Степенные функции, их свойства и графики - История изменений

User17 в 10:12, 6 августа 2012

2012-08-06T10:12:58Z

User17 в 09:09, 6 августа 2012

2012-08-06T09:09:35Z

← Предыдущая		Версия 09:09, 6 августа 2012
Строка 1:		Строка 1:
-	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>~~Математика:~~ Степенные функции, их свойства и графики~~<metakeywords>Степенные функции, их свойства и графики</metakeywords>~~'''	+	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 10 класс, урок, на Тему, Степенные функции, их свойства, и графики</metakeywords>
		+
		+	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>> Степенные функции, их свойства и графики'''

	<br>		<br>

-	'''§ 44. ~~СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ~~, ~~ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ~~'''<br>Обычно степенными функциями называют функции вида у = х<sup>r</sup>, где r-любое действительное число. В этом параграфе мы ограничимся случаями рационального показателя r.<br>Целый ряд таких функций мы с вами уже изучили. Так, если r— натуральное число (r = п), то получаем функцию у = х<sup>п</sup>; графики и свойства таких функций вам известны из курса алгебры 7—9-го классов. На рис. 180 изображен график функции у =х<sup>1</sup> (прямая), на рис. 181 изображен график функции у =х<sup>г</sup> (парабола), на рис. 182 изображен график функции у =х<sup>3</sup> (кубическая парабола). График	+	'''§ 44. Степенные функции, их свойства и графики'''<br>Обычно степенными функциями называют функции вида у = х<sup>r</sup>, где r-любое действительное число. В этом параграфе мы ограничимся случаями рационального показателя r.<br>Целый ряд таких функций мы с вами уже изучили. Так, если r— натуральное число (r = п), то получаем функцию у = х<sup>п</sup>; графики и свойства таких функций вам известны из курса алгебры 7—9-го классов. На рис. 180 изображен график функции у =х<sup>1</sup> (прямая), на рис. 181 изображен график функции у =х<sup>г</sup> (парабола), на рис. 182 изображен график функции у =х<sup>3</sup> (кубическая парабола). График

	[[Image:A10648.jpg]]<br>степенной функции у = хп в случае четного п (п =4, 6, 8, ...) похож на параболу, а график степенной функции у = х" в случае нечетного п(п= 5, 7, 9,...) похож на кубическую параболу.<br>Если г = -п, то получаем функцию [[Image:A10649.jpg]]  о таких функциях мы говорили в курсе алгебры 9-го класса. В случае четного п график имеет вид, изображенный на рис. 183; в случае нечетного п график имеет вид, изображенный на рис. 184.<br>Наконец, если г=0, т.е. речь идет о функции у=х°, то о ней и говорить неинтересно, поскольку это — функция у = 1, где [[Image:A10650.jpg]]; график этой функции изображен на рис. 185.<br>		[[Image:A10648.jpg]]<br>степенной функции у = хп в случае четного п (п =4, 6, 8, ...) похож на параболу, а график степенной функции у = х" в случае нечетного п(п= 5, 7, 9,...) похож на кубическую параболу.<br>Если г = -п, то получаем функцию [[Image:A10649.jpg]]  о таких функциях мы говорили в курсе алгебры 9-го класса. В случае четного п график имеет вид, изображенный на рис. 183; в случае нечетного п график имеет вид, изображенный на рис. 184.<br>Наконец, если г=0, т.е. речь идет о функции у=х°, то о ней и говорить неинтересно, поскольку это — функция у = 1, где [[Image:A10650.jpg]]; график этой функции изображен на рис. 185.<br>
Строка 79:		Строка 81:
	<br>		<br>

-	<sub>~~Материалы~~ по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], ~~задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике~~ [[Математика\|скачать]]</sub>	+	<br> <br> <sub>Календарно-тематическое планирование по математике, [http://xvatit.com/it/audio_television/ '''видео'''] по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], Математика в школе [[Математика\|скачать]]</sub>

	'''<u>Содержание урока</u>'''		'''<u>Содержание урока</u>'''

User9 в 09:47, 20 августа 2010

2010-08-20T09:47:43Z

← Предыдущая		Версия 09:47, 20 августа 2010
Строка 49:		Строка 49:
	1)    Имеем [[Image:A10696.jpg]]<br>2)    Производная существует при всех х, значит, критических точек у функции нет, а стационарные найдем из условия у'=0. Имеем:<br>		1)    Имеем [[Image:A10696.jpg]]<br>2)    Производная существует при всех х, значит, критических точек у функции нет, а стационарные найдем из условия у'=0. Имеем:<br>

-	[[Image:A10697.jpg]]<br>Отрезку [1,9] принадлежит лишь точка х = 4.<br>3)    Составим таблицу значений функции [[Image:A10698.jpg]] включив в нее концы отрезка — точки x = 1 и x = 9 — и найденную стационарную точку х = 4:<br>[[Image:~~a10699~~.jpg]]<br>	+	[[Image:A10697.jpg]]<br>Отрезку [1,9] принадлежит лишь точка х = 4.<br>3)    Составим таблицу значений функции [[Image:A10698.jpg]] включив в нее концы отрезка — точки x = 1 и x = 9 — и найденную стационарную точку х = 4:<br>[[Image:A10699.jpg]]<br>

-	Таким образом, <br>	+	Таким образом, <br>

-	[[Image:~~a10700~~.jpg]]<br>'''Пример 3.''' Решить уравнение [[Image:~~a10701~~.jpg]]<br>'''Решение.''' Нетрудно подобрать один корень этого уравнения: х = 8. В самом деле,<br>	+	[[Image:A10700.jpg]]<br>'''Пример 3.''' Решить уравнение [[Image:A10701.jpg]]<br>'''Решение.''' Нетрудно подобрать один корень этого уравнения: х = 8. В самом деле,<br>

-	[[Image:~~a10702~~.jpg]]<br>значит, при х=4 уравнение обращается в верное числовое равенство 4=4.<br>Так как степенная функция [[Image:~~a10703~~.jpg]]<sup></sup> возрастает, а линейная функция у = 12 - х убывает, то других корней у уравнения нет.<br>	+	[[Image:A10702.jpg]]<br>значит, при х=4 уравнение обращается в верное числовое равенство 4=4.<br>Так как степенная функция [[Image:A10703.jpg]]<sup></sup> возрастает, а линейная функция у = 12 - х убывает, то других корней у уравнения нет.<br>

-	'''Ответ:''' х = 8.<br>'''Пример 4.''' Построить график функции<br>	+	'''Ответ:''' х = 8.<br>'''Пример 4.''' Построить график функции<br>

-	[[Image:~~a10704~~.jpg]]<br>'''Решение.''' 1) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (1; -2) — пунктирные прямые x = 1 и у = -2на рис. 189.<br>2) «Привяжем» функцию [[Image:~~a10705~~.jpg]] к новой системе координат. Для этого выберем контрольные точки для функций [[Image:~~a10706~~.jpg]]<br> но строить их будем не в старой, а в новой системе координат. Затем по этим точкам построим кривую того вида, какой представлен на рис. 188. Это и будет требуемый график (рис. 190).   <br>'''Пример 5.''' Составить уравнение касательной к 1 -графику функции: [[Image:~~a10707~~.jpg]] в точке х = 1.<br>'''Решение. '''Напомним общий вид уравнения касательной:	+	[[Image:A10704.jpg]]<br>'''Решение.''' 1) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (1; -2) — пунктирные прямые x = 1 и у = -2на рис. 189.<br>2) «Привяжем» функцию [[Image:A10705.jpg]] к новой системе координат. Для этого выберем контрольные точки для функций [[Image:A10706.jpg]]<br> но строить их будем не в старой, а в новой системе координат. Затем по этим точкам построим кривую того вида, какой представлен на рис. 188. Это и будет требуемый график (рис. 190).   <br>'''Пример 5.''' Составить уравнение касательной к 1 -графику функции: [[Image:A10707.jpg]] в точке х = 1.<br>'''Решение. '''Напомним общий вид уравнения касательной:

-	[[Image:~~a10708~~.jpg]]<br>Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной (см. § 34).	+	[[Image:A10708.jpg]]<br>Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной (см. § 34).

-	[[Image:~~a10709~~.jpg]]<br>4) Подставим найденные три числа: ~~а = 1, /(а) = 1, /'(а)=-1~~ в формулу (6). Получим:~~<br>у = 1-(-1),<br>у = 2-х. 2 У<br>б )Г(х) = х~~'~~:~~<br>1)    а = 1;<br>2)/(а)=Я1)    = \| = 1;<br>2 ---1 о --    2<br>3)/'()    = -- * 3 = з~~. ~~/'(1)=--.<br>2~~<br>4)    Подставим найденные три числа: ~~а = 1, /(а)=1, /'(а) = —вформулу<br>3<br>~~(6). Получим:~~<br>у = 1-\|(лс-1Х<br>2 5 у =—х + -~~. * 3 3<br>2    5<br>Ответ: ~~&)у = 2-х; б)у = — лс+ -~~.<br>~~3    3<br>л 1~~ Замечание. График функции ~~у = х 3~~ похож на ветвь гиперболы ~~у = —'~~.~~<br>х<br>~~оба графика имеют своими асимптотами оси координат, оба графика проходят через точку (1; 1). Но их поведение в точке (1; 1) различное, у них, как мы увидели при решении примера 5, разные касательные в этой точке (см. рис. 191,192).<br>Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = Чх, у=0, х=8.<br>        у                                    <br>                                            <br>                                            <br>                                            <br>                                            <br>                            У=        2/:        <br>                                            <br>                                            <br>    0            1_        ?                    X<br>                    1                        <br>        У                                    <br>                                            <br>                                            <br>                                            <br>                        Ч=*1х                    <br>—    2 1-                                        <br>                                            <br>                            ////                <br>        2                            1        X<br>                                    1        <br>Рис. ~~191<br>Рис. 192<br>Рис. 193~~<br>Решение. Фигура, площадь которой требуется вычислить, изображена на рис. 193. Имеем (см. § 38):~~<br><br>+ 1<br>3<br>= -• х-<br>4<br>8 3    ( 4 4 \<br>    83 -О3<br>о ~4    V У<br>= - (16-0)=12~~.<br>Ответ: 5 = 12.<br>~~242~~<br>	+	[[Image:A10709.jpg]]<br>4) Подставим найденные три числа: [[Image:a10710.jpg]] в формулу (6). Получим:
		+
		+	[[Image:a10711.jpg]]<br>4)    Подставим найденные три числа: [[Image:a10712.jpg]] вформулу (6). Получим:
		+
		+	[[Image:a10713.jpg]]<br>'''Ответ:''' [[Image:a10714.jpg]]<br> '''Замечание.''' График функции [[Image:a10715.jpg]] похож на ветвь гиперболы [[Image:a10716.jpg]] оба графика имеют своими асимптотами оси координат, оба графика проходят через точку (1; 1). Но их поведение в точке (1; 1) различное, у них, как мы увидели при решении примера 5, разные касательные в этой точке (см. рис. 191,192).<br>'''Пример 6. '''Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
		+
		+	[[Image:a10717.jpg]]<br>'''Решение.''' Фигура, площадь которой требуется вычислить, изображена на рис. 193. Имеем (см. § 38):
		+
		+	[[Image:a10718.jpg]]<br>'''Ответ:''' S = 12.<br><br>

	<br>		<br>