Числовые последовательности - История изменений

User17 в 10:06, 10 октября 2012

2012-10-10T10:06:25Z

User9 в 09:23, 1 июля 2010

2010-07-01T09:23:28Z

← Предыдущая		Версия 09:23, 1 июля 2010
Строка 21:		Строка 21:
	[[Image:Al9157.jpg]]<br>Как и в предыдущем примере, нетрудно найти член последовательности с заданным номером. Например, [[Image:Al9158.jpg]]<br>'''Пример 3.''' у<sub>n</sub> = С. Это значит, что речь идет о последовательности С, С, С,..., С.....которую называют стационарной.<br>'''Пример 4.''' уn = 2". Это — аналитическое задание последовательности 2, 22, 23, 24,..., 2", ....<br>Как видите, зная формулу п-го члена последовательности, нетрудно найти ее первый, второй, третий члены и вообще любой член с указанным номером. Гораздо труднее, но зато и интереснее решать обратную задачу: угадывать формулу п-го члена последовательности, для которой указано несколько первых членов.<br>'''Пример 5.''' 1, 3, 5, 7, 9, ... .<br>Здесь у<sub>n</sub> = 2<sub>n</sub> - 1 (последовательность нечетных чисел).<br>'''Пример 6'''. 2, 4, 6, 8,10, ... .<br>Здесь у<sub>n</sub> = 2<sub>n</sub> (последовательность четных чисел).<br>'''Пример 7.''' 4, 8, 12,16, 20,... .<br>Здесь у<sub>n</sub> = 4<sub>n</sub>. Действительно,		[[Image:Al9157.jpg]]<br>Как и в предыдущем примере, нетрудно найти член последовательности с заданным номером. Например, [[Image:Al9158.jpg]]<br>'''Пример 3.''' у<sub>n</sub> = С. Это значит, что речь идет о последовательности С, С, С,..., С.....которую называют стационарной.<br>'''Пример 4.''' уn = 2". Это — аналитическое задание последовательности 2, 22, 23, 24,..., 2", ....<br>Как видите, зная формулу п-го члена последовательности, нетрудно найти ее первый, второй, третий члены и вообще любой член с указанным номером. Гораздо труднее, но зато и интереснее решать обратную задачу: угадывать формулу п-го члена последовательности, для которой указано несколько первых членов.<br>'''Пример 5.''' 1, 3, 5, 7, 9, ... .<br>Здесь у<sub>n</sub> = 2<sub>n</sub> - 1 (последовательность нечетных чисел).<br>'''Пример 6'''. 2, 4, 6, 8,10, ... .<br>Здесь у<sub>n</sub> = 2<sub>n</sub> (последовательность четных чисел).<br>'''Пример 7.''' 4, 8, 12,16, 20,... .<br>Здесь у<sub>n</sub> = 4<sub>n</sub>. Действительно,

-	[[Image:Al9159.jpg]]<br>'''Пример 8.''' 7, 11, 15, 19, 23, ... .<br>Каждый член этой последовательности на 3 больше соответствующего члена последовательности из предыдущего примера. Значит, у<sub>n</sub> — А<sub>n</sub> + 3.<br>На рис. 94 изображен график последовательности у<sub>n</sub> = 4n + 3, т.е. график функции у ~ 4х + 3, х е N. Он состоит из точек прямой у = 4х + 3 с абсциссами дn=1,дn = 2, зс = 3и т.д.	+	[[Image:Al9159.jpg]]<br>'''Пример 8.''' 7, 11, 15, 19, 23, ... .<br>Каждый член этой последовательности на 3 больше соответствующего члена последовательности из предыдущего примера. Значит, у<sub>n</sub> — А<sub>n</sub> + 3.<br>На рис. 94 изображен график последовательности у<sub>n</sub> = 4n + 3, т.е. график функции у ~ 4х + 3, х е N. Он состоит из точек прямой у = 4х + 3 с абсциссами дn=1,дn = 2, зс = 3и т.д.

-	[[Image:~~al91510~~.jpg]]<br> '''Пример 9.'''   [[Image:~~al91511~~.jpg]]<br>Здесь [[Image:~~al91512~~.jpg]] (проверьте!).<br>'''Пример 10.'''1,2,4,8,16,32,64,.... Здесь у<sub>n</sub> = 2<sup>n-1</sup>.<br>'''3.''' Словесное задание последовательности. Суть этого способа задания последовательности поясним на примере. Известно, что[[Image:~~al91513~~.jpg]] С этим иррациональным числом можно связать две последовательности:<br>1)    последовательность десятичных приближений числа [[Image:~~al91514~~.jpg]] по недостатку 1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, 1,41421,...;<br>2)    последовательность десятичных приближений числа [[Image:~~al91514~~.jpg]] по избытку 2, 1,5, 1,42, 1,415, 1,4143, 1,41422,....<br>В обоих случаях правило составления последовательности описано словами (не формулой).<br>Еще один пример — последовательность простых чисел:<br>2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 23, 29,.... Последовательность задана словесно.<br>'''4.''' Рекуррентное задание последовательности.<br>Важный для приложений способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить п-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. При вычислении членов последовательности по этому правилу мы как бы все время возвращаемся назад, выясняем, чему равны предыдущие члены. Такой способ задания последовательности называют рекуррентным (от латинского слова гесиггеге — возвращаться). Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить п-й член последовательности через предыдущие, и задают 1—2 начальных члена последовательности. Приведем примеры.<br>'''Пример 11.''' у<sub>1</sub> = 3; уn = у<sup>n-х</sup> + 4, если n = 2, 3, 4.....Иными словами, п-й член последовательности получается из предыдущего, (п-1)-го, члена прибавлением к нему числа 4.<br>Имеем:    [[Image:~~al91515~~.jpg]]<br>Тем самым получаем последовательность 3,7,11,15,....<br>Заметим, что полученную в примере 11 последовательность нетрудно задать аналитически: уn = 4n - 1 (проверьте!).<br>'''Пример 12.''' у<sub>n</sub> = 3; у<sub>n</sub> = 2у<sub>п1</sub>, если n = 2, 3, 4, ... . Иными словами, п-й член последовательности получается из предыдущего, (га-1)-го, члена умножением его на 2.<br>Имеем:    ~~у1 = 3;<br>У2 ~ = 2-3 = 6;<br>у3 = 2у2 = 2.6 = 12;<br>У4 = 2у3 = 2 -12 = 24 и т.д~~.<br>Тем самым получаем последовательность 3,6,12, 24, ... .<br>Заметим, что и здесь нетрудно перейти к аналитическому заданию последовательности: уп = 3 • 2"1 (проверьте!).<br>Пример 13. ~~ух = 1~~; ~~у2 = 1; уп = уп_2 + уп1, если п = 3, 4, 5, ... .~~ Иными словами, п-й член последовательности равен сумме двух предшествующих ему членов.<br>Имеем:    ~~ух = 1;<br>У2 = 1'><br>У3 = У1 + У2 = 1 + 1 = 2;<br>у4 = у2 + у3 = 1 + 2 = г;<br>У^У3 + У4 = 2 + 3 = 5;<br>У6 = У4 + У5=3 + 5 = 8и Т-Д-~~<br>Тем самым получаем последовательность<br>1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... .<br>Эту последовательность специально изучают в математике, поскольку она обладает целым рядом интересных свойств. Ее называют последовательностью Фибоначчи — по имени итальянского математика XIII века. Задать последовательность Фибоначчи ре-куррентно — легко, а аналитически — трудно.<br>Среди рекуррентно заданных последовательностей особо выделяются два наиболее простых и в то же время важных случая.<br>Первый случай. Указан первый член последовательности ух = а и задано рекуррентное соотношение уп = ~~уп1~~ + д, (а и д, — числа).<br>Второй случай. Указан первый член последовательности у1 = Ь и задано рекуррентное соотношение уп = ~~уп1~~ • д (Ь ид — числа).~~<br>118<br>4.15.<br>ПРОГРЕССИИ~~<br>В первом случае говорят, что задана арифметическая прогрессия (см. выше пример 11, здесь а = 3, д. = 4). Во втором случае говорят, что задана геометрическая прогрессия (см. выше пример 12, здесь Ь = 3, д = 2). Подробнее о прогрессиях речь пойдет ниже, в § 15 и 16.<br>5. Свойства числовых последовательностей.<br>Числовая последовательность — частный случай числовой функции, а потому некоторые свойства функций рассматривают и для последовательностей. Мы ограничимся здесь лишь свойством монотонности (о других свойствах числовых последовательностей речь пойдет в 10-м классе в курсе «Алгебра и начала анализа»).<br>Определение 2. Последовательность (уп) называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:<br>~~Ух < У2 < Уъ < У* < - < Уп < Уп+1 < ■ ■ ■<br>~~Определение 3. Последовательность (уп) называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:<br>~~У1>У2>У3>У4> - >Уп> Уп+1 > - •~~<br>Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином — монотонные послед ов ательности.<br>Пример 14. 1, 3, 5, 7, ..., 2п- 1, ... .<br>Это — возрастающая последовательность.<br>~~„ _ 1 1 1 1~~ Пример 15. ~~1, -,-,-,...,-,...~~.<br>Это — убывающая последовательность.<br>~~возрастающая последовательность<br>убывающая последовательность<br>~~16~~.<br>1-11~~. ' 2 ' 3 '~~<br>ИГ1 ^<br>Пример~~<br>Эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей (немонотонная последовательность).<br>Пример 17. уп = 2". Речь идет о последовательности 2, 4, 8,16, 32, стающая последовательность.<br>~~монотонная последовательность<br>. Это — возра-<br>119<br>4.15.<br>ПРОГРЕССИИ<br>~~Пример 18. ~~уп ■■<br>Ч3У<br>1111~~<br>Речь идет о последовательности ~~— , — , , —,...~~. Это — убывающая последовательность.<br>Обобщением примеров 17 и 18 являются следующие утверждения:<br>1)    Если а > 1, то последовательность уп = ап возрастает.<br>2)    Если 0 < а < 1, то последовательность уп = а" убывает.<br>	+	[[Image:Al91510.jpg]]<br> '''Пример 9.'''   [[Image:Al91511.jpg]]<br>Здесь [[Image:Al91512.jpg]] (проверьте!).<br>'''Пример 10.'''1,2,4,8,16,32,64,.... Здесь у<sub>n</sub> = 2<sup>n-1</sup>.<br>'''3.''' Словесное задание последовательности. Суть этого способа задания последовательности поясним на примере. Известно, что[[Image:Al91513.jpg]] С этим иррациональным числом можно связать две последовательности:<br>1)    последовательность десятичных приближений числа [[Image:Al91514.jpg]] по недостатку 1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, 1,41421,...;<br>2)    последовательность десятичных приближений числа [[Image:Al91514.jpg]] по избытку 2, 1,5, 1,42, 1,415, 1,4143, 1,41422,....<br>В обоих случаях правило составления последовательности описано словами (не формулой).<br>Еще один пример — последовательность простых чисел:<br>2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 23, 29,.... Последовательность задана словесно.<br>'''4.''' Рекуррентное задание последовательности.<br>Важный для приложений способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить п-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. При вычислении членов последовательности по этому правилу мы как бы все время возвращаемся назад, выясняем, чему равны предыдущие члены. Такой способ задания последовательности называют рекуррентным (от латинского слова гесиггеге — возвращаться). Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить п-й член последовательности через предыдущие, и задают 1—2 начальных члена последовательности. Приведем примеры.<br>'''Пример 11.''' у<sub>1</sub> = 3; уn = у<sup>n-х</sup> + 4, если n = 2, 3, 4.....Иными словами, п-й член последовательности получается из предыдущего, (п-1)-го, члена прибавлением к нему числа 4.<br>Имеем:    [[Image:Al91515.jpg]]<br>Тем самым получаем последовательность 3,7,11,15,....<br>Заметим, что полученную в примере 11 последовательность нетрудно задать аналитически: уn = 4n - 1 (проверьте!).<br>'''Пример 12.''' у<sub>n</sub> = 3; у<sub>n</sub> = 2у<sub>п1</sub>, если n = 2, 3, 4, ... . Иными словами, п-й член последовательности получается из предыдущего, (га-1)-го, члена умножением его на 2.<br>Имеем:   [[Image:al91516.jpg]]<br>Тем самым получаем последовательность 3,6,12, 24, ... .<br>Заметим, что и здесь нетрудно перейти к аналитическому заданию последовательности: у<sub>n</sub> = 3 • 2<sup>n1</sup> (проверьте!).<br>'''Пример 13.''' [[Image:al91517.jpg]]  Иными словами, п-й член последовательности равен сумме двух предшествующих ему членов.<br>Имеем:    [[Image:al91518.jpg]]<br>Тем самым получаем последовательность<br>1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... .<br>Эту последовательность специально изучают в математике, поскольку она обладает целым рядом интересных свойств. Ее называют последовательностью Фибоначчи — по имени итальянского математика XIII века. Задать последовательность Фибоначчи ре-куррентно — легко, а аналитически — трудно.<br>Среди рекуррентно заданных последовательностей особо выделяются два наиболее простых и в то же время важных случая.<br>'''Первый случай. '''Указан первый член последовательности у<sub>1</sub> = а и задано рекуррентное соотношение уn = у<sub>n1</sub> + d, (а и d, — числа).<br>'''Второй случай.''' Указан первый член последовательности у<sub>1</sub> = Ь и задано рекуррентное соотношение уn = у<sub>п1</sub> • q (Ь и q — числа).<br>В первом случае говорят, что задана арифметическая прогрессия (см. выше пример 11, здесь а = 3, д. = 4). Во втором случае говорят, что задана геометрическая прогрессия (см. выше пример 12, здесь Ь = 3, д = 2). Подробнее о прогрессиях речь пойдет ниже, в § 15 и 16.<br>'''5. '''Свойства числовых последовательностей.<br>Числовая последовательность — частный случай числовой функции, а потому некоторые свойства функций рассматривают и для последовательностей. Мы ограничимся здесь лишь свойством монотонности (о других свойствах числовых последовательностей речь пойдет в 10-м классе в курсе «Алгебра и начала анализа»).<br>'''Определение 2.''' Последовательность (уn) называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:
		+
		+	[[Image:al91519.jpg]]<br>'''Определение 3.''' Последовательность (уn) называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:<br>[[Image:al91519.jpg]]<br>Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином — монотонные послед ов ательности.<br>'''Пример 14.''' 1, 3, 5, 7, ..., 2n- 1, ... .<br>Это — возрастающая последовательность.<br>'''Пример 15. '''[[Image:al91520.jpg]]<br>Это — убывающая последовательность.<br>'''Пример 16.''' [[Image:al91521.jpg]]<br>Эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей (немонотонная последовательность).<br>'''Пример 17.''' у<sub>n</sub> = 2<sup>n</sup>. Речь идет о последовательности 2, 4, 8,16, 32, стающая последовательность.<br>'''Пример 18.''' [[Image:al91522.jpg]]<br>Речь идет о последовательности [[Image:al91523.jpg]]Это — убывающая последовательность.<br>Обобщением примеров 17 и 18 являются следующие утверждения:<br>1)    Если а > 1, то последовательность у<sub>n</sub> = а<sup>n</sup> возрастает.<br>2)    Если 0 < а < 1, то последовательность у<sub>n</sub> = а<sup>n</sup> убывает.<br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

User9 в 09:05, 1 июля 2010

2010-07-01T09:05:55Z

Внесённые изменения

User9 в 08:49, 1 июля 2010

2010-07-01T08:49:11Z

Внесённые изменения

User9 в 08:38, 1 июля 2010

2010-07-01T08:38:03Z

← Предыдущая		Версия 08:38, 1 июля 2010
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 9 класс\|Математика 9 класс]]>>Математика: Числовые последовательности<metakeywords>Числовые последовательности</metakeywords>'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 9 класс\|Математика 9 класс]]>>Математика: Числовые последовательности<metakeywords>Числовые последовательности</metakeywords>'''
		+
		+	<br>
		+
		+	'''ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ'''<br>'''1. '''Определение числовой последовательности.<br>Рассмотрим четыре функции:
		+
		+	[[Image:al9151.jpg]]<br>Они заданы одной и той же формулой у = х<sup>2</sup>, но области определения функций различны. В первом случае D(f) = [0,1]. Во втором — D(f) = [0. +00). В третьем — область определения функции не указана. Согласно действующей в математике договоренности, подразумевается, что в этом случае D(f) совпадает с областью определения выражения, задающего функцию, т.е. с областью определения выражения х<sup>2</sup>:D(f) = (-оо, +оо). Наконец, в четвертом случае областью определения функции является множество N натуральных чисел: D(f) = N. Графики этих функций изображены на рис. 90—93.<br>Согласитесь, что первые три функции более привычны для вас, нежели четвертая. На протяжении трех лет изучения алгебры в школе мы рассматривали самые разные функции, но областью их определения практически всегда был какой-либо промежуток или объединение нескольких промежутков, а график функции состоял из одной или нескольких сплошных линий. А как обстоит дело с четвертой функцией? Ее область определения — множество натуральных чисел — состоит из отдельных точек (математики говорят — «из изолированных точек»); соответственно и график функции состоит из отдельных точек. Возникает вопрос, а нужно ли изучать функции, заданные на множестве натуральных чисел, встречаются ли они в реальной жизни; точнее, встречаются ли ситуации, математические модели которых представляют собой функции с областью определения N?
		+
		+	[[Image:al9152.jpg]]<br>Вспомним задачу из учебника «Алгебра-7». На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля будет на складе через день, 2 дня, 3 дня, 15 дней и т.д.? Если за х принять число дней, а за у — количество угля (в тоннах), то математической моделью ситуации будет линейная функция, заданная на множестве N натуральных чисел:<br>у = 500 + 30x, х Є N.<br>Еще пример. На банковский счет положили а руб., банк ежемесячно начисляет р% . Сколько денег на счету станет через месяц, 2 месяца, 12 месяцев и т.д.? Оказывается, математической моделью этой ситуации служит функция у = а • 2кх, х Є N; здесь у — сумма вклада (в рублях), х — число полных месяцев, прошедших с момента открытия счета, а к — некоторый положительный коэффициент, связанный с банковским процентом р (обычно используют приближенную формулу к ~ 0,014р).<br>Ответ на поставленный вопрос мы получили: функции, заданные на множестве натуральных чисел (у = f(х), х є N), нужно изучать.<br>Математики подумали как-то: зачем писать у = f(х), х є N, не проще ли в таких случаях писать у = f(n), договорившись раз и навсегда подразумевать в этой записи, что аргумент n — натуральное число (n е N)? Так и сделали. В рассмотренных выше примерах:<br>вместо у — х<sup>2</sup>, х е N, можно записать у = n<sup>2</sup>;<br>вместо у = 500 + ЗОх, х е N, можно записать у = 500 + ЗОn;<br>вместо у — а • 2<sup>kх</sup>, х е N, можно записать у = а • 2<sup>кn</sup>.<br>И еще вот о чем договорились математики: вместо f(1) писать у<sub>1</sub>, вместо f(2) — у<sub>2</sub>, вместо f(З) — у<sub>3</sub>, вместо f(n) — у<sub>n</sub> и т.д. Значения функции у — f(n) можно записать последовательно одно за другим: f(1), f(2), f(З), ... , f(n), ... или, в соответствии с указанной выше договоренностью, у<sub>х</sub>, у<sub>2</sub>, у<sub>3</sub>, ..., у<sub>n</sub>.....Например, для функции у = n<sup>2</sup> имеем:<br>У<sub>1</sub> = 1<sup>2</sup> = 1;<br>У<sub>2</sub> = 2<sup>2</sup> = 4;<br>у<sub>3</sub> = 3<sup>2</sup> = 9;
		+
		+	у<sub>4</sub> = 4<sup>2</sup> = 16 и т.д.<br>Полученные значения можно записать последовательно одно за другим:<br>1,4,9,16, ...,n<sup>2</sup>,....<br>Число 1 в этой записи находится на первом месте, 4 — на втором, 9 — на третьем, 16 — на четвертом, аn<sup>2</sup> — на n-м месте.<br>Подчеркнем еще раз, что три математические модели:
		+
		+	[[Image:al9153.jpg]]<br>различны по форме, но одинаковы по содержанию.<br>'''Определение 1.''' Функцию вида у = f(х), х е N, называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают у = f(n) или у<sub>1</sub><sup></sup>, у<sub>2</sub>, у<sub>3</sub>, ...,у<sub>n</sub>,....<br>Значения у<sub>1</sub>, у<sub>2</sub>, у<sub>3</sub> (и т.д.) называют соответственно первым, вторым, третьим (и т.д.) членами последовательности. В символе уп число п называют индексом, который характеризует порядковый номер того или иного члена последовательности (в записи у<sub>1</sub>, у<sub>2</sub>, у<sub>3</sub>,..., у<sub>n</sub>,...). Иногда для обозначения последовательности используется запись (уn).<br>Многоточия в обозначении последовательности (имеется в виду запись у<sub>1</sub>, у<sub>2</sub>, у<sub>3</sub>, ..., у<sub>n</sub>, ...) означают, что правее у<sub>3</sub> располагаются дальнейшие члены последовательности (у<sub>4</sub>, у<sub>5</sub>, у<sub>6</sub> и т.д.), рядом с у<sub>n</sub> находятся (а в случае необходимости и записываются) у<sub>n</sub> (слева) и у<sub>n</sub>+1 (справа). Члену у<sub>n</sub>1 предшествует у<sub>n</sub>_2, а за у<sub>n</sub>+1 следует у<sub>n</sub>+1 и т.д.<br>Для обозначения членов последовательности могут использоваться различные буквы, например: хх, х2, х3, ..., хп,..., или а1, а2, а3, ..., ап, ..., или Ьг, Ь2, Ь3, ..., Ьп, ... и т.д.<br>Как известно, функция может быть задана различными способами, например аналитически, графически, словесно и т.д. (см. § 8). Последовательности тоже можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, словесный и рекуррентный.<br><br>2. Аналитическое задание числовой последовательности.<br>Говорят, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее п-то члена уп = /(л).<br>Пример 1. уп = п2. Это — аналитическое задание последовательности 1, 4, 9,16,..., л2, ..., о которой шла речь выше.<br>Указав конкретное значение п, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером. Если, например, п = 9, то Уд = 92, т.е. уд = 81; если п = 27, то у27 = 272, т.е. у27 = 729. Напротив, если взят определенный член последовательности, можно указать его номер. Например, если уп = 625, то из уравнения п2 = 625 находим, что п = 25. Это значит, что 25-й член заданной последовательности равен 625.<br>Пример 2. уп = (-1)"— . Имеем последовательно:<br>Заметим, что эту же последовательность можно было задать аналитически в виде кусочной функции у = /(л), где<br>п<br>У1 = (-1 У • \ =-1; у2 = (-1)2- \| =<br>У а = ' 4 = 4 '<br>Таким образом, получаем последовательность<br>114<br>4.14.<br>ПРОГРЕССИИ<br>т =<br>если п — нечетное натуральное число; если п — четное натуральное число.<br>Как и в предыдущем примере, нетрудно найти член последовательности с заданным номером. Например, у37 = , а у4В = ^.<br>Пример 3.уп = С. Это значит, что речь идет о последовательности С, С, С,..., С.....которую называют стационарной.<br>Пример 4. уп = 2". Это — аналитическое задание последовательности 2, 22, 23, 24,..., 2", ....<br>Как видите, зная формулу п-го члена последовательности, нетрудно найти ее первый, второй, третий члены и вообще любой член с указанным номером. Гораздо труднее, но зато и интереснее решать обратную задачу: угадывать формулу п-го члена последовательности, для которой указано несколько первых членов.<br>Пример 5. 1, 3, 5, 7, 9, ... .<br>Здесь уп = 2п - 1 (последовательность нечетных чисел).<br>Пример 6. 2, 4, 6, 8,10, ... .<br>Здесь уп = 2п (последовательность четных чисел).<br>Пример 7. 4, 8, 12,16, 20,... .<br>Здесь уп = 4п. Действительно,<br>У1 — 4, а 4 = 4 • 1;<br>У2 = 8, а 8 = 4 • 2; у3 = 12, а 12 = 4 • 3; у4 = 16, а 16 = 4 • 4 и т.д.<br>Пример 8. 7, 11, 15, 19, 23, ... .<br>Каждый член этой последовательности на 3 больше соответствующего члена последовательности из предыдущего примера. Значит, уп — Ап + 3.<br>8<br>115<br>4.15.<br>ПРОГРЕССИИ<br>На рис. 94 изображен график последовательности уп = 4п + 3, т.е. график функции у ~ 4х + 3, х е N. Он состоит из точек прямой у = 4х + 3 с абсциссами дг=1,дг = 2, зс = 3и т.д.<br>            ^            /            <br>            19.            1            <br>                    У                <br>            15.        /                <br>                    /                <br>            11.    ]                    <br>                /                    <br>            7 -    /                    <br>                ■                    <br>                ■ ■                    <br>            /    ■                    X<br>                15    34                <br>у = 4х + 3 ..1 . 1                                    <br>Рис. 94<br>„    Л 2 3 4 5 6<br>Пример 9.    -, —, -,....<br>_    л+1 ,<br>Здесь Уп = —— (проверьте!).<br>Пример 10.1,2,4,8,16,32,64,.... Здесь уп = 2"-1.<br>3. Словесное задание последовательности. Суть этого способа задания последовательности поясним на примере. Известно, что ^[2 -1,41421— С этим иррациональным числом можно связать две последовательности:<br>116<br>4.15.<br>ПРОГРЕССИИ<br>1)    последовательность десятичных приближений числа по недостатку 1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, 1,41421,...;<br>2)    последовательность десятичных приближений числа 2 по избытку 2, 1,5, 1,42, 1,415, 1,4143, 1,41422,....<br>В обоих случаях правило составления последовательности описано словами (не формулой).<br>Еще один пример — последовательность простых чисел:<br>2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 23, 29,.... Последовательность задана словесно.<br>4. Рекуррентное задание последовательности.<br>Важный для приложений способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить п-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. При вычислении членов последовательности по этому правилу мы как бы все время возвращаемся назад, выясняем, чему равны предыдущие члены. Такой способ задания последовательности называют рекуррентным (от латинского слова гесиггеге — возвращаться). Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить п-й член последовательности через предыдущие, и задают 1—2 начальных члена последовательности. Приведем примеры.<br>рекуррентное задание последовательности<br>Пример 11. ух = 3; уп = уп_х + 4, если п = 2, 3, 4.....Иными<br>словами, п-й член последовательности получается из предыдущего, (п-1)-го, члена прибавлением к нему числа 4.<br>Имеем:    Ух = 3;<br>^ = ^ + 4 = 3 + 4 = 7;<br>У3 = 1/2 + 4 = 7 + 4 = 11;<br>у4 = у3 + 4 = 11 + 4 = 15 и т.д.<br>Тем самым получаем последовательность 3,7,11,15,....<br>Заметим, что полученную в примере 11 последовательность нетрудно задать аналитически: уп = 4п - 1 (проверьте!).<br>117<br>4.15.<br>ПРОГРЕССИИ<br>Пример 12. ух = 3; уп = 2уп1, если п = 2, 3, 4, ... . Иными словами, п-й член последовательности получается из предыдущего, (га-1)-го, члена умножением его на 2.<br>Имеем:    у1 = 3;<br>У2 ~ = 2-3 = 6;<br>у3 = 2у2 = 2.6 = 12;<br>У4 = 2у3 = 2 -12 = 24 и т.д.<br>Тем самым получаем последовательность 3,6,12, 24, ... .<br>Заметим, что и здесь нетрудно перейти к аналитическому заданию последовательности: уп = 3 • 2"1 (проверьте!).<br>Пример 13. ух = 1; у2 = 1; уп = уп_2 + уп1, если п = 3, 4, 5, ... . Иными словами, п-й член последовательности равен сумме двух предшествующих ему членов.<br>Имеем:    ух = 1;<br>У2 = 1'><br>У3 = У1 + У2 = 1 + 1 = 2;<br>у4 = у2 + у3 = 1 + 2 = г;<br>У^У3 + У4 = 2 + 3 = 5;<br>У6 = У4 + У5=3 + 5 = 8и Т-Д-<br>Тем самым получаем последовательность<br>1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... .<br>Эту последовательность специально изучают в математике, поскольку она обладает целым рядом интересных свойств. Ее называют последовательностью Фибоначчи — по имени итальянского математика XIII века. Задать последовательность Фибоначчи ре-куррентно — легко, а аналитически — трудно.<br>Среди рекуррентно заданных последовательностей особо выделяются два наиболее простых и в то же время важных случая.<br>Первый случай. Указан первый член последовательности ух = а и задано рекуррентное соотношение уп = уп1 + д, (а и д, — числа).<br>Второй случай. Указан первый член последовательности у1 = Ь и задано рекуррентное соотношение уп = уп1 • д (Ь ид — числа).<br>118<br>4.15.<br>ПРОГРЕССИИ<br>В первом случае говорят, что задана арифметическая прогрессия (см. выше пример 11, здесь а = 3, д. = 4). Во втором случае говорят, что задана геометрическая прогрессия (см. выше пример 12, здесь Ь = 3, д = 2). Подробнее о прогрессиях речь пойдет ниже, в § 15 и 16.<br>5. Свойства числовых последовательностей.<br>Числовая последовательность — частный случай числовой функции, а потому некоторые свойства функций рассматривают и для последовательностей. Мы ограничимся здесь лишь свойством монотонности (о других свойствах числовых последовательностей речь пойдет в 10-м классе в курсе «Алгебра и начала анализа»).<br>Определение 2. Последовательность (уп) называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:<br>Ух < У2 < Уъ < У* < - < Уп < Уп+1 < ■ ■ ■<br>Определение 3. Последовательность (уп) называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:<br>У1>У2>У3>У4> - >Уп> Уп+1 > - •<br>Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином — монотонные послед ов ательности.<br>Пример 14. 1, 3, 5, 7, ..., 2п- 1, ... .<br>Это — возрастающая последовательность.<br>„ _ 1 1 1 1 Пример 15. 1, -,-,-,...,-,....<br>Это — убывающая последовательность.<br>возрастающая последовательность<br>убывающая последовательность<br>16.<br>1-11. ' 2 ' 3 '<br>ИГ1 ^<br>Пример<br>Эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей (немонотонная последовательность).<br>Пример 17. уп = 2". Речь идет о последовательности 2, 4, 8,16, 32, стающая последовательность.<br>монотонная последовательность<br>. Это — возра-<br>119<br>4.15.<br>ПРОГРЕССИИ<br>Пример 18. уп ■■<br>Ч3У<br>1111<br>Речь идет о последовательности — , — , , —,.... Это — убывающая последовательность.<br>Обобщением примеров 17 и 18 являются следующие утверждения:<br>1)    Если а > 1, то последовательность уп = ап возрастает.<br>2)    Если 0 < а < 1, то последовательность уп = а" убывает.<br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

User9 в 08:11, 1 июля 2010

2010-07-01T08:11:20Z

← Предыдущая		Версия 08:11, 1 июля 2010
Строка 6:		Строка 6:

	<sub>Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика\|скачать]]</sub>		<sub>Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика\|скачать]]</sub>
-	~~<pre>'''<u>Содержание урока</u>'''~~
-	~~'''[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg\|[[Image:]]]] конспект урока '''~~
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg\|[[Image:]]]] опорный каркас~~
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg\|[[Image:]]]] презентация урока~~
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg\|[[Image:]]]] акселеративные методы~~
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg\|[[Image:]]]] интерактивные технологии~~

-	'''<u>~~Практика~~</u>'''	+	'''<u>Содержание урока</u>'''
-	[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:~~]]~~]] задачи и упражнения~~	+	'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] конспект урока '''
-	[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:]]~~]] ~~самопроверка~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] опорный каркас
-	[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:~~]]~~]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] презентация урока
-	[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:]]~~]] ~~домашние задания~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] акселеративные методы
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg\|~~[[Image:~~]]]] дискуссионные вопросы~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] интерактивные технологии
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:]]~~]] ~~риторические вопросы от учеников~~	+

-	'''<u>~~Иллюстрации~~</u>'''	+	'''<u>Практика</u>'''
-	~~'''~~[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:~~]]~~]] аудио-, видеоклипы~~ и ~~мультимедиа '''~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] задачи и упражнения
-	[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:~~]]~~]] фотографии, картинки~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] самопроверка
-	[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:~~]]~~]] графики~~, ~~таблицы~~, ~~схемы~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
-	[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|[[Image:]]~~]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] домашние задания
-	[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:~~]]~~]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] дискуссионные вопросы
-		+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] риторические вопросы от учеников
-	'''<u>~~Дополнения~~</u>'''	+
-	'''[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:~~]]~~]] рефераты~~'''	+	'''<u>Иллюстрации</u>'''
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg\|~~[[Image:~~]]]] статьи~~	+	'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:~~]]~~]] фишки для любознательных~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] фотографии, картинки
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg\|~~[[Image:~~]]]] шпаргалки~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] графики, таблицы, схемы
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:~~]]~~]] учебники основные и дополнительные~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg\|~~[[Image:~~]]]] словарь терминов~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:~~]]~~]] прочие~~	+
-		+
-	~~<u>Совершенствование учебников и уроков~~	+
-	~~</u>'''[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg\|~~[[Image:~~]]]] исправление ошибок в учебнике'''~~	+
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:~~]]~~]] обновление фрагмента в учебнике~~	+
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg\|[[Image:]]]] элементы новаторства на уроке~~	+
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg\|[[Image:]]]] замена устаревших знаний новыми~~	+

-	'''<u>~~Только для учителей~~</u>'''	+	'''<u>Дополнения</u>'''
-	'''[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|[[Image:]]]] ~~идеальные уроки '''~~	+	'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] рефераты'''
-	[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|[[Image:]]]] ~~календарный план на год~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] статьи
-	[[../~~../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|[[Image:]]]] ~~методические рекомендации~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] фишки для любознательных
-	[[../~~../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|[[Image:]]]] ~~программы~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] шпаргалки
-	[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|[[Image:]]]] обсуждения	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] учебники основные и дополнительные
-		+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] словарь терминов
-		+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] прочие
-	'''<u>Интегрированные уроки</u>'''<u>	+
-	</u>	+	<u>Совершенствование учебников и уроков
-	~~</pre>~~	+	</u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
-	~~<br~~>	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
		+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] элементы новаторства на уроке
		+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] замена устаревших знаний новыми
		+
		+	'''<u>Только для учителей</u>'''
		+	'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] идеальные уроки '''
		+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] календарный план на год
		+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] методические рекомендации
		+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] программы
		+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] обсуждения
		+
		+
		+	'''<u>Интегрированные уроки</u>'''<u>
		+	</u>

-	Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].	+	<br> Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

	Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].		Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

User9: Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

2010-07-01T08:08:49Z

Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 9 класс|Математика 9 класс]]>>Математика: Числовые последовательности<metakeywords>Числовые последовательности</metakeywords>'''

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

 

Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]
<pre>'''Содержание урока'''
'''[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] конспект урока '''
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] опорный каркас
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] презентация урока
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] акселеративные методы
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] задачи и упражнения
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] самопроверка
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] домашние задания
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] дискуссионные вопросы
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] фотографии, картинки
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] графики, таблицы, схемы
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] рефераты'''
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] статьи
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] фишки для любознательных
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] шпаргалки
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] учебники основные и дополнительные
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] словарь терминов
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] прочие

Совершенствование учебников и уроков
'''[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] исправление ошибок в учебнике'''
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] обновление фрагмента в учебнике
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] элементы новаторства на уроке
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] идеальные уроки '''
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] календарный план на год
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] методические рекомендации
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] программы
[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg|[[Image:]]]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''

</pre>
 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

← Предыдущая		Версия 08:11, 1 июля 2010
Строка 6:		Строка 6:

	<sub>Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика\|скачать]]</sub>		<sub>Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика\|скачать]]</sub>
-	~~<pre>'''<u>Содержание урока</u>'''~~
-	~~'''[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg\|[[Image:]]]] конспект урока '''~~
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg\|[[Image:]]]] опорный каркас~~
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg\|[[Image:]]]] презентация урока~~
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg\|[[Image:]]]] акселеративные методы~~
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg\|[[Image:]]]] интерактивные технологии~~

-	'''<u>~~Практика~~</u>'''	+	'''<u>Содержание урока</u>'''
-	[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:~~]]~~]] задачи и упражнения~~	+	'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] конспект урока '''
-	[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:]]~~]] ~~самопроверка~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] опорный каркас
-	[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:~~]]~~]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] презентация урока
-	[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:]]~~]] ~~домашние задания~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] акселеративные методы
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg\|~~[[Image:~~]]]] дискуссионные вопросы~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] интерактивные технологии
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:]]~~]] ~~риторические вопросы от учеников~~	+

-	'''<u>~~Иллюстрации~~</u>'''	+	'''<u>Практика</u>'''
-	~~'''~~[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:~~]]~~]] аудио-, видеоклипы~~ и ~~мультимедиа '''~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] задачи и упражнения
-	[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:~~]]~~]] фотографии, картинки~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] самопроверка
-	[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:~~]]~~]] графики~~, ~~таблицы~~, ~~схемы~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
-	[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|[[Image:]]~~]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] домашние задания
-	[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:~~]]~~]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] дискуссионные вопросы
-		+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] риторические вопросы от учеников
-	'''<u>~~Дополнения~~</u>'''	+
-	'''[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:~~]]~~]] рефераты~~'''	+	'''<u>Иллюстрации</u>'''
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg\|~~[[Image:~~]]]] статьи~~	+	'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:~~]]~~]] фишки для любознательных~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] фотографии, картинки
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg\|~~[[Image:~~]]]] шпаргалки~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] графики, таблицы, схемы
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:~~]]~~]] учебники основные и дополнительные~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg\|~~[[Image:~~]]]] словарь терминов~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:~~]]~~]] прочие~~	+
-		+
-	~~<u>Совершенствование учебников и уроков~~	+
-	~~</u>'''[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg\|~~[[Image:~~]]]] исправление ошибок в учебнике'''~~	+
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr~~.jpg\|~~[[Image:~~]]~~]] обновление фрагмента в учебнике~~	+
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg\|[[Image:]]]] элементы новаторства на уроке~~	+
-	~~[[../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1236084776_kr.jpg\|[[Image:]]]] замена устаревших знаний новыми~~	+

-	'''<u>~~Только для учителей~~</u>'''	+	'''<u>Дополнения</u>'''
-	'''[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|[[Image:]]]] ~~идеальные уроки '''~~	+	'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] рефераты'''
-	[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|[[Image:]]]] ~~календарный план на год~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] статьи
-	[[../~~../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|[[Image:]]]] ~~методические рекомендации~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] фишки для любознательных
-	[[../~~../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|[[Image:]]]] ~~программы~~	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] шпаргалки
-	[[~~../../../../index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB~~:~~1236084776_kr~~.jpg\|[[Image:]]]] обсуждения	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] учебники основные и дополнительные
-		+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] словарь терминов
-		+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] прочие
-	'''<u>Интегрированные уроки</u>'''<u>	+
-	</u>	+	<u>Совершенствование учебников и уроков
-	~~</pre>~~	+	</u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
-	~~<br~~>	+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
		+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] элементы новаторства на уроке
		+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] замена устаревших знаний новыми
		+
		+	'''<u>Только для учителей</u>'''
		+	'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] идеальные уроки '''
		+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] календарный план на год
		+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] методические рекомендации
		+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] программы
		+	[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px]] обсуждения
		+
		+
		+	'''<u>Интегрированные уроки</u>'''<u>
		+	</u>

-	Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].	+	<br> Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

	Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].		Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].