Числовая окружность на координатной плоскости - История изменений

User17 в 18:27, 10 октября 2012

2012-10-10T18:27:16Z

User9 в 08:27, 2 июля 2010

2010-07-02T08:27:57Z

← Предыдущая		Версия 08:27, 2 июля 2010
Строка 21:		Строка 21:
	[[Image:Alg220.jpg]]<br>Теперь найдем координаты точек, изображенных на втором макете (рис. 101). Возьмем точку [[Image:Alg221.jpg]]  опустим из нее перпендикуляр М<sup>1</sup>Р на прямую ОА и рассмотрим прямоугольный треугольник ОМ<sup>х</sup>Р (рис. 106). Гипотенузой этого треугольника является ОМ , причем ОМх = 1. Угол МуОР равен 30°, поскольку дуга АМ<sub>1</sub> составляет треть дуги АВ, а дуга АВ содержит 90°. Из геометрии известно, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит, [[Image:Alg222.jpg]] это ордината точки М:		[[Image:Alg220.jpg]]<br>Теперь найдем координаты точек, изображенных на втором макете (рис. 101). Возьмем точку [[Image:Alg221.jpg]]  опустим из нее перпендикуляр М<sup>1</sup>Р на прямую ОА и рассмотрим прямоугольный треугольник ОМ<sup>х</sup>Р (рис. 106). Гипотенузой этого треугольника является ОМ , причем ОМх = 1. Угол МуОР равен 30°, поскольку дуга АМ<sub>1</sub> составляет треть дуги АВ, а дуга АВ содержит 90°. Из геометрии известно, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит, [[Image:Alg222.jpg]] это ордината точки М:

-	[[Image:Alg223.jpg]]<br><br>По теореме Пифагора,	+	[[Image:Alg223.jpg]]<br><br>По теореме Пифагора,

-	[[Image:~~alg224~~.jpg]]<br>(мы учли, что точка [[Image:~~alg225~~.jpg]] принадлежит первой четверти, а потому обе ее координаты — положительные числа).<br>С точкой [[Image:~~alg226~~.jpg]]связан тот же прямоугольный треугольник, только ориентированный по-другому (рис. 106). Получаем [[Image:~~alg227~~.jpg]]	+	[[Image:Alg224.jpg]]<br>(мы учли, что точка [[Image:Alg225.jpg]] принадлежит первой четверти, а потому обе ее координаты — положительные числа).<br>С точкой [[Image:Alg226.jpg]]связан тот же прямоугольный треугольник, только ориентированный по-другому (рис. 106). Получаем [[Image:Alg227.jpg]]

-	Те же самые значения (с точностью до знака) будут координатами всех остальных точек второго макета (исключая, разумеется, точки [[Image:~~alg228~~.jpg]] причем по чертежу нетрудно определить, какая координата равна по модулю числу [[Image:~~alg229~~.jpg]] а какая —числу [[Image:~~alg230~~.jpg]] Возьмем для примера точку [[Image:~~alg231~~.jpg]] (рис. 106). Будем рассуждать так. Проведем перпендикуляр М<sub>2</sub>L к оси х. Во-первых, [[Image:~~alg232~~.jpg]]<br> Значит, из двух чисел [[Image:~~alg233~~.jpg]] в качестве ординаты точки М<sub>3</sub> нужно взять меньшее. Окончательно получаем	+	Те же самые значения (с точностью до знака) будут координатами всех остальных точек второго макета (исключая, разумеется, точки [[Image:Alg228.jpg]] причем по чертежу нетрудно определить, какая координата равна по модулю числу [[Image:Alg229.jpg]] а какая —числу [[Image:Alg230.jpg]] Возьмем для примера точку [[Image:Alg231.jpg]] (рис. 106). Будем рассуждать так. Проведем перпендикуляр М<sub>2</sub>L к оси х. Во-первых, [[Image:Alg232.jpg]]<br> Значит, из двух чисел [[Image:Alg233.jpg]] в качестве ординаты точки М<sub>3</sub> нужно взять меньшее. Окончательно получаем

-	[[Image:~~alg234~~.jpg]]<br>А теперь возьмите точку [[Image:~~alg235~~.jpg]]  и попробуйте, проведя аналогичные рассуждения, наити декартовы координаты точки. Мы же пока приведем итоговую таблицу, с помощью которой вы сможете<br>проверить правильность своего вывода.	+	[[Image:Alg234.jpg]]<br>А теперь возьмите точку [[Image:Alg235.jpg]]  и попробуйте, проведя аналогичные рассуждения, наити декартовы координаты точки. Мы же пока приведем итоговую таблицу, с помощью которой вы сможете<br>проверить правильность своего вывода.

-	[[Image:~~alg236~~.jpg]]<br>А теперь проверьте себя: [[Image:~~alg237~~.jpg]] (см. предпоследнюю колонку таблицы 2).<br>'''Пример 1. '''Найти координаты точек числовой окружности:	+	[[Image:Alg236.jpg]]<br>А теперь проверьте себя: [[Image:Alg237.jpg]] (см. предпоследнюю колонку таблицы 2).<br>'''Пример 1. '''Найти координаты точек числовой окружности:

-	[[Image:~~alg238~~.jpg]]<br>'''Решение.''' Во всех четырех случаях воспользуемся утверждением, полученным в предыдущем параграфе: числам t и [[Image:~~alg239~~.jpg]] соответствует одна и та же точка числовой окружности.<br>~~а) Имеем<br>45я 45    5    5л 5я<br>—— = — • 71 = (10+ 7)71=1071+ -Г = -- + 2я-5. 4 4    4~~'    4 4<br>45я<br>Следовательно, числу соответствует та же точка числовой 5я<br>окружности, что и числу — (см. первый макет, рис. 100). Для точ-<br>5л ки — имеем х = - — 4 2    >У =    42 2 '~~    Значит,    <br>Л   ~~ ' ~~45яч /        -   ~~ 2~~<br>10*    161<br>5~~.18.<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>б) Имеем<br>37я 37<br>•71 = -<br>12 +<br>71 =-1271- ~ = +271-(-6).<br>о    3<br>37я<br>Следовательно, числу —— соответствует та же точка число-<br>о<br>я    Я<br>вой окружности, что и числу - - . А числу - - соответствует на чис-<br>о    о<br>5я<br>ловои окружности та же точка, что и числу — (см. второй макет —<br>5я    1    73<br>рис. 101). Для точки — имеем х = - , г/ = - — . Таким образом,<br>о    I    2<br>37я4    _ п    ( 1 _    <br>    2    2'    2 /<br>в)    4571 = 4471+ 71 = 71 + 2т1-22. Значит, числу 45я соответствует та же точка числовой окружности, что и числу к, — это точка С(-1; 0). Итак,<br>Р3(4571) = Р3(-1;0).<br>г)    —1871 = 0 + 271- (-9). Следовательно, числу —1871 соответствует та же точка числовой окружности, что и числу 0, — это точка А(1; 0). Итак,<br>Р4(-18т1) = Р4(1;0). <1<br>Пример 2. Найти на числовой окружности точки с ~~ордина-1<br>той у = —~~ и записать, каким числам I они соответствуют.<br>Решение. Прямая ~~у = -~~ пересекает числовую окружность~~<br>я<br>~~в двух точках: М и Р (рис. 107). Точка М соответствует числу -(см. второй макет — рис. 101), а значит, и любому числу вида~~<br>5я<br>^ + 2пк; точка Р соответствует числу — ,~~ а значит, и любому числу~~<br>5я<br>~~вида ~~— + 2пк~~. Получили, как обычно говорят в таких случаях, две~~<br>я    5я<br>~~серии значений: ~~— + 2пк и — + 2т1к.<br>о    о<br>Ответ~~: ~~1= - + 271 к; I = о<br>5я<br>+ 2тгк~~.<br>162<br>5.18.<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>=    Л            У л    кВ                <br>        /                            <br>    м.    г                            <br>    /                                <br>С                                    <br>                    0            1 х    <br>    V                                <br>    л                                <br>        ч]                            <br>                    и                <br>Рис. 107<br>Рис. 108<br>Пример 3. Найти на числовой окружности точки с абсцис-<br>72<br>СОИ X =<br>и записать, каким числам I они соответствуют.<br>42<br>Решение. Прямая х = —— пересекает числовую окружность<br>Зя<br>в двух точках: М и Р (рис. 108). Точка М соответствует числу —<br>(см. первый макет — рис. 100), а значит, и любому числу вида Зя    5я<br>— + 2пк~~; точка Р соответствует числу — , а значит,~~ и ~~любому<br>5я<br>числу вида у + 2пк.<br>Зя    5я<br>Ответ: 1=~~ — + ~~2пк; I = — + 2пк~~. ~~4    4<br>Замечание. Решая пример 3, можно было рассуждать немного по-другому~~: ~~точка Р соответствует чис-<br>Зя   ~~ .    Зя<br>лу--, а значит, и любому числу вида--+ 2пк.<br>4    4<br>Зя<br>Получили две серии значений: / =--\-2пк (для точ-<br>Зя    4<br>ки М)и/ = -— + 2пк (для точки Р). Чем это лучше по<br>сравнению с записью ответа к примеру 3? Тем, что обе<br>серии значений можно охватить одной записью:<br>Зя „ , /= ± — +2пк. 4<br>11*<br>163<br>5.17.\|\|<br>~~ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ~~<br>	+	[[Image:Alg238.jpg]]<br>'''Решение.''' Во всех четырех случаях воспользуемся утверждением, полученным в предыдущем параграфе: числам t и [[Image:Alg239.jpg]] соответствует одна и та же точка числовой окружности.<br>'''Пример 2.''' Найти на числовой окружности точки с ординатой [[Image:alg240.jpg]] и записать, каким числам t они соответствуют.<br>'''Решение.''' Прямая [[Image:alg240.jpg]] пересекает числовую окружность в двух точках: М и Р (рис. 107). Точка М соответствует числу [[Image:alg241.jpg]] (см. второй макет — рис. 101), а значит, и любому числу вида
		+
		+	[[Image:alg242.jpg]] а значит, и любому числу вида [[Image:alg243.jpg]] Получили, как обычно говорят в таких случаях, две серии значений:
		+
		+	[[Image:alg2344.jpg]] + 2пк и — + 2т1к.
		+
		+	[[Image:alg2345.jpg]]<br> <br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

User9 в 08:16, 2 июля 2010

2010-07-02T08:16:23Z

Внесённые изменения

User9 в 08:02, 2 июля 2010

2010-07-02T08:02:25Z

Внесённые изменения

User9 в 07:52, 2 июля 2010

2010-07-02T07:52:54Z

← Предыдущая		Версия 07:52, 2 июля 2010
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 9 класс\|Математика 9 класс]]>>Математика: Числовая окружность на координатной плоскости<metakeywords>Числовая окружность на координатной плоскости</metakeywords>'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 9 класс\|Математика 9 класс]]>>Математика: Числовая окружность на координатной плоскости<metakeywords>Числовая окружность на координатной плоскости</metakeywords>'''
		+
		+	<br>
		+
		+	'''ЧИСЛОВАЯ ОКРУЖНОСТЬ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ'''<br>Расположим числовую окружность в декартовой прямоугольной системе координат хОу так, как показано на рис. 104: центр окружности совмещен с началом координат, радиус окружности принимается за масштабный отрезок. Начальная точка А числовой окружности совмещена с точкой (1; 0) на оси х. При этом [[Image:alg21.jpg]] Каждая точка числовой окружности имеет в системе хОу свои координаты, причем: у точек первой четверти — х > 0, у> 0; у точек второй четверти — х < 0, у > 0; у точек третьей четверти — х < 0, у < 0; у точек четвертой четверти — х > 0, у < 0 (рис. 104).
		+
		+	[[Image:alg22.jpg]]<br> Для любой точки М(х; у) числовой окружности выполняются неравенства: [[Image:alg23.jpg]]<br>Нетрудно составить уравнение числовой окружности. Для этого заметим, во-первых, что центром окружности служит начало координат, а уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R имеет вид х<sup>2</sup> + у<sup>2</sup> = R<sup>2</sup>. Заметим, во-вторых, что R— 1; значит, уравнение числовой окружности имеет вид х<sup>2</sup>+у<sup>2</sup> = 1.<br>Нам важно научиться отыскивать координаты точек числовой окружности, прежде всего тех, которые представлены на первом и втором макетах (рис. 100 и 101). Начнем с точек первого макета:
		+
		+	[[Image:alg24.jpg]]<br>Точка [[Image:alg25.jpg]] середина первой четверти. Опустим из точки М. перпендикуляр М<sup>2Р</sup> на прямую ОА и рассмотрим треугольник ОМ}Р (рис. 105). Так как дуга АМХ составляет половину дуги АВ, то [[Image:alg26.jpg]] Значит, ОМ<sub>1</sub>Р — равнобедренный прямоугольный треугольник; его катеты ОР и М<sub>1</sub>Р равны, т.е. у точки Мх абсцисса и ордината равны: х = у. Кроме того, координаты точки М<sub>1</sub>х; у) удовлетворяют уравнению окружности х<sup>2</sup> + у<sup>2</sup> = 1. Таким образом, для отыскания координат точки Мх нужно решить систему уравнений
		+
		+	[[Image:alg27.jpg]]<br>Подставив х вместо у во второе уравнение системы, получим:
		+
		+	[[Image:alg28.jpg]]<br>1 1 -ЛИ<br>(мы учли, что абсцисса точки М<sub>1</sub> положительна). А так как у = х,то И [[Image:alg29.jpg]]<br>Итак,<br>Проанализируем полученное равенство. Что означает запись<br>м.    '-1    = М.    (42 42)<br>1    4 \ /    1    2 ' 2 к ;<br>М,<br>V4,<br>? Она означает, что точка М1 числовой окружности соответ-<br>ствует числу -. А что означает запись М,<br>? Она означает,<br>'л/2 >/2<br>2 ! 2<br>V    у<br>что точка имеет соответствующие координаты в прямоугольной системе координат хОу. И в дальнейшем будем придерживаться подобного способа записи: если будет написано М(1), то это значит, что точка М числовой окружности соответствует числу Ц если будет написано М(х; у), то это значит, что числа хиу являются соответственно абсциссой и ординатой точки М. Таким образом, (х; у) — декартовы координаты точки М, а I — «криволинейная» координата точки М на числовой окружности.<br>Рассмотрим точку М,<br>Зл<br>— середину второй четверти. Рас-<br>суждая, как и выше, получим для модуля абсциссы и для модуля<br>42 42<br>ординаты этой точки те же значения — и — . Но, учтя, что во<br>6    и<br>второй четверти х < 0, а у > О, делаем вывод:<br>м9    ' Зя^    = м2    Г 42, 42)<br>2    4 V. /    с    2 ' 2 \ ;<br>Для точки М<br>5л<br>т<br>/<br>м.<br>(II"<br>середины третьей четверти имеем:<br>    = м„<br>    о V<br>2 ' 2<br>у<br>— середины четвертой четверти имеем:<br>Для точки М<br>Сведем полученные результаты в таблицу.<br>М4        = м.    (42    42)<br>4    4 V. У    4    2 ' V    2 /<br>158<br>5.22.<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>Таблица 1<br>Точка    0    л    л    Зл        5л    Зл    7л    <br>окружности        4    2    Т    л    т    ~2    4    2л<br>Абсцисса х    1    ^    0    42    -1        0    Л    1<br>        2        2        2        2    <br>Ордината у    0    72        72                    0<br>            1        0        -1        <br>        2        2        2        2    <br>Теперь найдем координаты точек, изображенных на втором ма-<br>кете (рис. 101). Возьмем точку Мг<br>— , опустим из нее перпендику-<br>ляр М^Р на прямую ОА и рассмотрим прямоугольный треугольник ОМхР (рис. 106). Гипотенузой этого треугольника является ОМ , причем ОМх = 1. Угол МуОР равен 30°, поскольку дуга АМ1 составляет треть дуги АВ, а дуга АВ содержит 90°. Из геометрии известно, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°,<br>равен половине гипотенузы. Значит, М^Р = ^ —это ордината точки М:<br>1 1<br>У= 2"<br>                У '                    <br>                к                    <br>    /                        N    чл    г,<br>    /                                <br>С                            30°    \А    <br>                О                Р X    <br>                                    <br>А    'Л                                <br>                    Я                <br>                                    <br>Рис. 126<br>159<br>5.17.\|\|<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>По теореме Пифагора,<br>т.е.<br>л;2==0р2= 0М2 - М1Р2=12-[-<br>2 3 _ Л<br>1 4 4'<br>Итак,<br>М,<br>п<br>V6/<br><br>>/3 Г<br>(мы учли, что точка — принадлежит первой четверти, а потому обе о<br>ее координаты — положительные числа).<br>С точкой МЛ - \| связан тот же прямоугольный треугольник,<br>2{з)<br>только ориентированный по-другому (рис. 106). Получаем<br>3 1 2 2 2<br>. у    \ ;<br>Те же самые значения (с точностью до знака) будут координатами всех остальных точек второго макета (исключая, разумеется,<br>М2[<br>точки А(0), В<br>2<br>\ У<br>2<br>), причем по чертежу нетрудно опре-1<br>делить, какая координата равна по модулю числу ~ , а какая —чис-<br>>/3    (7п)<br>лу — . Возьмем для примера точку М3 — I (рис. 106). Будем рассуждать так. Проведем перпендикуляр М3Ь к оси х. Во-первых,<br>1 у/3<br>М3Ь < ЬО, т.е. \| у [ < \| х \|. Значит, из двух чисел - и — в качестве ординаты точки М3 нужно взять меньшее, т.е. ^, а в качестве абсцис-сы — большее, т.е. — . Во-вторых, — — точка третьей четверти,<br>а    О<br>7я<br>а потому для точки будет х < 0 и у < 0. Окончательно получаем<br>М.<br>7я<br>V6,<br>м31-<br>7з<br>160<br>518.Ц<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>А теперь возьмите точку Мл — \| и попробуйте, проведя анало-<br>гичные рассуждения, наити декартовы координаты точки. Мы же пока приведем итоговую таблицу, с помощью которой вы сможете<br>проверить правильность своего вывода.<br>Таблица 2<br>Точка    я    я    2я    5л    7л    4я    5я    11л<br>окружности    6    3    3    6    6    3    3    6<br>Абсцисса х    7з    1    1    7з        1    1    Уз<br>    2    2    2    2    2    2    2    2<br>Ордината у    1    л/з    >/3    1    1    7з    Уз    1<br>    2    2    2    2    2    2    2    2<br>А теперь проверьте себя: М41 — ] = М4<br>1 Уз', ,<br>-; - ---- \| (см. предпо-<br>следнюю колонку таблицы 2).<br>Пример 1. Найти координаты точек числовой окружности:<br>б)?^-^; в)Р3(45т1); г)Р4(-18тг).<br>Решение. Во всех четырех случаях воспользуемся утверждением, полученным в предыдущем параграфе: числам I и ^ + 2кк (к е 2) соответствует одна и та же точка числовой окружности.<br>а) Имеем<br>45я 45    5    5л 5я<br>—— = — • 71 = (10+ 7)71=1071+ -Г = -- + 2я-5. 4 4    4'    4 4<br>45я<br>Следовательно, числу соответствует та же точка числовой 5я<br>окружности, что и числу — (см. первый макет, рис. 100). Для точ-<br>5л ки — имеем х = - — 4 2    >У =    42 2 '    Значит,    <br>Л    ' 45яч /        -    2<br>10    161<br>5.18.<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>б) Имеем<br>37я 37<br>•71 = -<br>12 +<br>71 =-1271- ~ = +271-(-6).<br>о    3<br>37я<br>Следовательно, числу —— соответствует та же точка число-<br>о<br>я    Я<br>вой окружности, что и числу - - . А числу - - соответствует на чис-<br>о    о<br>5я<br>ловои окружности та же точка, что и числу — (см. второй макет —<br>5я    1    73<br>рис. 101). Для точки — имеем х = - , г/ = - — . Таким образом,<br>о    I    2<br>37я4    _ п    ( 1 _    <br>    2    2'    2 /<br>в)    4571 = 4471+ 71 = 71 + 2т1-22. Значит, числу 45я соответствует та же точка числовой окружности, что и числу к, — это точка С(-1; 0). Итак,<br>Р3(4571) = Р3(-1;0).<br>г)    —1871 = 0 + 271- (-9). Следовательно, числу —1871 соответствует та же точка числовой окружности, что и числу 0, — это точка А(1; 0). Итак,<br>Р4(-18т1) = Р4(1;0). <1<br>Пример 2. Найти на числовой окружности точки с ордина-1<br>той у = — и записать, каким числам I они соответствуют.<br>Решение. Прямая у = - пересекает числовую окружность<br>я<br>в двух точках: М и Р (рис. 107). Точка М соответствует числу -(см. второй макет — рис. 101), а значит, и любому числу вида<br>5я<br>^ + 2пк; точка Р соответствует числу — , а значит, и любому числу<br>5я<br>вида — + 2пк. Получили, как обычно говорят в таких случаях, две<br>я    5я<br>серии значений: — + 2пк и — + 2т1к.<br>о    о<br>Ответ: 1= - + 271 к; I = о<br>5я<br>+ 2тгк.<br>162<br>5.18.<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>=    Л            У л    кВ                <br>        /                            <br>    м.    г                            <br>    /                                <br>С                                    <br>                    0            1 х    <br>    V                                <br>    л                                <br>        ч]                            <br>                    и                <br>Рис. 107<br>Рис. 108<br>Пример 3. Найти на числовой окружности точки с абсцис-<br>72<br>СОИ X =<br>и записать, каким числам I они соответствуют.<br>42<br>Решение. Прямая х = —— пересекает числовую окружность<br>Зя<br>в двух точках: М и Р (рис. 108). Точка М соответствует числу —<br>(см. первый макет — рис. 100), а значит, и любому числу вида Зя    5я<br>— + 2пк; точка Р соответствует числу — , а значит, и любому<br>5я<br>числу вида у + 2пк.<br>Зя    5я<br>Ответ: 1= — + 2пк; I = — + 2пк. 4    4<br>Замечание. Решая пример 3, можно было рассуждать немного по-другому: точка Р соответствует чис-<br>Зя    .    Зя<br>лу--, а значит, и любому числу вида--+ 2пк.<br>4    4<br>Зя<br>Получили две серии значений: / =--\-2пк (для точ-<br>Зя    4<br>ки М)и/ = -— + 2пк (для точки Р). Чем это лучше по<br>сравнению с записью ответа к примеру 3? Тем, что обе<br>серии значений можно охватить одной записью:<br>Зя „ , /= ± — +2пк. 4<br>11*<br>163<br>5.17.\|\|<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

User9: Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

2010-07-02T07:38:10Z

Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 9 класс|Математика 9 класс]]>>Математика: Числовая окружность на координатной плоскости<metakeywords>Числовая окружность на координатной плоскости</metakeywords>'''

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

 

Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие

Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].