Рациональные уравнения - История изменений

User17 в 11:52, 8 октября 2012

2012-10-08T11:52:19Z

Внесённые изменения

User17 в 11:36, 8 октября 2012

2012-10-08T11:36:28Z

Внесённые изменения

User17 в 10:54, 8 октября 2012

2012-10-08T10:54:40Z

Внесённые изменения

User17 в 08:58, 8 октября 2012

2012-10-08T08:58:37Z

Внесённые изменения

User16 в 18:32, 13 июня 2010

2010-06-13T18:32:27Z

← Предыдущая		Версия 18:32, 13 июня 2010
Строка 69:		Строка 69:
	Это — квадратное уравнение, корни которого найдем, используя известные формулы; получим у<sub>1</sub> = 4, у<sub>2</sub> = - 5. <br>Но у = х<sup>2</sup>, значит, задача свелась к решению двух уравнений: <br>x<sup>2</sup>=4; х<sup>2</sup>=-5.		Это — квадратное уравнение, корни которого найдем, используя известные формулы; получим у<sub>1</sub> = 4, у<sub>2</sub> = - 5. <br>Но у = х<sup>2</sup>, значит, задача свелась к решению двух уравнений: <br>x<sup>2</sup>=4; х<sup>2</sup>=-5.

-	~~<br>~~не имеет корней. <br>Ответ: +2. <br>Уравнение вида <br>~~ах4~~ <br>Ьх <br>2 + ~~с =~~ <br>называют биквадратным уравнением («би» — ~~<br>, ,~~ два, т. е. как бы «дважды квадратное» ~~уравне- <br>ние ние~~). Только что решенное уравнение было ~~имен- <br>но~~ биквадратным. Любое биквадратное ~~уравне- <br>ние~~ решается так же, как уравнение из примера 3: вводят новую ~~<br>~~переменную у = х2, решают полученное квадратное уравнение ~~<br>~~относительно переменной у, а затем возвращаются к переменной х. ~~<br>~~Пример 4. Решить уравнение <br>~~1 _ 2 7 <br>3 + хг+Зх + 1 = 5"~~ <br>Решение. Заметим, что здесь дважды встречается одно и ~~<br>~~то же выражение х2 + Зх. Значит, имеет смысл ввести новую <br>~~переменную у — х2~~ + Зх. Это позволит переписать уравнение в ~~<br>~~более простом и приятном виде (что, собственно говоря, и ~~<br>~~составляет цель введения новой переменной — и запись упроща- <br>ется, и структура уравнения становится более ясной): <br>~~1 2 7 <br>J/-3 + J/ + 1 ~ 5"~~ <br>А теперь воспользуемся алгоритмом решения рационального ~~<br>~~уравнения. ~~<br>~~1) Перенесем все члены уравнения в одну часть: <br>12 7 <br>2) Преобразуем левую часть уравнения ~~<br>J5Q/~~-~~3) <br>Z <br>5 <br>5 (у +1) +10 (у~~-~~3)-7(у-3)(у + 1)~~ <br>~~+ 29г/-4~~ <br>Итак, мы преобразовали заданное уравнение к виду <br>~~= 0.~~ <br>3) Из уравнения - ~~7у2~~ + 29у -4 = 0 находим ~~уг = 4, у2 =~~ - (мы ~~<br>~~с вами уже решили довольно много квадратных уравнений, так ~~<br>~~что всегда приводить в учебнике подробные выкладки, наверное, ~~<br>~~не стоит). ~~<br>~~4) Выполним проверку найденных корней с помощью условия ~~<br>~~5 (у - 3) (у + 1) ~~ф 0~~. Оба корня этому условию удовлетворяют. <br>Итак, квадратное уравнение относительно новой переменной ~~<br>~~у решено: ~~уг = 4, у2 =~~ - . <br>Поскольку у = х2 + Зх, а у, как мы установили, принимает ~~<br>~~два значения: 4 и - , — нам еще предстоит решить два ~~уравне-~~ <br>~~ния: х2~~ + Зх = 4; х2 + Зх = - . Корнями первого уравнения ~~<br>~~являются числа 1 и - 4, корнями второго уравнения — числа ~~<br>-21 + ^469 <br>14 <br>Ответ~~: 1,-~~4, <br>~~-~~21 + ^469~~ <br>14 <br>В рассмотренных примерах метод введения новой ~~перемен- <br>ной~~ был, как любят выражаться математики, адекватен ~~ситуа- <br>ции~~, т. е. хорошо ей соответствовал. Почему? Да потому, что ~~<br>~~одно и то же выражение яйно встречалось в записи уравнения ~~<br>~~несколько раз и был резон обозначить это выражение новой <br>буквой. Но так бывает не всегда, иногда новая переменная ~~<br>~~«проявляется» только в процессе преобразований. Именно так ~~<br>~~будет обстоять дело в следующем примере. ~~<br>~~Пример 5. Решить уравнение <br>х(х- 1)(*-2)(;с-3) = 24. <br>Решение. Имеем <br>х(х-3) = ~~х2~~~3х; <br>(х- 1)(л:-2) = л:2-~~Зл:~~+2. ~~<br>~~Значит, заданное уравнение можно переписать в виде <br>Вот теперь новая переменная «проявилась»: у = х2 - Зх. <br>С ее помощью уравнение можно переписать в виде у (у + 2) = 24 и <br>~~далее у2~~ + 2у - 24 = 0. Корнями этого уравнения служат числа 4 и -6. <br>Возвращаясь к исходной переменной х , получаем два <br>~~уравнения х2~~ - Зх = 4 и х2 - Зх = - 6. Из первого уравнения <br>~~находим х1~~ = 4, х2 = - 1; второе уравнение не имеет корней. <br>О т в е т: 4, — 1. ~~<br>§22. <br><br><br><br><br>~~<br><br>	+	Из первого уравнения находим [[Image:13-06-70.jpg]]  второе уравнение не имеет корней. <br>Ответ: [[Image:13-06-71.jpg]]. <br>Уравнение вида ах<sup>4</sup> + bx<sup>2</sup> +c<sup> </sup> = 0 называют биквадратным уравнением («би» —  два, т. е. как бы «дважды квадратное» уравнение ). Только что решенное уравнение было именно биквадратным. Любое биквадратное уравнение решается так же, как уравнение из примера 3: вводят новую переменную у = х<sup>2</sup>, решают полученное квадратное уравнение относительно переменной у, а затем возвращаются к переменной х.
		+
		+	'''Пример 4.''' Решить уравнение
		+
		+	[[Image:13-06-72.jpg]]<br><br>Решение. Заметим, что здесь дважды встречается одно и то же выражение х<sup>2</sup> + Зх. Значит, имеет смысл ввести новую переменную у = х<sup>2</sup> + Зх. Это позволит переписать уравнение в более простом и приятном виде (что, собственно говоря, и составляет цель введения новой переменной — и запись упроща <br>ется, и структура уравнения становится более ясной):
		+
		+	[[Image:13-06-73.jpg]]<br><br>А теперь воспользуемся алгоритмом решения рационального уравнения.
		+
		+	1) Перенесем все члены уравнения в одну часть:
		+
		+	[[Image:13-06-73.jpg]] = 0<br>12 7 <br>2) Преобразуем левую часть уравнения
		+
		+	[[Image:13-06-74.jpg]]<br><br>Итак, мы преобразовали заданное уравнение к виду
		+
		+	[[Image:13-06-75.jpg]]<br><br>3) Из уравнения - 7у<sup>2</sup> + 29у -4 = 0 находим у[[Image:13-06-76.jpg]] (мы с вами уже решили довольно много квадратных уравнений, так что всегда приводить в учебнике подробные выкладки, наверное, не стоит).
		+
		+	4) Выполним проверку найденных корней с помощью условия 5 (у - 3) (у + 1)[[Image:13-06-77.jpg]]. Оба корня этому условию удовлетворяют. <br>Итак, квадратное уравнение относительно новой переменной у решено: [[Image:13-06-78.jpg]]<br>Поскольку у = х<sup>2</sup> + Зх, а у, как мы установили, принимает два значения: 4 и [[Image:13-06-79.jpg]] , — нам еще предстоит решить два уравнения: х<sup>2</sup> + Зх = 4; х<sup>2</sup> + Зх = [[Image:13-06-79.jpg]] . Корнями первого уравнения являются числа 1 и - 4, корнями второго уравнения — числа
		+
		+	[[Image:13-06-80.jpg]]<br><br>В рассмотренных примерах метод введения новой переменной был, как любят выражаться математики, адекватен ситуации, т. е. хорошо ей соответствовал. Почему? Да потому, что одно и то же выражение яйно встречалось в записи уравнения несколько раз и был резон обозначить это выражение новой <br>буквой. Но так бывает не всегда, иногда новая переменная «проявляется» только в процессе преобразований. Именно так будет обстоять дело в следующем примере.
		+
		+	'''Пример 5.''' Решить уравнение <br>х(х- 1)(x-2)(x-3) = 24. <br>Решение. Имеем <br>х(х - 3) = х<sup>2</sup> - 3х; <br>(х - 1)(x - 2) = x<sup>2</sup>-Зx+2.
		+
		+	Значит, заданное уравнение можно переписать в виде
		+
		+	(x<sup>2</sup> - 3x)(x<sup>2</sup> + 3x + 2) = 24
		+
		+	Вот теперь новая переменная «проявилась»: у = х<sup>2</sup> - Зх. <br>С ее помощью уравнение можно переписать в виде у (у + 2) = 24 и далее у<sup>2</sup> + 2у - 24 = 0. Корнями этого уравнения служат числа 4 и -6. <br>Возвращаясь к исходной переменной х , получаем два уравнения х<sup>2</sup> - Зх = 4 и х<sup>2</sup> - Зх = - 6. Из первого уравнения находим х<sub>1</sub> = 4, х<sub>2</sub> = - 1; второе уравнение не имеет корней. <br>О т в е т: 4, — 1. <br><br>

	<br>		<br>

User16 в 18:04, 13 июня 2010

2010-06-13T18:04:17Z

← Предыдущая		Версия 18:04, 13 июня 2010
Строка 43:		Строка 43:
	<br>'''Алгоритм решения рационального уравнения '''		<br>'''Алгоритм решения рационального уравнения '''

-	<br><br>'''Пример 2'''. Решить уравнение	+	[[Image:13-06-69.jpg]]<br>
		+
		+	<br>'''Пример 2'''. Решить уравнение

	[[Image:13-06-68.jpg]]<sup><br></sup><br>Решение. Будем действовать в соответствии с алгоритмом. <br>1) Преобразуем уравнение к виду		[[Image:13-06-68.jpg]]<sup><br></sup><br>Решение. Будем действовать в соответствии с алгоритмом. <br>1) Преобразуем уравнение к виду

User16 в 18:02, 13 июня 2010

2010-06-13T18:02:41Z

← Предыдущая		Версия 18:02, 13 июня 2010
Строка 43:		Строка 43:
	<br>'''Алгоритм решения рационального уравнения '''		<br>'''Алгоритм решения рационального уравнения '''

-	~~[[Image:13-06-61.jpg]]~~<br><br>'''Пример 2'''. Решить уравнение	+	<br><br>'''Пример 2'''. Решить уравнение

	[[Image:13-06-68.jpg]]<sup><br></sup><br>Решение. Будем действовать в соответствии с алгоритмом. <br>1) Преобразуем уравнение к виду		[[Image:13-06-68.jpg]]<sup><br></sup><br>Решение. Будем действовать в соответствии с алгоритмом. <br>1) Преобразуем уравнение к виду

User16 в 18:01, 13 июня 2010

2010-06-13T18:01:25Z

← Предыдущая		Версия 18:01, 13 июня 2010
Строка 5:		Строка 5:
	<br>		<br>

		+	<br>

		+	'''                                                          РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ '''<br>

-	'''                                                          РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ '''~~<br>~~	+	<br>'''1. Алгоритм решения рационального уравнения'''

-	<br>~~'''1. Алгоритм решения рационального уравнения'''~~	+	Термин «рациональное уравнение» мы ввели выше в § 7. Сначала напомним, что такое рациональное выражение. Это — алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.<br>

-	~~Термин «рациональное уравнение» мы ввели выше в § 7. Сначала напомним, что такое~~ рациональное ~~выражение. Это — алгебраическое~~ выражение, ~~составленное из чисел и переменной~~ х ~~с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем~~.<br>	+	Если r(х) — рациональное выражение, то уравнение r(х) = 0 называют рациональным уравнением. <br>

-	~~Если r(х) — рациональное выражение~~, то уравнение r(х) = ~~0 называют рациональным уравнением~~. <br>	+	Впрочем, на практике удобнее пользоваться несколько более широким толкованием термина «рациональное уравнение»: это уравнение вида h(x) = q(x), где h(x) и q(x) — рациональные выражения. <br>

-	~~Впрочем~~, ~~на практике удобнее пользоваться несколько более широким толкованием термина «рациональное уравнение»~~: ~~это~~ уравнение ~~вида h(x) = q(x)~~, ~~где h(x)~~ и ~~q(x) — рациональные выражения~~. <br>	+	До сих пор мы могли решить не любое рациональное уравнение, а только такое, которое в результате различных преобразований и рассуждений сводилось к линейному уравнению. Теперь наши возможности значительно больше: мы сумеем решить рациональное уравнение, которое сводится не только к линейно- <br>му, но и к квадратному уравнению. <br>

-	~~До сих пор мы могли решить не любое рациональное уравнение~~, а только такое, которое в результате различных преобразований и рассуждений сводилось к линейному уравнению. Теперь наши возможности значительно больше: мы ~~сумеем решить рациональное уравнение, которое сводится не только к линейно- <br>му~~, но и ~~к квадратному уравнению~~. <br>	+	Напомним, как мы решали рациональные уравнения раньше, и попробуем сформулировать алгоритм решения. <br>

-	~~Напомним, как мы решали рациональные уравнения раньше, и попробуем сформулировать алгоритм решения~~. <br>	+	'''Пример 1.''' Решить уравнение <br>

-	~~'''Пример 1.''' Решить уравнение <br>~~	+	[[Image:13-06-54.jpg]]<br><br>
-		+
-	[[Image:13-06-54.jpg]]<br><br>	+

	Решение. Перепишем уравнение в виде		Решение. Перепишем уравнение в виде
Строка 31:		Строка 31:
	Выполним преобразования левой части уравнения. Имеем		Выполним преобразования левой части уравнения. Имеем

-	[[Image:13-06-56.jpg]]	+	[[Image:13-06-56.jpg]]

-	<br>Вспомним условия равенства дроби нулю:[[Image:13-06-57.jpg]] тогда, и только тогда, когда одновременно выполняются два соотношения:	+	<br>Вспомним условия равенства дроби нулю:[[Image:13-06-57.jpg]] тогда, и только тогда, когда одновременно выполняются два соотношения:

	1) числитель дроби равен нулю (а = 0); 2) знаменатель дроби отличен от нуля [[Image:13-06-58.jpg]]). <br>Приравняв нулю числитель дроби в левой части уравнения (1), получим		1) числитель дроби равен нулю (а = 0); 2) знаменатель дроби отличен от нуля [[Image:13-06-58.jpg]]). <br>Приравняв нулю числитель дроби в левой части уравнения (1), получим
Строка 41:		Строка 41:
	Если среди корней числителя окажется число, при котором знаменатель дроби обращается в нуль, то такое число корнем уравнения быть не может, его называют посторонним корнем и в ответ не включают. <br>Опираясь на решенный пример, сформулируем следующий алгоритм.		Если среди корней числителя окажется число, при котором знаменатель дроби обращается в нуль, то такое число корнем уравнения быть не может, его называют посторонним корнем и в ответ не включают. <br>Опираясь на решенный пример, сформулируем следующий алгоритм.

-	<br>'''Алгоритм решения рационального уравнения '''	+	<br>'''Алгоритм решения рационального уравнения '''

	[[Image:13-06-61.jpg]]<br><br>'''Пример 2'''. Решить уравнение		[[Image:13-06-61.jpg]]<br><br>'''Пример 2'''. Решить уравнение

-	[[Image:13-06-62.jpg]]<sup><br></sup><br>Решение. Будем действовать в соответствии с алгоритмом. <br>1) Преобразуем уравнение к виду	+	[[Image:13-06-68.jpg]]<sup><br></sup><br>Решение. Будем действовать в соответствии с алгоритмом. <br>1) Преобразуем уравнение к виду

	[[Image:13-06-63.jpg]]<br><br>2) Выполним преобразования левой части этого уравнения:		[[Image:13-06-63.jpg]]<br><br>2) Выполним преобразования левой части этого уравнения:
Строка 67:		Строка 67:
	Это — квадратное уравнение, корни которого найдем, используя известные формулы; получим у<sub>1</sub> = 4, у<sub>2</sub> = - 5. <br>Но у = х<sup>2</sup>, значит, задача свелась к решению двух уравнений: <br>x<sup>2</sup>=4; х<sup>2</sup>=-5.		Это — квадратное уравнение, корни которого найдем, используя известные формулы; получим у<sub>1</sub> = 4, у<sub>2</sub> = - 5. <br>Но у = х<sup>2</sup>, значит, задача свелась к решению двух уравнений: <br>x<sup>2</sup>=4; х<sup>2</sup>=-5.

-	<br>не имеет корней. <br>Ответ: +2. <br>Уравнение вида <br>ах4 <br>Ьх <br>2 + с = <br>называют биквадратным уравнением («би» — <br>, , два, т. е. как бы «дважды квадратное» уравне- <br>ние ние). Только что решенное уравнение было имен- <br>но биквадратным. Любое биквадратное уравне- <br>ние решается так же, как уравнение из примера 3: вводят новую <br>переменную у = х2, решают полученное квадратное уравнение <br>относительно переменной у, а затем возвращаются к переменной х. <br>Пример 4. Решить уравнение <br>1 _ 2 7 <br>3 + хг+Зх + 1 = 5" <br>Решение. Заметим, что здесь дважды встречается одно и <br>то же выражение х2 + Зх. Значит, имеет смысл ввести новую <br>переменную у — х2 + Зх. Это позволит переписать уравнение в <br>более простом и приятном виде (что, собственно говоря, и <br>составляет цель введения новой переменной — и запись упроща- <br>ется, и структура уравнения становится более ясной): <br>1 2 7 <br>J/-3 + J/ + 1 ~ 5" <br>А теперь воспользуемся алгоритмом решения рационального <br>уравнения. <br>1) Перенесем все члены уравнения в одну часть: <br>12 7 <br>2) Преобразуем левую часть уравнения <br>J5Q/-3) <br>Z <br>5 <br>5 (у +1) +10 (у-3)-7(у-3)(у + 1) <br>+ 29г/-4 <br>Итак, мы преобразовали заданное уравнение к виду <br>= 0. <br>3) Из уравнения - 7у2 + 29у -4 = 0 находим уг = 4, у2 = - (мы <br>с вами уже решили довольно много квадратных уравнений, так <br>что всегда приводить в учебнике подробные выкладки, наверное, <br>не стоит). <br>4) Выполним проверку найденных корней с помощью условия <br>5 (у - 3) (у + 1) ф 0. Оба корня этому условию удовлетворяют. <br>Итак, квадратное уравнение относительно новой переменной <br>у решено: уг = 4, у2 = - . <br>Поскольку у = х2 + Зх, а у, как мы установили, принимает <br>два значения: 4 и - , — нам еще предстоит решить два уравне- <br>ния: х2 + Зх = 4; х2 + Зх = - . Корнями первого уравнения <br>являются числа 1 и - 4, корнями второго уравнения — числа <br>-21 + ^469 <br>14 <br>Ответ: 1,-4, <br>-21 + ^469 <br>14 <br>В рассмотренных примерах метод введения новой перемен- <br>ной был, как любят выражаться математики, адекватен ситуа- <br>ции, т. е. хорошо ей соответствовал. Почему? Да потому, что <br>одно и то же выражение яйно встречалось в записи уравнения <br>несколько раз и был резон обозначить это выражение новой <br>буквой. Но так бывает не всегда, иногда новая переменная <br>«проявляется» только в процессе преобразований. Именно так <br>будет обстоять дело в следующем примере. <br>Пример 5. Решить уравнение <br>х(х- 1)(*-2)(;с-3) = 24. <br>Решение. Имеем <br>х(х-3) = х2~3х; <br>(х- 1)(л:-2) = л:2-Зл:+2. <br>Значит, заданное уравнение можно переписать в виде <br>Вот теперь новая переменная «проявилась»: у = х2 - Зх. <br>С ее помощью уравнение можно переписать в виде у (у + 2) = 24 и <br>далее у2 + 2у - 24 = 0. Корнями этого уравнения служат числа 4 и -6. <br>Возвращаясь к исходной переменной х , получаем два <br>уравнения х2 - Зх = 4 и х2 - Зх = - 6. Из первого уравнения <br>находим х1 = 4, х2 = - 1; второе уравнение не имеет корней. <br>О т в е т: 4, — 1. <br>§22. <br><br><br><br><br><br><br>	+	<br>не имеет корней. <br>Ответ: +2. <br>Уравнение вида <br>ах4 <br>Ьх <br>2 + с = <br>называют биквадратным уравнением («би» — <br>, , два, т. е. как бы «дважды квадратное» уравне- <br>ние ние). Только что решенное уравнение было имен- <br>но биквадратным. Любое биквадратное уравне- <br>ние решается так же, как уравнение из примера 3: вводят новую <br>переменную у = х2, решают полученное квадратное уравнение <br>относительно переменной у, а затем возвращаются к переменной х. <br>Пример 4. Решить уравнение <br>1 _ 2 7 <br>3 + хг+Зх + 1 = 5" <br>Решение. Заметим, что здесь дважды встречается одно и <br>то же выражение х2 + Зх. Значит, имеет смысл ввести новую <br>переменную у — х2 + Зх. Это позволит переписать уравнение в <br>более простом и приятном виде (что, собственно говоря, и <br>составляет цель введения новой переменной — и запись упроща- <br>ется, и структура уравнения становится более ясной): <br>1 2 7 <br>J/-3 + J/ + 1 ~ 5" <br>А теперь воспользуемся алгоритмом решения рационального <br>уравнения. <br>1) Перенесем все члены уравнения в одну часть: <br>12 7 <br>2) Преобразуем левую часть уравнения <br>J5Q/-3) <br>Z <br>5 <br>5 (у +1) +10 (у-3)-7(у-3)(у + 1) <br>+ 29г/-4 <br>Итак, мы преобразовали заданное уравнение к виду <br>= 0. <br>3) Из уравнения - 7у2 + 29у -4 = 0 находим уг = 4, у2 = - (мы <br>с вами уже решили довольно много квадратных уравнений, так <br>что всегда приводить в учебнике подробные выкладки, наверное, <br>не стоит). <br>4) Выполним проверку найденных корней с помощью условия <br>5 (у - 3) (у + 1) ф 0. Оба корня этому условию удовлетворяют. <br>Итак, квадратное уравнение относительно новой переменной <br>у решено: уг = 4, у2 = - . <br>Поскольку у = х2 + Зх, а у, как мы установили, принимает <br>два значения: 4 и - , — нам еще предстоит решить два уравне- <br>ния: х2 + Зх = 4; х2 + Зх = - . Корнями первого уравнения <br>являются числа 1 и - 4, корнями второго уравнения — числа <br>-21 + ^469 <br>14 <br>Ответ: 1,-4, <br>-21 + ^469 <br>14 <br>В рассмотренных примерах метод введения новой перемен- <br>ной был, как любят выражаться математики, адекватен ситуа- <br>ции, т. е. хорошо ей соответствовал. Почему? Да потому, что <br>одно и то же выражение яйно встречалось в записи уравнения <br>несколько раз и был резон обозначить это выражение новой <br>буквой. Но так бывает не всегда, иногда новая переменная <br>«проявляется» только в процессе преобразований. Именно так <br>будет обстоять дело в следующем примере. <br>Пример 5. Решить уравнение <br>х(х- 1)(*-2)(;с-3) = 24. <br>Решение. Имеем <br>х(х-3) = х2~3х; <br>(х- 1)(л:-2) = л:2-Зл:+2. <br>Значит, заданное уравнение можно переписать в виде <br>Вот теперь новая переменная «проявилась»: у = х2 - Зх. <br>С ее помощью уравнение можно переписать в виде у (у + 2) = 24 и <br>далее у2 + 2у - 24 = 0. Корнями этого уравнения служат числа 4 и -6. <br>Возвращаясь к исходной переменной х , получаем два <br>уравнения х2 - Зх = 4 и х2 - Зх = - 6. Из первого уравнения <br>находим х1 = 4, х2 = - 1; второе уравнение не имеет корней. <br>О т в е т: 4, — 1. <br>§22. <br><br><br><br><br><br><br>

-	<br>	+	<br>

	<sub>Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика\|скачать]]</sub>		<sub>Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика\|скачать]]</sub>

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

2010-06-13T17:55:27Z

Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

Новая страница

<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Рациональные уравнения</metakeywords>

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]>>Математика:Рациональные уравнения'''

 

'''                                                          РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ''' 

 '''1. Алгоритм решения рационального уравнения'''

Термин «рациональное уравнение» мы ввели выше в § 7. Сначала напомним, что такое рациональное выражение. Это — алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем. 

Если r(х) — рациональное выражение, то уравнение r(х) = 0 называют рациональным уравнением. 

Впрочем, на практике удобнее пользоваться несколько более широким толкованием термина «рациональное уравнение»: это уравнение вида h(x) = q(x), где h(x) и q(x) — рациональные выражения. 

До сих пор мы могли решить не любое рациональное уравнение, а только такое, которое в результате различных преобразований и рассуждений сводилось к линейному уравнению. Теперь наши возможности значительно больше: мы сумеем решить рациональное уравнение, которое сводится не только к линейно- му, но и к квадратному уравнению. 

Напомним, как мы решали рациональные уравнения раньше, и попробуем сформулировать алгоритм решения. 

'''Пример 1.''' Решить уравнение 

[[Image:13-06-54.jpg]] 

Решение. Перепишем уравнение в виде

[[Image:13-06-54.jpg]] = 0 При этом, как обычно, мы пользуемся тем, что равенства А = В и А - В = 0 выражают одну и ту же зависимость между А и В. Это и позволило нам перенести член [[Image:13-06-55.jpg]] в левую часть уравнения с противоположным знаком.

Выполним преобразования левой части уравнения. Имеем

[[Image:13-06-56.jpg]]

 Вспомним условия равенства дроби нулю:[[Image:13-06-57.jpg]] тогда, и только тогда, когда одновременно выполняются два соотношения:

1) числитель дроби равен нулю (а = 0); 2) знаменатель дроби отличен от нуля [[Image:13-06-58.jpg]]). Приравняв нулю числитель дроби в левой части уравнения (1), получим

[[Image:13-06-59.jpg]] Осталось проверить выполнение второго указанного выше условия. Соотношение [[Image:13-06-58.jpg]] означает для уравнения (1), что [[Image:13-06-60.jpg]]. Значения х1 = 2 и х2 = 0,6 указанным соотношениям удовлетворяют и потому служат корнями уравнения (1), а вместе с тем и корнями заданного уравнения. Ответ: 2; 0,6.

Если среди корней числителя окажется число, при котором знаменатель дроби обращается в нуль, то такое число корнем уравнения быть не может, его называют посторонним корнем и в ответ не включают. Опираясь на решенный пример, сформулируем следующий алгоритм.

 '''Алгоритм решения рационального уравнения '''

[[Image:13-06-61.jpg]] '''Пример 2'''. Решить уравнение

[[Image:13-06-62.jpg]] Решение. Будем действовать в соответствии с алгоритмом. 1) Преобразуем уравнение к виду

[[Image:13-06-63.jpg]] 2) Выполним преобразования левой части этого уравнения:

[[Image:13-06-64.jpg]] (одновременно изменили знаки в числителе и знаменателе дроби). Таким образом, заданное уравнение принимает вид

[[Image:13-06-65.jpg]] 3) Решим уравнение х2 - 6x + 8 = 0. Находим

[[Image:13-06-66.jpg]] 4) Для найденных значений проверим выполнение условия [[Image:13-06-67.jpg]]. Число 4 этому условию удовлетворяет, а число 2 — нет. Значит, 4 — корень заданного уравнения, а 2 — посторонний корень. О т в е т: 4.

'''2. Решение рациональных уравнений методом введения новой переменной'''

Метод введения новой переменной вам знаком, мы не раз им пользовались. Покажем на примерах, как он применяется при решении рациональных уравнений.

'''Пример 3.''' Решить уравнение х4 + х2 - 20 = 0.

Решение. Введем новую переменную у = х2. Так как х4 = (х2)2 = у2, то заданное уравнение можно переписать в виде

у2 + у - 20 = 0.

Это — квадратное уравнение, корни которого найдем, используя известные формулы; получим у1 = 4, у2 = - 5. Но у = х2, значит, задача свелась к решению двух уравнений: x2=4; х2=-5.

 не имеет корней. Ответ: +2. Уравнение вида ах4 Ьх 2 + с = называют биквадратным уравнением («би» — , , два, т. е. как бы «дважды квадратное» уравне- ние ние). Только что решенное уравнение было имен- но биквадратным. Любое биквадратное уравне- ние решается так же, как уравнение из примера 3: вводят новую переменную у = х2, решают полученное квадратное уравнение относительно переменной у, а затем возвращаются к переменной х. Пример 4. Решить уравнение 1 _ 2 7 3 + хг+Зх + 1 = 5" Решение. Заметим, что здесь дважды встречается одно и то же выражение х2 + Зх. Значит, имеет смысл ввести новую переменную у — х2 + Зх. Это позволит переписать уравнение в более простом и приятном виде (что, собственно говоря, и составляет цель введения новой переменной — и запись упроща- ется, и структура уравнения становится более ясной): 1 2 7 J/-3 + J/ + 1 ~ 5" А теперь воспользуемся алгоритмом решения рационального уравнения. 1) Перенесем все члены уравнения в одну часть: 12 7 2) Преобразуем левую часть уравнения J5Q/-3) Z 5 5 (у +1) +10 (у-3)-7(у-3)(у + 1) + 29г/-4 Итак, мы преобразовали заданное уравнение к виду = 0. 3) Из уравнения - 7у2 + 29у -4 = 0 находим уг = 4, у2 = - (мы с вами уже решили довольно много квадратных уравнений, так что всегда приводить в учебнике подробные выкладки, наверное, не стоит). 4) Выполним проверку найденных корней с помощью условия 5 (у - 3) (у + 1) ф 0. Оба корня этому условию удовлетворяют. Итак, квадратное уравнение относительно новой переменной у решено: уг = 4, у2 = - . Поскольку у = х2 + Зх, а у, как мы установили, принимает два значения: 4 и - , — нам еще предстоит решить два уравне- ния: х2 + Зх = 4; х2 + Зх = - . Корнями первого уравнения являются числа 1 и - 4, корнями второго уравнения — числа -21 + ^469 14 Ответ: 1,-4, -21 + ^469 14 В рассмотренных примерах метод введения новой перемен- ной был, как любят выражаться математики, адекватен ситуа- ции, т. е. хорошо ей соответствовал. Почему? Да потому, что одно и то же выражение яйно встречалось в записи уравнения несколько раз и был резон обозначить это выражение новой буквой. Но так бывает не всегда, иногда новая переменная «проявляется» только в процессе преобразований. Именно так будет обстоять дело в следующем примере. Пример 5. Решить уравнение х(х- 1)(*-2)(;с-3) = 24. Решение. Имеем х(х-3) = х2~3х; (х- 1)(л:-2) = л:2-Зл:+2. Значит, заданное уравнение можно переписать в виде Вот теперь новая переменная «проявилась»: у = х2 - Зх. С ее помощью уравнение можно переписать в виде у (у + 2) = 24 и далее у2 + 2у - 24 = 0. Корнями этого уравнения служат числа 4 и -6. Возвращаясь к исходной переменной х , получаем два уравнения х2 - Зх = 4 и х2 - Зх = - 6. Из первого уравнения находим х1 = 4, х2 = - 1; второе уравнение не имеет корней. О т в е т: 4, — 1. §22. 

 

Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]

 

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
''''''
Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].