Четные и нечетные функции - История изменений

User17 в 08:59, 10 октября 2012

2012-10-10T08:59:02Z

Внесённые изменения

User17 в 08:58, 10 октября 2012

2012-10-10T08:58:23Z

Внесённые изменения

User9 в 08:44, 30 июня 2010

2010-06-30T08:44:53Z

Внесённые изменения

User9 в 08:37, 30 июня 2010

2010-06-30T08:37:32Z

Внесённые изменения

User9 в 08:15, 30 июня 2010

2010-06-30T08:15:08Z

← Предыдущая		Версия 08:15, 30 июня 2010
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 9 класс\|Математика 9 класс]]>>Математика: Четные и нечетные функции<metakeywords>Четные и нечетные функции</metakeywords>'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 9 класс\|Математика 9 класс]]>>Математика: Четные и нечетные функции<metakeywords>Четные и нечетные функции</metakeywords>'''
		+
		+
		+
		+	'''ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ'''<br>В предыдущем параграфе мы обсуждали только те свойства функций, которые в той или иной степени были вам знакомы. Там же было замечено, что запас свойств функций будет постепенно пополняться. О двух новых свойствах и пойдет речь в настоящем параграфе.<br>'''Определение 1.''' Функцию у = f(x), х є Х, называют четной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х).<br>'''Определение 2.''' Функцию у = f(x), х є X, называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = -f (х).<br>'''Пример 1.''' Доказать, что у = х<sup>4</sup> — четная функция.<br>'''Решение.''' Имеем: f(х) = х<sup>4</sup>, f(-х) = (-х)<sup>4</sup>. Но (-х)<sup>4</sup> = х<sup>4</sup>. Значит, для любого х выполняется равенство f(-х) = f(х), т.е. функция является четной. <br>Аналогично можно доказать, что функции у — х<sup>2</sup>,у = х<sup>6</sup>,у — х<sup>8</sup> являются четными.<br>'''Пример 2. '''Доказать, что у = х<sup>3</sup>~ нечетная функция.<br>'''Решение.''' Имеем: f(х) = х<sup>3</sup>, f(-х) = (-х)<sup>3</sup>. Но (-х)<sup>3</sup> = -х<sup>3</sup>. Значит, для любого х выполняется равенство f (-х) = -f (х), т.е. функция является нечетной. <br>Аналогично можно доказать, что функции у = х, у = х<sup>5</sup>, у = х<sup>7</sup> являются нечетными.<br>Мы с вами не раз уже убеждались в том, что новые термины в математике чаще всего имеют «земное» происхождение, т.е. их можно каким-то образом объяснить. Так обстоит дело и с четными, и с нечетными функциями. Смотрите: у — х<sup>3</sup>, у = х<sup>5</sup>, у = х<sup>7</sup> — нечетные функции, тогда как у = х<sup>2</sup>, у = х<sup>4</sup>, у = х<sup>6</sup> — четные функции. И вообще для любой функции вида у = х" (ниже мы специально займемся изучением этих функций), где n — натуральное число, можно сделать вывод: если n — нечетное число, то функция у = х" — нечетная; если же n — четное число, то функция у = хn — четная.<br>Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Такова, например, функция у = 2х + 3. В самом деле, f(1) = 5, а f (-1) = 1. Как видите, здесь [[Image:al9111.jpg]] Значит, не может выполняться ни тождество f(-х) = f (х), ни тождество f(-х) = -f(х).<br>Итак, функция может быть четной, нечетной, а также ни той ни другой.<br>Изучение вопроса о том, является ли заданная функция четной или нечетной, обычно называют исследованием функции на четность.<br>В определениях 1 и 2 речь идет о значениях функции в точках х и -х. Тем самым предполагается, что функция определена и в точке х, и в точке -х. Это значит, что точка -х принадлежит области определения функции одновременно с точкой х. Если числовое множество X вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент -х, то X называют симметричным множеством. Скажем, (-2, 2), [-5, 5], (-оо, +оо) — симметричные множества, в то время как [0, +оо), (-2, 3), [-5, 5) — несимметричные множества. Если функция у = f (х) — четная или нечетная, то ее область определения D (f) — симметричное множество. Если же D (f) — несимметричное множество, то функция у = f(х) не является ни четной, ни нечетной.<br>Учитывая сказанное, рекомендуем при исследовании функции на четность использовать следующий алгоритм.<br>'''Алгоритм исследования функции у = f(х) на четность'''<br>1.    Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то объявить, что функция не является ни четной, ни нечетной. Если да, то переходить ко второму шагу алгоритма.<br>2.    Найти f(-х).<br>3.    Сравнить f (x)= f (-x)<br>а)    если f(-х) = f(х), то функция — четная,<br>б)    если f(-х) = -f(х), то функция — нечетная;<br>в)    если хотя бы в одной точке х є Х выполняется соотношение f(-х) = f(х) и хотя бы в одной точке х є X выполняется соотношение f(-х) = -f(х), то функция не является ни четной, ни нечетной.<br>'''Пример 3.''' Исследовать на четность функцию:<br>а) У = 4 + —;<br>х6<br>в) У<br>х - 4<br>б)у = х    ;<br>г) у = Т^з.<br>Решение, а) у = /(ж), где /(ж) = ж4 + — .<br>1) Функция определена при всех значениях х, кроме х = 0. Следовательно, /)(/) — симметричное множество.<br>2) /(-) = (-)4 +<br>:х4 +<br>(-х)6 " ■ X°<br>3) Замечаем, что для любого ж из области определения функции выполняется равенство /(-) = /().<br>2<br>Таким образом, у- х4+ ~ — четная функция.<br>б) У = Кх), где Кх) = - .<br>1) Функция определена при всех значениях х, кроме х = 0. Следовательно, Х>(/) — симметричное множество.<br>2 )/(-) = (-х)5<br>= -х5 +<br>х3<br>(-ж)3    х"<br>3) Замечаем, что для любого х из области определения функции выполняется равенство К-х) = -Кх).<br>Таким образом, у = хъ- —<br>х3<br>нечетная функция.<br>в) У = Кх), где Кх) ■■<br>х-4 х2 -9'<br>1) Функция определена во всех точках х, кроме тех, которые обращают знаменатель дроби в нуль. Из условия х2 - 9 = 0 находим х = ± 3. Значит, область определения функции — числовая прямая, из которой удалены две точки: 3 и -3. Это — симметричное множество.<br>90<br>3.12. \|\|<br>ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ<br>. _ (-) - 4    х + 4<br>2) х> ~ (_л)2_9 - х2_9-<br>3) Сравнив /(-х) и /(х), замечаем, что, скорее всего, не выполняются ни тождество /(-х) = /(х), ни тождество /(-х) = -/(х). Чтобы в этом убедиться, возьмем конкретное значение х, например х = 4. Имеем: /(4) = О, а /(-4) * 0. Замечаем, что /(-4) ф /(4) и /(-4) ф -/(4).<br>Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной.<br>г) Функция у = - 3 определена при условии х - 3 > 0, т.е. на луче [3, +оо). Этот луч — несимметричное множество, значит, функция не является ни четной, ни нечетной. (И<br>Пример 4. Исследовать на четность функцию:<br>а)у=\х\,    хе[-2, 2]; б) у = \х \, ж е [-3, 3);<br>в)у = х3, хе(-5,5); г)у = х3, хе(-5,5].<br>Решение. а)Х>(/) = [-2,21 — симметричное множество, и для всех х выполняется равенство \| -х \| = \| х \|. Значит, заданная функция — четная.<br>б)    Х>(/) = [-3, 3) — несимметричное множество. В самом деле, точка -3 принадлежит полуинтервалу [-3, 3), а противоположная точка 3 не принадлежит этому полуинтервалу. Значит, функция не является ни четной, ни нечетной.
		+
		+	в)    В{Г) = (-5, 5) — симметричное множество и (-ж)3 = -ж3 для всех х из интервала (-5, 5). Значит, заданная функция — нечетная.<br>г)    Функция задана на полуинтервале, который не является симметричным множеством. Значит, функция — ни четная, ни нечетная. (И<br>Теперь обсудим геометрический смысл свойства четности и свойства нечетности функции.<br>Пусть у = /(ж) — четная функция, т.е. /(-) = /(х) для любого х е . Рассмотрим две точки графика функции: А(х; /(х)) и В(-х; /(-х)). Так как /(-х) = /(х), то у точек А и В абсциссы являются противоположными числами, а ординаты одинаковы. Эти точки симметричны относительно оси у (рис. 73). Таким образом, для каждой точки А графика четной функции у = /(х) существует<br>91<br>310-1\|<br>ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ<br>симметричная ей относительно оси у точка В того же графика. Это означает, что график четной функции симметричен относительно оси у.<br>Пусть у = Дх) — нечетная функция, т.е. Д-х) = -Дх) для любого хе !)(/). Рассмотрим две точки графика функции: А(х; Дх)) и В(-х; Д-х)). Так как Д-х) = -Дх), то у точек А и В абсциссы являются противоположными числами и ординаты являются противоположными числами. Эти точки симметричны относительно начала координат (рис. 74). Таким образом, для каждой точки А графика нечетной функции у = Дх) существует симметричная ей относительно начала координат точка В того же графика. Это означает, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат.<br>                У'    к                ))<br>    В                            А    <br>                                    <br>                                    <br>                                    X<br>    -х            0            X        <br>                У'    к        ((X)    А    <br>                            у        <br>    -X                *    *            X<br>            *    *    0        X        <br>    В'    ф                            <br>(    -х;    д-                            <br>Рис. 73<br>Рис. 74<br>Верны и обратные утверждения:<br>1)    Если график функции у = [(х) симметричен относительно оси ординат, то у = {(х) — четная функция.<br>В самом деле, симметрия графика функции у = Дх) относительно оси у означает, что для всех х из области определения функции справедливо равенство Д-х) = Дх), т.е. у = Дх) — четная функция.<br>2)    Если график функции у = [(х) симметричен относительно начала координат, то у = {(х) — нечетная функция.<br>Симметрия графика функции у = Дх) относительно начала координат означает, что для всех х из области определения функции справедливо равенство Д-х) = -Дх), т.е. у — Дх) — нечетная функция.<br>92<br>3.12. \|\|<br>ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ<br>Пример 5. Исследовать на четность функцию<br>У = 49-х2 .<br>Решение. Первый способ. Имеем<br>/(ж) = 49-х2; /(-ж) = л/9 - (-х)2 = 49-х2 . Значит, для любого х из Х)(/) справедливо равенство Д-х) = Дх), т.е. функция является четной.<br>Второй способ. Графиком функции служит полуокружность с центром в начале координат и радиусом 3 (см. рис.52 из § 9), она симметрична относительно оси у. Это означает, что<br>у = 49 - X2 — четная функция. <И

	А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

User9: Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

2010-06-30T07:57:15Z

Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 9 класс|Математика 9 класс]]>>Математика: Четные и нечетные функции<metakeywords>Четные и нечетные функции</metakeywords>'''

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

 

Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие

Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].