User17 в 19:07, 8 октября 2012

2012-10-08T19:07:53Z

Внесённые изменения

User16 в 06:19, 15 июня 2010

2010-06-15T06:19:50Z

Внесённые изменения

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

2010-06-15T06:09:55Z

Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

Новая страница

<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Решение квадратных неравенств</metakeywords>

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]>>Математика:Решение квадратных неравенств'''

 

                                                      '''РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ '''

 Квадратным неравенством называют неравенство вида ах2 + bх + 0 0, где [[Image:15-06-1.jpg]] (вместо знака > может быть, разумеется, любой другой знак неравенства). Всеми необходимыми для решения таких неравенств фактами теории мы с вами располагаем, в чем сейчас и убедимся.

'''Пример 1'''. Решить неравенство: а) х2 - 2х - 3 >0;                        б) х2 - 2х - 3 < 0; в) х2 - 2х - 3 > 0;                       г) х2 - 2х - 3 < 0. Решение,

а) Рассмотрим параболу у = х2 - 2х - 3, изображенную на рис. 117.

[[Image:15-06-2.jpg]]

Решить неравенство х2 - 2х - 3 > 0 — это значит ответить на вопрос, при каких значениях х ординаты точек параболы положительны.

Замечаем, что у > 0, т. е. график функции расположен выше оси х, при х < -1 или при х > 3.

Значит, решениями неравенства служат все точки открытого луча (-00, - 1), а также все точки открытого луча (3, +00). Используя знак U (знак объединения множеств), ответ можно записать так: (—00, - 1) U (3, +00). Впрочем, ответ можно записать и так: х < - 1; х > 3.

б) Неравенство х2 - 2х - 3 < 0, или у < 0, где у = х2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: график расположен ниже оси х, если -1 < х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (— 1, 3).

в) Неравенство х2 - 2х - 3 > 0 отличается от неравенства х2 - 2х - 3 > 0 тем, что в ответ надо включить и корни уравнения х2 - 2х - 3 = 0, т. е. точки х = -1

и х = 3. Таким образом, решениями данного нестрогого неравенства являются все точки луча (-00, - 1], а также все точки луча [3, +00).

г) Неравенство х2 - 2х - 3 < 0 отличается от неравенства х2 - 2х - 3 < 0 тем, что в ответ надо включить и корни уравнения х2 - 2х - 3 = 0, т. е. х = -1 и х = 3. Следовательно, решениями данного нестрогого неравенства служат все точки отрезка [-1, 3]. Практичные математики обычно говорят так: зачем нам, решая неравенство ах2 + bх + с > 0, аккуратно строить параболу график квадратичной функции

у = ах2 + bх + с (как это было сделано в примере 1)? Достаточно сделать схематический набросок графика, для чего следует лишь найти корни квадратного трехчлена (точки пересечения параболы с осью х) и определить, куда направлены ветви параболы — вверх или вниз. Этот схематический набросок даст наглядное истолкование решению неравенства.

'''Пример 2.''' Решить неравенство - 2х2 + Зх + 9 < 0. Решение.

1) Найдем корни квадратного трехчлена - 2х2 + Зх + 9: х1 = 3; х2 = - 1,5.

2) Парабола, служащая графиком функции у = -2х2 + Зх + 9, пересекает ось х в точках 3 и - 1,5, а ветви параболы направлены вниз, поскольку старший коэффициент — отрицательное число - 2. На рис. 118 представлен набросок графика.

[[Image:15-06-3.jpg]]

3) Используя рис. 118, делаем вывод: у < 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо). От вет: х < -1,5;       х > 3.

'''Пример 3.''' Решить неравенство 4х2 - 4х + 1 < 0. Решение.

1) Из уравнения 4х2 - 4х + 1 = 0 находим [[Image:15-06-4.jpg]]. 2) Квадратный трехчлен имеет один корень [[Image:15-06-5.jpg]]; это значит, что парабола, служащая графиком квадратного трехчлена, не пересекает ось х, а касается ее в точке [[Image:15-06-5.jpg]]. Ветви параболы направлены вверх (рис. 119.)

[[Image:15-06-6.jpg]] 3) С помощью геометрической модели, представленной на рис. 119, устанавливаем, что заданное неравенство выполняется только в точке [[Image:15-06-5.jpg]], поскольку при всех других значениях х ординаты графика положительны. Ответ: [[Image:15-06-5.jpg]]. Вы, наверное, заметили, что фактически в примерах 1, 2, 3 использовался вполне определенный алгоритм решения квадратных неравенств, оформим его.

 '''Алгоритм решения квадратного неравенства ах2 + bх + 0 0 (ах2 + bх + с < 0)'''

[[Image:15-06-7.jpg]]

 На первом шаге этого алгоритма требуется найти корни квадратного трехчлена. Но ведь корни могут и не существовать, что же делать? Тогда алгоритм неприменим, значит, надо рассуждать как-то по-другому. Ключ к этим рассуждениям дают следующие теоремы.

[[Image:15-06-8.jpg]] Иными словами, если D < 0, а > 0, то неравенство ах2 + bх + с > 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах2 + bх + с < 0 не имеет решений. '''''Доказательство.''''' Графиком функции у = ах2 + bх +  с является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку а > 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у  квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 120. Видим, что при всех х график расположен выше оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах2 + bх + с > 0, что и требовалось доказать.

[[Image:15-06-9.jpg]]

Иными словами, если D < 0, а < 0, то неравенство ах2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах2 + bх + с > 0 не имеет решений.

[[Image:15-06-10.jpg]] '''''Доказательство.''''' Графиком функции у = ах2 + bх +с является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку а < 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

'''Пример 4'''. Решить неравенство: а) 2х2 - х + 4 >0;           б) -х2+ Зх - 8 >0. Решение,

а) Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2х2 - х + 4. Имеем D = (-1)2 - 4 • 2 • 4 = - 31 < 0. Старший коэффициент трехчлена (число 2) положителен. Значит, по теореме 1, при всех х выполняется неравенство 2x2 - х + 4 > 0, т. е. решением заданного неравенства служит вся числовая прямая (-00, + 00).

б) Найдем дискриминант квадратного трехчлена - х2 + Зх - 8. Имеем D = З2 - 4 • (- 1) • (- 8) = - 23 < 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство — х2 + Зх — 8 [[Image:15-06-11.jpg]] 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений. Ответ:     а) (-00, + 00);          б) нет решений.

В следующем примере мы познакомимся еще с одним способом рассуждений, который применяется при решении квадратных неравенств.

'''Пример 5.''' Решить неравенство Зх2 - 10х + 3 < 0. Решение. Разложим квадратный трехчлен Зx2 - 10x + 3 на множители. Корнями трехчлена являются числа 3 и [[Image:15-06-12.jpg]], поэтому воспользовавшись формулой ах2 + bх + с = а (х - x1)(x - х2),

получим Зx2 - 10х + 3 = 3(х - 3) (х - [[Image:15-06-12.jpg]]) Отметим на числовой прямой корни трехчлена: 3 и [[Image:15-06-12.jpg]] (рис. 122).

[[Image:15-06-13.jpg]]

Пусть х > 3; тогда x-3>0 и x-[[Image:15-06-12.jpg]]>0, а значит, и произведение 3(х - 3)( х - [[Image:15-06-12.jpg]]) положительно. Далее, пусть [[Image:15-06-12.jpg]] < х < 3; тогда x-3< 0, а х-[[Image:15-06-12.jpg]] >0. Следовательно, произведение 3(х-3)(х-[[Image:15-06-12.jpg]]) отрицательно. Пусть, наконец, х <[[Image:15-06-12.jpg]]; тогда x-3< 0 и x-[[Image:15-06-12.jpg]] < 0. Но в таком случае произведение 3(x -3)( x -[[Image:15-06-12.jpg]]) положительно.

Подводя итог рассуждениям, приходим к выводу: знаки квадратного трехчлена Зx2 - 10х + 3 изменяются так, как показано на рис. 122. Нас же интересует, при каких х квадратный трехчлен принимает отрицательные значения. Из рис. 122 делаем вывод: квадратный трехчлен Зx2 - 10х + 3 принимает отрицательные значения для любого значения х из интервала ([[Image:15-06-12.jpg]], 3) Ответ  ([[Image:15-06-12.jpg]], 3), или [[Image:15-06-12.jpg]] < х < 3.

'''''Замечание.''''' Метод рассуждений, который мы применили в примере 5, обычно называют методом интервалов (или методом промежутков). Он активно используется в математике для решения рациональных неравенств. В 9-м классе мы изучим метод интервалов более детально.

'''Пример 6'''. При каких значениях параметра р квадратное уравнение х2 - 5х + р2 = 0: а) имеет два различных корня;

б) имеет один корень;

в) не имеет -корней?

Решение. Число корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта D. В данном случае находим D = 25 - 4р2. а) Квадратное уравнение имеет два различных корня, если ?)>0, значит, задача сводится к решению неравенства 25 - 4р2 > 0. Умножим обе части этого неравенства на -1 (не забыв изменить при этом знак неравенства). Получим равносиль- ное неравенство 4р2 - 25 < 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0. Знаки выражения 4(р - 2,5) (р + 2,5) указаны на рис. 123. Делаем вывод, что неравенство 4{р - 2,5)(р + 2,5) < 0 выпол- няется для всех значений р из + _ + интервала (-2,5; 2,5). Именно при * *"р этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня. -Z5 О Z5 Рис. 123 б) Квадратное уравнение имеет один корень, если D — 0. Как мы установили выше, D = 0 при р = 2,5 или р = -2,5. Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет только один корень. в) Квадратное уравнение не имеет корней, если D < 0. Решим неравенство 25 - 4р2 < 0. Получаем 4р2 - 25 > 0; 4(р-2,5)(р + 2,5)>0, откуда (см. рис. 123) р < -2,5; р > 2,5. При этих значениях параметра р данное квадратное уравнение не имеет корней. Ответ: а) при р е (-2,5, 2,5); б) прир = 2,5 илир = -2,5; в) при р < - 2,5 или р > 2,5. 

Помощь школьнику [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], Математика для 8 класса [[Математика|скачать]], календарно-тематическое планирование

 

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
''''''
Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

Решение квадратных неравенств - История изменений

User17 в 19:07, 8 октября 2012

User16 в 06:19, 15 июня 2010

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...