Синус и косинус. Тангенс и котангенс - История изменений

User17 в 18:46, 10 октября 2012

2012-10-10T18:46:51Z

User9 в 10:16, 2 июля 2010

2010-07-02T10:16:27Z

User9 в 09:58, 2 июля 2010

2010-07-02T09:58:31Z

Внесённые изменения

User9 в 09:33, 2 июля 2010

2010-07-02T09:33:02Z

← Предыдущая		Версия 09:33, 2 июля 2010
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 9 класс\|Математика 9 класс]]>>Математика: Синус и косинус. Тангенс и котангенс<metakeywords>Синус и косинус. Тангенс и котангенс</metakeywords>'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 9 класс\|Математика 9 класс]]>>Математика: Синус и косинус. Тангенс и котангенс<metakeywords>Синус и косинус. Тангенс и котангенс</metakeywords>'''
		+
		+	<br>
		+
		+	СИНУС И КОСИНУС. ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС.<br>'''1.''' Синус и косинус.<br>Определение. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают соз t, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают зт t.<br>Итак (см.рис. 109),
		+
		+	[[Image:alg31.jpg]]<br>Вооружившись определением, вернемся к предыдущему параграфу и как бы заново перечитаем его.<br>Мы отметили в § 18, что каждая точка числовой окружности имеет в системе хОу свои координаты, причем:
		+
		+	у точек первой четверти    х > 0, у > 0;<br>у точек второй четверти    х < 0, у > 0;<br>у точек третьей четверти    х < 0, у < 0;<br>у точек четвертой четверти    х > 0, у < 0 (рис. 104).<br>Это позволяет нам составить соответствующую таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности:
		+
		+	[[Image:alg32.jpg]]<br>Мы отметили в § 18, что уравнение числовой окружности имеет вид х<sup>2</sup> + у<sup>2</sup> = 1.<br>Тем самым фактически получено важное равенство, связывающее ат t и соз t:<br>[[Image:alg33.jpg]]<br>В § 18 было отмечено, как важно научиться отыскивать координаты точек числовой окружности, прежде всего тех, что представлены на первом и втором макетах (рис. 100 и 101). Теперь эта мысль стала, думается, предельно ясной: опираясь на таблицы 1 и 2 из § 18, мы без труда составим соответствующие таблицы для вычисления значений соа t и ат t.
		+
		+	[[Image:alg34.jpg]]<br>'''Пример 1.''' Вычислить соs t и sin t, если:
		+
		+	[[Image:alg35.jpg]]<br>'''Решение:''' '''а)''' В примере 1а из § 18 мы установили, что числу [[Image:alg36.jpg]]  соответствует та же точка числовой окружности, что и
		+
		+	[[Image:alg37.jpg]]<br>'''б) '''   В примере 16 из § 18 мы установили, что числу
		+
		+	[[Image:alg38.jpg]] <br>'''Пример 2.''' Решить уравнение [[Image:alg39.jpg]]<br>
		+
		+	'''Решение.''' Учтем, что sin t — ордината точки М{<sub>1</sub>) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности 1<br>точки с ординатой - и записать, каким числам I они соответствуют. Но эта задача уже решена выше — см. пример 2 из § 18:
		+
		+	[[Image:alg310.jpg]]<br>'''Пример 3.''' Решить уравнение [[Image:alg311.jpg]]<br>'''Решение.''' Учтем, что sin t — ордината точки М{<sub>1</sub>) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности 1<br> точки с ординатой - и записать, каким числам I они соответствуют. Но эта задача уже решена выше — см. пример 3 из § 18:
		+
		+	[[Image:alg312.jpg]]<br>'''Пример 4.''' Решить уравнение:
		+
		+	[[Image:alg313.jpg]]<br>'''Р е ш е н и е. а) '''Нам нужно найти на числовой окружности точки с ординатой 0 и записать, каким числам I они соответствуют. Ординату 0 имеют точки А и С (рис. 109), они соответствуют числам 0 (точкаА), п (точка С), 2п (точка А), Зп (точка С), -п (точка С), -2л (точка А) и т.д. Короче это можно записать так: точки А и С соответствуют числам вида пк.
		+
		+	[[Image:alg314.jpg]]<br>
		+
		+	'''б) '''   Ординату 1 имеет точка В числовой окружности (рис. 109).
		+	<br>
		+	я    я<br>она соответствует числу —, а значит, и всем числам вида - + 2пк.<br>167<br>5.17.\|\|<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>Значит, решения уравнения<br>8111 1 = 1<br>имеют вид<br>Л<br>I = - + 2 пк.<br>в) Ординату -1 имеет точка Б числовой окружности (рис. 109),<br>Л<br>она соответствует числу - —, а значит, и всем числам вида<br>-К + 2 пк. 2<br>Значит, решения уравнения<br>31П I = -1<br>имеют вид<br>1 = --+2пк. (1 2<br>Пример 5. Решить уравнение:<br>а)    соз 1 = 0; б) соз 1 = 1; в) соз 1 = -1.<br>Р е ш е н и е. а) Нам нужно найти на числовой окружности точки с абсциссой 0 и записать, каким числам I они соответствуют. Абсциссу 0 имеют точки В и О (рис. 109), они соответствуют чис-<br>л    Зл    5я    7л<br>лам — (точка В), — (точка В), — (точка В), — (точка Б),<br>^    6    и    о<br>- ^ (точка Б), - — (точка В) и т.д. Короче это можно записать так:<br>с*    С<br>л<br>точки В к В соответствуют числам вида — + пк. Итак, решения уравнения<br>соз / = 0<br>имеют вид<br>я<br>I = - + пк.<br>б)    Абсциссу 1 имеет точка А числовой окружности (рис. 109), она соответствует числу 0, а значит, и всем числам вида 0 + 2пк, т.е. 2пк.<br>Значит, решения уравнения<br>соз 2=1<br>имеют вид<br>I = 271 к.<br>в)    Абсциссу -1 имеет точка С числовой окружности (рис. 109), она соответствует числу я, а значит, и всем числам вида п + 2пк.<br>168<br>5.17.\|\|<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>Значит, решения уравнения<br>сон I = -1<br>имеют вид<br>I = 71 + 2л к. <1<br>Замечание. Напомним еще раз о нашей договоренности: параметр к (или п) принимает любые целочисленные значения (к е 2 ), мы это постоянно подразумеваем, но, краткости ради, не записываем.<br>Завершая разговор о синусе и косинусе, остановимся на их свойствах.<br>Свойство 1. Для любого значения I справедливы равенства:<br>8111 {-I) = -8111 I, соз {-I) = соз I.<br>Например,<br>я \ .я 1<br>81П \|--= -8111 - =--<br>6 6 2<br>71<br>71 72<br>008 I "4 ] =С08 " = у.<br>Доказательство. Если числу I соответствует точка М числовой окружности, то числу -1 соответствует точка Р, симметричная точке М относительно горизонтального диаметра окружности (рис. 110), т.е. симметричная точке М относительно оси абсцисс. У таких точек одна и та же абсцисса, а это значит, что сое (-/) = = соз I. У таких точек равные по модулю, но противоположные по знаку ординаты; это значит, что 8Ш (-) = -зт I.<br>Свойство 2. Для любого значения 1: справедливы равенства-.<br>г    Л<br>зт (<■ + 271 к) =    81П<br>соз (1 + 2т1к) =    СОЗ 1.<br>V    У<br>Это очевидно, поскольку числам I и I + 2як соответствует одна и та же точка числовой окружности (чем мы не раз уже пользовались).<br>169<br>5.19.Ц<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>Свойство 3. Для любого значения I справедливы равенства:<br>81П (2 + 71) = -81П I, соз (2 + л) = -соз I.<br>Например,<br>7я<br>31Щ-<br>= 81П\| -+Л<br>. Я    1<br>    '5»Г\|    <br>С08    Л    = С08<br>    \ /    <br>я    я 42<br>- +Л = -С08" =--<br>4 1    4 2<br>Доказательство. Если числу I соответствует точка М числовой окружности, то числу I + л соответствует точка Р, симметричная точке М относительно центра окружности — начала координат (рис. 111). У таких точек абсциссы равны по модулю, но противоположны по знаку, и ординаты равны по модулю, но противоположны по знаку. Это значит, что<br>СО8 (2 + л) = -С08 I, 81П (I + Л) = -81П I.<br>Рис. 110<br>170<br>Рис. 111<br>5.19.<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>2. Тангенс и котангенс.<br>тангенс числа<br>котангенс числа<br>Определение. Отношение синуса числа I к косинусу того же числа называют тангенсом числа I и обозначают Отношение косинуса числа I к синусу того же числа называют котангенсом числа I и обозначают V.<br>=<br>зт I<br><br>соз I<br>соз I    зт I<br>Говоря о I, подразумевают, что сое I Ф О, т.е.<br>что IФ - + пк (см. пример 5а), а говоря о I, подразумевают, что 81П I Ф 0, т.е. что I Ф пк (см. пример 4а). Поэтому обычно определения I и сЬ§ I записывают так:<br>ВИИ    я<br>1§г = -, Где I Ф — + пк,<br>соз г    2<br>I ± ^ 003 I<br>с щг = ——, где I ф я к.<br>I _зт I_<br>Впредь, говоря о I или I, мы будем подразумевать (не записывая), что аргумент I принимает только допустимые значения:<br>я<br>IФ д + пк для I и I Ф пк для сЬ& I.<br>Опираясь на таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности (она имеется в п. 1), нетрудно составить аналогичную таблицу для тангенса и котангенса:<br>Четверть    1-я    2-я    3-я    4-я<br>1, с4е 1    +    -    +    -<br>Пример 6. Вычислить:<br>я    5я    я    5я<br>а)1§-; б)<#у; в)^^; г)с<#у.<br>в    мл    . я 72    Я 72<br>Р е ш е н и е. а) Имеем: зт ~ = — , со8~ = —<br>171<br>5.17.\|\|<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>Значит,<br>я 72 >/2 .<br>5тг 7з    1<br>б) Имеем: ат — = -—- , соа — = - (см. второй макет<br>рис. 101). Значит,<br>8<br>3 2 ' 2<br>я    я<br>в)    Имеем: ат - = 1, соа - = 0. Значит,<br>сЩ = 0:1 = 0.<br>571    1    571<br>г)    Имеем: 811 ^г = ^    = ~~2~ втоР°^ макет — рис. 101). Значит,<br>5я V3 1<br>Как видите, зная значения синуса и косинуса числа I, нетрудно вычислить соответствующие значения тангенса и котангенса. Тем не менее есть смысл составить небольшую таблицу основных значений тангенса и котангенса:<br>г    0    я 6    я 4    я 3    я 2<br>    0    7з 3    1    7з    -<br>    -    7з    1    7з 3    0<br>Свойство 1. Для любого допустимого значения I справедливы равенства'.<br>аёН)<br><br>172<br>5.17.\|\|<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>Доказательство. Воспользуемся тем, что соа (-(:) = сов I, а 81п (-1) = -81п I (см. свойство 1 из п. 1). Имеем:<br>сЪёН) --<br>вт(~1) _ - В1П I _ 8111 I соз(-4) соз I<br>соз(-4) соз I<br>зт(-г) - 8111 I<br>СОЗ I<br>соз I зтг<br>с1# и<br>Свойство 2. Для любого допустимого значения I справедливы равенства:<br>(I + л) =<br>Доказательство. Воспользуемся тем, что сое (г + я) = -соа а 81п (* + я) = -81п I (см. свойство 3 из п. 1). Имеем:<br>. . . 8111(4 + я) -81114 81114 ,<br>1ёи + л) = -= -- = -- = х&г,<br>соз(I + я) -соз I соз I<br>. , . соз(4 + я) -соз I соз I<br>+ 71) = ---- =- = - =<br>3111(4 + я) -31114 31114<br>Нетрудно доказать, что выполняются и такие равенства: (I + 2л) = 1,1ё (I - л) = I, Ц + 2л) = I<br>и вообще<br>/■-<br>(* + пк) = Ьё I, (I + пк) = I.<br>Пример 7. Вычислить:<br>а)1<br>7я 3<br>; б)с1§<br>Р е ш е н и е. а) По свойству 1,<br>5я 4~' 7я 3<br>7я<br>у . Так как далее<br>7я 3<br>2л + -, то<br>7я<br><br>173<br>5.17.\|\|<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>(мы воспользовались свойством 2, а точнее, его обобщением). Итак,<br>1<br>5я<br>(<br>б)сЛв 4-    -<br>лись свойством 2). <■]<br>: 4 = ^ (здесь мы также воспользова-<br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

User9: Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

2010-07-02T08:59:04Z

Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 9 класс|Математика 9 класс]]>>Математика: Синус и косинус. Тангенс и котангенс<metakeywords>Синус и косинус. Тангенс и котангенс</metakeywords>'''

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

 

Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие

Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

← Предыдущая		Версия 10:16, 2 июля 2010
Строка 29:		Строка 29:
	[[Image:Alg314.jpg]]<br>		[[Image:Alg314.jpg]]<br>

-	'''б) '''   Ординату 1 имеет точка В числовой окружности (рис. 109). <br> Значит, решения уравнения	+	'''б) '''   Ординату 1 имеет точка В числовой окружности (рис. 109). <br> Значит, решения уравнения

-	[[Image:~~alg315~~.jpg]]<br>'''Замечание.''' Напомним еще раз о нашей договоренности: параметр к (или п) принимает любые целочисленные значения (к е 2 ), мы это постоянно подразумеваем, но, краткости ради, не записываем.<br>Завершая разговор о синусе и косинусе, остановимся на их свойствах.<br>'''Свойство 1.''' Для любого значения I справедливы равенства:	+	[[Image:Alg315.jpg]]<br>'''Замечание.''' Напомним еще раз о нашей договоренности: параметр к (или п) принимает любые целочисленные значения (к е 2 ), мы это постоянно подразумеваем, но, краткости ради, не записываем.<br>Завершая разговор о синусе и косинусе, остановимся на их свойствах.<br>'''Свойство 1.''' Для любого значения I справедливы равенства:

-	[[Image:~~alg316~~.jpg]]<br>Доказательство. Если числу t соответствует точка М числовой окружности, то числу -1 соответствует точка Р, симметричная точке М относительно горизонтального диаметра окружности (рис. 110), т.е. симметричная точке М относительно оси абсцисс. У таких точек одна и та же абсцисса, а это значит, что сое (-t) = = соs t. У таких точек равные по модулю, но противоположные по знаку ординаты; это значит, что sin  (-t) = cos t.<br>'''Свойство 2.''' Для любого значения 1: справедливы равенства	+	[[Image:Alg316.jpg]]<br>Доказательство. Если числу t соответствует точка М числовой окружности, то числу -1 соответствует точка Р, симметричная точке М относительно горизонтального диаметра окружности (рис. 110), т.е. симметричная точке М относительно оси абсцисс. У таких точек одна и та же абсцисса, а это значит, что сое (-t) = = соs t. У таких точек равные по модулю, но противоположные по знаку ординаты; это значит, что sin  (-t) = cos t.<br>'''Свойство 2.''' Для любого значения 1: справедливы равенства

-	[[Image:~~alg317~~]]<br>Это очевидно, поскольку числам t и t + 2nк соответствует одна и та же точка числовой окружности (чем мы не раз уже пользовались).<br>'''Свойство 3. '''Для любого значения t справедливы равенства:	+	[[Image:Alg317.jpg]]<br>Это очевидно, поскольку числам t и t + 2nк соответствует одна и та же точка числовой окружности (чем мы не раз уже пользовались).<br>'''Свойство 3. '''Для любого значения t справедливы равенства:

-	[[Image:~~alg318~~.jpg]]<br>Доказательство. Если числу t соответствует точка М числовой окружности, то числу t + n соответствует точка Р, симметричная точке М относительно центра окружности — начала координат (рис. 111). У таких точек абсциссы равны по модулю, но противоположны по знаку, и ординаты равны по модулю, но противоположны по знаку. Это значит, что	+	[[Image:Alg318.jpg]]<br>Доказательство. Если числу t соответствует точка М числовой окружности, то числу t + n соответствует точка Р, симметричная точке М относительно центра окружности — начала координат (рис. 111). У таких точек абсциссы равны по модулю, но противоположны по знаку, и ординаты равны по модулю, но противоположны по знаку. Это значит, что

-	[[Image:~~alg319~~.jpg]]<br>'''2. '''Тангенс и котангенс.<br>'''Определение.''' Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют тангенсом числа t и обозначают Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t и обозначают	+	[[Image:Alg319.jpg]]<br>'''2. '''Тангенс и котангенс.<br>'''Определение.''' Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют тангенсом числа t и обозначают Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t и обозначают

-	[[Image:~~alg320~~.jpg]]<br>Впредь, говоря о t или t, мы будем подразумевать (не записывая), что аргумент t принимает только допустимые значения:	+	[[Image:Alg320.jpg]]<br>Впредь, говоря о t или t, мы будем подразумевать (не записывая), что аргумент t принимает только допустимые значения:

-	[[Image:~~alg321~~.jpg]]<br>Опираясь на таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности (она имеется в п. 1), нетрудно составить аналогичную таблицу для тангенса и котангенса:	+	[[Image:Alg321.jpg]]<br>Опираясь на таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности (она имеется в п. 1), нетрудно составить аналогичную таблицу для тангенса и котангенса:

-	[[Image:~~alg322~~.jpg]]<br>'''Пример 6.''' Вычислить:	+	[[Image:Alg322.jpg]]<br>'''Пример 6.''' Вычислить:

-	[[Image:~~alg323~~.jpg]]<br>Как видите, зная значения синуса и косинуса числа I, нетрудно вычислить соответствующие значения тангенса и котангенса. Тем не менее есть смысл составить небольшую таблицу основных значений тангенса и котангенса:	+	[[Image:Alg323.jpg]]<br>Как видите, зная значения синуса и косинуса числа I, нетрудно вычислить соответствующие значения тангенса и котангенса. Тем не менее есть смысл составить небольшую таблицу основных значений тангенса и котангенса:

-	[[Image:~~alg324~~.jpg]]<br><br>	+	[[Image:Alg324.jpg]]<br><br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс