Уравнение касательной к графику функции - История изменений

User17 в 07:20, 6 августа 2012

2012-08-06T07:20:15Z

User17 в 21:26, 5 августа 2012

2012-08-05T21:26:18Z

Внесённые изменения

User9 в 13:27, 31 июля 2010

2010-07-31T13:27:15Z

← Предыдущая		Версия 13:27, 31 июля 2010
Строка 13:		Строка 13:
	На рис. 126 изображена гипербола [[Image:A106.jpg]], построена прямая у= 2-х.<br>Чертеж подтверждает приведенные выкладки: действительно, прямая у = 2-х касается гиперболы в точке(1; 1).		На рис. 126 изображена гипербола [[Image:A106.jpg]], построена прямая у= 2-х.<br>Чертеж подтверждает приведенные выкладки: действительно, прямая у = 2-х касается гиперболы в точке(1; 1).

-	'''Ответ:''' у =2- х.<br>'''Пример 2. '''К графику функции [[Image:A107.jpg]] провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой у =4х - 5.<br>'''Решение.''' Уточним формулировку задачи. Требование «провести касательную» обычно означает «составить уравнение касательной». Это логично, ибо если человек смог составить уравнение касательной, то вряд ли он будет испытывать затруднения с построением на координатной плоскости прямой по ее уравнению.<br>Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной, учитывая, что в данном примере [[Image:A108.jpg]] Но в отличие от предыдущего примера здесь имеется неясность: не указана явно абсцисса точки касания.<br>Начнем рассуждать так. Искомая касательная должна быть параллельна прямой у = 4х-5. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит, угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: [[Image:~~aa109~~.jpg]]  Таким образом, значение а мы можем найти из уравнения f'(а)= 4.<br>Имеем: [[Image:~~a1010~~.jpg]]<br>Из уравнения [[Image:~~a1011~~.jpg]] Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.<br>Теперь можно действовать по алгоритму.<br>	+	'''Ответ:''' у =2- х.<br>'''Пример 2. '''К графику функции [[Image:A107.jpg]] провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой у =4х - 5.<br>'''Решение.''' Уточним формулировку задачи. Требование «провести касательную» обычно означает «составить уравнение касательной». Это логично, ибо если человек смог составить уравнение касательной, то вряд ли он будет испытывать затруднения с построением на координатной плоскости прямой по ее уравнению.<br>Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной, учитывая, что в данном примере [[Image:A108.jpg]] Но в отличие от предыдущего примера здесь имеется неясность: не указана явно абсцисса точки касания.<br>Начнем рассуждать так. Искомая касательная должна быть параллельна прямой у = 4х-5. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит, угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: [[Image:Aa109.jpg]]  Таким образом, значение а мы можем найти из уравнения f'(а)= 4.<br>Имеем: [[Image:A1010.jpg]]<br>Из уравнения [[Image:A1011.jpg]] Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.<br>Теперь можно действовать по алгоритму.<br>

-	[[Image:a1-12.jpg]]<br>'''Пример 3.''' Из точки (0; 1) провести касательную к графику функции [[Image:~~a1013~~.jpg]]<br>'''Решение.''' Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной, учитывая, что в данном примере [[Image:~~a1014~~.jpg]] Заметим, что и здесь, как в примере 2, не указана явно абсцисса точки касания. Тем не менее действуем по алгоритму.<br>	+	[[Image:A1-12.jpg]]<br>'''Пример 3.''' Из точки (0; 1) провести касательную к графику функции [[Image:A1013.jpg]]<br>'''Решение.''' Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной, учитывая, что в данном примере [[Image:A1014.jpg]] Заметим, что и здесь, как в примере 2, не указана явно абсцисса точки касания. Тем не менее действуем по алгоритму.<br>

-	[[Image:~~a1015~~.jpg]]<br>По условию касательная проходит через точку (0; 1). Подставив в уравнение (2) значения х = 0, у = 1, получим: [[Image:~~a1016~~.jpg]]<br>Как видите, в этом примере только на четвертом шаге алгоритма нам удалось найти абсциссу точки касания. Подставив значение а =4 в уравнение (2), получим:<br>	+	[[Image:A1015.jpg]]<br>По условию касательная проходит через точку (0; 1). Подставив в уравнение (2) значения х = 0, у = 1, получим: [[Image:A1016.jpg]]<br>Как видите, в этом примере только на четвертом шаге алгоритма нам удалось найти абсциссу точки касания. Подставив значение а =4 в уравнение (2), получим:<br>

-	[[Image:~~a1017~~.jpg]]<br>На рис. 127 представлена геометрическая иллюстрация рассмотренного примера: построен график функции<br>	+	[[Image:A1017.jpg]]<br>На рис. 127 представлена геометрическая иллюстрация рассмотренного примера: построен график функции<br>

-	[[Image:~~a1018~~.jpg]]<br>	+	[[Image:A1018.jpg]]<br>

-	В § 32 мы отметили, что для функции у = f(х), имеющей производную в фиксированной точке х, справедливо приближенное равенство:<br>	+	В § 32 мы отметили, что для функции у = f(х), имеющей производную в фиксированной точке х, справедливо приближенное равенство:<br>

-	[[Image:~~a1019~~.jpg]]<br>Для удобства дальнейших рассуждений изменим обозначения: вместо х будем писать а, вместо [[Image:~~a1020/~~jpg]] будем писать х и соответственно вместо [[Image:~~a1021~~.jpg]] будем писать х-а. Тогда написанное выше приближенное равенство примет вид:<br>	+	[[Image:A1019.jpg]]<br>Для удобства дальнейших рассуждений изменим обозначения: вместо х будем писать а, вместо [[Image:A1020.jpg]] будем писать х и соответственно вместо [[Image:A1021.jpg]] будем писать х-а. Тогда написанное выше приближенное равенство примет вид:<br>

-	[[Image:~~a1022~~.jpg]]<br>А теперь взгляните на рис. 128. К графику функции у = f(х) проведена касательная в точке М (а; f (а)). Отмечена точка х на оси абсцисс близко от а. Ясно, что f(х) — ордината графика функции в указанной точке х. А что такое f(а) + f'(а) (х-а)? Это ордината касательной, соответствующая той же точке х — см. формулу (1). В чем же смысл приближенного равенства (3)? В том, что для вычисления приближенного значения функции берут значение ординаты касательной.<br>	+	[[Image:A1022.jpg]]<br>А теперь взгляните на рис. 128. К графику функции у = f(х) проведена касательная в точке М (а; f (а)). Отмечена точка х на оси абсцисс близко от а. Ясно, что f(х) — ордината графика функции в указанной точке х. А что такое f(а) + f'(а) (х-а)? Это ордината касательной, соответствующая той же точке х — см. формулу (1). В чем же смысл приближенного равенства (3)? В том, что для вычисления приближенного значения функции берут значение ординаты касательной.<br>

-	[[Image:~~a1023~~.jpg]]<br>'''Пример 4.''' Найти приближенное значение числового выражения 1,02<sup>7</sup>.<br>'''Решение.''' Речь идет об отыскании значения функции у = х<sup>7</sup> в точке х = 1,02. Воспользуемся формулой (3), учтя, что в данном примере [[Image:~~a1024~~.jpg]]<br>В итоге получаем:<br>[[Image:~~a1025~~.jpg]]<br>Если мы воспользуемся калькулятором, то получим: 1,02<sup>7</sup> = 1,148685667...<br>Как видите, точность приближения вполне приемлема.<br>'''Ответ:''' 1,02<sup>7</sup> =1,14.<br><br>	+	[[Image:A1023.jpg]]<br>'''Пример 4.''' Найти приближенное значение числового выражения 1,02<sup>7</sup>.<br>'''Решение.''' Речь идет об отыскании значения функции у = х<sup>7</sup> в точке х = 1,02. Воспользуемся формулой (3), учтя, что в данном примере [[Image:A1024.jpg]]<br>В итоге получаем:<br>[[Image:A1025.jpg]]<br>Если мы воспользуемся калькулятором, то получим: 1,02<sup>7</sup> = 1,148685667...<br>Как видите, точность приближения вполне приемлема.<br>'''Ответ:''' 1,02<sup>7</sup> =1,14.<br><br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9 в 13:15, 31 июля 2010

2010-07-31T13:15:42Z

Внесённые изменения

User9 в 12:59, 31 июля 2010

2010-07-31T12:59:00Z

← Предыдущая		Версия 12:59, 31 июля 2010
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Уравнение касательной к графику функции<metakeywords>Уравнение касательной к графику функции</metakeywords>'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Уравнение касательной к графику функции<metakeywords>Уравнение касательной к графику функции</metakeywords>'''
		+
		+
		+
		+	'''§ 34. УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ'''<br>В § 32 говорилось о том, что если точка М (а; f(а)) принадлежит графику функции у = f(х) и если в этой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную к оси абсцисс, то угловой коэффициент касательной равен f'(а). Мы этим уже несколько раз пользовались. Например, в § 33 было установлено, что график функции у = sin х(синусоида) в начале координат образует с осью абсцисс угол 45° (точнее, касательная к графику в начале координат составляет с положительным направлением оси х угол 45°), а в примере 5 § 33 были найдены точки на графике заданной функции, в которых касательная параллельна оси абсцисс. В примере 2 § 33 было составлено уравнение касательной к графику функции у = х<sup>2</sup> в точке х = 1 (точнее, в точке (1; 1), но чаще указывают только значение абсциссы, полагая, что если значение абсциссы известно, то значение ординаты можно найти из уравнения у = f(х)). В этом параграфе мы выработаем алгоритм составления уравнения касательной.к графику любой функции.<br>Пусть даны функция у = f(х) и точка М (а; f(а)), а также известно, что существует f'(а). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке. Это уравнение, как уравнение любой прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид у = кх+m, поэтому задача состоит в отыскании значений коэффициентов к и m.<br>С угловым коэффициентом к проблем нет: мы знаем, что к = f'(а). Для вычисления значения т воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку М(а; f (а)). Это значит, что, если подставить координаты точки М в уравнение прямой, получим верное равенство: f(а) = ка+m, откуда находим, что m = f(а) - ка.<br>Осталось подставить найденные значения коэффициентов кит в уравнение прямой:
		+
		+	[[Image:a101.jpg]]<br>Нами получено уравнение касательной к графику функции у = f(х) в точке х=а.<br>Если, скажем, [[Image:a102.jpg]]<br>Подставив в уравнение (1) найденные значения а = 1, f(а) = 1 f'(а) = 2, получим: у = 1+2(х-f), т.е. у = 2х-1.<br>Сравните этот результат с тем, что был получен в примере 2 из § 33. Естественно, получилось то же самое.<br>Составим уравнение касательной к графику функции у = tg х в начале координат. Имеем: [[Image:a103.jpg]] значит, соs х f'(0) = 1. Подставив в уравнение (1) найденные значения а= 0, f(а)= 0, f'(а) = 1, получим: у=х.<br>Именно поэтому мы и провели тангенсоиду в § 15 (см. рис. 62) через начало координат под углом 45° к оси абсцисс.<br>Решая эти достаточно простые примеры, мы фактически пользовались определенным алгоритмом, который заложен в формуле (1). Сделаем этот алгоритм явным.<br>'''АЛГОРИТМ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ  К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ у = f(x)'''<br>1)    Обозначить абсциссу точки касания буквой а.<br>2)    Вычислить 1 (а).<br>3)    Найти f'(х) и вычислить f'(а).<br>4)    Подставить найденные числа а, f(а), (а) в формулу (1).
		+
		+	'''Пример 1.''' Составить уравнение касательной к графику функции [[Image:a104.jpg]] в точке х = 1.<br>'''Решение.''' Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере
		+
		+	[[Image:a105.jpg]]
		+
		+	На рис. 126 изображена гипербола [[Image:a106.jpg]], построена прямая у= 2-х.<br>Чертеж подтверждает приведенные выкладки: действительно, прямая у = 2-х касается гиперболы в точке(1; 1).
		+
		+	'''Ответ:''' у =2- х.<br>'''Пример 2. '''К графику функции [[Image:a107.jpg]] провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой у =4х - 5.<br>'''Решение.''' Уточним формулировку задачи. Требование «провести касательную» обычно означает «составить уравнение касательной». Это логично, ибо если человек смог составить уравнение касательной, то вряд ли он будет испытывать затруднения с построением на координатной плоскости прямой по ее уравнению.<br>Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной, учитывая, что в данном примере [[Image:a108.jpg]] Но в отличие от предыдущего примера здесь имеется неясность: не указана явно абсцисса точки касания.<br>Начнем рассуждать так. Искомая касательная должна быть параллельна прямой у = 4х-5. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит, угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой:
		+
		+	<br>                    <br>                н    <br>            1 2    \    х<br>        -V        у=2 I I    -X ' I I"<br>Рис. 126<br>167<br>= 4. Но /'(а). Таким образом, значение а мы можем найти из уравнения /'(а)= 4.<br>Имеем: /'() =<br>/ 3 л<br>X<br>= ~3х2=х2; /'(а)= а2. 3<br>3<br>V У<br>Из уравнения /'(а)= 4, т.е. а =4 находим =2,а2 =-2. Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.<br>Теперь можно действовать по алгоритму.<br>1)^ =2, ^=-2.<br>2)/(а1)    = - = 5; /(а2) = ^ = -®.<br>'3 3    3 3<br>3)/'(а,)    = /'(а2)=4.<br>д<br>4)    Подставив значения Оу = 2, /(а,) = -, /'(а1)=4в формулу (1), полу-<br>3<br>8 16 чим: </ = - + 4(х-2), у=4х—<br>О    О<br>д<br>Подставив значения ^=2, /(03) = -—, //(а2)=4 в формулу (1), полу-<br>8 „ , 16 чим: у = — + 4(я + 2), у =4х 4-—.<br>3    3<br>^ ^ 16 ^ 16<br>Ответ: у = 4х--, </=4х +—.<br>3    3<br>Пример 3. Из точки (0; 1) провести касательную к графику функции у=4х.<br>Решение. Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной, учитывая, что в данном примере /(х) = Я . Заметим, что и здесь, как в примере 2, не указана явно абсцисса точки касания. Тем не менее действуем по алгоритму.<br>1) Пусть х = а — абсцисса точки касания; ясно, что а >0.<br>2    )/(а) = 7а.<br>3    )Г()=(^)'=^Ь Г(а) = ^.<br>4) Подставив значения а, /(а) = >/а, /'(а) = —в формулу (1), получим:<br>2 -^а<br>г- 1 у = ^а + —Т=(х-а)-, 2 >/а<br>х 4а<br><2><br>По условию касательная проходит через точку (0; 1). Подставив в уравнение (2) значения х = 0, у = 1, получим: 1 и далее 4а =2, а =4.<br>2<br>Как видите, в этом примере только на четвертом шаге алгоритма нам удалось найти абсциссу точки касания. Подставив значение а =4 в уравнение (2), получим:<br>Х л<br>у = 1 +1.<br>168<br>На рис. 127 представлена геометрическая иллюстрация рассмотренного примера: построен график функции у = Я, проведена прямая<br>у = — + 1, выделена точка касания (4; 2). 4<br>            У                I I I I                <br>        к    к                    X = - + 1 4            <br>                                            <br>                                            <br>    2                            к            <br>    1                                У = ух        <br>                                            <br>        0                А                    X<br>                                            <br>                                            <br>Ответ: у = — +1. У 4<br>В § 32 мы отметили, что для функции у = /(х), имеющей производную в фиксиро-    Рис.127<br>ванной точке х, справедливо приближенное равенство:<br>или, подробнее,<br>/(х+Д х)-/(х)«П)Д-Для удобства дальнейших рассуждений изменим обозначения: вместо х будем писать а, вместо х+Дх будем писать х и соответственно вместо Дх будем писать х-а. Тогда написанное выше приближенное равенство примет вид:<br>/()-/(«)-Па) (-<)<br>или<br>/(х)~/(а) + /'(а)(х-а).<br>(3)<br>А теперь взгляните на рис. 128. К графику функции у = /(х) проведена касательная в точке М (а; / (а)). Отмечена точка х на оси абсцисс близко от а. Ясно, что /(х) — ордината графика функции в указанной точке х. А что такое /(а) + /'(а) (х-а)? Это ордината касательной, соответствующая той же точке х — см. формулу (1). В чем же смысл приближенного равенства (3)? В том, что для вычисления приближенного значения функции берут значение ординаты касательной.<br>                У                /    у=ад .                    <br>                                !    И 1                    <br>        ад                    -А    У-    44                    <br>                        А    А                        1С—    а)<br>                    и        1                            <br>            0            ах                                <br>            /    г                                        <br>        у    г                                            <br>    /                                                    <br>                                                        <br>Пример 4. Найти приближенное значе-    рис. 128<br>ние числового выражения 1,027.<br>Решение. Речь идет об отыскании значения функции у = х7 в точке х = 1,02. Воспользуемся формулой (3), учтя, что в данном примере /(х)= х7, а = 1, /(а) = /(1) = 1; х = 1,02, /'(х) = 7х6 и, следовательно, /'(а) = /'(1) = 716 =7.<br>В итоге получаем:<br>1,027 =1 + 7 0,02, т.е. 1,027 =1,14.<br>Если мы воспользуемся калькулятором, то получим: 1,027 = 1,148685667...<br>Как видите, точность приближения вполне приемлема.<br>Ответ: 1,027 =1,14.<br>169

	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

User9: Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

2010-07-31T12:43:45Z

Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]>>Математика: Уравнение касательной к графику функции<metakeywords>Уравнение касательной к графику функции</metakeywords>'''

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

 

Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие

Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].