Числовая окружность - История изменений

User17 в 18:48, 10 октября 2012

2012-10-10T18:48:56Z

← Предыдущая		Версия 18:48, 10 октября 2012
Строка 1:		Строка 1:
-	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 9 класс\|Математика 9 класс]]>>Математика: Числовая окружность<metakeywords>Числовая окружность? математические модели, числовая окружность, числовой прямой, положительному числу, точку, математического языка, числу</metakeywords>'''	+	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 9 класс\|Математика 9 класс]]>>Математика: Числовая окружность<metakeywords>Числовая окружность, математические модели, числовая окружность, числовой прямой, положительному числу, точку, математического языка, числу</metakeywords>'''

	<br>		<br>

User17 в 18:05, 10 октября 2012

2012-10-10T18:05:43Z

Внесённые изменения

User9 в 12:17, 7 июля 2010

2010-07-07T12:17:24Z

← Предыдущая		Версия 12:17, 7 июля 2010
Строка 21:		Строка 21:
	[[Image:Alg115.jpg]]<br>'''Пример 4.''' Найти на числовой окружности точку, соответствующую числу -7.<br>'''Решение.''' Нам нужно, отправляясь из точки А(0) и двигаясь в отрицательном направлении (в направлении по часовой стрелке), пройти по окружности путь длиной 7. Если пройти одну окружность, то получим (приближенно) 6,28, значит, нужно еще пройти (в том же направлении) путь длиной 0,72. Что же это за дуга? Немного меньше половины четверти окружности, т.е. ее длина меньше числа —. <br> [[Image:Alg116.jpg]]          <br>Итак, начисловой окружности, как и начисловой прямой, каждому действительному числу соответствует одна точка (только, разумеется, на прямой ее найти легче, чем на окружности). Но для прямой верно и обратное: каждая точка соответствует единственному числу. Для числовой окружности такое утверждение неверно, выше мы неоднократно убеждались в этом. Для числовой окружности справедливо следующее утверждение.<br>Если точка М числовой окружности соответствует числу I, то она соответствует и числу вида I + 2як, где к — любое целое число (к е 2).<br>В самом деле, 2п — длина числовой (единичной) окружности, а целое число \|й\| можно рассматривать как количество полных обходов окружности в ту или другую сторону. Если, например, к = 3, то это значит, что мы делаем три обхода окружности в положительном направлении; если к = -7, то это значит, что мы делаем семь (\| к \| = \| -71 = 7) обходов окружности в отрицательном направлении. Но если мы находимся в точке М(1), то, выполнив еще \| к \| полных обходов окружности, мы снова окажемся в точке М. <br>		[[Image:Alg115.jpg]]<br>'''Пример 4.''' Найти на числовой окружности точку, соответствующую числу -7.<br>'''Решение.''' Нам нужно, отправляясь из точки А(0) и двигаясь в отрицательном направлении (в направлении по часовой стрелке), пройти по окружности путь длиной 7. Если пройти одну окружность, то получим (приближенно) 6,28, значит, нужно еще пройти (в том же направлении) путь длиной 0,72. Что же это за дуга? Немного меньше половины четверти окружности, т.е. ее длина меньше числа —. <br> [[Image:Alg116.jpg]]          <br>Итак, начисловой окружности, как и начисловой прямой, каждому действительному числу соответствует одна точка (только, разумеется, на прямой ее найти легче, чем на окружности). Но для прямой верно и обратное: каждая точка соответствует единственному числу. Для числовой окружности такое утверждение неверно, выше мы неоднократно убеждались в этом. Для числовой окружности справедливо следующее утверждение.<br>Если точка М числовой окружности соответствует числу I, то она соответствует и числу вида I + 2як, где к — любое целое число (к е 2).<br>В самом деле, 2п — длина числовой (единичной) окружности, а целое число \|й\| можно рассматривать как количество полных обходов окружности в ту или другую сторону. Если, например, к = 3, то это значит, что мы делаем три обхода окружности в положительном направлении; если к = -7, то это значит, что мы делаем семь (\| к \| = \| -71 = 7) обходов окружности в отрицательном направлении. Но если мы находимся в точке М(1), то, выполнив еще \| к \| полных обходов окружности, мы снова окажемся в точке М. <br>

-	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс	+	А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

	<br>		<br>

User9 в 12:16, 7 июля 2010

2010-07-07T12:16:43Z

← Предыдущая		Версия 12:16, 7 июля 2010
Строка 1:		Строка 1:
-	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Числовая окружность<metakeywords>Числовая окружность</metakeywords>'''	+	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 9 класс\|Математика 9 класс]]>>Математика: Числовая окружность<metakeywords>Числовая окружность</metakeywords>'''

	<br>		<br>

User9 в 12:15, 7 июля 2010

2010-07-07T12:15:37Z

← Предыдущая		Версия 12:15, 7 июля 2010
Строка 1:		Строка 1:
-	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 9 класс\|Математика 9 класс]]>>Математика: Числовая окружность<metakeywords>Числовая окружность</metakeywords>'''	+	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 10 класс\|Математика 10 класс]]>>Математика: Числовая окружность<metakeywords>Числовая окружность</metakeywords>'''

	<br>		<br>
Строка 13:		Строка 13:
	'''Замечание.''' Когда мы в 7—8-м классах работали с числовой прямой, то условились, ради краткости, не говорить «точка прямой, соответствующая числу х», а говорить «точка х». Точно такой же договоренности будем придерживаться и при работе с числовой окружностью: «точка f» — это значит, что речь идет о точке окружности, которая соответствует числу<br>'''Пример 2.''' Найти на числовой окружности точки, соответствующие числам [[Image:Alg19.jpg]]<br>'''Решение. '''Разделив первую четверть АВ на три равные части точками К и Р, получим: <br>[[Image:Alg110.jpg]]<br>'''Пример 3.''' Найти на числовой окружности точки, соответствующие числам  [[Image:Alg111.jpg]]<br>'''Решение.''' Построения будем делать, пользуясь рис. 99. Отложив дугу АМ (ее длина равна —) от точки А пять раз в отрицательном направлении, получим точку!, — середину дуги ВС. Итак,		'''Замечание.''' Когда мы в 7—8-м классах работали с числовой прямой, то условились, ради краткости, не говорить «точка прямой, соответствующая числу х», а говорить «точка х». Точно такой же договоренности будем придерживаться и при работе с числовой окружностью: «точка f» — это значит, что речь идет о точке окружности, которая соответствует числу<br>'''Пример 2.''' Найти на числовой окружности точки, соответствующие числам [[Image:Alg19.jpg]]<br>'''Решение. '''Разделив первую четверть АВ на три равные части точками К и Р, получим: <br>[[Image:Alg110.jpg]]<br>'''Пример 3.''' Найти на числовой окружности точки, соответствующие числам  [[Image:Alg111.jpg]]<br>'''Решение.''' Построения будем делать, пользуясь рис. 99. Отложив дугу АМ (ее длина равна —) от точки А пять раз в отрицательном направлении, получим точку!, — середину дуги ВС. Итак,

-	[[Image:Alg112.jpg]]<br>'''Замечание. '''Обратите внимание на некоторую вольность, которую мы позволяем себе в использовании математического языка. Ясно, что дуга АК и д л ина дуги АК — разные вещи (первое понятие — геометрическая фигура, а второе понятие — число). Но обозначается и то и другое одинаково: АК. Более того, если точки А и К соединить отрезком, то и полученный отрезок, и его длина обозначаются так же: АК. Обычно из контекста бывает ясно, какой смысл вкладывается в обозначение (дуга, длина дуги, отрезок или длина отрезка).<br> Поэтому нам очень пригодятся два макета числовой окружности.<br>'''ПЕРВЫЙ МАКЕТ'''<br>Каждая из четырех четвертей числовой окружности разделена на две равные части, и около каждой из имеющихся восьми точек записаны их «имена» (рис. 100).<br>'''ВТОРОЙ МАКЕТ''' Каждая из четырех четвертей числовой окружности разделена на три равные части, и около каждой из имеющихся двенадцати точек записаны их «имена» (рис. 101).	+	[[Image:Alg112.jpg]]<br>'''Замечание. '''Обратите внимание на некоторую вольность, которую мы позволяем себе в использовании математического языка. Ясно, что дуга АК и д л ина дуги АК — разные вещи (первое понятие — геометрическая фигура, а второе понятие — число). Но обозначается и то и другое одинаково: АК. Более того, если точки А и К соединить отрезком, то и полученный отрезок, и его длина обозначаются так же: АК. Обычно из контекста бывает ясно, какой смысл вкладывается в обозначение (дуга, длина дуги, отрезок или длина отрезка).<br> Поэтому нам очень пригодятся два макета числовой окружности.<br>'''ПЕРВЫЙ МАКЕТ'''<br>Каждая из четырех четвертей числовой окружности разделена на две равные части, и около каждой из имеющихся восьми точек записаны их «имена» (рис. 100).<br>'''ВТОРОЙ МАКЕТ''' Каждая из четырех четвертей числовой окружности разделена на три равные части, и около каждой из имеющихся двенадцати точек записаны их «имена» (рис. 101).

-	[[Image:~~alg113~~.jpg]]<br>Учтите, что на обоих макетах мы могли бы заданным точкам присвоить и другие «имена».<br>Заметили ли вы, что во всех разобранных примерах длины дуг<br>выражались некоторыми долями числа п? Это неудивительно: ведь длина единичной окружности равна 2п, и если мы окружность или ее четверть делим на равные части, то получаются дуги, длины которых выражаются долями числа и. А как вы думаете, можно ли найти на единичной окружности такую точку Е, что длина дуги АЕ будет равна 1? Давайте прикинем:	+	[[Image:Alg113.jpg]]<br>Учтите, что на обоих макетах мы могли бы заданным точкам присвоить и другие «имена».<br>Заметили ли вы, что во всех разобранных примерах длины дуг<br>выражались некоторыми долями числа п? Это неудивительно: ведь длина единичной окружности равна 2п, и если мы окружность или ее четверть делим на равные части, то получаются дуги, длины которых выражаются долями числа и. А как вы думаете, можно ли найти на единичной окружности такую точку Е, что длина дуги АЕ будет равна 1? Давайте прикинем:

-	[[Image:~~alg114~~.jpg]]<br>Рассуждая аналогичным образом, делаем вывод, что на единичной окружности можно найти и точку Ег, для которой АЕ, = 1, и точку Е2, для которой АЕг = 2, и точку Е3, для которой АЕ3 = 3, и точку Е4, для которой АЕ4 = 4, и точку Еь, для которой АЕЪ = 5, и точку Е6, для которой АЕ6 = 6. На рис. 102 отмечены (приблизительно) соответствующие точки (причем для ориентировки каждая из четвертей единичной окружности разделена черточками на три равные части).	+	[[Image:Alg114.jpg]]<br>Рассуждая аналогичным образом, делаем вывод, что на единичной окружности можно найти и точку Ег, для которой АЕ, = 1, и точку Е2, для которой АЕг = 2, и точку Е3, для которой АЕ3 = 3, и точку Е4, для которой АЕ4 = 4, и точку Еь, для которой АЕЪ = 5, и точку Е6, для которой АЕ6 = 6. На рис. 102 отмечены (приблизительно) соответствующие точки (причем для ориентировки каждая из четвертей единичной окружности разделена черточками на три равные части).

-	[[Image:~~alg115~~.jpg]]<br>'''Пример 4.''' Найти на числовой окружности точку, соответствующую числу -7.<br>'''Решение.''' Нам нужно, отправляясь из точки А(0) и двигаясь в отрицательном направлении (в направлении по часовой стрелке), пройти по окружности путь длиной 7. Если пройти одну окружность, то получим (приближенно) 6,28, значит, нужно еще пройти (в том же направлении) путь длиной 0,72. Что же это за дуга? Немного меньше половины четверти окружности, т.е. ее длина меньше числа —. <br> [[Image:~~alg116~~.jpg]]          <br>Итак, начисловой окружности, как и начисловой прямой, каждому действительному числу соответствует одна точка (только, разумеется, на прямой ее найти легче, чем на окружности). Но для прямой верно и обратное: каждая точка соответствует единственному числу. Для числовой окружности такое утверждение неверно, выше мы неоднократно убеждались в этом. Для числовой окружности справедливо следующее утверждение.<br>Если точка М числовой окружности соответствует числу I, то она соответствует и числу вида I + 2як, где к — любое целое число (к е 2).<br>В самом деле, 2п — длина числовой (единичной) окружности, а целое число \|й\| можно рассматривать как количество полных обходов окружности в ту или другую сторону. Если, например, к = 3, то это значит, что мы делаем три обхода окружности в положительном направлении; если к = -7, то это значит, что мы делаем семь (\| к \| = \| -71 = 7) обходов окружности в отрицательном направлении. Но если мы находимся в точке М(1), то, выполнив еще \| к \| полных обходов окружности, мы снова окажемся в точке М. <br>	+	[[Image:Alg115.jpg]]<br>'''Пример 4.''' Найти на числовой окружности точку, соответствующую числу -7.<br>'''Решение.''' Нам нужно, отправляясь из точки А(0) и двигаясь в отрицательном направлении (в направлении по часовой стрелке), пройти по окружности путь длиной 7. Если пройти одну окружность, то получим (приближенно) 6,28, значит, нужно еще пройти (в том же направлении) путь длиной 0,72. Что же это за дуга? Немного меньше половины четверти окружности, т.е. ее длина меньше числа —. <br> [[Image:Alg116.jpg]]          <br>Итак, начисловой окружности, как и начисловой прямой, каждому действительному числу соответствует одна точка (только, разумеется, на прямой ее найти легче, чем на окружности). Но для прямой верно и обратное: каждая точка соответствует единственному числу. Для числовой окружности такое утверждение неверно, выше мы неоднократно убеждались в этом. Для числовой окружности справедливо следующее утверждение.<br>Если точка М числовой окружности соответствует числу I, то она соответствует и числу вида I + 2як, где к — любое целое число (к е 2).<br>В самом деле, 2п — длина числовой (единичной) окружности, а целое число \|й\| можно рассматривать как количество полных обходов окружности в ту или другую сторону. Если, например, к = 3, то это значит, что мы делаем три обхода окружности в положительном направлении; если к = -7, то это значит, что мы делаем семь (\| к \| = \| -71 = 7) обходов окружности в отрицательном направлении. Но если мы находимся в точке М(1), то, выполнив еще \| к \| полных обходов окружности, мы снова окажемся в точке М. <br>

-	А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс	+	А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

	<br>		<br>

User9 в 14:15, 1 июля 2010

2010-07-01T14:15:51Z

← Предыдущая		Версия 14:15, 1 июля 2010
Строка 9:		Строка 9:
	[[Image:Alg14.jpg]]<br>'''Определение.''' Дана единичная окружность, на ней отмечена начальная точка А — правый конец горизонтального диаметра (рис. 98). Поставим в соответствие каждому действительному числу I точку окружности по следующему правилу:<br>1)    если x > 0, то, двигаясь из точки А в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(x);<br>2)    если x < 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и \|; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);<br>= 0 поставим в соответствие точку А: А = А(0).<br>Единичную окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности) будем называть числовой окружностью.<br>'''Пример 1.''' Найти на числовой окружности [[Image:Alg15.jpg]]<br>'''Решение.''' Так как первые шесть из заданных семи чисел положительны, то для отыскания соответствующих им точек на окружности нужно пройти по окружности путь заданной длины, двигаясь из точки А в положительном направлении. Учтем при этом, что		[[Image:Alg14.jpg]]<br>'''Определение.''' Дана единичная окружность, на ней отмечена начальная точка А — правый конец горизонтального диаметра (рис. 98). Поставим в соответствие каждому действительному числу I точку окружности по следующему правилу:<br>1)    если x > 0, то, двигаясь из точки А в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(x);<br>2)    если x < 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и \|; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);<br>= 0 поставим в соответствие точку А: А = А(0).<br>Единичную окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности) будем называть числовой окружностью.<br>'''Пример 1.''' Найти на числовой окружности [[Image:Alg15.jpg]]<br>'''Решение.''' Так как первые шесть из заданных семи чисел положительны, то для отыскания соответствующих им точек на окружности нужно пройти по окружности путь заданной длины, двигаясь из точки А в положительном направлении. Учтем при этом, что

-	[[Image:Alg16.jpg]]<br>Числу 2[[Image:~~alg17~~.jpg]] соответствует точка А, так как, пройдя по окружности путь длиной 2[[Image:~~alg17~~.jpg]], т.е. ровно одну окружность, мы снова попадем в начальную точку А Итак, А = А(2[[Image:~~alg17~~.jpg]]). <br>Что такое [[Image:~~alg18~~.jpg]] Значит, двигаясь из точки А в положительном направлении, нужно пройти целую окружность.	+	[[Image:Alg16.jpg]]<br>Числу 2[[Image:Alg17.jpg]] соответствует точка А, так как, пройдя по окружности путь длиной 2[[Image:Alg17.jpg]], т.е. ровно одну окружность, мы снова попадем в начальную точку А Итак, А = А(2[[Image:Alg17.jpg]]). <br>Что такое [[Image:Alg18.jpg]] Значит, двигаясь из точки А в положительном направлении, нужно пройти целую окружность.

-	'''Замечание.''' Когда мы в 7—8-м классах работали с числовой прямой, то условились, ради краткости, не говорить «точка прямой, соответствующая числу х», а говорить «точка х». Точно такой же договоренности будем придерживаться и при работе с числовой окружностью: «точка f» — это значит, что речь идет о точке окружности, которая соответствует числу<br>'''Пример 2.''' Найти на числовой окружности точки, соответствующие числам [[Image:~~alg19~~.jpg]]<br>'''Решение. '''Разделив первую четверть АВ на три равные части точками К и Р, получим: <br>[[Image:~~alg110~~.jpg]]<br>'''Пример 3.''' Найти на числовой окружности точки, соответствующие числам  [[Image:~~alg111~~.jpg]]<br>'''Решение.''' Построения будем делать, пользуясь рис. 99. Отложив дугу АМ (ее длина равна —) от точки А пять раз в отрицательном направлении, получим точку!, — середину дуги ВС. Итак,	+	'''Замечание.''' Когда мы в 7—8-м классах работали с числовой прямой, то условились, ради краткости, не говорить «точка прямой, соответствующая числу х», а говорить «точка х». Точно такой же договоренности будем придерживаться и при работе с числовой окружностью: «точка f» — это значит, что речь идет о точке окружности, которая соответствует числу<br>'''Пример 2.''' Найти на числовой окружности точки, соответствующие числам [[Image:Alg19.jpg]]<br>'''Решение. '''Разделив первую четверть АВ на три равные части точками К и Р, получим: <br>[[Image:Alg110.jpg]]<br>'''Пример 3.''' Найти на числовой окружности точки, соответствующие числам  [[Image:Alg111.jpg]]<br>'''Решение.''' Построения будем делать, пользуясь рис. 99. Отложив дугу АМ (ее длина равна —) от точки А пять раз в отрицательном направлении, получим точку!, — середину дуги ВС. Итак,

-	[[Image:alg112.jpg]]<br>'''Замечание. '''Обратите внимание на некоторую вольность, которую мы позволяем себе в использовании математического языка. Ясно, что дуга АК и д л ина дуги АК — разные вещи (первое понятие — геометрическая фигура, а второе понятие — число). Но обозначается и то и другое одинаково: АК. Более того, если точки А и К соединить отрезком, то и полученный отрезок, и его длина обозначаются так же: АК. Обычно из контекста бывает ясно, какой смысл вкладывается в обозначение (дуга, длина дуги, отрезок или длина отрезка).<br> Поэтому нам очень пригодятся два макета числовой окружности.<br>'''ПЕРВЫЙ МАКЕТ'''<br>Каждая из четырех четвертей числовой окружности разделена на две равные части, и около каждой из имеющихся восьми точек записаны их «имена» (рис. 100).<br>'''ВТОРОЙ МАКЕТ''' Каждая из четырех четвертей числовой окружности разделена на три равные части, и около каждой из имеющихся двенадцати точек записаны их «имена» (рис. 101).<br><br><br>Учтите, что на обоих макетах мы могли бы заданным точкам<br>присвоить и другие «имена». Так, числу - — соответствует середина<br>4<br>четвертой четверти. Этой точке на первом макете присвоено «имя»<br>7Я    п ТУ «<br>~г , но, как видите, мы могли присвоить ей и «имя» -—. Вообще, 4    4<br>если двигаться по первому макету из точки 0 по часовой стрелке, получим для имеющихся на чертеже восьми точек соответственно<br>л л Зп    5л Зл 7л .<br>О, - -, - —, - — , -я, - — — — . Аналогично, если двигать-<br>4 2 4    4 2 4<br>ся по второму макету из точки 0 по часовой стрелке, получим для<br>Л    Л<br>имеющихся на чертеже двенадцати точек соответственно 0, - —,<br>6<br>л я 2л 5л    11л<br>~ 3 ' ~ 2 ' ~ ~3 ' ~ Т ' '"' ~ "б" '<br>Заметили ли вы, что во всех разобранных примерах длины дуг<br>выражались некоторыми долями числа п? Это неудивительно: ведь длина единичной окружности равна 2п, и если мы окружность или ее четверть делим на равные части, то получаются дуги, длины которых выражаются долями числа и. А как вы думаете, можно ли найти на единичной окружности такую точку Е, что длина дуги АЕ будет равна 1? Давайте прикинем:<br>л 3,14    л 3,14<br>я» 3,14; з--^- «1,047;    » 0,786.<br>152<br>5.17.\|\|<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>Таким образом,<br>Обратимся снова к рис. 99. Точка Е, такая, что АЕ = 1, находится между точками М и Р, поближе к точке Р. Разумеется, точно (а не приблизительно) указать положение точки Е на окружности мы не сумеем, но это, впрочем, не так уж важно.<br>Рассуждая аналогичным образом, делаем вывод, что на единичной окружности можно найти и точку Ег, для которой АЕ, = 1, и точку Е2, для которой АЕг = 2, и точку Е3, для которой АЕ3 = 3, и точку Е4, для которой АЕ4 = 4, и точку Еь, для которой АЕЪ = 5, и точку Е6, для которой АЕ6 = 6. На рис. 102 отмечены (приблизительно) соответствующие точки (причем для ориентировки каждая из четвертей единичной окружности разделена черточками на три равные части).<br>Рис. 102<br>Пример 4. Найти на числовой окружности точку, соответствующую числу -7.<br>Решение. Нам нужно, отправляясь из точки А(0) и двигаясь в отрицательном направлении (в направлении по часовой стрелке), пройти по окружности путь длиной 7. Если пройти одну окружность, то получим (приближенно) 6,28, значит, нужно еще пройти (в том же направлении) путь длиной 0,72. Что же это за дуга? Немного меньше половины четверти окружности, т.е. ее длина<br>153<br>5.17.\|\|<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>меньше числа —. Почему? Да потому, что 3,14, а - =0,785; ясно, что 0,72 < 0,785. ТочкаМ = М(-7) отмечена на рис. 103 (мы немного не дошли до середины четвертой четверти). (И<br>                Iв                    <br>                                    <br>                                    <br>                                    <br>С                    о                А<br>                                    <br>                                    <br>                                    (-7)<br>                    Б                <br>                                    <br>Рис. 103<br>Итак, начисловой окружности, как и начисловой прямой, каждому действительному числу соответствует одна точка (только, разумеется, на прямой ее найти легче, чем на окружности). Но для прямой верно и обратное: каждая точка соответствует единственному числу. Для числовой окружности такое утверждение неверно, выше мы неоднократно убеждались в этом. Для числовой окружности справедливо следующее утверждение.<br>Если точка М числовой окружности соответствует числу I, то она соответствует и числу вида I + 2як, где к — любое целое число (к е 2).<br>В самом деле, 2п — длина числовой (единичной) окружности, а целое число \|й\| можно рассматривать как количество полных обходов окружности в ту или другую сторону. Если, например, к = 3, то это значит, что мы делаем три обхода окружности в положительном направлении; если к = -7, то это значит, что мы делаем семь (\| к \| = \| -71 = 7) обходов окружности в отрицательном направлении. Но если мы находимся в точке М(1), то, выполнив еще \| к \| полных обходов окружности, мы снова окажемся в точке М. Итак,<br>154<br>5.17.\|\|<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>М(1) = М(1 + 2яй).)<br>На двух макетах числовой окружности (рис. 100,101) указаны лишь главные «имена» точек — числа, принадлежащие отрезку [0, 2л], т.е. числа, возникающие при первом обходе окружности в<br>я<br>положительном направлении. На самом деле у точки — бесконеч-<br>я    5я<br>но много «имен»: I = — + 2пк, где ке2; у точки у тоже бесконечно<br>5я<br>много «имен»: I = — + 2пк, где к е 2, и т.д.<br>Число к обычно называют параметром. Впрочем, параметр можно обозначить и другой буквой, например п или т.<br>Замечание. Условимся в дальнейшем не писать каж-параметр    дый раз: ке 2 или пе 2 (но, естественно, мы все время<br>будем это подразумевать).<br>Пример 5. Найти на числовой окружности точку: 19я    37я<br>а)-г; б)<br>4 ' ' 6 Р е ш е н и е. а) Имеем<br>19я 4<br>19<br>я =<br>4 + -4<br>Зя Зя я = 4л+ — = -г +2п-2. 4 4<br>19я<br>Значит, числу —— соответствует на числовой окружности та же<br>Зя<br>точка, что и числу — кет — рис. 100). б) Имеем<br>середина второй четверти (см. первый ма-<br>37я 37 („ 1<br>- = -—я = - 6 + -<br>6 6^6<br>37<br>я я ■ тс = -6я- - =-- +2п-(-3).<br>6 6 4 '<br>Значит, числу - соответствует на числовой окружности та же<br>точка, что и числу (рис. 101). <1<br>■ — , — это точка о<br>11я<br>на втором макете<br>155<br>5.17.\|\|<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ	+	[[Image:Alg112.jpg]]<br>'''Замечание. '''Обратите внимание на некоторую вольность, которую мы позволяем себе в использовании математического языка. Ясно, что дуга АК и д л ина дуги АК — разные вещи (первое понятие — геометрическая фигура, а второе понятие — число). Но обозначается и то и другое одинаково: АК. Более того, если точки А и К соединить отрезком, то и полученный отрезок, и его длина обозначаются так же: АК. Обычно из контекста бывает ясно, какой смысл вкладывается в обозначение (дуга, длина дуги, отрезок или длина отрезка).<br> Поэтому нам очень пригодятся два макета числовой окружности.<br>'''ПЕРВЫЙ МАКЕТ'''<br>Каждая из четырех четвертей числовой окружности разделена на две равные части, и около каждой из имеющихся восьми точек записаны их «имена» (рис. 100).<br>'''ВТОРОЙ МАКЕТ''' Каждая из четырех четвертей числовой окружности разделена на три равные части, и около каждой из имеющихся двенадцати точек записаны их «имена» (рис. 101).
		+
		+	[[Image:alg113.jpg]]<br>Учтите, что на обоих макетах мы могли бы заданным точкам присвоить и другие «имена».<br>Заметили ли вы, что во всех разобранных примерах длины дуг<br>выражались некоторыми долями числа п? Это неудивительно: ведь длина единичной окружности равна 2п, и если мы окружность или ее четверть делим на равные части, то получаются дуги, длины которых выражаются долями числа и. А как вы думаете, можно ли найти на единичной окружности такую точку Е, что длина дуги АЕ будет равна 1? Давайте прикинем:
		+
		+	[[Image:alg114.jpg]]<br>Рассуждая аналогичным образом, делаем вывод, что на единичной окружности можно найти и точку Ег, для которой АЕ, = 1, и точку Е2, для которой АЕг = 2, и точку Е3, для которой АЕ3 = 3, и точку Е4, для которой АЕ4 = 4, и точку Еь, для которой АЕЪ = 5, и точку Е6, для которой АЕ6 = 6. На рис. 102 отмечены (приблизительно) соответствующие точки (причем для ориентировки каждая из четвертей единичной окружности разделена черточками на три равные части).
		+
		+	[[Image:alg115.jpg]]<br>'''Пример 4.''' Найти на числовой окружности точку, соответствующую числу -7.<br>'''Решение.''' Нам нужно, отправляясь из точки А(0) и двигаясь в отрицательном направлении (в направлении по часовой стрелке), пройти по окружности путь длиной 7. Если пройти одну окружность, то получим (приближенно) 6,28, значит, нужно еще пройти (в том же направлении) путь длиной 0,72. Что же это за дуга? Немного меньше половины четверти окружности, т.е. ее длина меньше числа —. <br> [[Image:alg116.jpg]]          <br>Итак, начисловой окружности, как и начисловой прямой, каждому действительному числу соответствует одна точка (только, разумеется, на прямой ее найти легче, чем на окружности). Но для прямой верно и обратное: каждая точка соответствует единственному числу. Для числовой окружности такое утверждение неверно, выше мы неоднократно убеждались в этом. Для числовой окружности справедливо следующее утверждение.<br>Если точка М числовой окружности соответствует числу I, то она соответствует и числу вида I + 2як, где к — любое целое число (к е 2).<br>В самом деле, 2п — длина числовой (единичной) окружности, а целое число \|й\| можно рассматривать как количество полных обходов окружности в ту или другую сторону. Если, например, к = 3, то это значит, что мы делаем три обхода окружности в положительном направлении; если к = -7, то это значит, что мы делаем семь (\| к \| = \| -71 = 7) обходов окружности в отрицательном направлении. Но если мы находимся в точке М(1), то, выполнив еще \| к \| полных обходов окружности, мы снова окажемся в точке М. <br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

User9 в 14:10, 1 июля 2010

2010-07-01T14:10:15Z

Внесённые изменения

User9 в 13:35, 1 июля 2010

2010-07-01T13:35:26Z

Внесённые изменения

User9 в 13:25, 1 июля 2010

2010-07-01T13:25:24Z

Внесённые изменения

User9: Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

2010-07-01T13:21:01Z

Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 9 класс|Математика 9 класс]]>>Математика: Числовая окружность<metakeywords>Числовая окружность</metakeywords>'''

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

 

Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие

Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].