Теорема косинусов - История изменений

User17 в 10:57, 11 октября 2012

2012-10-11T10:57:36Z

← Предыдущая		Версия 10:57, 11 октября 2012
Строка 1:		Строка 1:
-	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 9 класс, Геометрия, урок, на Тему, Теорема косинусов</metakeywords>	+	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 9 класс, Геометрия, урок, на Тему, Теорема косинусов, косинус угла, абсолютной величине, треугольника</metakeywords>

	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 9 класс\|Математика 9 класс]]>>Математика: Теорема косинусов'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 9 класс\|Математика 9 класс]]>>Математика: Теорема косинусов'''
Строка 5:		Строка 5:
	<br>		<br>

-	~~<br>                                           ~~ '''~~ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ~~'''	+	'''Теорема косинусов'''

-	<br>Теорема 12.1 (теорема косинусов)~~.''~~'''Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на ~~косинус~~ угла между ними~~'''''~~.	+	<br>'''Теорема 12.1 (теорема косинусов)'''. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на [[Косинус угла\|Косинус угла]] между ними.<br>

-	~~<br>~~	+	[[Image:24-06-36.jpg\|480px\|Теорема косинусов]] <br>Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник (рис. 263). Докажем, что ВС<sup>2</sup>=АВ<sup>2</sup>+АС<sup>2</sup>—2АВ-АС-cosА. <br>Имеем векторное равенство [[Image:24-06-37.jpg\|120px\|Равенство]]. Возводя это равенство скалярно в квадрат, получим:
-		+
-	[[Image:24-06-36.jpg]]~~<br> ~~<br>Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник (рис. 263). Докажем, что ВС<sup>2</sup>=АВ<sup>2</sup>+АС<sup>2</sup>—2АВ-АС-cosА. <br>Имеем векторное равенство [[Image:24-06-37.jpg]]. Возводя это равенство скалярно в квадрат, получим:	+

-	[[Image:24-06-38.jpg]]	+	[[Image:24-06-38.jpg\|320px\|Теорема косинусов]]

	<br>Теорема доказана.		<br>Теорема доказана.

-	Заметим, что АС • cos А равно по абсолютной величине  проекции AD стороны АС на сторону АВ (рис. 263, а) или ее  продолжение (рис. 263, б). Знак АС-cos А зависит от угла А: «+», если угол А острый, « — », если угол А тупой. Отсюда  получается следствие: квадрат стороны треугольника равен сумме  квадратов двух других сторон « [[Image:24-06-39.jpg]]» удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак « + » надо брать, когда противолежащий угол тупой, а знак «—», когда угол острый.	+	Заметим, что АС • cos А равно по [[Абсолютная величина и направление вектора\|абсолютной величине]]  проекции AD стороны АС на сторону АВ (рис. 263, а) или ее  продолжение (рис. 263, б). Знак АС-cos А зависит от угла А: «+», если угол А острый, « — », если угол А тупой. Отсюда  получается следствие: квадрат стороны треугольника равен сумме  квадратов двух других сторон « [[Image:24-06-39.jpg]]» удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак « + » надо брать, когда противолежащий угол тупой, а знак «—», когда угол острый.

-	Задача (7). Даны стороны треугольника а, b, с.	+	'''Задача (7)'''. Даны стороны [[Презентація уроку на тему «Трикутник і його елементи»\|треугольника]] а, b, с.

	Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с.		Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с.

-	Решение. Имеем a<sup>2</sup> = b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>±2c-AD (рис. 264).	+	'''Решение.''' Имеем a<sup>2</sup> = b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>±2c-AD (рис. 264).

	Отсюда		Отсюда

-	[[Image:24-06-40.jpg]]	+	[[Image:24-06-40.jpg\|320px\|Решение]]

		+	<br>

		+	[[Image:24-06-41.jpg\|480px\|Теорема косинусов]]

-	[~~[Image~~:~~24-06-41~~.~~jpg]~~]	+	<br> ''А. В. Погорелов, [http://xvatit.com/vuzi/ Геометрия] для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>

-	~~<br> ~~

-	~~<br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>~~

	<sub>Библиотека с учебниками и книгами на скачку бесплатно [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], Математика для 9 класса [[Математика\|скачать]], школьная программа по математике, планы конспектов уроков </sub>		<sub>Библиотека с учебниками и книгами на скачку бесплатно [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], Математика для 9 класса [[Математика\|скачать]], школьная программа по математике, планы конспектов уроков </sub>
Строка 42:		Строка 40:

	'''<u>Содержание урока</u>'''		'''<u>Содержание урока</u>'''
-	<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] конспект урока '''	+	<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] конспект урока '''
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] опорный каркас	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] презентация урока	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] презентация урока
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] акселеративные методы	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] интерактивные технологии	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии

	'''<u>Практика</u>'''		'''<u>Практика</u>'''
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] задачи и упражнения	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] самопроверка	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] самопроверка
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] домашние задания	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] домашние задания
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] дискуссионные вопросы	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] риторические вопросы от учеников	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников
-		+
	'''<u>Иллюстрации</u>'''		'''<u>Иллюстрации</u>'''
-	<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''	+	<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] фотографии, картинки	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] графики, таблицы, схемы	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

	'''<u>Дополнения</u>'''		'''<u>Дополнения</u>'''
-	<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] рефераты'''	+	<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] статьи	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] статьи
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] фишки для любознательных	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] шпаргалки	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] учебники основные и дополнительные	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] словарь терминов	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] прочие	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] прочие
	'''<u></u>'''		'''<u></u>'''
	<u>Совершенствование учебников и уроков		<u>Совершенствование учебников и уроков
-	</u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''	+	</u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] элементы новаторства на уроке	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] замена устаревших знаний новыми	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми
-		+
	'''<u>Только для учителей</u>'''		'''<u>Только для учителей</u>'''
-	<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] идеальные уроки '''	+	<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] календарный план на год	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] методические рекомендации	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] программы	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] программы
-	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] обсуждения	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] обсуждения

User16 в 15:45, 29 июня 2010

2010-06-29T15:45:30Z

← Предыдущая		Версия 15:45, 29 июня 2010
Строка 1:		Строка 1:
-	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 9 класс, ~~Алгебра~~, урок, на Тему, Теорема косинусов</metakeywords>	+	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 9 класс, Геометрия, урок, на Тему, Теорема косинусов</metakeywords>

	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 9 класс\|Математика 9 класс]]>>Математика: Теорема косинусов'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 9 класс\|Математика 9 класс]]>>Математика: Теорема косинусов'''

User16 в 10:33, 24 июня 2010

2010-06-24T10:33:59Z

← Предыдущая		Версия 10:33, 24 июня 2010
Строка 5:		Строка 5:
	<br>		<br>

-	<br>                                            '''ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ'''	+	<br>                                            '''ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ'''

-	<br>Теорема 12.1 (теорема косинусов).'''''Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними'''''.	+	<br>Теорема 12.1 (теорема косинусов).'''''Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними'''''.

-	<br>	+	<br>

-	[[Image:24-06-36.jpg]]<br> <br>Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник (рис. 263). Докажем, что ВС<sup>2</sup>=АВ<sup>2</sup>+АС<sup>2</sup>—2АВ-АС-cosА. <br>Имеем векторное равенство ~~ВС=АС В~~. Возводя это равенство скалярно в квадрат, получим: ~~<br>ВС'=АВ'+АС'~~-~~2АВАС, <br>или <br>ВС'=АВ^ +АС^~~-~~2АВ-АС COS А~~. <br>Теорема доказана. ~~<br>~~Заметим, что АС • cos А равно по абсолютной величине  ~~<br>~~проекции AD стороны АС на сторону АВ (рис. 263, а) или ее  ~~<br>~~продолжение (рис. 263, б). Знак АС-cos А зависит от угла А: «~~-\|-~~», ~~<br>~~если угол А острый, « — », если угол А тупой. Отсюда  ~~<br>~~получается следствие: квадрат стороны треугольника равен сумме  ~~<br>~~квадратов двух других сторон « + » удвоенное произведение одной ~~<br>~~из них на проекцию другой. Знак * + » надо брать, когда ~~<br>~~противолежащий угол тупой, а знак «—», когда угол ~~<br>~~острый. ~~<br>~~Задача (7). Даны стороны треугольника а, Ь, с. ~~<br>~~Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с. ~~<br>~~Решение. Имеем a' = b' + c'±2c-AD (рис. 264). ~~<br>~~Отсюда ~~АВ= ±~~:~~° ~^~~ . ~~По теореме Пифагора <br>CD=^fAC'~~-~~AD'~=~~-~~yJ Ь'-[^^^^)\ <br><br><br>0 /    \ь<br>    <br>D<br> <br>~~<br>	+	[[Image:24-06-36.jpg]]<br> <br>Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник (рис. 263). Докажем, что ВС<sup>2</sup>=АВ<sup>2</sup>+АС<sup>2</sup>—2АВ-АС-cosА. <br>Имеем векторное равенство [[Image:24-06-37.jpg]]. Возводя это равенство скалярно в квадрат, получим:
		+
		+	[[Image:24-06-38.jpg]]
		+
		+	<br>Теорема доказана.
		+
		+	Заметим, что АС • cos А равно по абсолютной величине  проекции AD стороны АС на сторону АВ (рис. 263, а) или ее  продолжение (рис. 263, б). Знак АС-cos А зависит от угла А: «+», если угол А острый, « — », если угол А тупой. Отсюда  получается следствие: квадрат стороны треугольника равен сумме  квадратов двух других сторон « [[Image:24-06-39.jpg]]» удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак « + » надо брать, когда противолежащий угол тупой, а знак «—», когда угол острый.
		+
		+	Задача (7). Даны стороны треугольника а, b, с.
		+
		+	Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с.
		+
		+	Решение. Имеем a<sup>2</sup> = b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>±2c-AD (рис. 264).
		+
		+	Отсюда
		+
		+	[[Image:24-06-40.jpg]]
		+
		+
		+
		+	[[Image:24-06-41.jpg]]
		+
		+	<br>

	<br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>		<br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

2010-06-24T10:02:38Z

Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

Новая страница

<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 9 класс, Алгебра, урок, на Тему, Теорема косинусов</metakeywords>

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 9 класс|Математика 9 класс]]>>Математика: Теорема косинусов'''

 

                                             '''ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ'''

 Теорема 12.1 (теорема косинусов).'''''Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними'''''.

 

[[Image:24-06-36.jpg]]   Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник (рис. 263). Докажем, что ВС2=АВ2+АС2—2АВ-АС-cosА. Имеем векторное равенство ВС=АС В. Возводя это равенство скалярно в квадрат, получим: ВС'=АВ'+АС'-2АВАС, или ВС'=АВ^ +АС^-2АВ-АС COS А. Теорема доказана. Заметим, что АС • cos А равно по абсолютной величине  проекции AD стороны АС на сторону АВ (рис. 263, а) или ее  продолжение (рис. 263, б). Знак АС-cos А зависит от угла А: «-|-», если угол А острый, « — », если угол А тупой. Отсюда  получается следствие: квадрат стороны треугольника равен сумме  квадратов двух других сторон « + » удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак * + » надо брать, когда противолежащий угол тупой, а знак «—», когда угол острый. Задача (7). Даны стороны треугольника а, Ь, с. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с. Решение. Имеем a' = b' + c'±2c-AD (рис. 264). Отсюда АВ= ±:° ~^ . По теореме Пифагора CD=^fAC'-AD'~=-yJ Ь'-[^^^^)\ 0 /    \ь     D    

 ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' 

Библиотека с учебниками и книгами на скачку бесплатно [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], Математика для 9 класса [[Математика|скачать]], школьная программа по математике, планы конспектов уроков 

 

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
''''''
Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].