 2012

2012-10-08T15:58:57Z

User16 в 13:44, 14 июня 2010

2010-06-14T13:44:10Z

← Предыдущая		Версия 13:44, 14 июня 2010
Строка 23:		Строка 23:
	'''''Определение.'''''Погрешностью приближения (абсолютной погрешностью) называют модуль разности между точным значением величины х и ее приближенным значением а: погрешность приближения — это \| х - а \|. <br>Например, погрешность приближенного равенства [[Image:14-06-165.jpg]] выражается как [[Image:14-06-166.jpg]] или соответственно как [[Image:14-06-167.jpg]],<br>Возникает чисто практический вопрос: какое приближение лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного числа, для которого составляются приближения. Обычно при округлении положительных чисел пользуются следующим пра- <br>вилом:		'''''Определение.'''''Погрешностью приближения (абсолютной погрешностью) называют модуль разности между точным значением величины х и ее приближенным значением а: погрешность приближения — это \| х - а \|. <br>Например, погрешность приближенного равенства [[Image:14-06-165.jpg]] выражается как [[Image:14-06-166.jpg]] или соответственно как [[Image:14-06-167.jpg]],<br>Возникает чисто практический вопрос: какое приближение лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного числа, для которого составляются приближения. Обычно при округлении положительных чисел пользуются следующим пра- <br>вилом:

-	[[Image:14-06-168.jpg]]<br><br>Применим это правило ко всем рассмотренным в этом параграфе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближения, для которых погрешность окажется наименьшей. <br>1) [[Image:14-06-169.jpg]] = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем [[Image:14-06-158.jpg]]3,142; здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте после запятой), поэтому взяли приближение по избытку. <br>С точностью до 0,0001 имеем [[Image:14-06-158.jpg]] 3,1416 — и здесь взяли приближение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на пятом месте после запятой) равна 9. А вот с точностью до 0,01 надо взять приближение по недостатку: [[Image:14-06-158.jpg]] 3,14. <br>2)[[Image:14-06-160.jpg]] = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 2,24 <br>(приближение по избытку). ¦ <br>3) 2 + [[Image:14-06-160.jpg]] = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]]4,24 (приближение по избытку). <br>4) [[Image:14-06-162.jpg]] = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем [[Image:14-06-162.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 0,318 ~~<br><br>~~(приближение по недостатку). <br>Рассмотрим последний пример ~~<br>~~подробнее. Возьмем укрупненный ~~<br>~~фрагмент координатной прямой ~~<br>7 <br>~~(рис. 114). Точка — принадлежит ~~<br>2i2i <br>~~отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка ~~<br>7 <br>~~не превосходят длины отрезка. Расстояния точки — от концов ~~<br>22 <br>0*^9 <br>рис~~ <br>отрезка равны соответственно ~~<br>22 <br>¦к ~ °'319 <br>~~отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит, ~~<br>Тг~~ - ~~°'318 <br>, а длина <br>0,001 <br>i~~ - ~~°>319 <br>0,001~~. <br>Итак, в обоих случаях (и для приближения числа ~~— по не~~- ~~<br>LiCi <br>достатку~~, и для приближения его по избытку) погрешность не ~~<br>~~превосходит 0,001. <br>До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, ~~<br>~~до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в ~~использо- <br>вании~~ терминологии. <br>Если а — приближенное значение числа х и ~~\ х — а\ < h~~, mo ~~<br>~~говорят, что погрешность приближения не превосходит h ~~<br>~~или что число х равно числу а с точностью до h. ~~<br>~~Почему же важно уметь находить ~~прибли- <br>женные~~ значения чисел? Дело в том, что ~~прак- <br>тически~~ невозможно оперировать с ~~бесконеч- <br>ными~~ десятичными дробями и использовать их ~~<br>~~для измерения величин. На практике во многих ~~<br>~~случаях вместо точных значений берут приближения с заранее ~~<br>~~заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в ~~<br>~~калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная ~~<br>~~десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа ~~<br>~~(за редким исключением, когда выводимое число представляет ~~<br>~~собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране). <br><br><br><br><br><br>	+	[[Image:14-06-168.jpg]]<br><br>Применим это правило ко всем рассмотренным в этом параграфе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближения, для которых погрешность окажется наименьшей. <br>1) [[Image:14-06-169.jpg]] = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем [[Image:14-06-158.jpg]]3,142; здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте после запятой), поэтому взяли приближение по избытку. <br>С точностью до 0,0001 имеем [[Image:14-06-158.jpg]] 3,1416 — и здесь взяли приближение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на пятом месте после запятой) равна 9. А вот с точностью до 0,01 надо взять приближение по недостатку: [[Image:14-06-158.jpg]] 3,14. <br>2)[[Image:14-06-160.jpg]] = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 2,24 <br>(приближение по избытку). ¦ <br>3) 2 + [[Image:14-06-160.jpg]] = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]]4,24 (приближение по избытку). <br>4) [[Image:14-06-162.jpg]] = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем [[Image:14-06-162.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 0,318 (приближение по недостатку). <br>Рассмотрим последний пример подробнее. Возьмем укрупненный фрагмент координатной прямой (рис. 114).
		+
		+	[[Image:14-06-170.jpg]]
		+
		+
		+
		+	Точка [[Image:14-06-162.jpg]] принадлежит отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка не превосходят длины отрезка. Расстояния точки [[Image:14-06-162.jpg]] от концов <br>отрезка равны соответственно [[Image:14-06-171.jpg]] отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит, [[Image:14-06-173.jpg]] и [[Image:14-06-174.jpg]]<br>Итак, в обоих случаях (и для приближения числа [[Image:14-06-162.jpg]] по недостатку, и для приближения его по избытку) погрешность не превосходит 0,001. <br>До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использовании терминологии. <br>Если а — приближенное значение числа х и [[Image:14-06-175.jpg]], mo говорят, что погрешность приближения не превосходит h или что число х равно числу а с
		+
		+	точностью до h.
		+
		+	Почему же важно уметь находить приближенные значения чисел? Дело в том, что практически невозможно оперировать с бесконечными десятичными дробями и использовать их для измерения величин. На практике во многих случаях вместо точных значений берут приближения с заранее заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа (за редким исключением, когда выводимое число представляет собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране). <br><br><br><br><br><br>

	<br>		<br>

User16 в 13:34, 14 июня 2010

2010-06-14T13:34:16Z

← Предыдущая		Версия 13:34, 14 июня 2010
Строка 23:		Строка 23:
	'''''Определение.'''''Погрешностью приближения (абсолютной погрешностью) называют модуль разности между точным значением величины х и ее приближенным значением а: погрешность приближения — это \| х - а \|. <br>Например, погрешность приближенного равенства [[Image:14-06-165.jpg]] выражается как [[Image:14-06-166.jpg]] или соответственно как [[Image:14-06-167.jpg]],<br>Возникает чисто практический вопрос: какое приближение лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного числа, для которого составляются приближения. Обычно при округлении положительных чисел пользуются следующим пра- <br>вилом:		'''''Определение.'''''Погрешностью приближения (абсолютной погрешностью) называют модуль разности между точным значением величины х и ее приближенным значением а: погрешность приближения — это \| х - а \|. <br>Например, погрешность приближенного равенства [[Image:14-06-165.jpg]] выражается как [[Image:14-06-166.jpg]] или соответственно как [[Image:14-06-167.jpg]],<br>Возникает чисто практический вопрос: какое приближение лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного числа, для которого составляются приближения. Обычно при округлении положительных чисел пользуются следующим пра- <br>вилом:

-	[[Image:14-06-168.jpg]]<br><br>Применим это правило ко всем рассмотренным в этом параграфе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближения, для которых погрешность окажется наименьшей. <br>1) [[Image:14-06-169.jpg]] = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем [[Image:14-06-158.jpg]]3,142; здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте после запятой), поэтому взяли приближение по избытку. <br>С точностью до 0,0001 имеем [[Image:14-06-158.jpg]] 3,1416 — и здесь взяли приближение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на пятом месте после запятой) равна 9. А вот с точностью до 0,01 надо взять приближение по недостатку: [[Image:14-06-158.jpg]] 3,14. <br>2) JE = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем JE * 2,24 <br>(приближение по избытку). ¦ <br>3) 2 + ~~J&~~ = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + ~~,/5 « <br>«4~~,24 (приближение по избытку). ~~<br>7 7~~ <br>4) — = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем ~~— «~~ 0,318 <br>~~2i2i~~ <br>(приближение по недостатку). <br>Рассмотрим последний пример <br>подробнее. Возьмем укрупненный <br>фрагмент координатной прямой <br>7 <br>(рис. 114). Точка — принадлежит <br>2i2i <br>отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка <br>7 <br>не превосходят длины отрезка. Расстояния точки — от концов <br>22 <br>0*^9 <br>рис <br>отрезка равны соответственно <br>22 <br>¦к ~ °'319 <br>отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит, <br>Тг - °'318 <br>, а длина <br>0,001 <br>i - °>319 <br>0,001. <br>Итак, в обоих случаях (и для приближения числа — по не- <br>LiCi <br>достатку, и для приближения его по избытку) погрешность не <br>превосходит 0,001. <br>До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, <br>до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использо- <br>вании терминологии. <br>Если а — приближенное значение числа х и \ х — а\ < h, mo <br>говорят, что погрешность приближения не превосходит h <br>или что число х равно числу а с точностью до h. <br>Почему же важно уметь находить прибли- <br>женные значения чисел? Дело в том, что прак- <br>тически невозможно оперировать с бесконеч- <br>ными десятичными дробями и использовать их <br>для измерения величин. На практике во многих <br>случаях вместо точных значений берут приближения с заранее <br>заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в <br>калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная <br>десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа <br>(за редким исключением, когда выводимое число представляет <br>собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране). <br><br><br><br><br><br>	+	[[Image:14-06-168.jpg]]<br><br>Применим это правило ко всем рассмотренным в этом параграфе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближения, для которых погрешность окажется наименьшей. <br>1) [[Image:14-06-169.jpg]] = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем [[Image:14-06-158.jpg]]3,142; здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте после запятой), поэтому взяли приближение по избытку. <br>С точностью до 0,0001 имеем [[Image:14-06-158.jpg]] 3,1416 — и здесь взяли приближение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на пятом месте после запятой) равна 9. А вот с точностью до 0,01 надо взять приближение по недостатку: [[Image:14-06-158.jpg]] 3,14. <br>2)[[Image:14-06-160.jpg]] = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 2,24 <br>(приближение по избытку). ¦ <br>3) 2 + [[Image:14-06-160.jpg]] = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]]4,24 (приближение по избытку). <br>4) [[Image:14-06-162.jpg]] = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем [[Image:14-06-162.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 0,318 <br><br>(приближение по недостатку). <br>Рассмотрим последний пример <br>подробнее. Возьмем укрупненный <br>фрагмент координатной прямой <br>7 <br>(рис. 114). Точка — принадлежит <br>2i2i <br>отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка <br>7 <br>не превосходят длины отрезка. Расстояния точки — от концов <br>22 <br>0*^9 <br>рис <br>отрезка равны соответственно <br>22 <br>¦к ~ °'319 <br>отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит, <br>Тг - °'318 <br>, а длина <br>0,001 <br>i - °>319 <br>0,001. <br>Итак, в обоих случаях (и для приближения числа — по не- <br>LiCi <br>достатку, и для приближения его по избытку) погрешность не <br>превосходит 0,001. <br>До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, <br>до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использо- <br>вании терминологии. <br>Если а — приближенное значение числа х и \ х — а\ < h, mo <br>говорят, что погрешность приближения не превосходит h <br>или что число х равно числу а с точностью до h. <br>Почему же важно уметь находить прибли- <br>женные значения чисел? Дело в том, что прак- <br>тически невозможно оперировать с бесконеч- <br>ными десятичными дробями и использовать их <br>для измерения величин. На практике во многих <br>случаях вместо точных значений берут приближения с заранее <br>заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в <br>калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная <br>десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа <br>(за редким исключением, когда выводимое число представляет <br>собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране). <br><br><br><br><br><br>

	<br>		<br>

User16 в 13:27, 14 июня 2010

2010-06-14T13:27:16Z

← Предыдущая		Версия 13:27, 14 июня 2010
Строка 19:		Строка 19:
	'''Пример 1.''' Найти приближенные значения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 для чисел: <br>[[Image:14-06-159.jpg]]<br>Решение,		'''Пример 1.''' Найти приближенные значения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 для чисел: <br>[[Image:14-06-159.jpg]]<br>Решение,

-	а) Мы знаем, что [[Image:14-06-160.jpg]] = 2,236... (см. § 27), следовательно, [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 2,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 2,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>б) 2 +[[Image:14-06-160.jpg]] = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Значит, 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 4,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>в) Имеем [[Image:14-06-164.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 0,31818... (см. § 26). Таким образом, [[Image:14-06-164.jpg]]  0,31 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; ~~<br><br>~~[[Image:14-06-164.jpg]] » 0,32 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. (И <br>Приближение по недостатку и приближение по избытку ~~<br>~~называют иногда округлением числа. ~~<br>~~Определение. Погрешностью ~~приближе- <br>ния~~ (абсолютной погрешностью) называют ~~мо- <br>дуль~~ разности между точным значением ~~величи- <br>ны~~ х и ее приближенным значением а: ~~погреш- <br>абсолютная ность~~ приближения — это \| х - а \|. ~~<br>погрешность~~ <br>Например, погрешность приближенного ра- ~~<br>венства п « 3,141 или п а 3,142~~ выражается как \п - ~~3, 1411~~ или ~~<br>~~соответственно как \п - 3, ~~142 [.~~ <br>Возникает чисто практический вопрос: какое приближение ~~<br>~~лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае ~~<br>~~погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного ~~чи- <br>сла~~, для которого составляются приближения. Обычно при ~~<br>~~округлении положительных чисел пользуются следующим пра- <br>вилом: ~~<br>Правило округления. Если первая отбра~~- ~~<br>сываемая цифра меньше 5, то нужно брать <br>приближение по недостатку; если первая от~~- <br>~~брасываемая цифра больше или равна 5, то <br>нужно брать приближение по избытку.~~ <br>Применим это правило ко всем рассмотренным в этом ~~пара- <br>графе~~ числам; выберем для рассмотренных чисел те ~~приближе- <br>ния~~, для которых погрешность окажется наименьшей. <br>1) п = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем ~~п « ~~3,142; ~~<br>~~здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте ~~<br>~~после запятой), поэтому взяли приближение по избытку. <br>С точностью до 0,0001 имеем ~~п а~~ 3,1416 — и здесь взяли ~~прибли- <br>жение~~ по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на ~~<br>~~пятом месте после запятой) равна 9. А вот ~~срочностью~~ до 0,01 ~~<br>~~надо взять приближение по недостатку: ~~п «~~ 3,14. <br>2) JE = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем JE * 2,24 <br>(приближение по избытку). ¦ <br>3) 2 + J& = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + ,/5 « <br>«4,24 (приближение по избытку). <br>7 7 <br>4) — = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем — « 0,318 <br>2i2i <br>(приближение по недостатку). <br>Рассмотрим последний пример <br>подробнее. Возьмем укрупненный <br>фрагмент координатной прямой <br>7 <br>(рис. 114). Точка — принадлежит <br>2i2i <br>отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка <br>7 <br>не превосходят длины отрезка. Расстояния точки — от концов <br>22 <br>0*^9 <br>рис <br>отрезка равны соответственно <br>22 <br>¦к ~ °'319 <br>отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит, <br>Тг - °'318 <br>, а длина <br>0,001 <br>i - °>319 <br>0,001. <br>Итак, в обоих случаях (и для приближения числа — по не- <br>LiCi <br>достатку, и для приближения его по избытку) погрешность не <br>превосходит 0,001. <br>До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, <br>до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использо- <br>вании терминологии. <br>Если а — приближенное значение числа х и \ х — а\ < h, mo <br>говорят, что погрешность приближения не превосходит h <br>или что число х равно числу а с точностью до h. <br>Почему же важно уметь находить прибли- <br>женные значения чисел? Дело в том, что прак- <br>тически невозможно оперировать с бесконеч- <br>ными десятичными дробями и использовать их <br>для измерения величин. На практике во многих <br>случаях вместо точных значений берут приближения с заранее <br>заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в <br>калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная <br>десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа <br>(за редким исключением, когда выводимое число представляет <br>собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране). <br><br><br><br><br><br>	+	а) Мы знаем, что [[Image:14-06-160.jpg]] = 2,236... (см. § 27), следовательно, [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 2,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 2,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>б) 2 +[[Image:14-06-160.jpg]] = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Значит, 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 4,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>в) Имеем [[Image:14-06-164.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 0,31818... (см. § 26). Таким образом, [[Image:14-06-164.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 0,31 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; [[Image:14-06-164.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 0,32 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>Приближение по недостатку и приближение по избытку называют иногда округлением числа.
		+
		+	'''''Определение.'''''Погрешностью приближения (абсолютной погрешностью) называют модуль разности между точным значением величины х и ее приближенным значением а: погрешность приближения — это \| х - а \|. <br>Например, погрешность приближенного равенства [[Image:14-06-165.jpg]] выражается как [[Image:14-06-166.jpg]] или соответственно как [[Image:14-06-167.jpg]],<br>Возникает чисто практический вопрос: какое приближение лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного числа, для которого составляются приближения. Обычно при округлении положительных чисел пользуются следующим пра- <br>вилом:
		+
		+	[[Image:14-06-168.jpg]]<br><br>Применим это правило ко всем рассмотренным в этом параграфе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближения, для которых погрешность окажется наименьшей. <br>1) [[Image:14-06-169.jpg]] = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем [[Image:14-06-158.jpg]]3,142; здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте после запятой), поэтому взяли приближение по избытку. <br>С точностью до 0,0001 имеем [[Image:14-06-158.jpg]] 3,1416 — и здесь взяли приближение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на пятом месте после запятой) равна 9. А вот с точностью до 0,01 надо взять приближение по недостатку: [[Image:14-06-158.jpg]] 3,14. <br>2) JE = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем JE * 2,24 <br>(приближение по избытку). ¦ <br>3) 2 + J& = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + ,/5 « <br>«4,24 (приближение по избытку). <br>7 7 <br>4) — = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем — « 0,318 <br>2i2i <br>(приближение по недостатку). <br>Рассмотрим последний пример <br>подробнее. Возьмем укрупненный <br>фрагмент координатной прямой <br>7 <br>(рис. 114). Точка — принадлежит <br>2i2i <br>отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка <br>7 <br>не превосходят длины отрезка. Расстояния точки — от концов <br>22 <br>0*^9 <br>рис <br>отрезка равны соответственно <br>22 <br>¦к ~ °'319 <br>отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит, <br>Тг - °'318 <br>, а длина <br>0,001 <br>i - °>319 <br>0,001. <br>Итак, в обоих случаях (и для приближения числа — по не- <br>LiCi <br>достатку, и для приближения его по избытку) погрешность не <br>превосходит 0,001. <br>До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, <br>до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использо- <br>вании терминологии. <br>Если а — приближенное значение числа х и \ х — а\ < h, mo <br>говорят, что погрешность приближения не превосходит h <br>или что число х равно числу а с точностью до h. <br>Почему же важно уметь находить прибли- <br>женные значения чисел? Дело в том, что прак- <br>тически невозможно оперировать с бесконеч- <br>ными десятичными дробями и использовать их <br>для измерения величин. На практике во многих <br>случаях вместо точных значений берут приближения с заранее <br>заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в <br>калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная <br>десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа <br>(за редким исключением, когда выводимое число представляет <br>собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране). <br><br><br><br><br><br>

	<br>		<br>

User16 в 13:13, 14 июня 2010

2010-06-14T13:13:31Z

← Предыдущая		Версия 13:13, 14 июня 2010
Строка 19:		Строка 19:
	'''Пример 1.''' Найти приближенные значения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 для чисел: <br>[[Image:14-06-159.jpg]]<br>Решение,		'''Пример 1.''' Найти приближенные значения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 для чисел: <br>[[Image:14-06-159.jpg]]<br>Решение,

-	а) Мы знаем, что [[Image:14-06-160.jpg]] = 2,236... (см. § 27), следовательно, [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 2,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 2,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>б) 2 +[[Image:14-06-160.jpg]] = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Значит, 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 4,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>в) Имеем  [[Image:14-06-163.jpg]] 0,31818... (см. § 26). Таким образом,  0,31 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; <br>7 <br>— » 0,32 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. (И <br>Приближение по недостатку и приближение по избытку <br>называют иногда округлением числа. <br>Определение. Погрешностью приближе- <br>ния (абсолютной погрешностью) называют мо- <br>дуль разности между точным значением величи- <br>ны х и ее приближенным значением а: погреш- <br>абсолютная ность приближения — это \| х - а \|. <br>погрешность <br>Например, погрешность приближенного ра- <br>венства п « 3,141 или п а 3,142 выражается как \п - 3, 1411 или <br>соответственно как \п - 3, 142 [. <br>Возникает чисто практический вопрос: какое приближение <br>лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае <br>погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного чи- <br>сла, для которого составляются приближения. Обычно при <br>округлении положительных чисел пользуются следующим пра- <br>вилом: <br>Правило округления. Если первая отбра- <br>сываемая цифра меньше 5, то нужно брать <br>приближение по недостатку; если первая от- <br>брасываемая цифра больше или равна 5, то <br>нужно брать приближение по избытку. <br>Применим это правило ко всем рассмотренным в этом пара- <br>графе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближе- <br>ния, для которых погрешность окажется наименьшей. <br>1) п = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем п « 3,142; <br>здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте <br>после запятой), поэтому взяли приближение по избытку. <br>С точностью до 0,0001 имеем п а 3,1416 — и здесь взяли прибли- <br>жение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на <br>пятом месте после запятой) равна 9. А вот срочностью до 0,01 <br>надо взять приближение по недостатку: п « 3,14. <br>2) JE = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем JE * 2,24 <br>(приближение по избытку). ¦ <br>3) 2 + J& = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + ,/5 « <br>«4,24 (приближение по избытку). <br>7 7 <br>4) — = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем — « 0,318 <br>2i2i <br>(приближение по недостатку). <br>Рассмотрим последний пример <br>подробнее. Возьмем укрупненный <br>фрагмент координатной прямой <br>7 <br>(рис. 114). Точка — принадлежит <br>2i2i <br>отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка <br>7 <br>не превосходят длины отрезка. Расстояния точки — от концов <br>22 <br>0*^9 <br>рис <br>отрезка равны соответственно <br>22 <br>¦к ~ °'319 <br>отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит, <br>Тг - °'318 <br>, а длина <br>0,001 <br>i - °>319 <br>0,001. <br>Итак, в обоих случаях (и для приближения числа — по не- <br>LiCi <br>достатку, и для приближения его по избытку) погрешность не <br>превосходит 0,001. <br>До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, <br>до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использо- <br>вании терминологии. <br>Если а — приближенное значение числа х и \ х — а\ < h, mo <br>говорят, что погрешность приближения не превосходит h <br>или что число х равно числу а с точностью до h. <br>Почему же важно уметь находить прибли- <br>женные значения чисел? Дело в том, что прак- <br>тически невозможно оперировать с бесконеч- <br>ными десятичными дробями и использовать их <br>для измерения величин. На практике во многих <br>случаях вместо точных значений берут приближения с заранее <br>заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в <br>калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная <br>десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа <br>(за редким исключением, когда выводимое число представляет <br>собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране). <br><br><br><br><br><br>	+	а) Мы знаем, что [[Image:14-06-160.jpg]] = 2,236... (см. § 27), следовательно, [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 2,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 2,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>б) 2 +[[Image:14-06-160.jpg]] = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Значит, 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 4,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>в) Имеем [[Image:14-06-164.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 0,31818... (см. § 26). Таким образом, [[Image:14-06-164.jpg]]  0,31 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; <br><br>[[Image:14-06-164.jpg]] » 0,32 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. (И <br>Приближение по недостатку и приближение по избытку <br>называют иногда округлением числа. <br>Определение. Погрешностью приближе- <br>ния (абсолютной погрешностью) называют мо- <br>дуль разности между точным значением величи- <br>ны х и ее приближенным значением а: погреш- <br>абсолютная ность приближения — это \| х - а \|. <br>погрешность <br>Например, погрешность приближенного ра- <br>венства п « 3,141 или п а 3,142 выражается как \п - 3, 1411 или <br>соответственно как \п - 3, 142 [. <br>Возникает чисто практический вопрос: какое приближение <br>лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае <br>погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного чи- <br>сла, для которого составляются приближения. Обычно при <br>округлении положительных чисел пользуются следующим пра- <br>вилом: <br>Правило округления. Если первая отбра- <br>сываемая цифра меньше 5, то нужно брать <br>приближение по недостатку; если первая от- <br>брасываемая цифра больше или равна 5, то <br>нужно брать приближение по избытку. <br>Применим это правило ко всем рассмотренным в этом пара- <br>графе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближе- <br>ния, для которых погрешность окажется наименьшей. <br>1) п = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем п « 3,142; <br>здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте <br>после запятой), поэтому взяли приближение по избытку. <br>С точностью до 0,0001 имеем п а 3,1416 — и здесь взяли прибли- <br>жение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на <br>пятом месте после запятой) равна 9. А вот срочностью до 0,01 <br>надо взять приближение по недостатку: п « 3,14. <br>2) JE = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем JE * 2,24 <br>(приближение по избытку). ¦ <br>3) 2 + J& = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + ,/5 « <br>«4,24 (приближение по избытку). <br>7 7 <br>4) — = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем — « 0,318 <br>2i2i <br>(приближение по недостатку). <br>Рассмотрим последний пример <br>подробнее. Возьмем укрупненный <br>фрагмент координатной прямой <br>7 <br>(рис. 114). Точка — принадлежит <br>2i2i <br>отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка <br>7 <br>не превосходят длины отрезка. Расстояния точки — от концов <br>22 <br>0*^9 <br>рис <br>отрезка равны соответственно <br>22 <br>¦к ~ °'319 <br>отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит, <br>Тг - °'318 <br>, а длина <br>0,001 <br>i - °>319 <br>0,001. <br>Итак, в обоих случаях (и для приближения числа — по не- <br>LiCi <br>достатку, и для приближения его по избытку) погрешность не <br>превосходит 0,001. <br>До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, <br>до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использо- <br>вании терминологии. <br>Если а — приближенное значение числа х и \ х — а\ < h, mo <br>говорят, что погрешность приближения не превосходит h <br>или что число х равно числу а с точностью до h. <br>Почему же важно уметь находить прибли- <br>женные значения чисел? Дело в том, что прак- <br>тически невозможно оперировать с бесконеч- <br>ными десятичными дробями и использовать их <br>для измерения величин. На практике во многих <br>случаях вместо точных значений берут приближения с заранее <br>заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в <br>калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная <br>десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа <br>(за редким исключением, когда выводимое число представляет <br>собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране). <br><br><br><br><br><br>

	<br>		<br>

User16 в 13:11, 14 июня 2010

2010-06-14T13:11:34Z

← Предыдущая		Версия 13:11, 14 июня 2010
Строка 19:		Строка 19:
	'''Пример 1.''' Найти приближенные значения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 для чисел: <br>[[Image:14-06-159.jpg]]<br>Решение,		'''Пример 1.''' Найти приближенные значения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 для чисел: <br>[[Image:14-06-159.jpg]]<br>Решение,

-	а) Мы знаем, что [[Image:14-06-160.jpg]] = 2,236... (см. § 27), следовательно, [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 2,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 2,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>б) 2 +[[Image:14-06-160.jpg]] = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Значит, 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 4,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>в) Имеем ~~[[Image:14-06-164.jpg]][[Image:14-06-164.jpg]][[Image:14-06-162.jpg]]~~ [[Image:14-06-163.jpg]] 0,31818... (см. § 26). Таким образом,~~[[Image:14-06-164.jpg]] [[Image:14-06-162.jpg]]~~ ~~[[Image:14-06-164.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]]~~ 0,31 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; <br>7 <br>— » 0,32 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. (И <br>Приближение по недостатку и приближение по избытку <br>называют иногда округлением числа. <br>Определение. Погрешностью приближе- <br>ния (абсолютной погрешностью) называют мо- <br>дуль разности между точным значением величи- <br>ны х и ее приближенным значением а: погреш- <br>абсолютная ность приближения — это \| х - а \|. <br>погрешность <br>Например, погрешность приближенного ра- <br>венства п « 3,141 или п а 3,142 выражается как \п - 3, 1411 или <br>соответственно как \п - 3, 142 [. <br>Возникает чисто практический вопрос: какое приближение <br>лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае <br>погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного чи- <br>сла, для которого составляются приближения. Обычно при <br>округлении положительных чисел пользуются следующим пра- <br>вилом: <br>Правило округления. Если первая отбра- <br>сываемая цифра меньше 5, то нужно брать <br>приближение по недостатку; если первая от- <br>брасываемая цифра больше или равна 5, то <br>нужно брать приближение по избытку. <br>Применим это правило ко всем рассмотренным в этом пара- <br>графе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближе- <br>ния, для которых погрешность окажется наименьшей. <br>1) п = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем п « 3,142; <br>здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте <br>после запятой), поэтому взяли приближение по избытку. <br>С точностью до 0,0001 имеем п а 3,1416 — и здесь взяли прибли- <br>жение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на <br>пятом месте после запятой) равна 9. А вот срочностью до 0,01 <br>надо взять приближение по недостатку: п « 3,14. <br>2) JE = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем JE * 2,24 <br>(приближение по избытку). ¦ <br>3) 2 + J& = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + ,/5 « <br>«4,24 (приближение по избытку). <br>7 7 <br>4) — = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем — « 0,318 <br>2i2i <br>(приближение по недостатку). <br>Рассмотрим последний пример <br>подробнее. Возьмем укрупненный <br>фрагмент координатной прямой <br>7 <br>(рис. 114). Точка — принадлежит <br>2i2i <br>отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка <br>7 <br>не превосходят длины отрезка. Расстояния точки — от концов <br>22 <br>0*^9 <br>рис <br>отрезка равны соответственно <br>22 <br>¦к ~ °'319 <br>отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит, <br>Тг - °'318 <br>, а длина <br>0,001 <br>i - °>319 <br>0,001. <br>Итак, в обоих случаях (и для приближения числа — по не- <br>LiCi <br>достатку, и для приближения его по избытку) погрешность не <br>превосходит 0,001. <br>До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, <br>до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использо- <br>вании терминологии. <br>Если а — приближенное значение числа х и \ х — а\ < h, mo <br>говорят, что погрешность приближения не превосходит h <br>или что число х равно числу а с точностью до h. <br>Почему же важно уметь находить прибли- <br>женные значения чисел? Дело в том, что прак- <br>тически невозможно оперировать с бесконеч- <br>ными десятичными дробями и использовать их <br>для измерения величин. На практике во многих <br>случаях вместо точных значений берут приближения с заранее <br>заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в <br>калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная <br>десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа <br>(за редким исключением, когда выводимое число представляет <br>собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране). <br><br><br><br><br><br>	+	а) Мы знаем, что [[Image:14-06-160.jpg]] = 2,236... (см. § 27), следовательно, [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 2,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 2,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>б) 2 +[[Image:14-06-160.jpg]] = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Значит, 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 4,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>в) Имеем  [[Image:14-06-163.jpg]] 0,31818... (см. § 26). Таким образом,  0,31 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; <br>7 <br>— » 0,32 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. (И <br>Приближение по недостатку и приближение по избытку <br>называют иногда округлением числа. <br>Определение. Погрешностью приближе- <br>ния (абсолютной погрешностью) называют мо- <br>дуль разности между точным значением величи- <br>ны х и ее приближенным значением а: погреш- <br>абсолютная ность приближения — это \| х - а \|. <br>погрешность <br>Например, погрешность приближенного ра- <br>венства п « 3,141 или п а 3,142 выражается как \п - 3, 1411 или <br>соответственно как \п - 3, 142 [. <br>Возникает чисто практический вопрос: какое приближение <br>лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае <br>погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного чи- <br>сла, для которого составляются приближения. Обычно при <br>округлении положительных чисел пользуются следующим пра- <br>вилом: <br>Правило округления. Если первая отбра- <br>сываемая цифра меньше 5, то нужно брать <br>приближение по недостатку; если первая от- <br>брасываемая цифра больше или равна 5, то <br>нужно брать приближение по избытку. <br>Применим это правило ко всем рассмотренным в этом пара- <br>графе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближе- <br>ния, для которых погрешность окажется наименьшей. <br>1) п = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем п « 3,142; <br>здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте <br>после запятой), поэтому взяли приближение по избытку. <br>С точностью до 0,0001 имеем п а 3,1416 — и здесь взяли прибли- <br>жение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на <br>пятом месте после запятой) равна 9. А вот срочностью до 0,01 <br>надо взять приближение по недостатку: п « 3,14. <br>2) JE = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем JE * 2,24 <br>(приближение по избытку). ¦ <br>3) 2 + J& = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + ,/5 « <br>«4,24 (приближение по избытку). <br>7 7 <br>4) — = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем — « 0,318 <br>2i2i <br>(приближение по недостатку). <br>Рассмотрим последний пример <br>подробнее. Возьмем укрупненный <br>фрагмент координатной прямой <br>7 <br>(рис. 114). Точка — принадлежит <br>2i2i <br>отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка <br>7 <br>не превосходят длины отрезка. Расстояния точки — от концов <br>22 <br>0*^9 <br>рис <br>отрезка равны соответственно <br>22 <br>¦к ~ °'319 <br>отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит, <br>Тг - °'318 <br>, а длина <br>0,001 <br>i - °>319 <br>0,001. <br>Итак, в обоих случаях (и для приближения числа — по не- <br>LiCi <br>достатку, и для приближения его по избытку) погрешность не <br>превосходит 0,001. <br>До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, <br>до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использо- <br>вании терминологии. <br>Если а — приближенное значение числа х и \ х — а\ < h, mo <br>говорят, что погрешность приближения не превосходит h <br>или что число х равно числу а с точностью до h. <br>Почему же важно уметь находить прибли- <br>женные значения чисел? Дело в том, что прак- <br>тически невозможно оперировать с бесконеч- <br>ными десятичными дробями и использовать их <br>для измерения величин. На практике во многих <br>случаях вместо точных значений берут приближения с заранее <br>заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в <br>калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная <br>десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа <br>(за редким исключением, когда выводимое число представляет <br>собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране). <br><br><br><br><br><br>

	<br>		<br>

User16 в 13:09, 14 июня 2010

2010-06-14T13:09:27Z

← Предыдущая		Версия 13:09, 14 июня 2010
Строка 19:		Строка 19:
	'''Пример 1.''' Найти приближенные значения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 для чисел: <br>[[Image:14-06-159.jpg]]<br>Решение,		'''Пример 1.''' Найти приближенные значения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 для чисел: <br>[[Image:14-06-159.jpg]]<br>Решение,

-	а) Мы знаем, что [[Image:14-06-160.jpg]] = 2,236... (см. § 27), следовательно, [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 2,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 2,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>б) 2 +[[Image:14-06-160.jpg]] = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Значит, 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2 + [[Image:14-06-160.jpg]] 4,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>в) Имеем [[Image:14-06-164.jpg]][[Image:14-06-162.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 0,31818... (см. § 26). Таким образом, [[Image:14-06-162.jpg]] [[Image:14-06-164.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 0,31 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; <br>7 <br>— » 0,32 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. (И <br>Приближение по недостатку и приближение по избытку <br>называют иногда округлением числа. <br>Определение. Погрешностью приближе- <br>ния (абсолютной погрешностью) называют мо- <br>дуль разности между точным значением величи- <br>ны х и ее приближенным значением а: погреш- <br>абсолютная ность приближения — это \| х - а \|. <br>погрешность <br>Например, погрешность приближенного ра- <br>венства п « 3,141 или п а 3,142 выражается как \п - 3, 1411 или <br>соответственно как \п - 3, 142 [. <br>Возникает чисто практический вопрос: какое приближение <br>лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае <br>погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного чи- <br>сла, для которого составляются приближения. Обычно при <br>округлении положительных чисел пользуются следующим пра- <br>вилом: <br>Правило округления. Если первая отбра- <br>сываемая цифра меньше 5, то нужно брать <br>приближение по недостатку; если первая от- <br>брасываемая цифра больше или равна 5, то <br>нужно брать приближение по избытку. <br>Применим это правило ко всем рассмотренным в этом пара- <br>графе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближе- <br>ния, для которых погрешность окажется наименьшей. <br>1) п = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем п « 3,142; <br>здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте <br>после запятой), поэтому взяли приближение по избытку. <br>С точностью до 0,0001 имеем п а 3,1416 — и здесь взяли прибли- <br>жение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на <br>пятом месте после запятой) равна 9. А вот срочностью до 0,01 <br>надо взять приближение по недостатку: п « 3,14. <br>2) JE = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем JE * 2,24 <br>(приближение по избытку). ¦ <br>3) 2 + J& = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + ,/5 « <br>«4,24 (приближение по избытку). <br>7 7 <br>4) — = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем — « 0,318 <br>2i2i <br>(приближение по недостатку). <br>Рассмотрим последний пример <br>подробнее. Возьмем укрупненный <br>фрагмент координатной прямой <br>7 <br>(рис. 114). Точка — принадлежит <br>2i2i <br>отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка <br>7 <br>не превосходят длины отрезка. Расстояния точки — от концов <br>22 <br>0*^9 <br>рис <br>отрезка равны соответственно <br>22 <br>¦к ~ °'319 <br>отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит, <br>Тг - °'318 <br>, а длина <br>0,001 <br>i - °>319 <br>0,001. <br>Итак, в обоих случаях (и для приближения числа — по не- <br>LiCi <br>достатку, и для приближения его по избытку) погрешность не <br>превосходит 0,001. <br>До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, <br>до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использо- <br>вании терминологии. <br>Если а — приближенное значение числа х и \ х — а\ < h, mo <br>говорят, что погрешность приближения не превосходит h <br>или что число х равно числу а с точностью до h. <br>Почему же важно уметь находить прибли- <br>женные значения чисел? Дело в том, что прак- <br>тически невозможно оперировать с бесконеч- <br>ными десятичными дробями и использовать их <br>для измерения величин. На практике во многих <br>случаях вместо точных значений берут приближения с заранее <br>заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в <br>калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная <br>десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа <br>(за редким исключением, когда выводимое число представляет <br>собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране). <br><br><br><br><br><br>	+	а) Мы знаем, что [[Image:14-06-160.jpg]] = 2,236... (см. § 27), следовательно, [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 2,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 2,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>б) 2 +[[Image:14-06-160.jpg]] = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Значит, 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 4,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>в) Имеем [[Image:14-06-164.jpg]][[Image:14-06-164.jpg]][[Image:14-06-162.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 0,31818... (см. § 26). Таким образом,[[Image:14-06-164.jpg]] [[Image:14-06-162.jpg]] [[Image:14-06-164.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 0,31 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; <br>7 <br>— » 0,32 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. (И <br>Приближение по недостатку и приближение по избытку <br>называют иногда округлением числа. <br>Определение. Погрешностью приближе- <br>ния (абсолютной погрешностью) называют мо- <br>дуль разности между точным значением величи- <br>ны х и ее приближенным значением а: погреш- <br>абсолютная ность приближения — это \| х - а \|. <br>погрешность <br>Например, погрешность приближенного ра- <br>венства п « 3,141 или п а 3,142 выражается как \п - 3, 1411 или <br>соответственно как \п - 3, 142 [. <br>Возникает чисто практический вопрос: какое приближение <br>лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае <br>погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного чи- <br>сла, для которого составляются приближения. Обычно при <br>округлении положительных чисел пользуются следующим пра- <br>вилом: <br>Правило округления. Если первая отбра- <br>сываемая цифра меньше 5, то нужно брать <br>приближение по недостатку; если первая от- <br>брасываемая цифра больше или равна 5, то <br>нужно брать приближение по избытку. <br>Применим это правило ко всем рассмотренным в этом пара- <br>графе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближе- <br>ния, для которых погрешность окажется наименьшей. <br>1) п = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем п « 3,142; <br>здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте <br>после запятой), поэтому взяли приближение по избытку. <br>С точностью до 0,0001 имеем п а 3,1416 — и здесь взяли прибли- <br>жение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на <br>пятом месте после запятой) равна 9. А вот срочностью до 0,01 <br>надо взять приближение по недостатку: п « 3,14. <br>2) JE = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем JE * 2,24 <br>(приближение по избытку). ¦ <br>3) 2 + J& = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + ,/5 « <br>«4,24 (приближение по избытку). <br>7 7 <br>4) — = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем — « 0,318 <br>2i2i <br>(приближение по недостатку). <br>Рассмотрим последний пример <br>подробнее. Возьмем укрупненный <br>фрагмент координатной прямой <br>7 <br>(рис. 114). Точка — принадлежит <br>2i2i <br>отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка <br>7 <br>не превосходят длины отрезка. Расстояния точки — от концов <br>22 <br>0*^9 <br>рис <br>отрезка равны соответственно <br>22 <br>¦к ~ °'319 <br>отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит, <br>Тг - °'318 <br>, а длина <br>0,001 <br>i - °>319 <br>0,001. <br>Итак, в обоих случаях (и для приближения числа — по не- <br>LiCi <br>достатку, и для приближения его по избытку) погрешность не <br>превосходит 0,001. <br>До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, <br>до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использо- <br>вании терминологии. <br>Если а — приближенное значение числа х и \ х — а\ < h, mo <br>говорят, что погрешность приближения не превосходит h <br>или что число х равно числу а с точностью до h. <br>Почему же важно уметь находить прибли- <br>женные значения чисел? Дело в том, что прак- <br>тически невозможно оперировать с бесконеч- <br>ными десятичными дробями и использовать их <br>для измерения величин. На практике во многих <br>случаях вместо точных значений берут приближения с заранее <br>заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в <br>калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная <br>десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа <br>(за редким исключением, когда выводимое число представляет <br>собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране). <br><br><br><br><br><br>

	<br>		<br>

User16 в 13:07, 14 июня 2010

2010-06-14T13:07:14Z

← Предыдущая		Версия 13:07, 14 июня 2010
Строка 19:		Строка 19:
	'''Пример 1.''' Найти приближенные значения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 для чисел: <br>[[Image:14-06-159.jpg]]<br>Решение,		'''Пример 1.''' Найти приближенные значения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 для чисел: <br>[[Image:14-06-159.jpg]]<br>Решение,

-	а) Мы знаем, что [[Image:14-06-160.jpg]] = 2,236... (см. § 27), следовательно, [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 2,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-~~161~~.jpg]] 2,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>б) 2 +[[Image:14-06-160.jpg]] = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Значит, 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2 + [[Image:14-06-160~~.jpg]] [[Image:14-06-161~~.jpg]]4,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>в) Имеем [[Image:14-06-162.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 0,31818... (см. § 26). Таким образом, [[Image:14-06-162.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 0,31 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; <br>7 <br>— » 0,32 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. (И <br>Приближение по недостатку и приближение по избытку <br>называют иногда округлением числа. <br>Определение. Погрешностью приближе- <br>ния (абсолютной погрешностью) называют мо- <br>дуль разности между точным значением величи- <br>ны х и ее приближенным значением а: погреш- <br>абсолютная ность приближения — это \| х - а \|. <br>погрешность <br>Например, погрешность приближенного ра- <br>венства п « 3,141 или п а 3,142 выражается как \п - 3, 1411 или <br>соответственно как \п - 3, 142 [. <br>Возникает чисто практический вопрос: какое приближение <br>лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае <br>погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного чи- <br>сла, для которого составляются приближения. Обычно при <br>округлении положительных чисел пользуются следующим пра- <br>вилом: <br>Правило округления. Если первая отбра- <br>сываемая цифра меньше 5, то нужно брать <br>приближение по недостатку; если первая от- <br>брасываемая цифра больше или равна 5, то <br>нужно брать приближение по избытку. <br>Применим это правило ко всем рассмотренным в этом пара- <br>графе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближе- <br>ния, для которых погрешность окажется наименьшей. <br>1) п = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем п « 3,142; <br>здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте <br>после запятой), поэтому взяли приближение по избытку. <br>С точностью до 0,0001 имеем п а 3,1416 — и здесь взяли прибли- <br>жение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на <br>пятом месте после запятой) равна 9. А вот срочностью до 0,01 <br>надо взять приближение по недостатку: п « 3,14. <br>2) JE = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем JE * 2,24 <br>(приближение по избытку). ¦ <br>3) 2 + J& = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + ,/5 « <br>«4,24 (приближение по избытку). <br>7 7 <br>4) — = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем — « 0,318 <br>2i2i <br>(приближение по недостатку). <br>Рассмотрим последний пример <br>подробнее. Возьмем укрупненный <br>фрагмент координатной прямой <br>7 <br>(рис. 114). Точка — принадлежит <br>2i2i <br>отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка <br>7 <br>не превосходят длины отрезка. Расстояния точки — от концов <br>22 <br>0*^9 <br>рис <br>отрезка равны соответственно <br>22 <br>¦к ~ °'319 <br>отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит, <br>Тг - °'318 <br>, а длина <br>0,001 <br>i - °>319 <br>0,001. <br>Итак, в обоих случаях (и для приближения числа — по не- <br>LiCi <br>достатку, и для приближения его по избытку) погрешность не <br>превосходит 0,001. <br>До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, <br>до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использо- <br>вании терминологии. <br>Если а — приближенное значение числа х и \ х — а\ < h, mo <br>говорят, что погрешность приближения не превосходит h <br>или что число х равно числу а с точностью до h. <br>Почему же важно уметь находить прибли- <br>женные значения чисел? Дело в том, что прак- <br>тически невозможно оперировать с бесконеч- <br>ными десятичными дробями и использовать их <br>для измерения величин. На практике во многих <br>случаях вместо точных значений берут приближения с заранее <br>заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в <br>калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная <br>десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа <br>(за редким исключением, когда выводимое число представляет <br>собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране). <br><br><br><br><br><br>	+	а) Мы знаем, что [[Image:14-06-160.jpg]] = 2,236... (см. § 27), следовательно, [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 2,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 2,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>б) 2 +[[Image:14-06-160.jpg]] = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Значит, 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2 + [[Image:14-06-160.jpg]] 4,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>в) Имеем [[Image:14-06-164.jpg]][[Image:14-06-162.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 0,31818... (см. § 26). Таким образом, [[Image:14-06-162.jpg]] [[Image:14-06-164.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 0,31 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; <br>7 <br>— » 0,32 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. (И <br>Приближение по недостатку и приближение по избытку <br>называют иногда округлением числа. <br>Определение. Погрешностью приближе- <br>ния (абсолютной погрешностью) называют мо- <br>дуль разности между точным значением величи- <br>ны х и ее приближенным значением а: погреш- <br>абсолютная ность приближения — это \| х - а \|. <br>погрешность <br>Например, погрешность приближенного ра- <br>венства п « 3,141 или п а 3,142 выражается как \п - 3, 1411 или <br>соответственно как \п - 3, 142 [. <br>Возникает чисто практический вопрос: какое приближение <br>лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае <br>погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного чи- <br>сла, для которого составляются приближения. Обычно при <br>округлении положительных чисел пользуются следующим пра- <br>вилом: <br>Правило округления. Если первая отбра- <br>сываемая цифра меньше 5, то нужно брать <br>приближение по недостатку; если первая от- <br>брасываемая цифра больше или равна 5, то <br>нужно брать приближение по избытку. <br>Применим это правило ко всем рассмотренным в этом пара- <br>графе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближе- <br>ния, для которых погрешность окажется наименьшей. <br>1) п = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем п « 3,142; <br>здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте <br>после запятой), поэтому взяли приближение по избытку. <br>С точностью до 0,0001 имеем п а 3,1416 — и здесь взяли прибли- <br>жение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на <br>пятом месте после запятой) равна 9. А вот срочностью до 0,01 <br>надо взять приближение по недостатку: п « 3,14. <br>2) JE = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем JE * 2,24 <br>(приближение по избытку). ¦ <br>3) 2 + J& = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + ,/5 « <br>«4,24 (приближение по избытку). <br>7 7 <br>4) — = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем — « 0,318 <br>2i2i <br>(приближение по недостатку). <br>Рассмотрим последний пример <br>подробнее. Возьмем укрупненный <br>фрагмент координатной прямой <br>7 <br>(рис. 114). Точка — принадлежит <br>2i2i <br>отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка <br>7 <br>не превосходят длины отрезка. Расстояния точки — от концов <br>22 <br>0*^9 <br>рис <br>отрезка равны соответственно <br>22 <br>¦к ~ °'319 <br>отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит, <br>Тг - °'318 <br>, а длина <br>0,001 <br>i - °>319 <br>0,001. <br>Итак, в обоих случаях (и для приближения числа — по не- <br>LiCi <br>достатку, и для приближения его по избытку) погрешность не <br>превосходит 0,001. <br>До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, <br>до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использо- <br>вании терминологии. <br>Если а — приближенное значение числа х и \ х — а\ < h, mo <br>говорят, что погрешность приближения не превосходит h <br>или что число х равно числу а с точностью до h. <br>Почему же важно уметь находить прибли- <br>женные значения чисел? Дело в том, что прак- <br>тически невозможно оперировать с бесконеч- <br>ными десятичными дробями и использовать их <br>для измерения величин. На практике во многих <br>случаях вместо точных значений берут приближения с заранее <br>заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в <br>калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная <br>десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа <br>(за редким исключением, когда выводимое число представляет <br>собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране). <br><br><br><br><br><br>

	<br>		<br>

User16 в 13:02, 14 июня 2010

2010-06-14T13:02:12Z

← Предыдущая		Версия 13:02, 14 июня 2010
Строка 5:		Строка 5:
	<br>		<br>

-		+	<br>

	'''                             ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ '''<br><br>И в 7-м и в 8-м классе мы часто решали уравнения графически. Заметили ли вы, что практически во всех таких примерах уравнения имели «хорошие» корни? Это были целые числа, которые без труда отыскивались с помощью графиков, особенно на клетчатой бумаге. Но так бывает далеко не всегда, просто мы до сих пор подбирали «хорошие» примеры.		'''                             ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ '''<br><br>И в 7-м и в 8-м классе мы часто решали уравнения графически. Заметили ли вы, что практически во всех таких примерах уравнения имели «хорошие» корни? Это были целые числа, которые без труда отыскивались с помощью графиков, особенно на клетчатой бумаге. Но так бывает далеко не всегда, просто мы до сих пор подбирали «хорошие» примеры.

-	Рассмотрим два уравнения: [[Image:14-06-154.jpg]] = 2 - х и [[Image:14-06-154.jpg]] = 4 - х. Первое уравнение имеет единственный корень х = 1, поскольку графики функций у =[[Image:14-06-154.jpg]] и у = 2 - х пересекаются в одной точке А (1; 1) (рис. 112). Во втором случае графики функций [[Image:14-06-154.jpg]]— фс и у = 4 - х также пересекаются в одной точке В (рис. 113), но с «плохими» координатами. Пользуясь чертежом, можно сделать вывод, что абсцисса точки В примерно равна 2,5. В подобных случаях говорят не о точном, а о приближенном решении уравнения и пишут так:[[Image:14-06-155.jpg]]<br>	+	Рассмотрим два уравнения: [[Image:14-06-154.jpg]] = 2 - х и [[Image:14-06-154.jpg]] = 4 - х. Первое уравнение имеет единственный корень х = 1, поскольку графики функций у =[[Image:14-06-154.jpg]] и у = 2 - х пересекаются в одной точке А (1; 1) (рис. 112). Во втором случае графики функций [[Image:14-06-154.jpg]]— фс и у = 4 - х также пересекаются в одной точке В (рис. 113), но с «плохими» координатами. Пользуясь чертежом, можно сделать вывод, что абсцисса точки В примерно равна 2,5. В подобных случаях говорят не о точном, а о приближенном решении уравнения и пишут так:[[Image:14-06-155.jpg]]<br>

-	<br>	+	<br>

-	[[Image:14-06-156.jpg]]<br>	+	[[Image:14-06-156.jpg]]<br>

-	<br>Это одна из причин, по которым математики решили ввести понятие приближенного значения действительного числа. Есть и вторая причина, причем, может быть, даже более важная.Что такое действительное число? Это бесконечная десятичная дробь. Но производить вычисления с бесконечными десятичными дробями неудобно, поэтому на практике пользуются приближенными значениями действительных чисел. Например, для числа [[Image:14-06-157.jpg]] пользуются приближенным равенством [[Image:14-06-158.jpg]]3,141 или [[Image:14-06-158.jpg]] 3,142. Первое называют приближенным значением (или приближением) числа п по недостатку с точностью до 0,001; второе называют приближенным значением (приближением) числа к по избытку с точностью до 0,001. Можно взять более точные приближения: например, <br>[[Image:14-06-158.jpg]]3,1415 — приближение по недостатку с точностью до 0,0001;[[Image:14-06-158.jpg]] 3,1416 — приближение по избытку с точностью до 0,0001. Можно взять менее точные приближения, скажем, с точностью до 0,01: по недостатку [[Image:14-06-158.jpg]] 3,14, по избытку [[Image:14-06-158.jpg]] 3,15. <br>Знак приближенного равенства » вы использовали и в курсе математики 5—6-го классов и, вероятно, в курсе физики, да и мы пользовались им раньше, например в § 27.	+	<br>Это одна из причин, по которым математики решили ввести понятие приближенного значения действительного числа. Есть и вторая причина, причем, может быть, даже более важная.Что такое действительное число? Это бесконечная десятичная дробь. Но производить вычисления с бесконечными десятичными дробями неудобно, поэтому на практике пользуются приближенными значениями действительных чисел. Например, для числа [[Image:14-06-157.jpg]] пользуются приближенным равенством [[Image:14-06-158.jpg]]3,141 или [[Image:14-06-158.jpg]] 3,142. Первое называют приближенным значением (или приближением) числа п по недостатку с точностью до 0,001; второе называют приближенным значением (приближением) числа к по избытку с точностью до 0,001. Можно взять более точные приближения: например, <br>[[Image:14-06-158.jpg]]3,1415 — приближение по недостатку с точностью до 0,0001;[[Image:14-06-158.jpg]] 3,1416 — приближение по избытку с точностью до 0,0001. Можно взять менее точные приближения, скажем, с точностью до 0,01: по недостатку [[Image:14-06-158.jpg]] 3,14, по избытку [[Image:14-06-158.jpg]] 3,15. <br>Знак приближенного равенства » вы использовали и в курсе математики 5—6-го классов и, вероятно, в курсе физики, да и мы пользовались им раньше, например в § 27.

	'''Пример 1.''' Найти приближенные значения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 для чисел: <br>[[Image:14-06-159.jpg]]<br>Решение,		'''Пример 1.''' Найти приближенные значения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 для чисел: <br>[[Image:14-06-159.jpg]]<br>Решение,

-	а) Мы знаем, что [[Image:14-06-160.jpg]] = 2,236... (см. § 27), следовательно, [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-~~161~~.jpg]] 2,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-161.jpg]] 2,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>б) 2 +[[Image:14-06-160.jpg]] = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Значит, 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-~~161~~.jpg]] 4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2 + [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-161.jpg]]4,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>в) Имеем ~~— =~~ 0,31818... (см. § 26). Таким образом, ^- ~~« <br>2,2, 22 <br>«~~ 0,31 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; <br>7 <br>— » 0,32 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. (И <br>Приближение по недостатку и приближение по избытку <br>называют иногда округлением числа. <br>Определение. Погрешностью приближе- <br>ния (абсолютной погрешностью) называют мо- <br>дуль разности между точным значением величи- <br>ны х и ее приближенным значением а: погреш- <br>абсолютная ность приближения — это \| х - а \|. <br>погрешность <br>Например, погрешность приближенного ра- <br>венства п « 3,141 или п а 3,142 выражается как \п - 3, 1411 или <br>соответственно как \п - 3, 142 [. <br>Возникает чисто практический вопрос: какое приближение <br>лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае <br>погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного чи- <br>сла, для которого составляются приближения. Обычно при <br>округлении положительных чисел пользуются следующим пра- <br>вилом: <br>Правило округления. Если первая отбра- <br>сываемая цифра меньше 5, то нужно брать <br>приближение по недостатку; если первая от- <br>брасываемая цифра больше или равна 5, то <br>нужно брать приближение по избытку. <br>Применим это правило ко всем рассмотренным в этом пара- <br>графе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближе- <br>ния, для которых погрешность окажется наименьшей. <br>1) п = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем п « 3,142; <br>здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте <br>после запятой), поэтому взяли приближение по избытку. <br>С точностью до 0,0001 имеем п а 3,1416 — и здесь взяли прибли- <br>жение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на <br>пятом месте после запятой) равна 9. А вот срочностью до 0,01 <br>надо взять приближение по недостатку: п « 3,14. <br>2) JE = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем JE * 2,24 <br>(приближение по избытку). ¦ <br>3) 2 + J& = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + ,/5 « <br>«4,24 (приближение по избытку). <br>7 7 <br>4) — = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем — « 0,318 <br>2i2i <br>(приближение по недостатку). <br>Рассмотрим последний пример <br>подробнее. Возьмем укрупненный <br>фрагмент координатной прямой <br>7 <br>(рис. 114). Точка — принадлежит <br>2i2i <br>отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка <br>7 <br>не превосходят длины отрезка. Расстояния точки — от концов <br>22 <br>0*^9 <br>рис <br>отрезка равны соответственно <br>22 <br>¦к ~ °'319 <br>отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит, <br>Тг - °'318 <br>, а длина <br>0,001 <br>i - °>319 <br>0,001. <br>Итак, в обоих случаях (и для приближения числа — по не- <br>LiCi <br>достатку, и для приближения его по избытку) погрешность не <br>превосходит 0,001. <br>До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, <br>до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использо- <br>вании терминологии. <br>Если а — приближенное значение числа х и \ х — а\ < h, mo <br>говорят, что погрешность приближения не превосходит h <br>или что число х равно числу а с точностью до h. <br>Почему же важно уметь находить прибли- <br>женные значения чисел? Дело в том, что прак- <br>тически невозможно оперировать с бесконеч- <br>ными десятичными дробями и использовать их <br>для измерения величин. На практике во многих <br>случаях вместо точных значений берут приближения с заранее <br>заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в <br>калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная <br>десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа <br>(за редким исключением, когда выводимое число представляет <br>собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране). <br><br><br><br><br><br>	+	а) Мы знаем, что [[Image:14-06-160.jpg]] = 2,236... (см. § 27), следовательно, [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 2,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-161.jpg]] 2,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>б) 2 +[[Image:14-06-160.jpg]] = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Значит, 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2 + [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-161.jpg]]4,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>в) Имеем [[Image:14-06-162.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 0,31818... (см. § 26). Таким образом, [[Image:14-06-162.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 0,31 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; <br>7 <br>— » 0,32 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. (И <br>Приближение по недостатку и приближение по избытку <br>называют иногда округлением числа. <br>Определение. Погрешностью приближе- <br>ния (абсолютной погрешностью) называют мо- <br>дуль разности между точным значением величи- <br>ны х и ее приближенным значением а: погреш- <br>абсолютная ность приближения — это \| х - а \|. <br>погрешность <br>Например, погрешность приближенного ра- <br>венства п « 3,141 или п а 3,142 выражается как \п - 3, 1411 или <br>соответственно как \п - 3, 142 [. <br>Возникает чисто практический вопрос: какое приближение <br>лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае <br>погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного чи- <br>сла, для которого составляются приближения. Обычно при <br>округлении положительных чисел пользуются следующим пра- <br>вилом: <br>Правило округления. Если первая отбра- <br>сываемая цифра меньше 5, то нужно брать <br>приближение по недостатку; если первая от- <br>брасываемая цифра больше или равна 5, то <br>нужно брать приближение по избытку. <br>Применим это правило ко всем рассмотренным в этом пара- <br>графе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближе- <br>ния, для которых погрешность окажется наименьшей. <br>1) п = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем п « 3,142; <br>здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте <br>после запятой), поэтому взяли приближение по избытку. <br>С точностью до 0,0001 имеем п а 3,1416 — и здесь взяли прибли- <br>жение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на <br>пятом месте после запятой) равна 9. А вот срочностью до 0,01 <br>надо взять приближение по недостатку: п « 3,14. <br>2) JE = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем JE * 2,24 <br>(приближение по избытку). ¦ <br>3) 2 + J& = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + ,/5 « <br>«4,24 (приближение по избытку). <br>7 7 <br>4) — = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем — « 0,318 <br>2i2i <br>(приближение по недостатку). <br>Рассмотрим последний пример <br>подробнее. Возьмем укрупненный <br>фрагмент координатной прямой <br>7 <br>(рис. 114). Точка — принадлежит <br>2i2i <br>отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка <br>7 <br>не превосходят длины отрезка. Расстояния точки — от концов <br>22 <br>0*^9 <br>рис <br>отрезка равны соответственно <br>22 <br>¦к ~ °'319 <br>отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит, <br>Тг - °'318 <br>, а длина <br>0,001 <br>i - °>319 <br>0,001. <br>Итак, в обоих случаях (и для приближения числа — по не- <br>LiCi <br>достатку, и для приближения его по избытку) погрешность не <br>превосходит 0,001. <br>До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, <br>до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использо- <br>вании терминологии. <br>Если а — приближенное значение числа х и \ х — а\ < h, mo <br>говорят, что погрешность приближения не превосходит h <br>или что число х равно числу а с точностью до h. <br>Почему же важно уметь находить прибли- <br>женные значения чисел? Дело в том, что прак- <br>тически невозможно оперировать с бесконеч- <br>ными десятичными дробями и использовать их <br>для измерения величин. На практике во многих <br>случаях вместо точных значений берут приближения с заранее <br>заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в <br>калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная <br>десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа <br>(за редким исключением, когда выводимое число представляет <br>собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране). <br><br><br><br><br><br>

-	<br>	+	<br>

	<sub>Сборник конспектов уроков по математике [[Математика\|скачать]], календарно-тематическое планирование, учебники по всем предметам [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]]</sub>		<sub>Сборник конспектов уроков по математике [[Математика\|скачать]], календарно-тематическое планирование, учебники по всем предметам [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]]</sub>

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

2010-06-14T12:46:11Z

Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

Новая страница

<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Приближенные значения действительных чисел</metakeywords>

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]>>Математика:Приближенные значения действительных чисел'''

 

'''                             ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ''' И в 7-м и в 8-м классе мы часто решали уравнения графически. Заметили ли вы, что практически во всех таких примерах уравнения имели «хорошие» корни? Это были целые числа, которые без труда отыскивались с помощью графиков, особенно на клетчатой бумаге. Но так бывает далеко не всегда, просто мы до сих пор подбирали «хорошие» примеры.

Рассмотрим два уравнения: [[Image:14-06-154.jpg]] = 2 - х и [[Image:14-06-154.jpg]] = 4 - х. Первое уравнение имеет единственный корень х = 1, поскольку графики функций у =[[Image:14-06-154.jpg]] и у = 2 - х пересекаются в одной точке А (1; 1) (рис. 112). Во втором случае графики функций [[Image:14-06-154.jpg]]— фс и у = 4 - х также пересекаются в одной точке В (рис. 113), но с «плохими» координатами. Пользуясь чертежом, можно сделать вывод, что абсцисса точки В примерно равна 2,5. В подобных случаях говорят не о точном, а о приближенном решении уравнения и пишут так:[[Image:14-06-155.jpg]] 

 

[[Image:14-06-156.jpg]] 

 Это одна из причин, по которым математики решили ввести понятие приближенного значения действительного числа. Есть и вторая причина, причем, может быть, даже более важная.Что такое действительное число? Это бесконечная десятичная дробь. Но производить вычисления с бесконечными десятичными дробями неудобно, поэтому на практике пользуются приближенными значениями действительных чисел. Например, для числа [[Image:14-06-157.jpg]] пользуются приближенным равенством [[Image:14-06-158.jpg]]3,141 или [[Image:14-06-158.jpg]] 3,142. Первое называют приближенным значением (или приближением) числа п по недостатку с точностью до 0,001; второе называют приближенным значением (приближением) числа к по избытку с точностью до 0,001. Можно взять более точные приближения: например, [[Image:14-06-158.jpg]]3,1415 — приближение по недостатку с точностью до 0,0001;[[Image:14-06-158.jpg]] 3,1416 — приближение по избытку с точностью до 0,0001. Можно взять менее точные приближения, скажем, с точностью до 0,01: по недостатку [[Image:14-06-158.jpg]] 3,14, по избытку [[Image:14-06-158.jpg]] 3,15. Знак приближенного равенства » вы использовали и в курсе математики 5—6-го классов и, вероятно, в курсе физики, да и мы пользовались им раньше, например в § 27.

'''Пример 1.''' Найти приближенные значения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 для чисел: [[Image:14-06-159.jpg]] Решение,

а) Мы знаем, что [[Image:14-06-160.jpg]] = 2,236... (см. § 27), следовательно, [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-161.jpg]] 2,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-161.jpg]] 2,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. б) 2 +[[Image:14-06-160.jpg]] = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Значит, 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-161.jpg]] 4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2 + [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-161.jpg]]4,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. в) Имеем — = 0,31818... (см. § 26). Таким образом, ^- « 2,2, 22 « 0,31 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 7 — » 0,32 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. (И Приближение по недостатку и приближение по избытку называют иногда округлением числа. Определение. Погрешностью приближе- ния (абсолютной погрешностью) называют мо- дуль разности между точным значением величи- ны х и ее приближенным значением а: погреш- абсолютная ность приближения — это | х - а |. погрешность Например, погрешность приближенного ра- венства п « 3,141 или п а 3,142 выражается как \п - 3, 1411 или соответственно как \п - 3, 142 [. Возникает чисто практический вопрос: какое приближение лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного чи- сла, для которого составляются приближения. Обычно при округлении положительных чисел пользуются следующим пра- вилом: Правило округления. Если первая отбра- сываемая цифра меньше 5, то нужно брать приближение по недостатку; если первая от- брасываемая цифра больше или равна 5, то нужно брать приближение по избытку. Применим это правило ко всем рассмотренным в этом пара- графе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближе- ния, для которых погрешность окажется наименьшей. 1) п = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем п « 3,142; здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте после запятой), поэтому взяли приближение по избытку. С точностью до 0,0001 имеем п а 3,1416 — и здесь взяли прибли- жение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на пятом месте после запятой) равна 9. А вот срочностью до 0,01 надо взять приближение по недостатку: п « 3,14. 2) JE = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем JE * 2,24 (приближение по избытку). ¦ 3) 2 + J& = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + ,/5 « «4,24 (приближение по избытку). 7 7 4) — = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем — « 0,318 2i2i (приближение по недостатку). Рассмотрим последний пример подробнее. Возьмем укрупненный фрагмент координатной прямой 7 (рис. 114). Точка — принадлежит 2i2i отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка 7 не превосходят длины отрезка. Расстояния точки — от концов 22 0*^9 рис отрезка равны соответственно 22 ¦к ~ °'319 отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит, Тг - °'318 , а длина 0,001 i - °>319 0,001. Итак, в обоих случаях (и для приближения числа — по не- LiCi достатку, и для приближения его по избытку) погрешность не превосходит 0,001. До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использо- вании терминологии. Если а — приближенное значение числа х и \ х — а\ < h, mo говорят, что погрешность приближения не превосходит h или что число х равно числу а с точностью до h. Почему же важно уметь находить прибли- женные значения чисел? Дело в том, что прак- тически невозможно оперировать с бесконеч- ными десятичными дробями и использовать их для измерения величин. На практике во многих случаях вместо точных значений берут приближения с заранее заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа (за редким исключением, когда выводимое число представляет собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране). 

 

Сборник конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]], календарно-тематическое планирование, учебники по всем предметам [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]]

 

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
''''''
Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].