Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций - История изменений

User17 в 07:30, 10 октября 2012

2012-10-10T07:30:04Z

User9 в 09:56, 29 июня 2010

2010-06-29T09:56:34Z

← Предыдущая		Версия 09:56, 29 июня 2010
Строка 23:		Строка 23:
	[[Image:Al728.jpg]] Поскольку вместе они выполнят всю работу (т.е. 1), составляем уравнение [[Image:Al729.jpg]] <br>По условию, ученик выполнил, трудясь в одиночку до своей болезни, 20% задания, т.е. [[Image:Al730.jpg]] часть всей работы. Сколько времени он потратил? Естественно, что [[Image:Al730.jpg]] часть того времени, которое нужно ему<br>на выполнение всей работы, т.е. [[Image:Al731.jpg]] дней. Потом пришел мастер, сделал оставшуюся работу, т.е. [[Image:Al732.jpg]]  задания, на что затратил [[Image:Al733.jpg]] дней.<br>По условию, выполнение задания растянулось на 11 дней, т.е. [[Image:Al734.jpg]]<br>Таким образом, математическая модель задачи составлена — система двух уравнений с двумя переменными [[Image:Al735.jpg]]<br>'''Второй этап.''' Работа с составленной моделью. Воспользуемся методом подстановки. Выразим у через х из второго уравнения системы: у = 55-4x. Подставим выражение 55-4x вместо у в первое уравнение системы: [[Image:Al736.jpg]] Решая это рациональное уравнение, последовательно получаем:		[[Image:Al728.jpg]] Поскольку вместе они выполнят всю работу (т.е. 1), составляем уравнение [[Image:Al729.jpg]] <br>По условию, ученик выполнил, трудясь в одиночку до своей болезни, 20% задания, т.е. [[Image:Al730.jpg]] часть всей работы. Сколько времени он потратил? Естественно, что [[Image:Al730.jpg]] часть того времени, которое нужно ему<br>на выполнение всей работы, т.е. [[Image:Al731.jpg]] дней. Потом пришел мастер, сделал оставшуюся работу, т.е. [[Image:Al732.jpg]]  задания, на что затратил [[Image:Al733.jpg]] дней.<br>По условию, выполнение задания растянулось на 11 дней, т.е. [[Image:Al734.jpg]]<br>Таким образом, математическая модель задачи составлена — система двух уравнений с двумя переменными [[Image:Al735.jpg]]<br>'''Второй этап.''' Работа с составленной моделью. Воспользуемся методом подстановки. Выразим у через х из второго уравнения системы: у = 55-4x. Подставим выражение 55-4x вместо у в первое уравнение системы: [[Image:Al736.jpg]] Решая это рациональное уравнение, последовательно получаем:

-	[[Image:Al737.jpg]] <br>Оба найденных значения удовлетворяют условию [[Image:~~al739.jpg]][[Image:Al738~~.jpg]] т.е. являются корнями рационального уравнения с переменной х. Осталось найти соответствующие значения у. Для этого воспользуемся уравнением y = 55 - 4x.  Если х = 10, то из этого уравнения находим у = 15; если [[Image:~~al740~~.jpg]] то из того же уравнения находим у = 22. Итак, составленная система уравнений имеет два решения: <br>	+	[[Image:Al737.jpg]] <br>Оба найденных значения удовлетворяют условию [[Image:Al739.jpg]] т.е. являются корнями рационального уравнения с переменной х. Осталось найти соответствующие значения у. Для этого воспользуемся уравнением y = 55 - 4x.  Если х = 10, то из этого уравнения находим у = 15; если [[Image:Al740.jpg]] то из того же уравнения находим у = 22. Итак, составленная система уравнений имеет два решения: <br>

-	[[Image:~~al741~~.jpg]]<br>'''Третий этап.''' Ответ на вопрос задачи.<br>По условию, количество дней, необходимых как мастеру, так и ученику для выполнения в одиночку всего задания, выражается целым числом. Значит, пара [[Image:~~al742~~.jpg]] нас не устраивает. Остается<br>лишь одна возможность: х = 10, у = 15. <br>	+	[[Image:Al741.jpg]]<br>'''Третий этап.''' Ответ на вопрос задачи.<br>По условию, количество дней, необходимых как мастеру, так и ученику для выполнения в одиночку всего задания, выражается целым числом. Значит, пара [[Image:Al742.jpg]] нас не устраивает. Остается<br>лишь одна возможность: х = 10, у = 15. <br>

	'''О т в е т:''' 10 дней; 15 дней.<br>'''''Замечание.''''' Обратите внимание на то, что, решая системы уравнений, составленные в рассмотренных задачах, мы применили все методы, о которых шла речь в предыдущем параграфе: и подстановки, и алгебраического сложения, и введения новых переменных.<br>		'''О т в е т:''' 10 дней; 15 дней.<br>'''''Замечание.''''' Обратите внимание на то, что, решая системы уравнений, составленные в рассмотренных задачах, мы применили все методы, о которых шла речь в предыдущем параграфе: и подстановки, и алгебраического сложения, и введения новых переменных.<br>

User9 в 09:49, 29 июня 2010

2010-06-29T09:49:16Z

← Предыдущая		Версия 09:49, 29 июня 2010
Строка 21:		Строка 21:
	Итак, [[Image:Al725.jpg]] — доля работы, которую выполняет мастер за 1 день, [[Image:Al726.jpg]] доля работы, которую выполняет ученик за 1 день.<br>По условию, работая вместе, мастер и ученик могли бы выполнить всю работу за 6 дней. Доля работы мастера за 6 дней выражается формулой — [[Image:Al727.jpg]] Доля работы ученика за 6 дней выражается формулой<br>		Итак, [[Image:Al725.jpg]] — доля работы, которую выполняет мастер за 1 день, [[Image:Al726.jpg]] доля работы, которую выполняет ученик за 1 день.<br>По условию, работая вместе, мастер и ученик могли бы выполнить всю работу за 6 дней. Доля работы мастера за 6 дней выражается формулой — [[Image:Al727.jpg]] Доля работы ученика за 6 дней выражается формулой<br>

-	[[Image:Al728.jpg]] Поскольку вместе они выполнят всю работу (т.е. 1), составляем уравнение [[Image:Al729.jpg]] <br>По условию, ученик выполнил, трудясь в одиночку до своей болезни, 20% задания, т.е. [[Image:Al730.jpg]] часть всей работы. Сколько времени он потратил? Естественно, что [[Image:Al730.jpg]] часть того времени, которое нужно ему<br>на выполнение всей работы, т.е. [[Image:Al731.jpg]] дней. Потом пришел мастер, сделал оставшуюся работу, т.е. [[Image:Al732.jpg]]  задания, на что затратил [[Image:Al733.jpg]] дней.<br>По условию, выполнение задания растянулось на 11 дней, т.е. [[Image:Al734.jpg]]<br>Таким образом, математическая модель задачи составлена — система двух уравнений с двумя переменными [[Image:Al735.jpg]]<br>'''Второй этап.''' Работа с составленной моделью. Воспользуемся методом подстановки. Выразим у через х из второго уравнения системы: у = 55-4x. Подставим выражение 55-4x вместо у в первое уравнение системы: [[Image:~~al736~~.jpg]] Решая это рациональное уравнение, последовательно получаем:	+	[[Image:Al728.jpg]] Поскольку вместе они выполнят всю работу (т.е. 1), составляем уравнение [[Image:Al729.jpg]] <br>По условию, ученик выполнил, трудясь в одиночку до своей болезни, 20% задания, т.е. [[Image:Al730.jpg]] часть всей работы. Сколько времени он потратил? Естественно, что [[Image:Al730.jpg]] часть того времени, которое нужно ему<br>на выполнение всей работы, т.е. [[Image:Al731.jpg]] дней. Потом пришел мастер, сделал оставшуюся работу, т.е. [[Image:Al732.jpg]]  задания, на что затратил [[Image:Al733.jpg]] дней.<br>По условию, выполнение задания растянулось на 11 дней, т.е. [[Image:Al734.jpg]]<br>Таким образом, математическая модель задачи составлена — система двух уравнений с двумя переменными [[Image:Al735.jpg]]<br>'''Второй этап.''' Работа с составленной моделью. Воспользуемся методом подстановки. Выразим у через х из второго уравнения системы: у = 55-4x. Подставим выражение 55-4x вместо у в первое уравнение системы: [[Image:Al736.jpg]] Решая это рациональное уравнение, последовательно получаем:

-	[[Image:~~al737~~.jpg]] <br>Оба найденных значения удовлетворяют условию [[Image:~~al738~~.jpg]] т.е. являются корнями рационального уравнения с переменной х.~~<br>~~Осталось найти соответствующие значения у. Для этого воспользуемся уравнением у = 55 - 4х. Если х = 10, то из этого уравнения~~<br>33<br>~~находим у = 15; если ~~х= — ,~~ то из того же уравнения находим у = 22. Итак, составленная система уравнений имеет два решения:<br>33<br>~~(10; 15) и ( — ; 22).~~ Третий этап. Ответ на вопрос задачи.<br>По условию, количество дней, необходимых как мастеру, так и ученику для выполнения в одиночку всего задания, выражается~~<br>33<br>~~целым числом. Значит, пара ~~(— ; 22)~~ нас не устраивает. Остается<br>лишь одна возможность: х = 10, у = 15. О т в е т: 10 дней; 15 дней.<br>Замечание. Обратите внимание на то, что, решая системы уравнений, составленные в рассмотренных задачах, мы применили все методы, о которых шла речь в предыдущем параграфе: и подстановки, и алгебраического сложения, и введения новых переменных.<br>~~61<br>2.6. I    СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ~~	+	[[Image:Al737.jpg]] <br>Оба найденных значения удовлетворяют условию [[Image:al739.jpg]][[Image:Al738.jpg]] т.е. являются корнями рационального уравнения с переменной х. Осталось найти соответствующие значения у. Для этого воспользуемся уравнением y = 55 - 4x.  Если х = 10, то из этого уравнения находим у = 15; если [[Image:al740.jpg]] то из того же уравнения находим у = 22. Итак, составленная система уравнений имеет два решения: <br>
		+
		+	[[Image:al741.jpg]]<br>'''Третий этап.''' Ответ на вопрос задачи.<br>По условию, количество дней, необходимых как мастеру, так и ученику для выполнения в одиночку всего задания, выражается целым числом. Значит, пара [[Image:al742.jpg]] нас не устраивает. Остается<br>лишь одна возможность: х = 10, у = 15. <br>
		+
		+	'''О т в е т:''' 10 дней; 15 дней.<br>'''''Замечание.''''' Обратите внимание на то, что, решая системы уравнений, составленные в рассмотренных задачах, мы применили все методы, о которых шла речь в предыдущем параграфе: и подстановки, и алгебраического сложения, и введения новых переменных.<br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

User9 в 09:11, 29 июня 2010

2010-06-29T09:11:47Z

← Предыдущая		Версия 09:11, 29 июня 2010
Строка 19:		Строка 19:
	[[Image:Al711.jpg]]<br>'''Решение. Первый этап.''' Составление математической модели. Введем две переменные: х км/ч — собственная скорость лодки, у км/ч — скорость течения реки. Тогда х + у км/ч — скорость движения лодки по течению реки, х-у км/ч — скорость движения лодки против течения реки. Рассмотрим первый рейс лодки. Он составил 45 км по течению и 15 км против течения. Имеем: [[Image:Al712.jpg]]  — время движения лодки от А до С (в первом рейсе), [[Image:Al713.jpg]] время движения лодки от С до В (в первом рейсе). Всего на первый рейс лодка затратила 4 ч 40 мин, т.е. [[Image:Al714.jpg]]<br>Таким образом, получаем уравнение [[Image:Al715.jpg]]<br>Рассмотрим второй рейс лодки. Он составил 45 км против течения и 30 км по течению. Имеем: [[Image:Al716.jpg]]  время движения лодки от С до А (во втором рейсе),  [[Image:Al717.jpg]] время движения лодки от А до В (во втором рейсе). Всего на второй рейс лодка затратила 7 ч. Таким образом, получаем уравнение [[Image:Al718.jpg]]<br>Математическая модель задачи представляет собой систему двух уравнений с двумя переменными: [[Image:Al719.jpg]]<br>'''Второй этап.''' Работа с составленной моделью. Для решения системы уравнений воспользуемся методом введения новых переменных. Положим: [[Image:Al720.jpg]] Тогда система примет вид [[Image:Al721.jpg]]<br>Решив эту систему двух линейных уравнений с двумя переменными а и Ь (сделайте это!), получим [[Image:Al722.jpg]]<br>Итак, [[Image:Al723.jpg]]<br>Остается решить совсем простую систему уравнений [[Image:Al724.jpg]]<br>Получаем х = 12, у = 3.<br>'''Третий этап. '''Ответ на вопрос задачи.<br>Требуется определить скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки. Первую скорость мы обозначили буквой х, получили х = 12; значит, собственная скорость лодки составляет 12 км/ч. Скорость течения мы обозначили буквой у, получили у = 3. Значит, скорость течения реки составляет 3 км/ч.<br>'''О т в е т:''' 12 км/ч; 3 км/ч.<br>'''Пример 3.''' Мастер и его ученик планировали сообща выполнить некоторую работу за 6 дней. Сначала за дело взялся ученик. Выполнив 20% задания, он заболел. Остальная работа пришлась на долю мастера. В итоге выполнение задания растянулось на 11 дней. За сколько дней мог бы его выполнить мастер и за сколько дней ученик, действуя в одиночку, если известно, что и то и другое количество дней выражаются целыми числами?<br>'''Решение. Первый этап.''' Составление математической модели.<br>Если речь идет о выполнении некоторой работы, не охарактеризованной в количественном плане (т.е. не сказано, сколько деталей надо сделать, сколько кубометров земли вынуть и т.д.), то объем работы считают равным 1, а части работы выражают в долях единицы. Пусть х — число дней, необходимых мастеру, чтобы выполнить в одиночку всю работу, а у — число дней, необходимых ученику, чтобы справиться в одиночку со всей работой. Если объем всей работы (т.е. 1) разделить на число дней, то узнаем долю работы, выполняемую за 1 день.		[[Image:Al711.jpg]]<br>'''Решение. Первый этап.''' Составление математической модели. Введем две переменные: х км/ч — собственная скорость лодки, у км/ч — скорость течения реки. Тогда х + у км/ч — скорость движения лодки по течению реки, х-у км/ч — скорость движения лодки против течения реки. Рассмотрим первый рейс лодки. Он составил 45 км по течению и 15 км против течения. Имеем: [[Image:Al712.jpg]]  — время движения лодки от А до С (в первом рейсе), [[Image:Al713.jpg]] время движения лодки от С до В (в первом рейсе). Всего на первый рейс лодка затратила 4 ч 40 мин, т.е. [[Image:Al714.jpg]]<br>Таким образом, получаем уравнение [[Image:Al715.jpg]]<br>Рассмотрим второй рейс лодки. Он составил 45 км против течения и 30 км по течению. Имеем: [[Image:Al716.jpg]]  время движения лодки от С до А (во втором рейсе),  [[Image:Al717.jpg]] время движения лодки от А до В (во втором рейсе). Всего на второй рейс лодка затратила 7 ч. Таким образом, получаем уравнение [[Image:Al718.jpg]]<br>Математическая модель задачи представляет собой систему двух уравнений с двумя переменными: [[Image:Al719.jpg]]<br>'''Второй этап.''' Работа с составленной моделью. Для решения системы уравнений воспользуемся методом введения новых переменных. Положим: [[Image:Al720.jpg]] Тогда система примет вид [[Image:Al721.jpg]]<br>Решив эту систему двух линейных уравнений с двумя переменными а и Ь (сделайте это!), получим [[Image:Al722.jpg]]<br>Итак, [[Image:Al723.jpg]]<br>Остается решить совсем простую систему уравнений [[Image:Al724.jpg]]<br>Получаем х = 12, у = 3.<br>'''Третий этап. '''Ответ на вопрос задачи.<br>Требуется определить скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки. Первую скорость мы обозначили буквой х, получили х = 12; значит, собственная скорость лодки составляет 12 км/ч. Скорость течения мы обозначили буквой у, получили у = 3. Значит, скорость течения реки составляет 3 км/ч.<br>'''О т в е т:''' 12 км/ч; 3 км/ч.<br>'''Пример 3.''' Мастер и его ученик планировали сообща выполнить некоторую работу за 6 дней. Сначала за дело взялся ученик. Выполнив 20% задания, он заболел. Остальная работа пришлась на долю мастера. В итоге выполнение задания растянулось на 11 дней. За сколько дней мог бы его выполнить мастер и за сколько дней ученик, действуя в одиночку, если известно, что и то и другое количество дней выражаются целыми числами?<br>'''Решение. Первый этап.''' Составление математической модели.<br>Если речь идет о выполнении некоторой работы, не охарактеризованной в количественном плане (т.е. не сказано, сколько деталей надо сделать, сколько кубометров земли вынуть и т.д.), то объем работы считают равным 1, а части работы выражают в долях единицы. Пусть х — число дней, необходимых мастеру, чтобы выполнить в одиночку всю работу, а у — число дней, необходимых ученику, чтобы справиться в одиночку со всей работой. Если объем всей работы (т.е. 1) разделить на число дней, то узнаем долю работы, выполняемую за 1 день.

-	Итак, [[Image:Al725.jpg]] — доля работы, которую выполняет мастер за 1 день, [[Image:Al726.jpg]] доля работы, которую выполняет ученик за 1 день.<br>По условию, работая вместе, мастер и ученик могли бы выполнить всю работу за 6 дней. Доля работы мастера за 6 дней выражается формулой — [[Image:~~al727~~.jpg]] Доля работы ученика за 6 дней выражается формулой<br>	+	Итак, [[Image:Al725.jpg]] — доля работы, которую выполняет мастер за 1 день, [[Image:Al726.jpg]] доля работы, которую выполняет ученик за 1 день.<br>По условию, работая вместе, мастер и ученик могли бы выполнить всю работу за 6 дней. Доля работы мастера за 6 дней выражается формулой — [[Image:Al727.jpg]] Доля работы ученика за 6 дней выражается формулой<br>

-	[[Image:~~al728~~.jpg]] Поскольку вместе они выполнят всю работу (т.е. 1), составляем уравнение [[Image:~~al729~~.jpg]] <br>По условию, ученик выполнил, трудясь в одиночку до своей болезни, 20% задания, т.е. [[Image:~~al730~~.jpg]] часть всей работы. Сколько времени он потратил? Естественно, что [[Image:~~al730~~.jpg]] часть того времени, которое нужно ему<br>на выполнение всей работы, т.е. [[Image:~~al731~~.jpg]] дней. Потом пришел мастер, сделал оставшуюся работу, т.е. [[Image:~~al732~~.jpg]]  задания, на что затратил [[Image:~~al733~~.jpg]] дней.<br>По условию, выполнение задания растянулось на 11 дней, т.е. [[Image:~~al734~~.jpg]]<br>Таким образом, математическая модель задачи составлена — система двух уравнений с двумя переменными [[Image:~~al735~~.jpg]]<br>~~[у + 4* = 55.<br>~~Второй этап. Работа с составленной моделью. Воспользуемся методом подстановки. Выразим у через х из второго уравнения системы: у = 55-4. Подставим выражение 55-4 вместо у в первое уравнение системы:~~<br>60<br>2~~.~~6. I<br>СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ<br>6 6<br>* 55-4<br>= 1.<br>~~Решая это рациональное уравнение, последовательно получаем:~~<br>~~.~~N>5-4<br>_ ьеьа = 0<br>55-4х<br>6(55 - 4х)+6х-х(55 - 4х) _ (55-4)<br>4а:2 - 73х + 330 = 0;<br>33<br>1 = 10> 2=Т-~~<br>Оба найденных значения удовлетворяют условию ~~х(55 - 4х) Ф 0,~~ т.е. являются корнями рационального уравнения с переменной х.<br>Осталось найти соответствующие значения у. Для этого воспользуемся уравнением у = 55 - 4х. Если х = 10, то из этого уравнения<br>33<br>находим у = 15; если х= — , то из того же уравнения находим у = 22. Итак, составленная система уравнений имеет два решения:<br>33<br>(10; 15) и ( — ; 22). Третий этап. Ответ на вопрос задачи.<br>По условию, количество дней, необходимых как мастеру, так и ученику для выполнения в одиночку всего задания, выражается<br>33<br>целым числом. Значит, пара (— ; 22) нас не устраивает. Остается<br>лишь одна возможность: х = 10, у = 15. О т в е т: 10 дней; 15 дней.<br>Замечание. Обратите внимание на то, что, решая системы уравнений, составленные в рассмотренных задачах, мы применили все методы, о которых шла речь в предыдущем параграфе: и подстановки, и алгебраического сложения, и введения новых переменных.<br>61<br>2.6. I    СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ	+	[[Image:Al728.jpg]] Поскольку вместе они выполнят всю работу (т.е. 1), составляем уравнение [[Image:Al729.jpg]] <br>По условию, ученик выполнил, трудясь в одиночку до своей болезни, 20% задания, т.е. [[Image:Al730.jpg]] часть всей работы. Сколько времени он потратил? Естественно, что [[Image:Al730.jpg]] часть того времени, которое нужно ему<br>на выполнение всей работы, т.е. [[Image:Al731.jpg]] дней. Потом пришел мастер, сделал оставшуюся работу, т.е. [[Image:Al732.jpg]]  задания, на что затратил [[Image:Al733.jpg]] дней.<br>По условию, выполнение задания растянулось на 11 дней, т.е. [[Image:Al734.jpg]]<br>Таким образом, математическая модель задачи составлена — система двух уравнений с двумя переменными [[Image:Al735.jpg]]<br>'''Второй этап.''' Работа с составленной моделью. Воспользуемся методом подстановки. Выразим у через х из второго уравнения системы: у = 55-4x. Подставим выражение 55-4x вместо у в первое уравнение системы: [[Image:al736.jpg]] Решая это рациональное уравнение, последовательно получаем:
		+
		+	[[Image:al737.jpg]] <br>Оба найденных значения удовлетворяют условию [[Image:al738.jpg]] т.е. являются корнями рационального уравнения с переменной х.<br>Осталось найти соответствующие значения у. Для этого воспользуемся уравнением у = 55 - 4х. Если х = 10, то из этого уравнения<br>33<br>находим у = 15; если х= — , то из того же уравнения находим у = 22. Итак, составленная система уравнений имеет два решения:<br>33<br>(10; 15) и ( — ; 22). Третий этап. Ответ на вопрос задачи.<br>По условию, количество дней, необходимых как мастеру, так и ученику для выполнения в одиночку всего задания, выражается<br>33<br>целым числом. Значит, пара (— ; 22) нас не устраивает. Остается<br>лишь одна возможность: х = 10, у = 15. О т в е т: 10 дней; 15 дней.<br>Замечание. Обратите внимание на то, что, решая системы уравнений, составленные в рассмотренных задачах, мы применили все методы, о которых шла речь в предыдущем параграфе: и подстановки, и алгебраического сложения, и введения новых переменных.<br>61<br>2.6. I    СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

	А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

User9 в 08:34, 29 июня 2010

2010-06-29T08:34:45Z

← Предыдущая		Версия 08:34, 29 июня 2010
Строка 17:		Строка 17:
	[[Image:Al79.jpg]]<br>Получаем уравнение [[Image:Al710.jpg]] Это математическая модель задачи.<br>Сравним два варианта решения задачи. В первом варианте была более сложная математическая модель (система уравнений), значит, более трудным был второй этап — работа с составленной моделью. Зато менее трудным был первый этап, сама математическая модель была составлена легче и быстрее. Поскольку первый этап, где больше творчества, сложнее, чем второй (технический), то часто предпочтительнее упрощать именно этап составления модели, т.е. работать с двумя переменными.<br>'''Пример 2.''' Пристани В и С находятся ниже пристани А по течению реки соответственно на 30 км и 45 км (рис. 41). Моторная лодка отходит от пристани А, доходит до С, сразу поворачивает назад и приходит в В, затратив на весь путь 4 ч 40 мин. В другой раз эта же лодка отошла от пристани С, дошла до А, сразу повернула назад и пришла в В, затратив на весь путь 7 ч. Чему равны собственная скорость лодки и скорость течения реки?		[[Image:Al79.jpg]]<br>Получаем уравнение [[Image:Al710.jpg]] Это математическая модель задачи.<br>Сравним два варианта решения задачи. В первом варианте была более сложная математическая модель (система уравнений), значит, более трудным был второй этап — работа с составленной моделью. Зато менее трудным был первый этап, сама математическая модель была составлена легче и быстрее. Поскольку первый этап, где больше творчества, сложнее, чем второй (технический), то часто предпочтительнее упрощать именно этап составления модели, т.е. работать с двумя переменными.<br>'''Пример 2.''' Пристани В и С находятся ниже пристани А по течению реки соответственно на 30 км и 45 км (рис. 41). Моторная лодка отходит от пристани А, доходит до С, сразу поворачивает назад и приходит в В, затратив на весь путь 4 ч 40 мин. В другой раз эта же лодка отошла от пристани С, дошла до А, сразу повернула назад и пришла в В, затратив на весь путь 7 ч. Чему равны собственная скорость лодки и скорость течения реки?

-	[[Image:Al711.jpg]]<br>'''Решение. Первый этап.''' Составление математической модели. Введем две переменные: х км/ч — собственная скорость лодки, у км/ч — скорость течения реки. Тогда х + у км/ч — скорость движения лодки по течению реки, х-у км/ч — скорость движения лодки против течения реки. Рассмотрим первый рейс лодки. Он составил 45 км по течению и 15 км против течения. Имеем: [[Image:Al712.jpg]]  — время движения лодки от А до С (в первом рейсе), [[Image:Al713.jpg]] время движения лодки от С до В (в первом рейсе). Всего на первый рейс лодка затратила 4 ч 40 мин, т.е. [[Image:Al714.jpg]]<br>Таким образом, получаем уравнение [[Image:~~al715~~.jpg]]<br>Рассмотрим второй рейс лодки. Он составил 45 км против течения и 30 км по течению. Имеем: [[Image:~~al716~~.jpg]]  время движения лодки от С до А (во втором рейсе),  [[Image:~~al717~~.jpg]] время движения лодки от А до В (во втором рейсе). Всего на второй рейс лодка затратила 7 ч. Таким образом, получаем уравнение [[Image:~~al718~~.jpg]]<br>Математическая модель задачи представляет собой систему двух уравнений с двумя переменными: [[Image:~~al719~~.jpg]]<br>'''Второй этап.''' Работа с составленной моделью. Для решения системы уравнений воспользуемся методом введения новых переменных. Положим: [[Image:~~al720~~.jpg]] Тогда система примет вид [[Image:~~al721~~.jpg]]<br>Решив эту систему двух линейных уравнений с двумя переменными а и Ь (сделайте это!), получим [[Image:~~al722~~.jpg]]<br>Итак, [[Image:~~al723~~.jpg]]<br>Остается решить совсем простую систему уравнений [[Image:~~al724~~.jpg]]<br>Получаем х = 12, у = 3.<br>'''Третий этап. '''Ответ на вопрос задачи.<br>Требуется определить скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки. Первую скорость мы обозначили буквой х, получили х = 12; значит, собственная скорость лодки составляет 12 км/ч. Скорость течения мы обозначили буквой у, получили у = 3. Значит, скорость течения реки составляет 3 км/ч.<br>'''О т в е т:''' 12 км/ч; 3 км/ч.<br>'''Пример 3.''' Мастер и его ученик планировали сообща выполнить некоторую работу за 6 дней. Сначала за дело взялся ученик. Выполнив 20% задания, он заболел. Остальная работа пришлась на долю мастера. В итоге выполнение задания растянулось на 11 дней. За сколько дней мог бы его выполнить мастер и за сколько дней ученик, действуя в одиночку, если известно, что и то и другое количество дней выражаются целыми числами?<br>'''Решение. Первый этап.''' Составление математической модели.<br>Если речь идет о выполнении некоторой работы, не охарактеризованной в количественном плане (т.е. не сказано, сколько деталей надо сделать, сколько кубометров земли вынуть и т.д.), то объем работы считают равным 1, а части работы выражают в долях единицы. Пусть х — число дней, необходимых мастеру, чтобы выполнить в одиночку всю работу, а у — число дней, необходимых ученику, чтобы справиться в одиночку со всей работой. Если объем всей работы (т.е. 1) разделить на число дней, то узнаем долю работы, выполняемую за 1 день.	+	[[Image:Al711.jpg]]<br>'''Решение. Первый этап.''' Составление математической модели. Введем две переменные: х км/ч — собственная скорость лодки, у км/ч — скорость течения реки. Тогда х + у км/ч — скорость движения лодки по течению реки, х-у км/ч — скорость движения лодки против течения реки. Рассмотрим первый рейс лодки. Он составил 45 км по течению и 15 км против течения. Имеем: [[Image:Al712.jpg]]  — время движения лодки от А до С (в первом рейсе), [[Image:Al713.jpg]] время движения лодки от С до В (в первом рейсе). Всего на первый рейс лодка затратила 4 ч 40 мин, т.е. [[Image:Al714.jpg]]<br>Таким образом, получаем уравнение [[Image:Al715.jpg]]<br>Рассмотрим второй рейс лодки. Он составил 45 км против течения и 30 км по течению. Имеем: [[Image:Al716.jpg]]  время движения лодки от С до А (во втором рейсе),  [[Image:Al717.jpg]] время движения лодки от А до В (во втором рейсе). Всего на второй рейс лодка затратила 7 ч. Таким образом, получаем уравнение [[Image:Al718.jpg]]<br>Математическая модель задачи представляет собой систему двух уравнений с двумя переменными: [[Image:Al719.jpg]]<br>'''Второй этап.''' Работа с составленной моделью. Для решения системы уравнений воспользуемся методом введения новых переменных. Положим: [[Image:Al720.jpg]] Тогда система примет вид [[Image:Al721.jpg]]<br>Решив эту систему двух линейных уравнений с двумя переменными а и Ь (сделайте это!), получим [[Image:Al722.jpg]]<br>Итак, [[Image:Al723.jpg]]<br>Остается решить совсем простую систему уравнений [[Image:Al724.jpg]]<br>Получаем х = 12, у = 3.<br>'''Третий этап. '''Ответ на вопрос задачи.<br>Требуется определить скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки. Первую скорость мы обозначили буквой х, получили х = 12; значит, собственная скорость лодки составляет 12 км/ч. Скорость течения мы обозначили буквой у, получили у = 3. Значит, скорость течения реки составляет 3 км/ч.<br>'''О т в е т:''' 12 км/ч; 3 км/ч.<br>'''Пример 3.''' Мастер и его ученик планировали сообща выполнить некоторую работу за 6 дней. Сначала за дело взялся ученик. Выполнив 20% задания, он заболел. Остальная работа пришлась на долю мастера. В итоге выполнение задания растянулось на 11 дней. За сколько дней мог бы его выполнить мастер и за сколько дней ученик, действуя в одиночку, если известно, что и то и другое количество дней выражаются целыми числами?<br>'''Решение. Первый этап.''' Составление математической модели.<br>Если речь идет о выполнении некоторой работы, не охарактеризованной в количественном плане (т.е. не сказано, сколько деталей надо сделать, сколько кубометров земли вынуть и т.д.), то объем работы считают равным 1, а части работы выражают в долях единицы. Пусть х — число дней, необходимых мастеру, чтобы выполнить в одиночку всю работу, а у — число дней, необходимых ученику, чтобы справиться в одиночку со всей работой. Если объем всей работы (т.е. 1) разделить на число дней, то узнаем долю работы, выполняемую за 1 день.

-	Итак, [[Image:~~al725~~.jpg]] — доля работы, которую выполняет мастер за 1 день, [[Image:~~al726~~.jpg]] доля работы, которую выполняет ученик за 1 день.<br>По условию, работая вместе, мастер и ученик могли бы выполнить всю работу за 6 дней. Доля работы мастера за 6 дней ~~выража-1 6<br>ется~~ формулой — ~~• 6, т.е. —~~ . Доля работы ученика за 6 дней ~~выра-х    х~~<br>~~жается формулой —" 6, т~~.~~е. ~.<br>~~Поскольку вместе они выполнят всю работу (т.е. 1), составляем уравнение~~<br>6 6 ,<br>- + - = 1~~. * У<br>По условию, ученик выполнил, трудясь в одиночку до своей болезни, 20% задания, т.е. — часть всей работы. Сколько времени он~~<br>~~потратил? Естественно, что - часть того времени, которое нужно ему<br>на выполнение всей работы, т.е. ~~\ • у~~ дней. Потом пришел мастер,~~<br>5<br>4    4<br>~~сделал оставшуюся работу, т.е. - задания, на что затратил ~~- ■ х дней.<br>&~~ ~~   5~~<br>По условию, выполнение задания растянулось на 11 дней, т.е.~~<br>* + — = 11 5 5 '<br>или<br>у + 4* = 55~~.<br>Таким образом, математическая модель задачи составлена — система двух уравнений с двумя переменными<br>[у + 4* = 55.<br>Второй этап. Работа с составленной моделью. Воспользуемся методом подстановки. Выразим у через х из второго уравнения системы: у = 55-4. Подставим выражение 55-4 вместо у в первое уравнение системы:<br>60<br>2.6. I<br>СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ<br>6 6<br>* 55-4<br>= 1.<br>Решая это рациональное уравнение, последовательно получаем:<br>.N>5-4<br>_ ьеьа = 0<br>55-4х<br>6(55 - 4х)+6х-х(55 - 4х) _ (55-4)<br>4а:2 - 73х + 330 = 0;<br>33<br>1 = 10> 2=Т-<br>Оба найденных значения удовлетворяют условию х(55 - 4х) Ф 0, т.е. являются корнями рационального уравнения с переменной х.<br>Осталось найти соответствующие значения у. Для этого воспользуемся уравнением у = 55 - 4х. Если х = 10, то из этого уравнения<br>33<br>находим у = 15; если х= — , то из того же уравнения находим у = 22. Итак, составленная система уравнений имеет два решения:<br>33<br>(10; 15) и ( — ; 22). Третий этап. Ответ на вопрос задачи.<br>По условию, количество дней, необходимых как мастеру, так и ученику для выполнения в одиночку всего задания, выражается<br>33<br>целым числом. Значит, пара (— ; 22) нас не устраивает. Остается<br>лишь одна возможность: х = 10, у = 15. О т в е т: 10 дней; 15 дней.<br>Замечание. Обратите внимание на то, что, решая системы уравнений, составленные в рассмотренных задачах, мы применили все методы, о которых шла речь в предыдущем параграфе: и подстановки, и алгебраического сложения, и введения новых переменных.<br>61<br>2.6. I    СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ	+	Итак, [[Image:Al725.jpg]] — доля работы, которую выполняет мастер за 1 день, [[Image:Al726.jpg]] доля работы, которую выполняет ученик за 1 день.<br>По условию, работая вместе, мастер и ученик могли бы выполнить всю работу за 6 дней. Доля работы мастера за 6 дней выражается формулой — [[Image:al727.jpg]] Доля работы ученика за 6 дней выражается формулой<br>
		+
		+	[[Image:al728.jpg]] Поскольку вместе они выполнят всю работу (т.е. 1), составляем уравнение [[Image:al729.jpg]] <br>По условию, ученик выполнил, трудясь в одиночку до своей болезни, 20% задания, т.е. [[Image:al730.jpg]] часть всей работы. Сколько времени он потратил? Естественно, что [[Image:al730.jpg]] часть того времени, которое нужно ему<br>на выполнение всей работы, т.е. [[Image:al731.jpg]] дней. Потом пришел мастер, сделал оставшуюся работу, т.е. [[Image:al732.jpg]]  задания, на что затратил [[Image:al733.jpg]] дней.<br>По условию, выполнение задания растянулось на 11 дней, т.е. [[Image:al734.jpg]]<br>Таким образом, математическая модель задачи составлена — система двух уравнений с двумя переменными [[Image:al735.jpg]]<br>[у + 4* = 55.<br>Второй этап. Работа с составленной моделью. Воспользуемся методом подстановки. Выразим у через х из второго уравнения системы: у = 55-4. Подставим выражение 55-4 вместо у в первое уравнение системы:<br>60<br>2.6. I<br>СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ<br>6 6<br>* 55-4<br>= 1.<br>Решая это рациональное уравнение, последовательно получаем:<br>.N>5-4<br>_ ьеьа = 0<br>55-4х<br>6(55 - 4х)+6х-х(55 - 4х) _ (55-4)<br>4а:2 - 73х + 330 = 0;<br>33<br>1 = 10> 2=Т-<br>Оба найденных значения удовлетворяют условию х(55 - 4х) Ф 0, т.е. являются корнями рационального уравнения с переменной х.<br>Осталось найти соответствующие значения у. Для этого воспользуемся уравнением у = 55 - 4х. Если х = 10, то из этого уравнения<br>33<br>находим у = 15; если х= — , то из того же уравнения находим у = 22. Итак, составленная система уравнений имеет два решения:<br>33<br>(10; 15) и ( — ; 22). Третий этап. Ответ на вопрос задачи.<br>По условию, количество дней, необходимых как мастеру, так и ученику для выполнения в одиночку всего задания, выражается<br>33<br>целым числом. Значит, пара (— ; 22) нас не устраивает. Остается<br>лишь одна возможность: х = 10, у = 15. О т в е т: 10 дней; 15 дней.<br>Замечание. Обратите внимание на то, что, решая системы уравнений, составленные в рассмотренных задачах, мы применили все методы, о которых шла речь в предыдущем параграфе: и подстановки, и алгебраического сложения, и введения новых переменных.<br>61<br>2.6. I    СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

	А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

User9 в 08:26, 29 июня 2010

2010-06-29T08:26:00Z

Внесённые изменения

User9 в 08:12, 29 июня 2010

2010-06-29T08:12:27Z

Внесённые изменения

User9 в 08:01, 29 июня 2010

2010-06-29T08:01:52Z

← Предыдущая		Версия 08:01, 29 июня 2010
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 9 класс\|Математика 9 класс]]>>Математика: Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций <metakeywords>Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций</metakeywords>'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 9 класс\|Математика 9 класс]]>>Математика: Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций <metakeywords>Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций</metakeywords>'''
		+
		+
		+
		+	'''СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ СИТУАЦИЙ'''
		+
		+	Вам известно, что система двух уравнений с двумя переменными может служить математической моделью реальной ситуации. Первый опыт в решении таких задач вы приобрели в курсе алгебры 7-го класса. Правда, там встречались только системы двух линейных уравнений с двумя переменными. В § 4 мы рассмотрели задачу, математическая модель которой представляла собой систему двух уравнений, но одно из них уже не было линейным. Вернитесь еще раз к этой задаче, и вы убедитесь, что в технологии ее решения ничего особенно нового не было — те же три этапа математического моделирования. То же относится и к задачам, которые рассматриваются в этом параграфе.<br>'''Пример 1.''' В райцентре два кинотеатра — «Факел» и «Слава», первый — на 400, а второй — на 600 мест. В зрительном зале кинотеатра «Слава» на 4 ряда больше, чем в кинотеатре «Факел», и, кроме того, в каждом ряду на 5 мест больше, чем в кинотеатре «Факел». Сколько рядов в зрительном зале кинотеатра «Факел», если известно, что в каждом ряду кинотеатра «Слава» более 25 мест?<br>'''Решение.''' '''Первый этап. '''Составление математической модели.<br>Пусть х — число рядов в кинотеатре «Факел», у — число мест в каждом ряду кинотеатра «Факел». Тогда х + 4 — число рядов в кинотеатре «Слава», у + 5 — число мест в каждом ряду кинотеатра «Слава». Зная число рядов и число мест в ряду, можно найти общее число мест в каждом кинотеатре: ху — число мест в кинотеатре «Факел», (х + 4)(у +5) — число мест в кинотеатре «Слава». По условию, в кинотеатре «Факел» — 400 мест, т.е. ху — 400, а в кинотеатре «Слава» — 600 мест, т.е. (х + 4){у + 5) = 600.<br>Таким образом, мы приходим к системе двух уравнений с двумя переменными: [[Image:al71.jpg]]<br>Математическая модель задачи составлена.
		+
		+	'''Второй этап.''' Работа с составленной моделью. Имеем
		+
		+	[[Image:al72.jpg]]<br>Применим метод алгебраического сложения: вычтем первое уравнение из второго. Получим [[Image:al73.jpg]]<br>Заменим этим уравнением второе уравнение системы (1): [[Image:al74.jpg]]<br>Система (2) несколько проще, чем система (1), ее можно решить методом подстановки. Выразим у через х из второго уравнения системы  [[Image:al75.jpg]] Подставим это выражение вместо у в первое уравнение системы (2): [[Image:al76.jpg]]  (обе части предыдущего уравнения почленно разделили на 5);
		+
		+	<br>хх = 20, х2 = 16.<br>Так как у =    , то получаем: если х = 20, то у = 20; если<br>л: = 16, то у = 25.<br>Итак, система (2), а с ней и система (1) имеют два решения:<br>(20; 20) и (16; 25).<br>Третий этап. Ответ на вопрос задачи.<br>Опираясь на полученные решения системы, мы должны проанализировать две возможности: либо в кинотеатре «Факел» 20 рядов по 20 мест в каждом ряду, либо 16 рядов по 25 мест в каждом ряду. Если выбрать первую возможность, то в кинотеатре «Слава» будет 24 ряда (по условию, там на 4 ряда больше) по 25 мест в каждом ряду (по условию, в каждом ряду «Славы» на 5 мест больше, чем в «Факеле»). Это нас не устраивает, поскольку, по условию, в каждом ряду «Славы» более 25 мест. Рассмотрим вторую возможность: в «Факеле» 16 рядов по 25 мест в каждом. Тогда в «Славе» будет 20 рядов по 30 мест в каждом. Это нас устраивает.<br>Итак, из двух решений системы выбираем одно: л: = 16, у = 25, а это означает, что в кинотеатре «Факел» 16 рядов. О т в е т: 16 рядов.<br>На самом деле эта задача не является для вас новой, мы решали ее в учебнике «Алгебра-8», но по-другому: математической моделью задачи было рациональное уравнение с одной переменной. Приведем краткие наброски для составления такой модели: х — число рядов в кинотеатре «Факел»,<br>400 _ —--число мест в каждом ряду кинотеатра «Факел»,<br>х + 4 — число рядов в кинотеатре «Слава»,<br>600<br>— число мест в каждом ряду кинотеатра «Слава». 600 400<br>Получаем уравнение    = 5. Это математическая мо-<br>дель задачи.<br>Сравним два варианта решения задачи. В первом варианте была более сложная математическая модель (система уравнений), значит, более трудным был второй этап — работа с составленной моде-<br>56<br>2.6. I<br>СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ<br>    -д.       <br>    ш       <br>    тратите       <br>внимание           <br><br>лью. Зато менее трудным был первый этап, сама математическая модель была составлена легче и быстрее. Поскольку первый этап, где больше творчества, сложнее, чем второй (технический), то часто предпочтительнее упрощать именно этап составления модели, т.е. работать с двумя переменными.<br>Пример 2. Пристани В и С находятся ниже пристани А по течению реки соответственно на 30 км и 45 км (рис. 41). Моторная лодка отходит от пристани А, доходит до С, сразу поворачивает назад и приходит в В, затратив на весь путь 4 ч 40 мин. В другой раз эта же лодка отошла от пристани С, дошла до А, сразу повернула назад и пришла в В, затратив на весь путь 7 ч. Чему равны собственная скорость лодки и скорость течения реки?<br>30 км<br>45 км Рис. 41<br><br>Решение. Первый этап. Составление математической мо-дели.<br>Введем две переменные:<br>х км/ч — собственная скорость лодки, у км/ч — скорость течения реки. Тогда х + у км/ч — скорость движения лодки по течению реки, х-у км/ч — скорость движения лодки против течения реки.<br>Рассмотрим первый рейс лодки. Он составил 45 км по течению и 15 км против течения. Имеем:<br>45<br>х + у<br>15 х-У<br>ч — время движения лодки от А до С (в первом рейсе), ч — время движения лодки от С до В (в первом рейсе).<br>Всего на первый рейс лодка затратила 4 ч 40 мин, т.е. 4 ^ = ~ ч.<br>3 3<br>57<br>2.6. I<br>СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ<br>Таким образом, получаем уравнение<br>45 15<br>х + у х-у<br>14 3 '<br>Рассмотрим второй рейс лодки. Он составил 45 км против течения и 30 км по течению. Имеем:<br>45<br>х-у 30<br>ч — время движения лодки от С до А (во втором рейсе), ч — время движения лодки от А до В (во втором рейсе).<br>х+у<br>Всего на второй рейс лодка затратила 7 ч. Таким образом, получаем уравнение<br>45 30<br>-+-<br>= 7.<br>х-у х+у<br>Математическая модель задачи представляет собой систему двух уравнений с двумя переменными:<br>45 15<br>■ + ■<br>х+у х-у<br>14 3 '<br>45 + _30_ = ?<br>~У х + у<br>Второй этап. Работа с составленной моделью. Для решения системы уравнений воспользуемся методом введения новых переменных. Положим:<br>15<br>Х+У<br>Тогда система примет вид<br>= а,<br>15<br>= Ь.<br>3а + Ь =<br>14<br>3 '<br>2а + ЗЪ = 7.<br>Решив эту систему двух линейных уравнений с двумя переменны-<br>5<br>ми а и Ь (сделайте это!), получим а = 1,Ь= -.<br>3<br>58<br>2.6. I<br>СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ<br>Итак,<br>15 1 -= 1, т.е. х + у = 15;<br>х + у<br>15 5    „<br>-= —, т.е. х-у — У.<br>х~у 3'    <br>Остается решить совсем простую систему уравнений<br>х + у. = 15,<br>х-у = 9.<br>Получаем х = 12, у = 3.<br>Третий этап. Ответ на вопрос задачи.<br>Требуется определить скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки. Первую скорость мы обозначили буквой х, получили х = 12; значит, собственная скорость лодки составляет 12 км/ч. Скорость течения мы обозначили буквой у, получили у = 3. Значит, скорость течения реки составляет 3 км/ч.<br>О т в е т: 12 км/ч; 3 км/ч.<br>Пример 3. Мастер и его ученик планировали сообща выполнить некоторую работу за 6 дней. Сначала за дело взялся ученик. Выполнив 20% задания, он заболел. Остальная работа пришлась на долю мастера. В итоге выполнение задания растянулось на 11 дней. За сколько дней мог бы его выполнить мастер и за сколько дней ученик, действуя в одиночку, если известно, что и то и другое количество дней выражаются целыми числами?<br>Решение. Первый этап. Составление математической модели.<br>Если речь идет о выполнении некоторой работы, не охарактеризованной в количественном плане (т.е. не сказано, сколько деталей надо сделать, сколько кубометров земли вынуть и т.д.), то объем работы считают равным 1, а части работы выражают в долях единицы.<br>Пусть х — число дней, необходимых мастеру, чтобы выполнить в одиночку всю работу, а у — число дней, необходимых ученику, чтобы справиться в одиночку со всей работой. Если объем всей работы (т.е. 1) разделить на число дней, то узнаем долю работы, выполняемую за 1 день. Итак,<br>^ — доля работы, которую выполняет мастер за 1 день,<br>— —доля работы, которую выполняет ученик за 1 день.<br>59<br>2.6. I<br>СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ<br><br>По условию, работая вместе, мастер и ученик могли бы выполнить всю работу за 6 дней. Доля работы мастера за 6 дней выража-1 6<br>ется формулой — • 6, т.е. — . Доля работы ученика за 6 дней выра-х    х<br>жается формулой —" 6, т.е. ~.<br>Поскольку вместе они выполнят всю работу (т.е. 1), составляем уравнение<br>6 6 ,<br>- + - = 1. У<br>По условию, ученик выполнил, трудясь в одиночку до своей болезни, 20% задания, т.е. — часть всей работы. Сколько времени он<br>потратил? Естественно, что - часть того времени, которое нужно ему<br>на выполнение всей работы, т.е. \ • у дней. Потом пришел мастер,<br>5<br>4    4<br>сделал оставшуюся работу, т.е. - задания, на что затратил - ■ х дней.<br>&    5<br>По условию, выполнение задания растянулось на 11 дней, т.е.<br>* + — = 11 5 5 '<br>или<br>у + 4* = 55.<br>Таким образом, математическая модель задачи составлена — система двух уравнений с двумя переменными<br>[у + 4* = 55.<br>Второй этап. Работа с составленной моделью. Воспользуемся методом подстановки. Выразим у через х из второго уравнения системы: у = 55-4. Подставим выражение 55-4 вместо у в первое уравнение системы:<br>60<br>2.6. I<br>СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ<br>6 6<br>* 55-4<br>= 1.<br>Решая это рациональное уравнение, последовательно получаем:<br>.N>5-4<br>_ ьеьа = 0<br>55-4х<br>6(55 - 4х)+6х-х(55 - 4х) _ (55-4)<br>4а:2 - 73х + 330 = 0;<br>33<br>1 = 10> 2=Т-<br>Оба найденных значения удовлетворяют условию х(55 - 4х) Ф 0, т.е. являются корнями рационального уравнения с переменной х.<br>Осталось найти соответствующие значения у. Для этого воспользуемся уравнением у = 55 - 4х. Если х = 10, то из этого уравнения<br>33<br>находим у = 15; если х= — , то из того же уравнения находим у = 22. Итак, составленная система уравнений имеет два решения:<br>33<br>(10; 15) и ( — ; 22). Третий этап. Ответ на вопрос задачи.<br>По условию, количество дней, необходимых как мастеру, так и ученику для выполнения в одиночку всего задания, выражается<br>33<br>целым числом. Значит, пара (— ; 22) нас не устраивает. Остается<br>лишь одна возможность: х = 10, у = 15. О т в е т: 10 дней; 15 дней.<br>Замечание. Обратите внимание на то, что, решая системы уравнений, составленные в рассмотренных задачах, мы применили все методы, о которых шла речь в предыдущем параграфе: и подстановки, и алгебраического сложения, и введения новых переменных.<br>61<br>2.6. I    СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

	А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

User9: Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

2010-06-29T07:51:09Z

Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 9 класс|Математика 9 класс]]>>Математика: Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций <metakeywords>Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций</metakeywords>'''

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

 

Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие

Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].