Свойства логарифмов - История изменений

User17 в 19:39, 6 августа 2012

2012-08-06T19:39:46Z

← Предыдущая		Версия 19:39, 6 августа 2012
Строка 1:		Строка 1:
-	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 10 класс, урок, на Тему, Свойства логарифмов</metakeywords>	+	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 10 класс, урок, на Тему, Свойства логарифмов, Понятие логарифма, степень</metakeywords>

	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>> Свойства логарифмов'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>> Свойства логарифмов'''
Строка 5:		Строка 5:
	<br>		<br>

-	'''Свойства логарифмов'''	+	'''Свойства логарифмов'''

-	<br>B предыдущих параграфах мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию, изучили свойства функции у=log<sub>a</sub>x, построили ее график. Но, чтобы успешно использовать на практике операцию логарифмирования, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе. Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов. Впрочем, два свойства доказательства не требуют, они представляют собой запись на математическом языке определения логарифма как показателя степени, мы ими уже пользовались:	+	<br>B предыдущих параграфах мы ввели понятие '''[[Понятие логарифма\|логарифма]]''' положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию, изучили свойства функции у=log<sub>a</sub>x, построили ее график. Но, чтобы успешно использовать на практике операцию логарифмирования, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе. Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов. Впрочем, два свойства доказательства не требуют, они представляют собой запись на математическом языке определения логарифма как показателя '''[[Свойства степени с натуральным показателем\|степени]]''', мы ими уже пользовались:

-	[[Image:Qw385.jpg]]<br>'''Теорема 1.''' Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:	+	[[Image:Qw385.jpg\|180px\|Формула]]<br>'''Теорема 1.''' Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:

-	[[Image:Qw386.jpg]]<br>~~'''~~Например~~'''~~,	+	[[Image:Qw386.jpg\|180px\|Формула]]<br>Например,

-	[[Image:Qw387.jpg]]	+	[[Image:Qw387.jpg\|320px\|Задание]]

-	'''Доказательство.''' Введем следующие обозначения: ~~[[Image:Qw388.jpg]]. Нам надо доказать, что выполняется равенство х = у+z.~~	+	'''Доказательство.''' Введем следующие обозначения:

-	[[Image:~~Qw389~~.jpg]]<br>Но если степени двух положительных чисел равны и основания степеней равны и отличны от 1, то равны и показатели степеней: у+z = х, что и требовалось доказать.   <br>Приведем краткую запись доказательства теоремы.<br>[[Image:Qw390.jpg]]<br>Подготовка к доказательству (введение новых переменных)    Перевод на более простой язык    Доказательство<br>'''Замечания: 1.''' Математики считают, что теорему 1 можно не доказывать. Ведь что такое логарифм, спрашивают они. И отвечают: логарифм — это показатель степени. А что делается с показателями степеней при умножении? Они складываются. Значит, логарифм произведения равен сумме логарифмов. Вот в чем состоит содержательный смысл теоремы 1.<br>'''2.'''    Теорема остается справедливой и для случая, когда логарифмируемое выражение представляет собой произведение более двух положительных чисел.<br>Например, [[Image:Qw391.jpg]]<br>'''3. '''   Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию «если.. .то» (как принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а,Ь и с — положительные числа, причем [[Image:Qw392.jpg]]то справедливо равенство [[Image:Qw393.jpg]]. Следующую теорему мы именно так и оформим.<br>'''Теорема 2. '''Если а,b с — положительные числа, причем [[Image:Qw392.jpg]], то справедливо равенство:<br>[[Image:Qw394.jpg]]<br>Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя или логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя.<br>Например,	+	[[Image:Qw388.jpg\|240px\|Задание]].

-	[[Image:Qw395.jpg]]<br>'''Доказательство. '''Мы приведем краткую запись доказательства, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1, а также дать содержательное истолкование теоремы 2 подобно тому, как это сделано в замечании 1.	+	Нам надо доказать, что выполняется равенство х = у+z.

-	[[Image:~~Qw396~~.jpg]]<br>Подготовка к доказательству (введение новых переменных)    Перевод на более простой язык    Доказательство<br>'''Теорема 3. '''Если а,Ь — положительные числа, причем [[Image:Qw392.jpg]], то для любого числа г справедливо равенство:	+	[[Image:Qw389.jpg\|240px\|Задание]]

-	~~[[Image:Qw397.jpg]]~~<br>~~Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм~~ степени ~~равен произведению показателя степени на логарифм~~ основания ~~степени.<br>Например~~,~~<br>[[Image~~:~~Qw398.jpg]]<br>'''Доказательство.''' Приведем краткую запись доказательства~~, ~~а вы, как~~ и при доказательстве теоремы 2, попробуйте сделать соответствующие комментарии по аналогии с теоремой 1 и замечанием 1.	+	<br>Но если степени двух положительных чисел равны и основания степеней равны и отличны от 1, то равны и показатели степеней: у+z = х, что и требовалось доказать.

-	~~[[Image:Qw399~~.~~jpg]]<br><br>~~	+	Приведем краткую запись доказательства теоремы.

-	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс	+	<br>[[Image:Qw390.jpg\|480px\|Таблица]]
		+
		+	<br>'''Замечания: 1.''' Математики считают, что теорему 1 можно не доказывать. Ведь что такое логарифм, спрашивают они. И отвечают: логарифм — это показатель степени. А что делается с показателями степеней при умножении? Они складываются. Значит, логарифм произведения равен сумме логарифмов. Вот в чем состоит содержательный смысл теоремы 1.
		+
		+	'''2.'''    Теорема остается справедливой и для случая, когда логарифмируемое выражение представляет собой произведение более двух положительных чисел.
		+
		+	Например,
		+
		+	[[Image:Qw391.jpg\|320px\|Задание]]
		+
		+	<br>'''3. '''   Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию «если.. .то» (как принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а,Ь и с — положительные числа, причем [[Image:Qw392.jpg]]то справедливо равенство
		+
		+	[[Image:Qw393.jpg\|180px\|Задание]].
		+
		+	Следующую теорему мы именно так и оформим.
		+
		+	<br>'''Теорема 2. '''Если а,b с — положительные числа, причем [[Image:Qw392.jpg]], то справедливо равенство:
		+
		+	[[Image:Qw394.jpg\|180px\|Равенство]]
		+
		+	Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя или логарифм '''[[Основное свойство алгебраической дроби\|дроби]]''' равен разности логарифмов числителя и знаменателя.<br>Например,
		+
		+	[[Image:Qw395.jpg\|320px\|Задание]]
		+
		+	<br>'''Доказательство. '''Мы приведем краткую запись доказательства, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1, а также дать содержательное истолкование теоремы 2 подобно тому, как это сделано в замечании 1.
		+
		+
		+
		+	[[Image:Qw396.jpg\|480px\|Таблица]]
		+
		+	<br>Подготовка к доказательству (введение новых переменных)    Перевод на более простой язык    Доказательство<br>'''Теорема 3. '''Если а,Ь — положительные числа, причем [[Image:Qw392.jpg]], то для любого числа г справедливо равенство:
		+
		+	[[Image:Qw397.jpg\|180px\|Формула]]<br>Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
		+
		+	Например,
		+
		+	<br>[[Image:Qw398.jpg\|240px\|Задание]]
		+
		+	<br>'''Доказательство.''' Приведем краткую запись доказательства, а вы, как и при доказательстве теоремы 2, попробуйте сделать соответствующие комментарии по аналогии с теоремой 1 и замечанием 1.
		+
		+	[[Image:Qw399.jpg\|480px\|Таблица]]<br><br>
		+
		+	''А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс''

	<br>		<br>

User17 в 19:07, 6 августа 2012

2012-08-06T19:07:31Z

← Предыдущая		Версия 19:07, 6 августа 2012
Строка 5:		Строка 5:
	<br>		<br>

-	'''Свойства логарифмов'''<br>B предыдущих параграфах мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию, изучили свойства функции у=log<sub>a</sub>x, построили ее график. Но, чтобы успешно использовать на практике операцию логарифмирования, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе. Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов. Впрочем, два свойства доказательства не требуют, они представляют собой запись на математическом языке определения логарифма как показателя степени, мы ими уже пользовались:	+	'''Свойства логарифмов'''
		+
		+	<br>B предыдущих параграфах мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию, изучили свойства функции у=log<sub>a</sub>x, построили ее график. Но, чтобы успешно использовать на практике операцию логарифмирования, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе. Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов. Впрочем, два свойства доказательства не требуют, они представляют собой запись на математическом языке определения логарифма как показателя степени, мы ими уже пользовались:

	[[Image:Qw385.jpg]]<br>'''Теорема 1.''' Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:		[[Image:Qw385.jpg]]<br>'''Теорема 1.''' Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:
Строка 17:		Строка 19:
	[[Image:Qw389.jpg]]<br>Но если степени двух положительных чисел равны и основания степеней равны и отличны от 1, то равны и показатели степеней: у+z = х, что и требовалось доказать.   <br>Приведем краткую запись доказательства теоремы.<br>[[Image:Qw390.jpg]]<br>Подготовка к доказательству (введение новых переменных)    Перевод на более простой язык    Доказательство<br>'''Замечания: 1.''' Математики считают, что теорему 1 можно не доказывать. Ведь что такое логарифм, спрашивают они. И отвечают: логарифм — это показатель степени. А что делается с показателями степеней при умножении? Они складываются. Значит, логарифм произведения равен сумме логарифмов. Вот в чем состоит содержательный смысл теоремы 1.<br>'''2.'''    Теорема остается справедливой и для случая, когда логарифмируемое выражение представляет собой произведение более двух положительных чисел.<br>Например, [[Image:Qw391.jpg]]<br>'''3. '''   Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию «если.. .то» (как принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а,Ь и с — положительные числа, причем [[Image:Qw392.jpg]]то справедливо равенство [[Image:Qw393.jpg]]. Следующую теорему мы именно так и оформим.<br>'''Теорема 2. '''Если а,b с — положительные числа, причем [[Image:Qw392.jpg]], то справедливо равенство:<br>[[Image:Qw394.jpg]]<br>Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя или логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя.<br>Например,		[[Image:Qw389.jpg]]<br>Но если степени двух положительных чисел равны и основания степеней равны и отличны от 1, то равны и показатели степеней: у+z = х, что и требовалось доказать.   <br>Приведем краткую запись доказательства теоремы.<br>[[Image:Qw390.jpg]]<br>Подготовка к доказательству (введение новых переменных)    Перевод на более простой язык    Доказательство<br>'''Замечания: 1.''' Математики считают, что теорему 1 можно не доказывать. Ведь что такое логарифм, спрашивают они. И отвечают: логарифм — это показатель степени. А что делается с показателями степеней при умножении? Они складываются. Значит, логарифм произведения равен сумме логарифмов. Вот в чем состоит содержательный смысл теоремы 1.<br>'''2.'''    Теорема остается справедливой и для случая, когда логарифмируемое выражение представляет собой произведение более двух положительных чисел.<br>Например, [[Image:Qw391.jpg]]<br>'''3. '''   Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию «если.. .то» (как принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а,Ь и с — положительные числа, причем [[Image:Qw392.jpg]]то справедливо равенство [[Image:Qw393.jpg]]. Следующую теорему мы именно так и оформим.<br>'''Теорема 2. '''Если а,b с — положительные числа, причем [[Image:Qw392.jpg]], то справедливо равенство:<br>[[Image:Qw394.jpg]]<br>Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя или логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя.<br>Например,

-	[[Image:Qw395.jpg]]<br>'''Доказательство. '''Мы приведем краткую запись доказательства, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1, а также дать содержательное истолкование теоремы 2 подобно тому, как это сделано в замечании 1.	+	[[Image:Qw395.jpg]]<br>'''Доказательство. '''Мы приведем краткую запись доказательства, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1, а также дать содержательное истолкование теоремы 2 подобно тому, как это сделано в замечании 1.

-	[[Image:~~qw396~~.jpg]]<br>Подготовка к доказательству (введение новых переменных)    Перевод на более простой язык    Доказательство<br>'''Теорема 3. '''Если а,Ь — положительные числа, причем [[Image:~~qw392~~.jpg]], то для любого числа г справедливо равенство:	+	[[Image:Qw396.jpg]]<br>Подготовка к доказательству (введение новых переменных)    Перевод на более простой язык    Доказательство<br>'''Теорема 3. '''Если а,Ь — положительные числа, причем [[Image:Qw392.jpg]], то для любого числа г справедливо равенство:

-	[[Image:~~qw397~~.jpg]]<br>Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.<br>Например,<br>[[Image:~~qw398~~.jpg]]<br>'''Доказательство.''' Приведем краткую запись доказательства, а вы, как и при доказательстве теоремы 2, попробуйте сделать соответствующие комментарии по аналогии с теоремой 1 и замечанием 1.	+	[[Image:Qw397.jpg]]<br>Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.<br>Например,<br>[[Image:Qw398.jpg]]<br>'''Доказательство.''' Приведем краткую запись доказательства, а вы, как и при доказательстве теоремы 2, попробуйте сделать соответствующие комментарии по аналогии с теоремой 1 и замечанием 1.

-	[[Image:~~qw399~~.jpg]]<br><br>	+	[[Image:Qw399.jpg]]<br><br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User17 в 10:30, 6 августа 2012

2012-08-06T10:30:25Z

← Предыдущая		Версия 10:30, 6 августа 2012
Строка 1:		Строка 1:
-	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>~~Математика:~~ Свойства логарифмов~~<metakeywords>Свойства логарифмов</metakeywords>~~'''	+	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 10 класс, урок, на Тему, Свойства логарифмов</metakeywords>
		+
		+	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>> Свойства логарифмов'''

	<br>		<br>

-	'''~~ СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ~~'''<br>B предыдущих параграфах мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию, изучили свойства функции у=log<sub>a</sub>x, построили ее график. Но, чтобы успешно использовать на практике операцию логарифмирования, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе. Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов. Впрочем, два свойства доказательства не требуют, они представляют собой запись на математическом языке определения логарифма как показателя степени, мы ими уже пользовались:	+	'''Свойства логарифмов'''<br>B предыдущих параграфах мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию, изучили свойства функции у=log<sub>a</sub>x, построили ее график. Но, чтобы успешно использовать на практике операцию логарифмирования, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе. Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов. Впрочем, два свойства доказательства не требуют, они представляют собой запись на математическом языке определения логарифма как показателя степени, мы ими уже пользовались:

	[[Image:Qw385.jpg]]<br>'''Теорема 1.''' Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:		[[Image:Qw385.jpg]]<br>'''Теорема 1.''' Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:
Строка 27:		Строка 29:
	<br>		<br>

-	<sub>~~Материалы~~ по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], ~~задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике~~ [[Математика\|скачать]]</sub>	+	<br> <br> <sub>Календарно-тематическое планирование по математике, [http://xvatit.com/it/audio_television/ '''видео'''] по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], Математика в школе [[Математика\|скачать]]</sub>

	'''<u>Содержание урока</u>'''		'''<u>Содержание урока</u>'''

User9 в 06:01, 28 сентября 2010

2010-09-28T06:01:35Z

← Предыдущая		Версия 06:01, 28 сентября 2010
Строка 13:		Строка 13:
	'''Доказательство.''' Введем следующие обозначения: [[Image:Qw388.jpg]]. Нам надо доказать, что выполняется равенство х = у+z.		'''Доказательство.''' Введем следующие обозначения: [[Image:Qw388.jpg]]. Нам надо доказать, что выполняется равенство х = у+z.

-	[[Image:Qw389.jpg]]<br>Но если степени двух положительных чисел равны и основания степеней равны и отличны от 1, то равны и показатели степеней: у+z = х, что и требовалось доказать.   <br>Приведем краткую запись доказательства теоремы.<br>[[Image:~~qw390~~.jpg]]<br>Подготовка к доказательству (введение новых переменных)    Перевод на более простой язык    Доказательство<br>'''Замечания: 1.''' Математики считают, что теорему 1 можно не доказывать. Ведь что такое логарифм, спрашивают они. И отвечают: логарифм — это показатель степени. А что делается с показателями степеней при умножении? Они складываются. Значит, логарифм произведения равен сумме логарифмов. Вот в чем состоит содержательный смысл теоремы 1.<br>'''2.'''    Теорема остается справедливой и для случая, когда логарифмируемое выражение представляет собой произведение более двух положительных чисел.<br>Например, [[Image:~~qw391~~.jpg]]<br>'''3. '''   Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию «если.. .то» (как принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а,Ь и с — положительные числа, причем [[Image:~~qw392~~.jpg]]то справедливо равенство [[Image:~~qw393~~.jpg]]. Следующую теорему мы именно так и оформим.<br>'''Теорема 2. '''Если а,b с — положительные числа, причем [[Image:~~qw392~~.jpg]], то справедливо равенство:<br>[[Image:~~qw394~~.jpg]]<br>Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя или логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя.<br>Например,	+	[[Image:Qw389.jpg]]<br>Но если степени двух положительных чисел равны и основания степеней равны и отличны от 1, то равны и показатели степеней: у+z = х, что и требовалось доказать.   <br>Приведем краткую запись доказательства теоремы.<br>[[Image:Qw390.jpg]]<br>Подготовка к доказательству (введение новых переменных)    Перевод на более простой язык    Доказательство<br>'''Замечания: 1.''' Математики считают, что теорему 1 можно не доказывать. Ведь что такое логарифм, спрашивают они. И отвечают: логарифм — это показатель степени. А что делается с показателями степеней при умножении? Они складываются. Значит, логарифм произведения равен сумме логарифмов. Вот в чем состоит содержательный смысл теоремы 1.<br>'''2.'''    Теорема остается справедливой и для случая, когда логарифмируемое выражение представляет собой произведение более двух положительных чисел.<br>Например, [[Image:Qw391.jpg]]<br>'''3. '''   Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию «если.. .то» (как принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а,Ь и с — положительные числа, причем [[Image:Qw392.jpg]]то справедливо равенство [[Image:Qw393.jpg]]. Следующую теорему мы именно так и оформим.<br>'''Теорема 2. '''Если а,b с — положительные числа, причем [[Image:Qw392.jpg]], то справедливо равенство:<br>[[Image:Qw394.jpg]]<br>Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя или логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя.<br>Например,

-	[[Image:qw395.jpg]]<br>'''Доказательство. '''Мы приведем краткую запись доказательства, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1, а также дать содержательное истолкование теоремы 2 подобно тому, как это сделано в замечании 1.<br>271<br>Подготовка к доказательству (введение новых переменных)    Перевод на более простой язык    Доказательство<br>1 Ь с    ах=-с    а' =а':а' \<br>1о ёаЪ = у    а"=Ь    а'=ау~'<br>1о 8ас = г    а'=с    х=у-г !<br>Доказать: х = у-г        <br>Теорема 3. Если а,Ь — положительные числа, причем аФ 1, то для любого числа г справедливо равенство:<br>1о8я Ьт =г1ое„ Ь.<br>Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.<br>Например,<br>1ое,25=1ое, 52 =21ое, 5;<br>2 2 2<br>18- = 18б-1 =-185;<br>5<br>31ое25=1ое2 53 =1ое2125.<br>Доказательство. Приведем краткую запись доказательства, а вы, как и при доказательстве теоремы 2, попробуйте сделать соответствующие комментарии по аналогии с теоремой 1 и замечанием 1.<br>Подготовка к доказательству    Перевод на более    Доказательство !<br>(введение новых переменных)    простои язык    <br>1оеаЬг=х    а" =ЬГ    а" =(а"У<br>1о ёаЬ = у    ау =Ъ    а'^а™ \<br>Доказать: ж=гу        х = гу !<br>Пример 1. Известно, что положительные числа х,у, г,1 связаны соотно-уг3<br>шением    Выразить 1оё„ х через логарифмы по основанию а чисел<br>У, г, I.    «.<br>Решение. 1) Логарифм дроби равен разности логарифмов числителя<br>г/г3<br>и знаменателя. Значит, 1оё„ ~3г=~ = \о&а(уг3)- 1о(»в 41.<br>272<br>2)    Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей. Зна-чит, 1оёа (Уг3) = 1ое„ у + 1оёа г3.<br>3)    Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени. Значит,<br>1 I<br>\оёаг3=31оеаг; 1ое„^ = 1ое„3 =- 1ов.«.<br>4)    В итоге получаем:<br>\оёа х = \оёа(уг3)-\ова V = 1ое„ У + 1ое„ г3 ~ 1ое„ * =<br>3<br>= \о&ау + г\о%„г-\\о&аг.<br>о<br>При наличии определенного опыта решение примера можно не разбивать на последовательные этапы, а оформить его так:<br>иг3    1<br>\оеах=\оеамщ-=1оеау+1ое<1г3 -1ое„3 =<br>=1оевг/+31ое„г-^1ое0(.    <н]<br>о<br>Еще раз подчеркнем, что все свойства логарифмов мы получили при условии, что переменные принимают положительные значения. А как быть, если про знак переменной ничего не известно? Можно ли, например, написать, что 1&х2 =21§х, если о знаке числа ничего не известно? Отвечаем: нельзя, поскольку при х <0 левая часть равенства определена, а правая не определена. Как же быть в таком случае? Нас выручит знак модуля. Поскольку ас2 = \|дс\| и \|ж\| >0 при * то верное равенство выглядит так: \%х2 =21&\|х\. Это частный случай общей формулы    ^ # -<br>1о8я 2п =2»1ов.Ы (пег).<br>Помните и о том, что заменять выражение 1оёаЬс выражением 1о§а Ь+1о&а смы имеем право лишь в случае, когдаб >0 ис >0. Если мы в этом не уверены, но знаем, что Ьс >0, то, поскольку в этом случае выполняется равенство Ьс = \| Ь \| • \|с \|, следует использовать формулу 1о8вЬс=1о8в\|Ь\|+1о8в\|с\|.<br>Если некоторое выражение А составлено из положительных чисел х,у,гс помощью операций умножения, деления и возведения в степень, то, используя свойства логарифмов, можно выразить 1о§а А через логарифмы чисел х, у, г. Такое преобразование называют логарифмированием (см. пример 1). Ценность операции логарифмирования состоит в том, что она позволяет сводить вычисления 8 операциям более низкого порядка: произведение, частное, степень заменяются соответственно на сумму, разность, произведение.<br>10 Мордкович «Алгебра, 10 кл.»<br>273<br>Иногда приходится решать обратную задачу: находить выражение, логарифм которого представлен через логарифмы некоторых чисел. Такое преобразование называют потенцированием. При этом используется следующее утверждение:<br>Теорема 4. Равенство 1ое„ = 1ое„ в, где а>0, а * 1,4 > О, в > О, справедливо тогда и только тогда, когда 1=8.<br>Это достаточно очевидное следствие монотонности логарифмической функции.<br>Пример 2. Известно, что * = 218 у -18 г + 0,518- Выразить через у, г, г.<br>Решение. Имеем последовательно:<br>2189 = 18 0; 0,518 = 18'0,6 =18 V;<br>218 У -18 г + 0,518 (= 18 У2 +18 ^ -18 г = ^^ •<br>г<br>2 П    2. Г2<br>Итак, = -и, следовательно, х = 18--.    <И<br>г    г<br>Пример 3. Известно, что 1о&3 2 = а. Вычислить 1о&36,75.<br>Решение. Выразим число 6,75 через числа 3 и 2 (3 — основание логарифма, 2 — заданное в условии логарифмируемое число) с помощью операций умножения, деления и возведения в степень:<br>„„г 3 27 З3 6,75=6- = — = -г.<br>4 4 2й<br>Далее находим:<br>1ое36,75 = 1оег<br>Ззл<br>= 1ое333 -1ое322=3-21ое32=3-2а.<br>г2<br>V<br>Ответ: 1о&3 6,75=3 -2а.<br>Пример 4. Вычислить 491-0,251(417 25 . Решение. Поработаем с показателем степени:<br>1 -0,251ое7 25 = 1ое7 7 - 1ое7 254 = 1ое7 7 - 1ое7 =<br>у<br>=1ое7 7 - 1ое7 -Л=1ое7 Теперь заданное числовое выражение мы можем записать в виде 49<br>Далее находим<br>49"4 ^т* =7ЧЙ = 7'°"Т.<br>1 ь    ®7 49<br>Остается вспомнить, что а —Ь. Значит, 7 5 =—=9,8.<br>5<br>Ответ: 9$.<br>Пример 5. Положительное число а записано в стандартном виде: а = а0 ■ 10", где 1 <а0 < 10 и п — целое число. Найти десятичный логарифм числа а.<br>274<br>Решение. 18а=18(а010,')=18а0 +1810* =1еа0 +п.<br>Таким образом, 1еа =п + 1е а0.<br>Проанализируем полученный результат. По условию 1<о0 < 10, значит, в силу возрастания функции у = имеем: 1§1<1§а0 <1§10, т.е. 0<1ё«0<br>Таким образом, нам удалось представить а в виде суммы целого числа п и числа 1§о0, заключенного в промежутке [0, 1). Это значит, что п — целая часть числа а, а1§а0 — дробная часть числа о.<br>Обычно целую часть числа а называют характеристикой десятичного логарифма числа а, а дробную часть числа 1% а называют мантиссой десятичного логарифма числа а.<br>Математики, как вы знаете, ничего просто так не делают; если уж они выделили десятичные логарифмы, ввели термины «характеристика» и «мантисса», значит, с определенной целью. С какой? Для ответа на этот вопрос рассмотрим пример: вычислить 70, 16 700,700 000,0,007, если известно, что 1§7 =0,8451.<br>Имеем:<br>1§70 = 1§(7-10) = 1§7+ 1§10 =0,8451+1 = Ш51;<br>1§700 = 1§(7 • 102) = 1§7+102 = 0,8451+2 = 2,8451;<br>700 000 = 1^(7 • 105) = 1§7+105 = 0,8451+5=5,8451;<br>1§0,007 = 1§(7 • 10"3) = 1§7+^Ю"3 =0,8451-3=-2,1549.<br>Таким образом, возвращаясь к решению примера 5, достаточно составить таблицу десятичных логарифмов чисел, заключенных в промежутке [1,10), чтобы с ее помощью и с помощью стандартного вида положительного числа вычислять десяфганые логарифмы любых положительных чисел.<br>Завершая этот параграф, рассмотрим занимательный пример, где используются десятичные логарифмы.<br>Пример 6. Сколько цифр содержит число 7100 ?<br>Решение. Часто начинают решать эту задачу « в лоб»: возводят число 7 постепенно в 1, 2,3-ю и т.д. степень и пытаются увидеть закономерность. Имеем:<br>Т = 7 (одна цифра), 7* - 49 (две цифры), 7' = 343 (три цифры), 74 =2401 (четыре цифры), Т = 16 807 (пять цифр), 7* = 117 649 (шесть цифр). Возникает естественная гипотеза: каков показатель степени, столько цифр в результате. Но эта гипотеза рушится уже на следующем шаге: 77 = 823 543 — в этом числе не 7, а 6 цифр. Так что метод перебора и угадывания здесь не срабатывает.<br>Поступим по-другому: вычислим десятичный логарифм числа 7100. Имеем: 1е7100 =100 1^7 = 100 03451 =84,51.<br>Видим, что характеристика логарифма равна 84. Значит, порядок числа 7100 равен 84, а потому в числе 7100 85 цифр.<br>Ответ: 85 цифр.<br>275	+	[[Image:Qw395.jpg]]<br>'''Доказательство. '''Мы приведем краткую запись доказательства, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1, а также дать содержательное истолкование теоремы 2 подобно тому, как это сделано в замечании 1.
		+
		+	[[Image:qw396.jpg]]<br>Подготовка к доказательству (введение новых переменных)    Перевод на более простой язык    Доказательство<br>'''Теорема 3. '''Если а,Ь — положительные числа, причем [[Image:qw392.jpg]], то для любого числа г справедливо равенство:
		+
		+	[[Image:qw397.jpg]]<br>Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.<br>Например,<br>[[Image:qw398.jpg]]<br>'''Доказательство.''' Приведем краткую запись доказательства, а вы, как и при доказательстве теоремы 2, попробуйте сделать соответствующие комментарии по аналогии с теоремой 1 и замечанием 1.
		+
		+	[[Image:qw399.jpg]]<br><br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9 в 05:57, 28 сентября 2010

2010-09-28T05:57:25Z

Внесённые изменения

User9 в 05:52, 28 сентября 2010

2010-09-28T05:52:04Z

Внесённые изменения

User9: Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

2010-08-08T06:27:16Z

Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]>>Математика: Свойства логарифмов<metakeywords>Свойства логарифмов</metakeywords>'''

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

 

Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие

Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].