Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями - История изменений

User17 в 06:32, 8 октября 2012

2012-10-08T06:32:54Z

User17 в 06:22, 8 октября 2012

2012-10-08T06:22:34Z

Внесённые изменения

User16 в 07:29, 11 июня 2010

2010-06-11T07:29:54Z

Внесённые изменения

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

2010-06-11T07:04:42Z

Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

Новая страница

<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Сложение, вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями</metakeywords>

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]>>Математика:Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями'''

 

 '''СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ ''' 

 Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями выполняют по тому же алгоритму, что используется для сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями: сначала приводят дроби к общему знаменателю с помощью соответствующих дополнительных множи- телей, а затем складывают или вычитают полученные дроби с одинаковыми знаменателями по правилу из § 3. Можно сформулировать алгоритм, охватывающий любые случаи сложения (вычитания) алгебраических дробей.

'''Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей ''' 

[[Image:11-06-34.jpg]] '''Пример 1.''' Выполнить действия:

[[Image:11-06-35.jpg]] Решение. Для каждой пары заданных здесь алгебраических дробей общий знаменатель был найден выше, в примере из § 2. Опираясь на указанный пример, получаем:

[[Image:11-06-36.jpg]] Самое трудное в приведенном алгоритме — это, конечно, первый шаг: отыскание общего знаменателя и приведение дробей к общему знаменателю. В примере 1 вы этой трудности, может быть, не ощутили, поскольку мы воспользовались готовыми результатами из § 2.

Чтобы выработать правило отыскания общего знаменателя, проанализируем пример 1. Для дробей [[Image:11-06-37.jpg]] общий знаменатель есть число 15  оно делится и на 3 и на 5, является их общим кратным (даже наименьшим общим кратным). Для дробей —[[Image:11-06-38.jpg]] общим знаменателем является одночлен 12b3. Он делится и на 4b2 и на 6b3 , т. е. на оба одночлена, служащие знаменателями дробей.

Обратите внимание: число 12 — наименьшее общее кратное чисел 4 и 6. Переменная b входит в знаменатель первой дроби с показателем 2, в знаменатель второй дроби — с показателем 3. Это наибольшее значение показателя 3 фигурирует в общем знаменателе. Для дробей

[[Image:11-06-39.jpg]] общим знаменателем служит произведение (х + у)(х - у) — оно делится и на знаменатель х + у и на знаменатель х-у.

При отыскании общего знаменателя приходится, естественно, все заданные знаменатели разлагать на множители (если это не было подготовлено в условии). А далее следует провести работу по этапам: найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов (речь идет о целочисленных коэффициентах), определить для каждого несколько раз встречающегося буквенного множителя наибольший показатель степени, собрать все это в одно произведение.

Теперь можно оформить соответствующий алгоритм.

 '''Алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей '''

[[Image:11-06-40.jpg]] Прежде чем двигаться дальше, попробуйте применить этот алгоритм к обоснованию поиска общего знаменателя для алгебраических дробей из примера 1. '''''Замечание.''''' На самом деле общих знаменателей для двух алгебраических дробей можно найти сколько угодно. Например, для дробей [[Image:11-06-41.jpg]] общим знаменателем может быть и число 30, и число 60, и даже одночлен 15а2Ь. Дело в том, что и 30, и 60, и 15а2b можно разделить как на 3, так и на 5. Для дробей — [[Image:11-06-42.jpg]] общим знаменателем, кроме найденного выше одночлена 12b , может быть и 24b3 и 48а2b4. Чем же одночлен 12b3 лучше, чем 24b3, чем 48а2b4? Он проще (по виду). Его иногда называют даже не общим знаменателем, а наименьшим общим знаменателем. Таким образом, приведенный алгоритм — это алгоритм отыскания самого простого из общих знаменателей нескольких алгебраических дробей, алгоритм отыскания наименьшего общего знаменателя.

Снова вернемся к примеру 1, а. Чтобы сложить алгебраические дроби [[Image:11-06-43.jpg]] , надо было не только найти общий знаменатель (число 15), но и отыскать для каждой из дробей дополнительные множители, которые позволили бы привести дроби к общему знаменателю. Для дроби [[Image:11-06-44.jpg]] таким дополнительным мно- жителем служит число 5 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 5), для дроби [[Image:11-06-45.jpg]] число 3 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 3).

Дополнительный множитель есть частное от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби. Обычно используют следующую запись:

[[Image:11-06-46.jpg]] 3#- _ Юа + 96 ' ~5 2а 3 ЗЬ 5 15 Снова вернемся к примеру 1,6. Общим знаменателем для дро- 2 бей "jTS" Н з является одночлен 12Ь3. Дополнительный множи- тель для первой дроби равен ЗЬ (поскольку 12Ь3 : 4Ь2 = ЗЬ), для второй дроби он равен 2 (поскольку 12Ь3 : 6Ь3 = 2). Значит, реше- ние примера 1,6 можно оформить так: аш а2Ш ЗаЬ+2а2 4Р" + 6b3" = 12b3 Ф Выше был сформулирован алгоритм отыскания общего зна- менателя для нескольких алгебраических дробей. Но опыт пока- зывает, что этот алгоритм не всегда бывает понятен учащимся, поэтому мы дадим несколько видоизмененную формулировку. Правило приведения алгебраических дробей к общему знаменателю 1. Разложить все знаменатели на множи- тели. 2. Из первого знаменателя выписать произ- ведение всех его множителей, из осталь- ных знаменателей приписать к этому произведению недостающие множители. Полученное произведение и будет общим {новым) знаменателем. 3. Найти дополнительные множители для каждой из сробей: это будут произведе- ния тех множителей, которые имеются в новом знаменателе, но которых нет в старом знаменателе. 4. Найти для каждой дроби новый числи- тель: это будет произведение старого числителя и дополнительного множи- теля. 5. Записать каждую дробь с новым числите- лем и новым (общим) знаменателем. Пример 2. Упростить выражение За 4а2-1 а + 1 2а2 + о Решение. Первый этап. Найдем общий знаменатель и дополнительные множители. Имеем 4а2 - 1 = Bа - 1) Bа + 1), 2а2 + а = аBа + 1). Первый знаменатель берем целиком, а из второго — добав- ляем множитель а, которого нет в первом знаменателе. Полу- чим общий знаменатель aBa - 1) Ba +1). Удобно расположить записи в виде таблицы: Знаменатели Bа- 1)Bо + 1) аBо + 1) Общий знаменатель а Bа- 1)Bо + 1) Дополнительные множители а Bа - 1) Второй этап. Выполним преобразования: За а + 1 3a\S- a + 1 2о-1 4а2-1 2а +а аBа+1) За2 - (а + 1) Bа-1) _ За2 -Bа2-а + 2а-1) аBа-1)Bа+1) ~ аBа-1)Bа + 1) За2-2а2+а-2а + 1 а2-а + 1 аBа-1)Bо + аBа-1)Bа+1) ' <¦ При наличии некоторого опыта первый этап можно не выде- лять, выполняя его одновременно со вторым этапом. В заключение рассмотрим более сложный пример (для жела- ющих). Пример 3. Упростить выражение Ь 1 Ь 2a4+4a3b + 2aV ~ 3afe2-3a3 + 6a4-6aV Решение. Первый этап. Разложим все знаменатели на множители: 1) 2а4 + 4а3Ь + 2aV = 2а2 (а2 + 2аЪ + Ь2) = 2а2 (а + bf; 2) Sab2 - За3 = За (Ь2 - а2) = За (Ь - а) (р + а); 3Nа4-6а3Ь = 6а3(а-&). Первый знаменатель берем целиком, из второго возьмем недостающие множители 3 и b - а (или a — b), из третьего — недостающий множитель а (поскольку третий знаменатель со- держит множитель а3). 1.5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ Знаменатели 2a2 (a + bf За (Ъ -а)(Ь + а) 6а3(а-Ь) Общий знаменатель 6a3(a-b)(a + bJ Дополнительные множители За (а - Ь) -2а2 (а +Ь) (а + ЬJ Заметим, что если у дополнительного множителя появляется знак «-», то его обычно ставят перед всей дробью, т. е. перед второй дробью придется поменять знак. Второй этап. Выполним преобразования: Ъ 1 . Ь 2а4 ЗаЬ2-За3 6а4-ба3Ь 2а2(а + ЬJ Зо(о-Ь)(а + Ь) 6а3(а-Ь) 3ab(a-b) + 2a2(a + b) + b(a2 + 2ab + b2) 6a3(a-b)(a + 3a2b-3ab2 6a3(a-b)(a + bJ 2a3+6a2b-ab2 + l 6a3(a-b)(a + bf <m Отметим, что замена выражения, данного в примере 3, той алгебраической дробью, которая получилась в результате, есть тождественное преобразование при допустимых значениях пе- ременных. В данном случае допустимыми являются любые зна- чения переменных а и Ь, кроме a = 0, a = b, a = - b (в этих случаях знаменатели обращаются в нуль). § 5. УМНОЖЕНИЕ И 

 

Календарно-тематическое планирование по математике, задачи и ответы школьнику [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], курсы учителю по математике [[Математика|скачать]]

 

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
''''''
Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

← Предыдущая		Версия 06:32, 8 октября 2012
Строка 3:		Строка 3:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 8 класс\|Математика 8 класс]]>>Математика:Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями'''<br>		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 8 класс\|Математика 8 класс]]>>Математика:Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями'''<br>

-		+	<br>

	'''Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями'''<br>		'''Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями'''<br>
Строка 23:		Строка 23:
	При отыскании общего знаменателя приходится, естественно, все заданные знаменатели разлагать на множители (если это не было подготовлено в условии). А далее следует провести работу по этапам: найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов (речь идет о целочисленных '''[[Задачі: Переставна і сполучна властивості множення. Коефіцієнт\|коэффициентах]]'''), определить для каждого несколько раз встречающегося буквенного множителя наибольший показатель степени, собрать все это в одно произведение.		При отыскании общего знаменателя приходится, естественно, все заданные знаменатели разлагать на множители (если это не было подготовлено в условии). А далее следует провести работу по этапам: найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов (речь идет о целочисленных '''[[Задачі: Переставна і сполучна властивості множення. Коефіцієнт\|коэффициентах]]'''), определить для каждого несколько раз встречающегося буквенного множителя наибольший показатель степени, собрать все это в одно произведение.

-	Теперь можно оформить соответствующий алгоритм.	+	Теперь можно оформить соответствующий алгоритм.

	'''Алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей '''		'''Алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей '''
Строка 39:		Строка 39:
	'''Правило приведения алгебраических дробей к общему знаменателю '''		'''Правило приведения алгебраических дробей к общему знаменателю '''

-	'''[[Image:11-06-49.jpg\|480px\|Правило приведения алгебраических дробей к общему знаменателю ]]'''<br>'''<br>Пример 2.''' Упростить '''[[Основное свойство алгебраической дроби\|выражение]]'''	+	'''[[Image:11-06-49.jpg\|480px\|Правило приведения алгебраических дробей к общему знаменателю]]'''<br>'''<br>Пример 2.''' Упростить '''[[Основное свойство алгебраической дроби\|выражение]]'''

	[[Image:11-06-50.jpg\|Задание]]<br><br>Решение. <br><u>'''Первый этап.'''</u> Найдем общий знаменатель и дополнительные множители.		[[Image:11-06-50.jpg\|Задание]]<br><br>Решение. <br><u>'''Первый этап.'''</u> Найдем общий знаменатель и дополнительные множители.
Строка 49:		Строка 49:
	a(2a - 1) (2a +1).		a(2a - 1) (2a +1).

-	'''Удобно расположить записи в виде '''[[Складання таблиці додавання і віднімання 1. Ілюстрації\|таблицы]]''': '''<br>	+	'''Удобно расположить записи в виде '''[[Складання таблиці додавання і віднімання 1. Ілюстрації\|'''таблицы''']]''': '''<br>

	[[Image:11-06-51.jpg\|480px\|Задание]]<br><u>'''Второй этап.'''</u><br>Выполним преобразования:		[[Image:11-06-51.jpg\|480px\|Задание]]<br><u>'''Второй этап.'''</u><br>Выполним преобразования:
Строка 75:		Строка 75:
	<u>'''Второй этап.'''</u><br>Выполним преобразования:		<u>'''Второй этап.'''</u><br>Выполним преобразования:

-	[[Image:11-06-55.jpg\|320px\|Задание]]<br><br>Отметим, что замена выражения, данного в примере 3, той алгебраической дробью, которая получилась в результате, есть тождественное преобразование при допустимых значениях переменных. В данном случае допустимыми являются любые значения переменных а и Ь, кроме a = 0, a = b, a = - b (в этих <br>случаях знаменатели обращаются в нуль). <br><br>''Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил. ''<br><br>	+	[[Image:11-06-55.jpg\|320px\|Задание]]<br><br>Отметим, что замена выражения, данного в примере 3, той алгебраической дробью, которая получилась в результате, есть тождественное преобразование при допустимых значениях переменных. В данном случае допустимыми являются любые значения переменных а и Ь, кроме a = 0, a = b, a = - b (в этих <br>случаях знаменатели обращаются в нуль). <br><br>''Мордкович А. Г., [http://xvatit.com/vuzi/ '''Алгебра''']. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил. ''<br><br>

	<sub>Календарно-тематическое планирование по математике, задачи и ответы школьнику [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], курсы учителю по математике [[Математика\|скачать]]</sub>		<sub>Календарно-тематическое планирование по математике, задачи и ответы школьнику [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], курсы учителю по математике [[Математика\|скачать]]</sub>