Равновеликие тела - История изменений

User17 в 08:27, 9 августа 2012

2012-08-09T08:27:40Z

← Предыдущая		Версия 08:27, 9 августа 2012
Строка 1:		Строка 1:
-	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 11 класс, Геометрия, урок, на Тему, Равновеликие тела</metakeywords>	+	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 11 класс, Геометрия, урок, на Тему, Равновеликие тела, плоскость, объем, призма</metakeywords>

	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 11 класс\|Математика 11 класс]]>>Математика:Равновеликие тела'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 11 класс\|Математика 11 класс]]>>Математика:Равновеликие тела'''
Строка 7:		Строка 7:
	'''Равновеликие тела'''<br>		'''Равновеликие тела'''<br>

		+	<br>

-		+	Два тела называются равновеликими, если они имеют равные '''[[Понятие объема\|объемы]]'''.
-	Два тела называются равновеликими, если они имеют равные объемы.	+

	Две треугольные пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами равновелики.<br>		Две треугольные пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами равновелики.<br>
Строка 15:		Строка 15:
	Действительно, пусть треугольные пирамиды имеют равные площади оснований и равные высоты. Докажем, что они равновелики, т. е. имеют равные объемы.<br>		Действительно, пусть треугольные пирамиды имеют равные площади оснований и равные высоты. Докажем, что они равновелики, т. е. имеют равные объемы.<br>

-	Разделим высоту каждой пирамиды на n равных частей и проведем через точки деления плоскости, параллельные основаниям. Эти плоскости разбивают пирамиду на n слоев. Для каждого слоя первой пирамиды построим содержащуюся в нем призму, как показано на рисунке 481, а. Для каждого слоя второй пирамиды построим призму, содержащую слой (рис. 481, б). Призма в k-м (считая от вершины) слое первой пирамиды и призма, содержащая (k —1)-й слой второй пирами-<br> <br>[[Image:2-07-66.jpg\|480px\|Равновеликие тела]]<br><br> <br>ды, имеют равные площади оснований, так как эти основания подобны основаниям пирамид и коэффициент подобия один и тот же [[Image:2-07-67.jpg]] Так как у этих призм и высоты одинаковы [[Image:2-07-68.jpg]], то они имеют равные объемы.	+	Разделим высоту каждой пирамиды на n равных частей и проведем через точки деления '''[[Презентація до теми Властивості прямої та площини, перпендикулярних між собою\|плоскости]]''', параллельные основаниям. Эти плоскости разбивают пирамиду на n слоев. Для каждого слоя первой пирамиды построим содержащуюся в нем '''[[Призма\|призму]]''', как показано на рисунке 481, а. Для каждого слоя второй пирамиды построим призму, содержащую слой (рис. 481, б). Призма в k-м (считая от вершины) слое первой пирамиды и призма, содержащая (k —1)-й слой второй пирами-<br> <br>[[Image:2-07-66.jpg\|480px\|Равновеликие тела]]<br><br> <br>ды, имеют равные площади оснований, так как эти основания подобны основаниям пирамид и коэффициент подобия один и тот же [[Image:2-07-67.jpg]] Так как у этих призм и высоты одинаковы [[Image:2-07-68.jpg]], то они имеют равные объемы.

	Пусть V<sub>1</sub> и V<sub>2</sub> — объемы пирамид, а V'<sub>1</sub> и V'<sub>2</sub> — суммы объемов построенных для них призм. Так как объем призмы в k-м слое первой пирамиды равен объему призмы (k — 1)-го слоя второй пирамиды, то сумма объемов всех призм для первой пирамиды равна сумме объемов призм всех слоев второй пирамиды, кроме   последнего.   Объем   призмы   последнего   слоя  равен S—, где S — площадь основания пирамиды, а H — высота.<br>		Пусть V<sub>1</sub> и V<sub>2</sub> — объемы пирамид, а V'<sub>1</sub> и V'<sub>2</sub> — суммы объемов построенных для них призм. Так как объем призмы в k-м слое первой пирамиды равен объему призмы (k — 1)-го слоя второй пирамиды, то сумма объемов всех призм для первой пирамиды равна сумме объемов призм всех слоев второй пирамиды, кроме   последнего.   Объем   призмы   последнего   слоя  равен S—, где S — площадь основания пирамиды, а H — высота.<br>

User17 в 06:53, 9 августа 2012

2012-08-09T06:53:15Z

← Предыдущая		Версия 06:53, 9 августа 2012
Строка 5:		Строка 5:
	<br>		<br>

-	'''                                                       РАВНОВЕЛИКИЕ ТЕЛА'''<br>	+	'''Равновеликие тела'''<br>

-	~~'''''<br>Два тела называются равновеликими, если они имеют равные объемы.'''''~~

-	~~Две треугольные пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами '''''равновелики'''''.<br>~~

-	~~Действительно~~, ~~пусть треугольные пирамиды имеют равные площади оснований и равные высоты. Докажем, что~~ они ~~равновелики, т. е.~~ имеют равные объемы.~~<br>~~	+	Два тела называются равновеликими, если они имеют равные объемы.

-	~~Разделим высоту каждой~~ пирамиды ~~на n равных частей~~ и ~~проведем через точки деления плоскости, параллельные основаниям~~. Эти плоскости разбивают пирамиду на n слоев. Для каждого слоя первой пирамиды построим содержащуюся в нем призму, как показано на рисунке 481, а. Для каждого слоя второй пирамиды построим призму, содержащую слой (рис. 481, б). Призма в k-м (считая от вершины) слое первой пирамиды и призма, содержащая (k —1)-й слой второй пирами-<br> <br>[[Image:2-07-66.jpg]]<br><br> <br>ды, имеют равные площади оснований, так как эти основания подобны основаниям пирамид и коэффициент подобия один и тот же [[Image:2-07-67.jpg]] Так как у этих призм и высоты одинаковы [[Image:2-07-68.jpg]], то они имеют равные объемы.	+	Две треугольные пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами равновелики.<br>

-	~~Пусть V<sub>1</sub> и V<sub>2</sub> — объемы пирамид~~, ~~а V'<sub>1</sub>~~ и ~~V'<sub>2</sub> — суммы объемов построенных для них призм~~. ~~Так как объем призмы в k-м слое первой пирамиды равен объему призмы (k — 1)-го слоя второй пирамиды~~, ~~то сумма объемов всех призм для первой пирамиды равна сумме объемов призм всех слоев второй пирамиды~~, ~~кроме   последнего~~.   Объем   призмы   последнего   слоя  равен S—, где S — площадь основания пирамиды, а H — высота.<br>	+	Действительно, пусть треугольные пирамиды имеют равные площади оснований и равные высоты. Докажем, что они равновелики, т. е. имеют равные объемы.<br>

-	~~Отсюда следует~~, ~~что~~ [[Image:2-07-69.jpg]]. Так как~~, кроме того,~~ [[Image:2-07-70.jpg]]. ~~Это неравенство выполняется при любом сколь угодно большом n.<br>~~	+	Разделим высоту каждой пирамиды на n равных частей и проведем через точки деления плоскости, параллельные основаниям. Эти плоскости разбивают пирамиду на n слоев. Для каждого слоя первой пирамиды построим содержащуюся в нем призму, как показано на рисунке 481, а. Для каждого слоя второй пирамиды построим призму, содержащую слой (рис. 481, б). Призма в k-м (считая от вершины) слое первой пирамиды и призма, содержащая (k —1)-й слой второй пирами-<br> <br>[[Image:2-07-66.jpg\|480px\|Равновеликие тела]]<br><br> <br>ды, имеют равные площади оснований, так как эти основания подобны основаниям пирамид и коэффициент подобия один и тот же [[Image:2-07-67.jpg]] Так как у этих призм и высоты одинаковы [[Image:2-07-68.jpg]], то они имеют равные объемы.

-	А это возможно только при V<sub>2</sub>—V<sub>1</sub>[[Image:24-06-54.jpg]]O, т. е. при V<sub>2</sub>[[Image:24-06-54.jpg]]V<sub>1</sub> Поменяв ролями пирамиды, получим противоположное неравенство V<sub>2</sub>[[Image:24-06-66.jpg]]V<sub>1</sub>,. А отсюда следует, что V<sub>1</sub>=V<sub>2</sub>. Утверждение доказано.<br><br><br><br>	+	Пусть V<sub>1</sub> и V<sub>2</sub> — объемы пирамид, а V'<sub>1</sub> и V'<sub>2</sub> — суммы объемов построенных для них призм. Так как объем призмы в k-м слое первой пирамиды равен объему призмы (k — 1)-го слоя второй пирамиды, то сумма объемов всех призм для первой пирамиды равна сумме объемов призм всех слоев второй пирамиды, кроме   последнего.   Объем   призмы   последнего   слоя  равен S—, где S — площадь основания пирамиды, а H — высота.<br>
		+
		+	Отсюда следует, что [[Image:2-07-69.jpg\|120px\|Формула]]. Так как, кроме того, [[Image:2-07-70.jpg\|240px\|Формула]]. Это неравенство выполняется при любом сколь угодно большом n.<br>
		+
		+	А это возможно только при V<sub>2</sub>—V<sub>1</sub>[[Image:24-06-54.jpg]]O, т. е. при V<sub>2</sub>[[Image:24-06-54.jpg]]V<sub>1</sub> Поменяв ролями пирамиды, получим противоположное неравенство V<sub>2</sub>[[Image:24-06-66.jpg]]V<sub>1</sub>,. А отсюда следует, что V<sub>1</sub>=V<sub>2</sub>. Утверждение доказано.<br><br><br><br>

	<br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>		<br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>

-	<sub>~~Полный перечень тем~~ по ~~классам~~, ~~календарный план согласно школьной программе~~ по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], ~~видеоматериал по математике для 11 класса~~ [[Математика\|скачать]]</sub>	+	<br> <br> <sub>Календарно-тематическое планирование по математике, [http://xvatit.com/it/audio_television/ '''видео'''] по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], Математика в школе [[Математика\|скачать]]</sub>

	<br>		<br>

	'''<u>Содержание урока</u>'''		'''<u>Содержание урока</u>'''
-	<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] конспект урока '''	+	<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] конспект урока '''
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] опорный каркас	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] презентация урока	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] презентация урока
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] акселеративные методы	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] интерактивные технологии	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии

	'''<u>Практика</u>'''		'''<u>Практика</u>'''
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] задачи и упражнения	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] самопроверка	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] самопроверка
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] домашние задания	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] домашние задания
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] дискуссионные вопросы	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] риторические вопросы от учеников	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников
-		+
	'''<u>Иллюстрации</u>'''		'''<u>Иллюстрации</u>'''
-	<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''	+	<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] фотографии, картинки	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] графики, таблицы, схемы	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

	'''<u>Дополнения</u>'''		'''<u>Дополнения</u>'''
-	<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] рефераты'''	+	<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] статьи	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] статьи
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] фишки для любознательных	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] шпаргалки	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] учебники основные и дополнительные	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] словарь терминов	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] прочие	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] прочие
	'''<u></u>'''		'''<u></u>'''
	<u>Совершенствование учебников и уроков		<u>Совершенствование учебников и уроков
-	</u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''	+	</u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] элементы новаторства на уроке	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] замена устаревших знаний новыми	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми
-		+
	'''<u>Только для учителей</u>'''		'''<u>Только для учителей</u>'''
-	<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] идеальные уроки '''	+	<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] календарный план на год	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] методические рекомендации	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] программы	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] программы
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] обсуждения	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] обсуждения

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

2010-07-02T10:13:41Z

Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

Новая страница

<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 11 класс, Геометрия, урок, на Тему, Равновеликие тела</metakeywords>

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 11 класс|Математика 11 класс]]>>Математика:Равновеликие тела'''

 

'''                                                       РАВНОВЕЛИКИЕ ТЕЛА''' 

''''' Два тела называются равновеликими, если они имеют равные объемы.'''''

Две треугольные пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами '''''равновелики'''''. 

Действительно, пусть треугольные пирамиды имеют равные площади оснований и равные высоты. Докажем, что они равновелики, т. е. имеют равные объемы. 

Разделим высоту каждой пирамиды на n равных частей и проведем через точки деления плоскости, параллельные основаниям. Эти плоскости разбивают пирамиду на n слоев. Для каждого слоя первой пирамиды построим содержащуюся в нем призму, как показано на рисунке 481, а. Для каждого слоя второй пирамиды построим призму, содержащую слой (рис. 481, б). Призма в k-м (считая от вершины) слое первой пирамиды и призма, содержащая (k —1)-й слой второй пирами-   [[Image:2-07-66.jpg]]   ды, имеют равные площади оснований, так как эти основания подобны основаниям пирамид и коэффициент подобия один и тот же [[Image:2-07-67.jpg]] Так как у этих призм и высоты одинаковы [[Image:2-07-68.jpg]], то они имеют равные объемы.

Пусть V1 и V2 — объемы пирамид, а V'1 и V'2 — суммы объемов построенных для них призм. Так как объем призмы в k-м слое первой пирамиды равен объему призмы (k — 1)-го слоя второй пирамиды, то сумма объемов всех призм для первой пирамиды равна сумме объемов призм всех слоев второй пирамиды, кроме   последнего.   Объем   призмы   последнего   слоя  равен S—, где S — площадь основания пирамиды, а H — высота. 

Отсюда следует, что [[Image:2-07-69.jpg]]. Так как, кроме того, [[Image:2-07-70.jpg]]. Это неравенство выполняется при любом сколь угодно большом n. 

А это возможно только при V2—V1[[Image:24-06-54.jpg]]O, т. е. при V2[[Image:24-06-54.jpg]]V1 Поменяв ролями пирамиды, получим противоположное неравенство V2[[Image:24-06-66.jpg]]V1,. А отсюда следует, что V1=V2. Утверждение доказано. 

 ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' 

Полный перечень тем по классам, календарный план согласно школьной программе по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], видеоматериал по математике для 11 класса [[Математика|скачать]]

 

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
''''''
Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].