User17 в 10:05, 8 октября 2012

2012-10-08T10:05:12Z

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

2010-06-13T07:04:23Z

Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

Новая страница

<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Свойства квадратных корней</metakeywords>

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]>>Математика:Свойства квадратных корней'''

 

                                                              '''                СВОЙСТВА КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ''' 

 До сих пор мы осуществляли над числами пять арифметических операций: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, причем при вычислениях активно использовали различные свойства этих операций, например а + b = b + а, аn-bn = (аb)n  и т.д.

В этой главе введена новая операция — извлечение квадратного корня из неотрицательного числа. Чтобы успешно ее использовать, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе. 

[[Image:12-06-66.jpg]] 

 Доказательство. Введем следующие обозначения:[[Image:12-06-67.jpg]] Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел х, у, z выполняется равенство х = yz.

[[Image:12-06-68.jpg]] Итак, х2 = ab, у2 = а, z2 = b. Тогда х2 = y2z2, т. е. х2 = (yz)2. Если квадраты двух неотрицательных чисел равны, то и сами числа равны, значит, из равенства х2 = (yz)2 следует, что х = yz, а это и требовалось доказать. Приведем краткую запись доказательства теоремы:

 

[[Image:12-06-69.jpg]] '''''Замечание 1.''''' Теорема остается справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух не отрицательных множителей. 

'''''Замечание 2.''''' Теорему 1 можно оформить, используя конструкцию «если... , то» (как это принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а и b — неотрицательные числа, то справедливо равенство [[Image:12-06-70.jpg]]. 

Следующую теорему мы именно так и оформим. 

[[Image:12-06-71.jpg]] (Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней или корень из частного равен частному от корней.) '''Доказательство.''' На этот раз мы приведем только краткую запись доказательства, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что составили суть доказательства теоремы 1. 

[[Image:12-06-72.jpg]] Пример 1. Вычислить [[Image:12-06-73.jpg]]. Решение. Воспользовавшись первым свойством квадратных корней (теорема 1), получаем 

[[Image:12-06-74.jpg]] '''''Замечание 3.''''' Конечно, этот пример можно решить по-другому, особенно если у вас под рукой микрокалькулятор: перемножить числа 36, 64, 9, а затем извлечь квадратный корень из полученного произведения. Однако, согласитесь, предложенное выше решение выглядит более культурно. 

'''Пример 2.''' 

[[Image:12-06-75.jpg]] 

 

[[Image:12-06-76.jpg]] 

'''''Замечание 4.''''' При первом способе мы проводили вычисления «в лоб». Второй способ изящнее: мы применили формулу а2 — b2 = (а — b) (а + b) и воспользовались свойством квадратных корней. 

'''''Замечание 5.''''' Некоторые «горячие головы» предлагают иногда такое «решение» примера 3: 

[[Image:12-06-77.jpg]] Это, конечно, неверно: вы видите — результат получился не такой, как у нас в примере 3. Дело в том, что нет свойства [[Image:12-06-78.jpg]] , как нет и свойства[[Image:12-06-79.jpg]] Имеются только свойства, касающиеся умножения и деления квадратных корней. Будьте внимательны и осторожны, не принимайте желаемое за действительное. 

Пример 4. Вычислить: а) [[Image:12-06-80.jpg]] Решение. Любая формула в алгебре используется не только «справа налево», но и «слева направо». Так, первое свойство квадратных корней означает, что [[Image:12-06-81.jpg]] в случае необходимости можно представить в виде [[Image:12-06-82.jpg]] , и обратно, что [[Image:12-06-82.jpg]] можно заменить выражением [[Image:12-06-81.jpg]] То же относится и ко второму свойству квадратных корней. Учитывая это, решим предложенный пример. 

[[Image:12-06-83.jpg]] Завершая параграф, отметим еще одно достаточно простое и в то же время важное свойство: если a > 0 и n — натуральное число, то 

[[Image:12-06-84.jpg]] ''' Пример 5.''' Вычислить [[Image:12-06-84.jpg]] , не используя таблицу квадратов чисел и микрокалькулятор. Решение. Разложим подкоренное число на простые множители: 

[[Image:12-06-85.jpg]] ''''' Замечание 6.''''' Этот пример можно было решить так же, как и аналогичный пример в § 15. Нетрудно догадаться, что в ответе получится «80 с хвостиком», поскольку 802 < 7056 < 902. Найдем «хвостик», т. е. последнюю цифру искомого числа. Пока мы знаем, что если корень извлекается, то в ответе может получиться 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 или 89. Проверить надо только два числа: 84 и 86, поскольку только они при возведении в квадрат дадут в результате четырехзначное число, оканчивающееся цифрой 6, т.е. той же цифрой, которой оканчивается число 7056. Имеем 842 = 7056 — это то, что нужно. Значит, [[Image:12-06-86.jpg]] 

 

Книги, учебники математике [[Математика|скачать]], конспект на помощь учителю и ученикам, учиться [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]] 

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
''''''
Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

Свойства квадратных корней - История изменений

User17 в 10:05, 8 октября 2012

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...