Свойства корня n-й степени - История изменений

User17 в 10:22, 6 августа 2012

2012-08-06T10:22:54Z

User17 в 09:10, 6 августа 2012

2012-08-06T09:10:07Z

← Предыдущая		Версия 09:10, 6 августа 2012
Строка 1:		Строка 1:
-	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>~~Математика:~~ Свойства корня n-й степени~~<metakeywords>Свойства корня n-й степени</metakeywords>~~'''	+	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 10 класс, урок, на Тему, Свойства корня n-й степени</metakeywords>
		+
		+	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>> Свойства корня n-й степени'''

	<br>		<br>

-	'''§41. ~~СВОЙСТВА КОРНЯ~~ n-й ~~СТЕПЕНИ~~'''<br>Чтобы успешно использовать на практике операцию извлечения корня, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе.<br>Все свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.	+	'''§41. Свойства корня n-й степени'''<br>Чтобы успешно использовать на практике операцию извлечения корня, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе.<br>Все свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.

	[[Image:A10603.jpg]]		[[Image:A10603.jpg]]
Строка 49:		Строка 51:
	<br>		<br>

-	<sub>~~Материалы~~ по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн~~]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика\|скачать~~]]</sub>	+	[http://xvatit.com/relax/fun-videos/ '''<sub>Видео</sub>''']<sub>по математике [[Математика\|скачать]], домашнее задание, учителям и школьникам на помощь [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]]</sub>

	'''<u>Содержание урока</u>'''		'''<u>Содержание урока</u>'''

User9 в 06:59, 20 августа 2010

2010-08-20T06:59:02Z

← Предыдущая		Версия 06:59, 20 августа 2010
Строка 5:		Строка 5:
	'''§41. СВОЙСТВА КОРНЯ n-й СТЕПЕНИ'''<br>Чтобы успешно использовать на практике операцию извлечения корня, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе.<br>Все свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.		'''§41. СВОЙСТВА КОРНЯ n-й СТЕПЕНИ'''<br>Чтобы успешно использовать на практике операцию извлечения корня, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе.<br>Все свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.

-	[[Image:A10603.jpg	+	[[Image:A10603.jpg]]

	'''Доказательство. '''Введем следующие обозначения: [[Image:A10604.jpg]]  Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел х, у, z выполняется равенство х-уz.<br>Так как [[Image:A10605.jpg]]<br>Итак, [[Image:A10606.jpg]] Но если степени двух неотрицательных чисел равны и показатели степеней равны, то равны и основания степеней; значит, из равенства x<sup>n</sup> =(уz)<sup>п</sup> следует, что х-уz, а это и требовалось доказать.    <br>Приведем краткую запись доказательства теоремы.		'''Доказательство. '''Введем следующие обозначения: [[Image:A10604.jpg]]  Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел х, у, z выполняется равенство х-уz.<br>Так как [[Image:A10605.jpg]]<br>Итак, [[Image:A10606.jpg]] Но если степени двух неотрицательных чисел равны и показатели степеней равны, то равны и основания степеней; значит, из равенства x<sup>n</sup> =(уz)<sup>п</sup> следует, что х-уz, а это и требовалось доказать.    <br>Приведем краткую запись доказательства теоремы.

User9 в 06:40, 20 августа 2010

2010-08-20T06:40:29Z

User9 в 06:39, 20 августа 2010

2010-08-20T06:39:29Z

← Предыдущая		Версия 06:39, 20 августа 2010
Строка 19:		Строка 19:
	[[Image:A10620.jpg]]<br>'''Пример 4. '''Выполнить действия: [[Image:A10621.jpg]]<br>'''Решение''', а) Имеем: [[Image:A10622.jpg]]<br>б) Теорема 1 позволяет нам перемножать только корни одинаковой степени, т.е. только корни с одинаковым показателем. Здесь же предлагается умножить корень 2-й степени из числа а на корень 3-й степени из того же числа. Как это делать, мы пока не знаем. Вернемся к этой проблеме позднее. <br>Продолжим изучение свойств радикалов.[[Image:A10623.jpg]] Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.<br>Это — следствие теоремы 1. В самом деле, например, для к = 3 получаем: [[Image:A10624.jpg]] Точно так же можно рассуждать в случае любого другого натурального значения показателя к.<br>[[Image:A10625.jpg]]		[[Image:A10620.jpg]]<br>'''Пример 4. '''Выполнить действия: [[Image:A10621.jpg]]<br>'''Решение''', а) Имеем: [[Image:A10622.jpg]]<br>б) Теорема 1 позволяет нам перемножать только корни одинаковой степени, т.е. только корни с одинаковым показателем. Здесь же предлагается умножить корень 2-й степени из числа а на корень 3-й степени из того же числа. Как это делать, мы пока не знаем. Вернемся к этой проблеме позднее. <br>Продолжим изучение свойств радикалов.[[Image:A10623.jpg]] Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.<br>Это — следствие теоремы 1. В самом деле, например, для к = 3 получаем: [[Image:A10624.jpg]] Точно так же можно рассуждать в случае любого другого натурального значения показателя к.<br>[[Image:A10625.jpg]]

-	Иными словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней.<br>Например, [[Image:A10626.jpg]]<br>'''Доказательство.''' Как и в теореме 2, приведем краткую запись доказательства, а вы попробуйте самостоятельно сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1.	+	Иными словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней.<br>Например, [[Image:A10626.jpg]]<br>'''Доказательство.''' Как и в теореме 2, приведем краткую запись доказательства, а вы попробуйте самостоятельно сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1.

-	[[Image:~~a10627~~.jpg]]<br>'''Замечание 4. '''Давайте переведем дух. Чему мы научились благодаря доказанным теоремам? Мы узнали, что над корнями можно осуществлять четыре операции: умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня (из корня). А как же обстоит дело со сложением и вычитанием корней? Никак. Об этом мы говорили еще в 8-м классе по поводу операции извлечения квадратного корня.<br>Например, вместо [[Image:~~a10628~~.jpg]] нельзя написать [[Image:~~a10629~~.jpg]] В самом деле, [[Image:~~a10630~~.jpg]] Но ведь очевидно, что [[Image:~~a10631~~.jpg]] Будьте внимательны!<br>Самое, пожалуй, интересное свойство корней — это то, о котором пойдет речь в следующей теореме. Учитывая особую значимость этого свойства, мы позволим себе нарушить определенный стиль формулировок и доказательств, выработанный в этом параграфе, с тем чтобы формулировка теоремы 5 была немного «мягче», а ее доказательство — понятнее.	+	[[Image:A10627.jpg]]<br>'''Замечание 4. '''Давайте переведем дух. Чему мы научились благодаря доказанным теоремам? Мы узнали, что над корнями можно осуществлять четыре операции: умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня (из корня). А как же обстоит дело со сложением и вычитанием корней? Никак. Об этом мы говорили еще в 8-м классе по поводу операции извлечения квадратного корня.<br>Например, вместо [[Image:A10628.jpg]] нельзя написать [[Image:A10629.jpg]] В самом деле, [[Image:A10630.jpg]] Но ведь очевидно, что [[Image:A10631.jpg]] Будьте внимательны!<br>Самое, пожалуй, интересное свойство корней — это то, о котором пойдет речь в следующей теореме. Учитывая особую значимость этого свойства, мы позволим себе нарушить определенный стиль формулировок и доказательств, выработанный в этом параграфе, с тем чтобы формулировка теоремы 5 была немного «мягче», а ее доказательство — понятнее.

-	[[Image:~~a10632~~.jpg]]<br>Например:	+	[[Image:A10632.jpg]]<br>Например:

-	[[Image:~~a10633~~.jpg]]  (показатели корня и подкоренного выражения разделили на 4);	+	[[Image:A10633.jpg]]  (показатели корня и подкоренного выражения разделили на 4);

-	[[Image:~~a10634~~.jpg]]  (показатели корня и подкоренного выражения разделили на 3);	+	[[Image:A10634.jpg]]  (показатели корня и подкоренного выражения разделили на 3);

-	[[Image:~~a10635~~.jpg]]  (показатели корня и подкоренного выражения умножили на 2).<br>Доказательство. Обозначим левую часть доказываемого равенства буквой ~~х: "$акр = х. Тогда по определению корня должно выполняться равенство<br>х1* =ар.~~ ~~   (1)<br>226<br>Обозначим правую часть доказываемого тождества буквой у~~:~~<br>л/а =у~~.~~<br>~~Тогда по определению корня должно выполняться равенство<br>. п _~ к<br>У =а .<br>Возведем обе части последнего равенства в одну и ту же степень р; получим:<br>у4" =акр.    (2)<br>Итак (см. равенства (1) и (2)),<br>х" =а, упр =акр.<br>Сопоставляя эти два равенства, приходим к выводу, что хпр = упр, а значит, х =у, что и требовалось доказать.    О<br>Доказанная теорема позволит нам решить ту проблему, с которой мы столкнулись выше при решении примера 5, где требовалось выполнить умножение корней с разными показателями:<br>4а-%/а.<br>Вот как обычно рассуждают в подобных случаях.<br>1)    По теореме 5 в выражении 4а можно и показатель корня (т.е. число 2) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 3; получим:<br>2)    По теореме 5 в выражении л/о можно и показатель корня (т.е. число 3) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 2; получим:<br>3)    Поскольку получили корни одной и той же 6-й степени, то можно их перемножить:<br>Замечание 5. Вы не забыли, что все свойства корней, которые мы обсуждали в этом параграфе, рассмотрены нами только для случая, когда переменные принимают лишь неотрицательные значения? Почему пришлось сделать такое ограничение? Потому, что корень п-й степени из отрицательного числа не всегда имеет смысл — он определен только для нечетных значений п. Для таких значений показателя корня рассмотренные свойства корней верны и в случае отрицательных подкоренных выражений.<br>8<br>227<br>	+	[[Image:A10635.jpg]]  (показатели корня и подкоренного выражения умножили на 2).<br>'''Доказательство.''' Обозначим левую часть доказываемого равенства буквой [[Image:a10636.jpg]] Тогда по определению корня должно выполняться равенство

-	<br>	+	[[Image:a10637.jpg]]<br>Обозначим правую часть доказываемого тождества буквой у:
		+
		+	[[Image:a10638.jpg]]<br>Тогда по определению корня должно выполняться равенство [[Image:a10639.jpg]]
		+
		+	Возведем обе части последнего равенства в одну и ту же степень р; получим:
		+
		+	[[Image:a10640.jpg]]<br>Итак (см. равенства (1) и (2)),
		+
		+	[[Image:a10641.jpg]]<br>Сопоставляя эти два равенства, приходим к выводу, что х<sup>nр</sup> = у<sup>nр</sup>, а значит, х =у, что и требовалось доказать.   <br>Доказанная теорема позволит нам решить ту проблему, с которой мы столкнулись выше при решении примера 5, где требовалось выполнить умножение корней с разными показателями:
		+
		+	[[Image:a10642.jpg]]<br>Вот как обычно рассуждают в подобных случаях.<br>1)    По теореме 5 в выражении [[Image:a10643.jpg]] можно и показатель корня (т.е. число 2) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 3; получим: [[Image:a10644.jpg]]<br>2)    По теореме 5 в выражении [[Image:a10645.jpg]] можно и показатель корня (т.е. число 3) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 2; получим: [[Image:a10646.jpg]]<br>3)    Поскольку получили корни одной и той же 6-й степени, то можно их перемножить: [[Image:a10647.jpg]]<br>'''Замечание 5. '''Вы не забыли, что все свойства корней, которые мы обсуждали в этом параграфе, рассмотрены нами только для случая, когда переменные принимают лишь неотрицательные значения? Почему пришлось сделать такое ограничение? Потому, что корень п-й степени из отрицательного числа не всегда имеет смысл — он определен только для нечетных значений п. Для таких значений показателя корня рассмотренные свойства корней верны и в случае отрицательных подкоренных выражений.<br><br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9 в 06:29, 20 августа 2010

2010-08-20T06:29:35Z

← Предыдущая		Версия 06:29, 20 августа 2010
Строка 13:		Строка 13:
	[[Image:A10610.jpg]]<br> ВЫ, конечно, обратили внимание на то, что доказанные два свойства корней п-й степени представляют собой обобщение известных вам из курса алгебры 8-го класса свойств квадратных корней. И если бы других свойств корней п-й степени не было, то как бы все было просто (и не очень интересно). На самом деле есть еще несколько интересных и важных свойств, которые мы обсудим в этом параграфе. Но сначала рассмотрим несколько примеров на использование теорем 1 и 2.<br>'''Пример 1.''' Вычислить [[Image:A10611.jpg]]<br>'''Решение. '''Воспользовавшись первым свойством корней (теорема 1), получим:		[[Image:A10610.jpg]]<br> ВЫ, конечно, обратили внимание на то, что доказанные два свойства корней п-й степени представляют собой обобщение известных вам из курса алгебры 8-го класса свойств квадратных корней. И если бы других свойств корней п-й степени не было, то как бы все было просто (и не очень интересно). На самом деле есть еще несколько интересных и важных свойств, которые мы обсудим в этом параграфе. Но сначала рассмотрим несколько примеров на использование теорем 1 и 2.<br>'''Пример 1.''' Вычислить [[Image:A10611.jpg]]<br>'''Решение. '''Воспользовавшись первым свойством корней (теорема 1), получим:

-	[[Image:A10612.jpg]]<br>'''Замечание 3. '''Можно, конечно, этот пример решить по-другому, особенно если у вас под рукой есть микрокалькулятор: перемножить числа 125, 64 и27,а затем извлечь кубический корень из полученного произведения. Но, согласитесь, предложенное решение «интеллигентнее».<br>'''Пример 2.''' Вычислить [[Image:~~a10613~~.jpg]]<br>'''Решение. '''Обратим смешанное число [[Image:~~a10614~~.jpg]] в неправильную дробь.<br>Имеем [[Image:~~a10615~~.jpg]] Воспользовавшись вторым свойством корней (теорема 2), получим:	+	[[Image:A10612.jpg]]<br>'''Замечание 3. '''Можно, конечно, этот пример решить по-другому, особенно если у вас под рукой есть микрокалькулятор: перемножить числа 125, 64 и27,а затем извлечь кубический корень из полученного произведения. Но, согласитесь, предложенное решение «интеллигентнее».<br>'''Пример 2.''' Вычислить [[Image:A10613.jpg]]<br>'''Решение. '''Обратим смешанное число [[Image:A10614.jpg]] в неправильную дробь.<br>Имеем [[Image:A10615.jpg]] Воспользовавшись вторым свойством корней (теорема 2), получим:

-	[[Image:~~a10616~~.jpg]]<br>'''Пример 3.''' Вычислить: [[Image:~~a10617~~.jpg]]<br>'''Решение.''' Любая формула в алгебре, как вам хорошо известно, используется не только «слева направо», но и «справа налево». Так, первое свойство корней означает, что [[Image:~~a10618~~.jpg]] можно представить в виде [[Image:~~a10619~~.jpg]] и, наоборот, [[Image:~~a10619~~.jpg]] можно заменить выражением [[Image:~~a10618~~.jpg]]. То же относится и ко второму свойству корней. Учитывая это, выполним вычисления:	+	[[Image:A10616.jpg]]<br>'''Пример 3.''' Вычислить: [[Image:A10617.jpg]]<br>'''Решение.''' Любая формула в алгебре, как вам хорошо известно, используется не только «слева направо», но и «справа налево». Так, первое свойство корней означает, что [[Image:A10618.jpg]] можно представить в виде [[Image:A10619.jpg]] и, наоборот, [[Image:A10619.jpg]] можно заменить выражением [[Image:A10618.jpg]]. То же относится и ко второму свойству корней. Учитывая это, выполним вычисления:

-	[[Image:~~a10620~~.jpg]]<br>'''Пример 4. '''Выполнить действия: [[Image:~~a10621~~.jpg]]<br>'''Решение''', а) Имеем: [[Image:~~a10622~~.jpg]]<br>б) Теорема 1 позволяет нам перемножать только корни одинаковой степени, т.е. только корни с одинаковым показателем. Здесь же предлагается умножить корень 2-й степени из числа а на корень 3-й степени из того же числа. Как это делать, мы пока не знаем. Вернемся к этой проблеме позднее. <br>Продолжим изучение свойств радикалов.[[Image:~~a10623~~.jpg]]	+	[[Image:A10620.jpg]]<br>'''Пример 4. '''Выполнить действия: [[Image:A10621.jpg]]<br>'''Решение''', а) Имеем: [[Image:A10622.jpg]]<br>б) Теорема 1 позволяет нам перемножать только корни одинаковой степени, т.е. только корни с одинаковым показателем. Здесь же предлагается умножить корень 2-й степени из числа а на корень 3-й степени из того же числа. Как это делать, мы пока не знаем. Вернемся к этой проблеме позднее. <br>Продолжим изучение свойств радикалов.[[Image:A10623.jpg]] Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.<br>Это — следствие теоремы 1. В самом деле, например, для к = 3 получаем: [[Image:A10624.jpg]] Точно так же можно рассуждать в случае любого другого натурального значения показателя к.<br>[[Image:A10625.jpg]]
-	Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.<br>Это — следствие теоремы 1. В самом деле, например, для к = 3 получаем: [[Image:~~a10624~~.jpg]] Точно так же можно рассуждать в случае любого другого натурального значения показателя к.<br>[[Image:~~a10625~~.jpg]]	+

-	Иными словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней.<br>Например, [[Image:~~a10626~~.jpg]]<br>'''Доказательство.''' Как и в теореме 2, приведем краткую запись доказательства, а вы попробуйте самостоятельно сделать ~~со-<br>Ш У81 _3=15 \1в № 2 ' '<br><br>8 Мордкович «Алгебра, 10 кл.»<br>225<br>ответствующие~~ комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1.<br>Подготовка к доказа-    Перевод на более    Доказательство<br>тельству (введение    простой язык    <br>новых переменных)        <br>Ф17 = х;        <br>    (()")= а;    <br>    у"=а    <br>        х = у<br>Доказать: ~~х = у        •~~<br>Замечание 4. Давайте переведем дух. Чему мы научились благодаря доказанным теоремам? Мы узнали, что над корнями можно осуществлять четыре операции: умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня (из корня). А как же обстоит дело со сложением и вычитанием корней? Никак. Об этом мы говорили еще в 8-м классе по поводу операции извлечения квадратного корня.<br>Например, вместо ~~3/8+ 27~~ нельзя написать ~~3/8 + 3/27~~. В самом деле, ~~3/8+27 =3/35, а 3/8 + 3/27 = 2 + 3=5~~. Но ведь очевидно, что ~~3/355~~. Будьте внимательны!<br>Самое, пожалуй, интересное свойство корней — это то, о котором пойдет речь в следующей теореме. Учитывая особую значимость этого свойства, мы позволим себе нарушить определенный стиль формулировок и доказательств, выработанный в этом параграфе, с тем чтобы формулировка теоремы 5 была немного «мягче», а ее доказательство — понятнее.<br>Теорема 5. Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится, т.е.<br>ЛР1 „ кр _п1 к<br>Ыа =Уа .<br>Например:~~<br>=л~~[а* (показатели корня и подкоренного выражения разделили на 4);~~<br>Л~~ (показатели корня и подкоренного выражения разделили на 3);<br>№ = 1$а* (показатели корня и подкоренного выражения умножили на 2).<br>~~Доказательст во~~. Обозначим левую часть доказываемого равенства буквой х: "$акр = х. Тогда по определению корня должно выполняться равенство<br>х1* =ар.    (1)<br>226<br>Обозначим правую часть доказываемого тождества буквой у:<br>л/а =у.<br>Тогда по определению корня должно выполняться равенство<br>. п _~ к<br>У =а .<br>Возведем обе части последнего равенства в одну и ту же степень р; получим:<br>у4" =акр.    (2)<br>Итак (см. равенства (1) и (2)),<br>х" =а, упр =акр.<br>Сопоставляя эти два равенства, приходим к выводу, что хпр = упр, а значит, х =у, что и требовалось доказать.    О<br>Доказанная теорема позволит нам решить ту проблему, с которой мы столкнулись выше при решении примера 5, где требовалось выполнить умножение корней с разными показателями:<br>4а-%/а.<br>Вот как обычно рассуждают в подобных случаях.<br>1)    По теореме 5 в выражении 4а можно и показатель корня (т.е. число 2) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 3; получим:<br>2)    По теореме 5 в выражении л/о можно и показатель корня (т.е. число 3) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 2; получим:<br>3)    Поскольку получили корни одной и той же 6-й степени, то можно их перемножить:<br>Замечание 5. Вы не забыли, что все свойства корней, которые мы обсуждали в этом параграфе, рассмотрены нами только для случая, когда переменные принимают лишь неотрицательные значения? Почему пришлось сделать такое ограничение? Потому, что корень п-й степени из отрицательного числа не всегда имеет смысл — он определен только для нечетных значений п. Для таких значений показателя корня рассмотренные свойства корней верны и в случае отрицательных подкоренных выражений.<br>8<br>227<br>	+	Иными словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней.<br>Например, [[Image:A10626.jpg]]<br>'''Доказательство.''' Как и в теореме 2, приведем краткую запись доказательства, а вы попробуйте самостоятельно сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1.
		+
		+	[[Image:a10627.jpg]]<br>'''Замечание 4. '''Давайте переведем дух. Чему мы научились благодаря доказанным теоремам? Мы узнали, что над корнями можно осуществлять четыре операции: умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня (из корня). А как же обстоит дело со сложением и вычитанием корней? Никак. Об этом мы говорили еще в 8-м классе по поводу операции извлечения квадратного корня.<br>Например, вместо [[Image:a10628.jpg]] нельзя написать [[Image:a10629.jpg]] В самом деле, [[Image:a10630.jpg]] Но ведь очевидно, что [[Image:a10631.jpg]] Будьте внимательны!<br>Самое, пожалуй, интересное свойство корней — это то, о котором пойдет речь в следующей теореме. Учитывая особую значимость этого свойства, мы позволим себе нарушить определенный стиль формулировок и доказательств, выработанный в этом параграфе, с тем чтобы формулировка теоремы 5 была немного «мягче», а ее доказательство — понятнее.
		+
		+	[[Image:a10632.jpg]]<br>Например:
		+
		+	[[Image:a10633.jpg]]  (показатели корня и подкоренного выражения разделили на 4);
		+
		+	[[Image:a10634.jpg]]  (показатели корня и подкоренного выражения разделили на 3);
		+
		+	[[Image:a10635.jpg]]  (показатели корня и подкоренного выражения умножили на 2).<br>Доказательство. Обозначим левую часть доказываемого равенства буквой х: "$акр = х. Тогда по определению корня должно выполняться равенство<br>х1* =ар.    (1)<br>226<br>Обозначим правую часть доказываемого тождества буквой у:<br>л/а =у.<br>Тогда по определению корня должно выполняться равенство<br>. п _~ к<br>У =а .<br>Возведем обе части последнего равенства в одну и ту же степень р; получим:<br>у4" =акр.    (2)<br>Итак (см. равенства (1) и (2)),<br>х" =а, упр =акр.<br>Сопоставляя эти два равенства, приходим к выводу, что хпр = упр, а значит, х =у, что и требовалось доказать.    О<br>Доказанная теорема позволит нам решить ту проблему, с которой мы столкнулись выше при решении примера 5, где требовалось выполнить умножение корней с разными показателями:<br>4а-%/а.<br>Вот как обычно рассуждают в подобных случаях.<br>1)    По теореме 5 в выражении 4а можно и показатель корня (т.е. число 2) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 3; получим:<br>2)    По теореме 5 в выражении л/о можно и показатель корня (т.е. число 3) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 2; получим:<br>3)    Поскольку получили корни одной и той же 6-й степени, то можно их перемножить:<br>Замечание 5. Вы не забыли, что все свойства корней, которые мы обсуждали в этом параграфе, рассмотрены нами только для случая, когда переменные принимают лишь неотрицательные значения? Почему пришлось сделать такое ограничение? Потому, что корень п-й степени из отрицательного числа не всегда имеет смысл — он определен только для нечетных значений п. Для таких значений показателя корня рассмотренные свойства корней верны и в случае отрицательных подкоренных выражений.<br>8<br>227<br>

	<br>		<br>

User9 в 06:22, 20 августа 2010

2010-08-20T06:22:26Z

← Предыдущая		Версия 06:22, 20 августа 2010
Строка 9:		Строка 9:
	[[Image:A10607.jpg]]<br>'''Замечания:'''		[[Image:A10607.jpg]]<br>'''Замечания:'''

-	'''1.''' Теорема 1 остается справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух неотрицательных чисел.<br>'''2.''' Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию "если...то» (как это принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а иb — неотрицательные числа, то справедливо равенство [[Image:A10608.jpg]] Следующую теорему мы именно так и оформим.<br>[[Image:~~a10609~~.jpg]]<br>Краткая (хотя и неточная) формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней.<br>'''Доказательство.''' Приведем краткую запись доказательства теоремы 2, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1.	+	'''1.''' Теорема 1 остается справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух неотрицательных чисел.<br>'''2.''' Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию "если...то» (как это принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а иb — неотрицательные числа, то справедливо равенство [[Image:A10608.jpg]] Следующую теорему мы именно так и оформим.<br>[[Image:A10609.jpg]]<br>Краткая (хотя и неточная) формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней.<br>'''Доказательство.''' Приведем краткую запись доказательства теоремы 2, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1.

-	[[Image:~~a10610~~.jpg]]<br> ВЫ, конечно, обратили внимание на то, что доказанные два свойства корней п-й степени представляют собой обобщение известных вам из курса алгебры 8-го класса свойств квадратных корней. И если бы других свойств корней п-й степени не было, то как бы все было просто (и не очень интересно). На самом деле есть еще несколько интересных и важных свойств, которые мы обсудим в этом параграфе. Но сначала рассмотрим несколько примеров на использование теорем 1 и 2.<br>'''Пример 1.''' Вычислить [[Image:~~a10611~~.jpg]]<br>'''Решение. '''Воспользовавшись первым свойством корней (теорема 1), получим:	+	[[Image:A10610.jpg]]<br> ВЫ, конечно, обратили внимание на то, что доказанные два свойства корней п-й степени представляют собой обобщение известных вам из курса алгебры 8-го класса свойств квадратных корней. И если бы других свойств корней п-й степени не было, то как бы все было просто (и не очень интересно). На самом деле есть еще несколько интересных и важных свойств, которые мы обсудим в этом параграфе. Но сначала рассмотрим несколько примеров на использование теорем 1 и 2.<br>'''Пример 1.''' Вычислить [[Image:A10611.jpg]]<br>'''Решение. '''Воспользовавшись первым свойством корней (теорема 1), получим:

-	[[Image:a10612.jpg]]<br>'''Замечание 3. '''Можно, конечно, этот пример решить по-другому, особенно если у вас под рукой есть микрокалькулятор: перемножить числа 125, 64 и27,а затем извлечь кубический корень из полученного произведения. Но, согласитесь, предложенное решение «интеллигентнее».<br>224<br>Пример 2. Вычислить<br>Решение. Обратим смешанное число в неправильную дробь.<br>Имеем 5— = 5 + — = —. Воспользовавшись вторым свойством корней (тео-16 16 16 рема 2), получим:<br>Пример 3. Вычислить: а) 3/24 б) 496:413.<br>Решение. Любая формула в алгебре, как вам хорошо известно, используется не только «слева направо», но и «справа налево». Так, первое свойство корней означает, что 4аЬ можно представить в виде 4а и, наоборот, 4а ■ 4ь можно заменить выражением 4аЬ . То же относится и ко второму свойству корней. Учитывая это, выполним вычисления:<br>а)л/24-У9=л/24-9=л/8-27    =Ш У27 = 2 3 = 6;<br>б)    5л/96: л/3 = 6:3 = 5л/32 = 2.    <Ц<br>Пример 4. Выполнить действия: а) 4а ■ 4ь ■ 4Ь; б) 4а ■ 4а.<br>Решение, а) Имеем: 4а -4ь -4ь =ЦаЬЬ = УаЬг.<br>б) Теорема 1 позволяет нам перемножать только корни одинаковой степени, т.е. только корни с одинаковым показателем. Здесь же предлагается умножить корень 2-й степени из числа а на корень 3-й степени из того же числа. Как это делать, мы пока не знаем. Вернемся к этой проблеме позднее. <Д<br>Продолжим изучение свойств радикалов.<br>Теорема3. Еслиа>0,к — натуральное число ип — натуральное число, большее 1, то справедливо равенство<br>(VI)4<br>Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.<br>Это — следствие теоремы 1. В самом деле, например, для к = 3 получаем: (4а)3 = 4а-4а-4а = 4ааа . Точно так же можно рассуждать в случае любого другого натурального значения показателя к.<br>Теорема 4. Еслиа>О ип,к — натуральные числа, большие 1, то справедливо равенство<br>Иными словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней.<br>Например,%[4а =х4а; 544а =х4а; -Щ = 4а.<br>Доказательство. Как и в теореме 2, приведем краткую запись доказательства, а вы попробуйте самостоятельно сделать со-<br>Ш У81 _3=15 \1в № 2 ' '<br><br>8 Мордкович «Алгебра, 10 кл.»<br>225<br>ответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1.<br>Подготовка к доказа-    Перевод на более    Доказательство<br>тельству (введение    простой язык    <br>новых переменных)        <br>Ф17 = х;        <br>    (()")= а;    <br>    у"=а    <br>        х = у<br>Доказать: х = у        •<br>Замечание 4. Давайте переведем дух. Чему мы научились благодаря доказанным теоремам? Мы узнали, что над корнями можно осуществлять четыре операции: умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня (из корня). А как же обстоит дело со сложением и вычитанием корней? Никак. Об этом мы говорили еще в 8-м классе по поводу операции извлечения квадратного корня.<br>Например, вместо 3/8+ 27 нельзя написать 3/8 + 3/27. В самом деле, 3/8+27 =3/35, а 3/8 + 3/27 = 2 + 3=5. Но ведь очевидно, что 3/355. Будьте внимательны!<br>Самое, пожалуй, интересное свойство корней — это то, о котором пойдет речь в следующей теореме. Учитывая особую значимость этого свойства, мы позволим себе нарушить определенный стиль формулировок и доказательств, выработанный в этом параграфе, с тем чтобы формулировка теоремы 5 была немного «мягче», а ее доказательство — понятнее.<br>Теорема 5. Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится, т.е.<br>ЛР1 „ кр _п1 к<br>Ыа =Уа .<br>Например:<br>=л[а* (показатели корня и подкоренного выражения разделили на 4);<br>Л (показатели корня и подкоренного выражения разделили на 3);<br>№ = 1$а* (показатели корня и подкоренного выражения умножили на 2).<br>Доказательст во. Обозначим левую часть доказываемого равенства буквой х: "$акр = х. Тогда по определению корня должно выполняться равенство<br>х1* =ар.    (1)<br>226<br>Обозначим правую часть доказываемого тождества буквой у:<br>л/а =у.<br>Тогда по определению корня должно выполняться равенство<br>. п _~ к<br>У =а .<br>Возведем обе части последнего равенства в одну и ту же степень р; получим:<br>у4" =акр.    (2)<br>Итак (см. равенства (1) и (2)),<br>х" =а, упр =акр.<br>Сопоставляя эти два равенства, приходим к выводу, что хпр = упр, а значит, х =у, что и требовалось доказать.    О<br>Доказанная теорема позволит нам решить ту проблему, с которой мы столкнулись выше при решении примера 5, где требовалось выполнить умножение корней с разными показателями:<br>4а-%/а.<br>Вот как обычно рассуждают в подобных случаях.<br>1)    По теореме 5 в выражении 4а можно и показатель корня (т.е. число 2) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 3; получим:<br>2)    По теореме 5 в выражении л/о можно и показатель корня (т.е. число 3) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 2; получим:<br>3)    Поскольку получили корни одной и той же 6-й степени, то можно их перемножить:<br>Замечание 5. Вы не забыли, что все свойства корней, которые мы обсуждали в этом параграфе, рассмотрены нами только для случая, когда переменные принимают лишь неотрицательные значения? Почему пришлось сделать такое ограничение? Потому, что корень п-й степени из отрицательного числа не всегда имеет смысл — он определен только для нечетных значений п. Для таких значений показателя корня рассмотренные свойства корней верны и в случае отрицательных подкоренных выражений.<br>8<br>227<br>	+	[[Image:A10612.jpg]]<br>'''Замечание 3. '''Можно, конечно, этот пример решить по-другому, особенно если у вас под рукой есть микрокалькулятор: перемножить числа 125, 64 и27,а затем извлечь кубический корень из полученного произведения. Но, согласитесь, предложенное решение «интеллигентнее».<br>'''Пример 2.''' Вычислить [[Image:a10613.jpg]]<br>'''Решение. '''Обратим смешанное число [[Image:a10614.jpg]] в неправильную дробь.<br>Имеем [[Image:a10615.jpg]] Воспользовавшись вторым свойством корней (теорема 2), получим:
		+
		+	[[Image:a10616.jpg]]<br>'''Пример 3.''' Вычислить: [[Image:a10617.jpg]]<br>'''Решение.''' Любая формула в алгебре, как вам хорошо известно, используется не только «слева направо», но и «справа налево». Так, первое свойство корней означает, что [[Image:a10618.jpg]] можно представить в виде [[Image:a10619.jpg]] и, наоборот, [[Image:a10619.jpg]] можно заменить выражением [[Image:a10618.jpg]]. То же относится и ко второму свойству корней. Учитывая это, выполним вычисления:
		+
		+	[[Image:a10620.jpg]]<br>'''Пример 4. '''Выполнить действия: [[Image:a10621.jpg]]<br>'''Решение''', а) Имеем: [[Image:a10622.jpg]]<br>б) Теорема 1 позволяет нам перемножать только корни одинаковой степени, т.е. только корни с одинаковым показателем. Здесь же предлагается умножить корень 2-й степени из числа а на корень 3-й степени из того же числа. Как это делать, мы пока не знаем. Вернемся к этой проблеме позднее. <br>Продолжим изучение свойств радикалов.[[Image:a10623.jpg]]
		+	Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.<br>Это — следствие теоремы 1. В самом деле, например, для к = 3 получаем: [[Image:a10624.jpg]] Точно так же можно рассуждать в случае любого другого натурального значения показателя к.<br>[[Image:a10625.jpg]]
		+
		+	Иными словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней.<br>Например, [[Image:a10626.jpg]]<br>'''Доказательство.''' Как и в теореме 2, приведем краткую запись доказательства, а вы попробуйте самостоятельно сделать со-<br>Ш У81 _3=15 \1в № 2 ' '<br><br>8 Мордкович «Алгебра, 10 кл.»<br>225<br>ответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1.<br>Подготовка к доказа-    Перевод на более    Доказательство<br>тельству (введение    простой язык    <br>новых переменных)        <br>Ф17 = х;        <br>    (()")= а;    <br>    у"=а    <br>        х = у<br>Доказать: х = у        •<br>Замечание 4. Давайте переведем дух. Чему мы научились благодаря доказанным теоремам? Мы узнали, что над корнями можно осуществлять четыре операции: умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня (из корня). А как же обстоит дело со сложением и вычитанием корней? Никак. Об этом мы говорили еще в 8-м классе по поводу операции извлечения квадратного корня.<br>Например, вместо 3/8+ 27 нельзя написать 3/8 + 3/27. В самом деле, 3/8+27 =3/35, а 3/8 + 3/27 = 2 + 3=5. Но ведь очевидно, что 3/355. Будьте внимательны!<br>Самое, пожалуй, интересное свойство корней — это то, о котором пойдет речь в следующей теореме. Учитывая особую значимость этого свойства, мы позволим себе нарушить определенный стиль формулировок и доказательств, выработанный в этом параграфе, с тем чтобы формулировка теоремы 5 была немного «мягче», а ее доказательство — понятнее.<br>Теорема 5. Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится, т.е.<br>ЛР1 „ кр _п1 к<br>Ыа =Уа .<br>Например:<br>=л[а* (показатели корня и подкоренного выражения разделили на 4);<br>Л (показатели корня и подкоренного выражения разделили на 3);<br>№ = 1$а* (показатели корня и подкоренного выражения умножили на 2).<br>Доказательст во. Обозначим левую часть доказываемого равенства буквой х: "$акр = х. Тогда по определению корня должно выполняться равенство<br>х1* =ар.    (1)<br>226<br>Обозначим правую часть доказываемого тождества буквой у:<br>л/а =у.<br>Тогда по определению корня должно выполняться равенство<br>. п _~ к<br>У =а .<br>Возведем обе части последнего равенства в одну и ту же степень р; получим:<br>у4" =акр.    (2)<br>Итак (см. равенства (1) и (2)),<br>х" =а, упр =акр.<br>Сопоставляя эти два равенства, приходим к выводу, что хпр = упр, а значит, х =у, что и требовалось доказать.    О<br>Доказанная теорема позволит нам решить ту проблему, с которой мы столкнулись выше при решении примера 5, где требовалось выполнить умножение корней с разными показателями:<br>4а-%/а.<br>Вот как обычно рассуждают в подобных случаях.<br>1)    По теореме 5 в выражении 4а можно и показатель корня (т.е. число 2) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 3; получим:<br>2)    По теореме 5 в выражении л/о можно и показатель корня (т.е. число 3) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 2; получим:<br>3)    Поскольку получили корни одной и той же 6-й степени, то можно их перемножить:<br>Замечание 5. Вы не забыли, что все свойства корней, которые мы обсуждали в этом параграфе, рассмотрены нами только для случая, когда переменные принимают лишь неотрицательные значения? Почему пришлось сделать такое ограничение? Потому, что корень п-й степени из отрицательного числа не всегда имеет смысл — он определен только для нечетных значений п. Для таких значений показателя корня рассмотренные свойства корней верны и в случае отрицательных подкоренных выражений.<br>8<br>227<br>

	<br>		<br>

User9 в 06:11, 20 августа 2010

2010-08-20T06:11:36Z

Внесённые изменения

User9 в 06:06, 20 августа 2010

2010-08-20T06:06:43Z

← Предыдущая		Версия 06:06, 20 августа 2010
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Свойства корня n-й степени<metakeywords>Свойства корня n-й степени</metakeywords>'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Свойства корня n-й степени<metakeywords>Свойства корня n-й степени</metakeywords>'''
		+
		+	<br>
		+
		+	'''§41. СВОЙСТВА КОРНЯ n-й СТЕПЕНИ'''<br>Чтобы успешно использовать на практике операцию извлечения корня, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе.<br>Все свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.
		+
		+	[[Image:a10603.jpg]]'''Доказательство. '''Введем следующие обозначения: [[Image:a10604.jpg]]  Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел х, у, z выполняется равенство х-уz.<br>Так как [[Image:a10605.jpg]]<br>Итак, [[Image:a10606.jpg]] Но если степени двух неотрицательных чисел равны и показатели степеней равны, то равны и основания степеней; значит, из равенства x<sup>n</sup> =(уz)<sup>п</sup> следует, что х-уz, а это и требовалось доказать.    <br>Приведем краткую запись доказательства теоремы.
		+
		+	[[Image:a10607.jpg]]<br>'''Замечания:'''
		+
		+	'''1.''' Теорема 1 остается справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух неотрицательных чисел.<br>'''2.''' Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию "если...то» (как это принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а иb — неотрицательные числа, то справедливо равенство [[Image:a10608.jpg]] Следующую теорему мы именно так и оформим.<br>223<br>Теорема 2. Если а>О, Ъ>Оип — натуральное число, большее 1, то справедливо равенство<br>[а _п4а<br>Краткая (хотя и неточная) формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней.<br>Доказательство. Приведем краткую запись доказательства теоремы 2, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1.<br>Подготовка к доказательству (введение новых переменных)    Перевод на более простой язык    Доказательство    <br>ё"    Ь        <br>    У" = а        п<br>4ь=г    г"=Ь    х=У-г    <br>Доказать: х = — г            •<br>V ВЫ, конечно, обратили внимание на то, что доказанные два свойства корней п-й степени представляют собой обобщение известных вам из курса алгебры 8-го класса свойств квадратных корней. И если бы других свойств корней п-й степени не было, то как бы все было просто (и не очень интересно). На самом деле есть еще несколько интересных и важных свойств, которые мы обсудим в этом параграфе. Но сначала рассмотрим несколько примеров на использование теорем 1 и 2.<br>Пример 1. Вычислить^125 64-27.<br>Решение. Воспользовавшись первым свойством корней (теорема 1), получим:<br>3/125-64 27=^125-^64 3/27 =5-4-3 = 60.    <■<br>Замечание 3. Можно, конечно, этот пример решить по-другому, особенно если у вас под рукой есть микрокалькулятор: перемножить числа 125, 64и27,а затем извлечь кубический корень из полученного произведения. Но, согласитесь, предложенное решение «интеллигентнее».<br>224<br>Пример 2. Вычислить<br>Решение. Обратим смешанное число в неправильную дробь.<br>Имеем 5— = 5 + — = —. Воспользовавшись вторым свойством корней (тео-16 16 16 рема 2), получим:<br>Пример 3. Вычислить: а) 3/24 б) 496:413.<br>Решение. Любая формула в алгебре, как вам хорошо известно, используется не только «слева направо», но и «справа налево». Так, первое свойство корней означает, что 4аЬ можно представить в виде 4а и, наоборот, 4а ■ 4ь можно заменить выражением 4аЬ . То же относится и ко второму свойству корней. Учитывая это, выполним вычисления:<br>а)л/24-У9=л/24-9=л/8-27    =Ш У27 = 2 3 = 6;<br>б)    5л/96: л/3 = 6:3 = 5л/32 = 2.    <Ц<br>Пример 4. Выполнить действия: а) 4а ■ 4ь ■ 4Ь; б) 4а ■ 4а.<br>Решение, а) Имеем: 4а -4ь -4ь =ЦаЬЬ = УаЬг.<br>б) Теорема 1 позволяет нам перемножать только корни одинаковой степени, т.е. только корни с одинаковым показателем. Здесь же предлагается умножить корень 2-й степени из числа а на корень 3-й степени из того же числа. Как это делать, мы пока не знаем. Вернемся к этой проблеме позднее. <Д<br>Продолжим изучение свойств радикалов.<br>Теорема3. Еслиа>0,к — натуральное число ип — натуральное число, большее 1, то справедливо равенство<br>(VI)4<br>Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.<br>Это — следствие теоремы 1. В самом деле, например, для к = 3 получаем: (4а)3 = 4а-4а-4а = 4ааа . Точно так же можно рассуждать в случае любого другого натурального значения показателя к.<br>Теорема 4. Еслиа>О ип,к — натуральные числа, большие 1, то справедливо равенство<br>Иными словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней.<br>Например,%[4а =х4а; 544а =х4а; -Щ = 4а.<br>Доказательство. Как и в теореме 2, приведем краткую запись доказательства, а вы попробуйте самостоятельно сделать со-<br>Ш У81 _3=15 \1в № 2 ' '<br><br>8 Мордкович «Алгебра, 10 кл.»<br>225<br>ответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1.<br>Подготовка к доказа-    Перевод на более    Доказательство<br>тельству (введение    простой язык    <br>новых переменных)        <br>Ф17 = х;        <br>    (()")= а;    <br>    у"=а    <br>        х = у<br>Доказать: х = у        •<br>Замечание 4. Давайте переведем дух. Чему мы научились благодаря доказанным теоремам? Мы узнали, что над корнями можно осуществлять четыре операции: умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня (из корня). А как же обстоит дело со сложением и вычитанием корней? Никак. Об этом мы говорили еще в 8-м классе по поводу операции извлечения квадратного корня.<br>Например, вместо 3/8+ 27 нельзя написать 3/8 + 3/27. В самом деле, 3/8+27 =3/35, а 3/8 + 3/27 = 2 + 3=5. Но ведь очевидно, что 3/355. Будьте внимательны!<br>Самое, пожалуй, интересное свойство корней — это то, о котором пойдет речь в следующей теореме. Учитывая особую значимость этого свойства, мы позволим себе нарушить определенный стиль формулировок и доказательств, выработанный в этом параграфе, с тем чтобы формулировка теоремы 5 была немного «мягче», а ее доказательство — понятнее.<br>Теорема 5. Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится, т.е.<br>ЛР1 „ кр _п1 к<br>Ыа =Уа .<br>Например:<br>=л[а* (показатели корня и подкоренного выражения разделили на 4);<br>Л (показатели корня и подкоренного выражения разделили на 3);<br>№ = 1$а* (показатели корня и подкоренного выражения умножили на 2).<br>Доказательст во. Обозначим левую часть доказываемого равенства буквой х: "$акр = х. Тогда по определению корня должно выполняться равенство<br>х1* =ар.    (1)<br>226<br>Обозначим правую часть доказываемого тождества буквой у:<br>л/а =у.<br>Тогда по определению корня должно выполняться равенство<br>. п _~ к<br>У =а .<br>Возведем обе части последнего равенства в одну и ту же степень р; получим:<br>у4" =акр.    (2)<br>Итак (см. равенства (1) и (2)),<br>х" =а, упр =акр.<br>Сопоставляя эти два равенства, приходим к выводу, что хпр = упр, а значит, х =у, что и требовалось доказать.    О<br>Доказанная теорема позволит нам решить ту проблему, с которой мы столкнулись выше при решении примера 5, где требовалось выполнить умножение корней с разными показателями:<br>4а-%/а.<br>Вот как обычно рассуждают в подобных случаях.<br>1)    По теореме 5 в выражении 4а можно и показатель корня (т.е. число 2) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 3; получим:<br>2)    По теореме 5 в выражении л/о можно и показатель корня (т.е. число 3) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 2; получим:<br>3)    Поскольку получили корни одной и той же 6-й степени, то можно их перемножить:<br>Замечание 5. Вы не забыли, что все свойства корней, которые мы обсуждали в этом параграфе, рассмотрены нами только для случая, когда переменные принимают лишь неотрицательные значения? Почему пришлось сделать такое ограничение? Потому, что корень п-й степени из отрицательного числа не всегда имеет смысл — он определен только для нечетных значений п. Для таких значений показателя корня рассмотренные свойства корней верны и в случае отрицательных подкоренных выражений.<br>8<br>227<br>
		+
		+	<br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9: Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

2010-07-31T14:47:28Z

Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]>>Математика: Свойства корня n-й степени<metakeywords>Свойства корня n-й степени</metakeywords>'''

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

 

Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие

Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

← Предыдущая		Версия 06:40, 20 августа 2010
Строка 5:		Строка 5:
	'''§41. СВОЙСТВА КОРНЯ n-й СТЕПЕНИ'''<br>Чтобы успешно использовать на практике операцию извлечения корня, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе.<br>Все свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.		'''§41. СВОЙСТВА КОРНЯ n-й СТЕПЕНИ'''<br>Чтобы успешно использовать на практике операцию извлечения корня, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе.<br>Все свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.

-	[[Image:A10603.jpg]]'''Доказательство. '''Введем следующие обозначения: [[Image:A10604.jpg]]  Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел х, у, z выполняется равенство х-уz.<br>Так как [[Image:A10605.jpg]]<br>Итак, [[Image:A10606.jpg]] Но если степени двух неотрицательных чисел равны и показатели степеней равны, то равны и основания степеней; значит, из равенства x<sup>n</sup> =(уz)<sup>п</sup> следует, что х-уz, а это и требовалось доказать.    <br>Приведем краткую запись доказательства теоремы.	+	[[Image:A10603.jpg
		+
		+	'''Доказательство. '''Введем следующие обозначения: [[Image:A10604.jpg]]  Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел х, у, z выполняется равенство х-уz.<br>Так как [[Image:A10605.jpg]]<br>Итак, [[Image:A10606.jpg]] Но если степени двух неотрицательных чисел равны и показатели степеней равны, то равны и основания степеней; значит, из равенства x<sup>n</sup> =(уz)<sup>п</sup> следует, что х-уz, а это и требовалось доказать.    <br>Приведем краткую запись доказательства теоремы.

	[[Image:A10607.jpg]]<br>'''Замечания:'''		[[Image:A10607.jpg]]<br>'''Замечания:'''
Строка 29:		Строка 31:
	[[Image:A10634.jpg]]  (показатели корня и подкоренного выражения разделили на 3);		[[Image:A10634.jpg]]  (показатели корня и подкоренного выражения разделили на 3);

-	[[Image:A10635.jpg]]  (показатели корня и подкоренного выражения умножили на 2).<br>'''Доказательство.''' Обозначим левую часть доказываемого равенства буквой [[Image:~~a10636~~.jpg]] Тогда по определению корня должно выполняться равенство	+	[[Image:A10635.jpg]]  (показатели корня и подкоренного выражения умножили на 2).<br>'''Доказательство.''' Обозначим левую часть доказываемого равенства буквой [[Image:A10636.jpg]] Тогда по определению корня должно выполняться равенство

-	[[Image:~~a10637~~.jpg]]<br>Обозначим правую часть доказываемого тождества буквой у:	+	[[Image:A10637.jpg]]<br>Обозначим правую часть доказываемого тождества буквой у:

-	[[Image:~~a10638~~.jpg]]<br>Тогда по определению корня должно выполняться равенство [[Image:~~a10639~~.jpg]]	+	[[Image:A10638.jpg]]<br>Тогда по определению корня должно выполняться равенство [[Image:A10639.jpg]]

-	Возведем обе части последнего равенства в одну и ту же степень р; получим:	+	Возведем обе части последнего равенства в одну и ту же степень р; получим:

-	[[Image:~~a10640~~.jpg]]<br>Итак (см. равенства (1) и (2)),	+	[[Image:A10640.jpg]]<br>Итак (см. равенства (1) и (2)),

-	[[Image:~~a10641~~.jpg]]<br>Сопоставляя эти два равенства, приходим к выводу, что х<sup>nр</sup> = у<sup>nр</sup>, а значит, х =у, что и требовалось доказать.   <br>Доказанная теорема позволит нам решить ту проблему, с которой мы столкнулись выше при решении примера 5, где требовалось выполнить умножение корней с разными показателями:	+	[[Image:A10641.jpg]]<br>Сопоставляя эти два равенства, приходим к выводу, что х<sup>nр</sup> = у<sup>nр</sup>, а значит, х =у, что и требовалось доказать.   <br>Доказанная теорема позволит нам решить ту проблему, с которой мы столкнулись выше при решении примера 5, где требовалось выполнить умножение корней с разными показателями:

-	[[Image:~~a10642~~.jpg]]<br>Вот как обычно рассуждают в подобных случаях.<br>1)    По теореме 5 в выражении [[Image:~~a10643~~.jpg]] можно и показатель корня (т.е. число 2) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 3; получим: [[Image:~~a10644~~.jpg]]<br>2)    По теореме 5 в выражении [[Image:~~a10645~~.jpg]] можно и показатель корня (т.е. число 3) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 2; получим: [[Image:~~a10646~~.jpg]]<br>3)    Поскольку получили корни одной и той же 6-й степени, то можно их перемножить: [[Image:~~a10647~~.jpg]]<br>'''Замечание 5. '''Вы не забыли, что все свойства корней, которые мы обсуждали в этом параграфе, рассмотрены нами только для случая, когда переменные принимают лишь неотрицательные значения? Почему пришлось сделать такое ограничение? Потому, что корень п-й степени из отрицательного числа не всегда имеет смысл — он определен только для нечетных значений п. Для таких значений показателя корня рассмотренные свойства корней верны и в случае отрицательных подкоренных выражений.<br><br>	+	[[Image:A10642.jpg]]<br>Вот как обычно рассуждают в подобных случаях.<br>1)    По теореме 5 в выражении [[Image:A10643.jpg]] можно и показатель корня (т.е. число 2) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 3; получим: [[Image:A10644.jpg]]<br>2)    По теореме 5 в выражении [[Image:A10645.jpg]] можно и показатель корня (т.е. число 3) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 2; получим: [[Image:A10646.jpg]]<br>3)    Поскольку получили корни одной и той же 6-й степени, то можно их перемножить: [[Image:A10647.jpg]]<br>'''Замечание 5. '''Вы не забыли, что все свойства корней, которые мы обсуждали в этом параграфе, рассмотрены нами только для случая, когда переменные принимают лишь неотрицательные значения? Почему пришлось сделать такое ограничение? Потому, что корень п-й степени из отрицательного числа не всегда имеет смысл — он определен только для нечетных значений п. Для таких значений показателя корня рассмотренные свойства корней верны и в случае отрицательных подкоренных выражений.<br><br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс