User17 в 17:26, 2 августа 2012

2012-08-02T17:26:08Z

User9: Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

2010-07-07T12:23:45Z

Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]>>Математика: <metakeywords>Числовая окружность на координатной плоскости</metakeywords>'''

 

'''ЧИСЛОВАЯ ОКРУЖНОСТЬ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ''' Расположим числовую окружность в декартовой прямоугольной системе координат хОу так, как показано на рис. 104: центр окружности совмещен с началом координат, радиус окружности принимается за масштабный отрезок. Начальная точка А числовой окружности совмещена с точкой (1; 0) на оси х. При этом [[Image:Alg21.jpg]] Каждая точка числовой окружности имеет в системе хОу свои координаты, причем: у точек первой четверти — х > 0, у> 0; у точек второй четверти — х < 0, у > 0; у точек третьей четверти — х < 0, у < 0; у точек четвертой четверти — х > 0, у < 0 (рис. 104).

[[Image:Alg22.jpg]]  Для любой точки М(х; у) числовой окружности выполняются неравенства: [[Image:Alg23.jpg]] Нетрудно составить уравнение числовой окружности. Для этого заметим, во-первых, что центром окружности служит начало координат, а уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R имеет вид х2 + у2 = R2. Заметим, во-вторых, что R— 1; значит, уравнение числовой окружности имеет вид х2+у2 = 1. Нам важно научиться отыскивать координаты точек числовой окружности, прежде всего тех, которые представлены на первом и втором макетах (рис. 100 и 101). Начнем с точек первого макета:

[[Image:Alg24.jpg]] Точка [[Image:Alg25.jpg]] середина первой четверти. Опустим из точки М. перпендикуляр М2Р на прямую ОА и рассмотрим треугольник ОМ}Р (рис. 105). Так как дуга АМХ составляет половину дуги АВ, то [[Image:Alg26.jpg]] Значит, ОМ1Р — равнобедренный прямоугольный треугольник; его катеты ОР и М1Р равны, т.е. у точки Мх абсцисса и ордината равны: х = у. Кроме того, координаты точки М1х; у) удовлетворяют уравнению окружности х2 + у2 = 1. Таким образом, для отыскания координат точки Мх нужно решить систему уравнений

[[Image:Alg27.jpg]] Подставив х вместо у во второе уравнение системы, получим:

[[Image:Alg28.jpg]] 1 1 -ЛИ (мы учли, что абсцисса точки М1 положительна). А так как у = х,то И [[Image:Alg29.jpg]] Итак, 

[[Image:Alg210.jpg]] Проанализируем полученное равенство. Что означает запись [[Image:Alg211.jpg]]  Она означает, что точка М1 числовой окружности соответствует числу [[Image:Alg215.jpg]] А что означает запись [[Image:Alg216.jpg]] Она означает,

что точка имеет соответствующие координаты в прямоугольной системе координат хОу. И в дальнейшем будем придерживаться подобного способа записи: если будет написано М(1), то это значит, что точка М числовой окружности соответствует числу Ц если будет написано М(х; у), то это значит, что числа хиу являются соответственно абсциссой и ординатой точки М. Таким образом, (х; у) — декартовы координаты точки М, а I — «криволинейная» координата точки М на числовой окружности. Рассмотрим точку [[Image:Alg217.jpg]]  середину второй четверти. Рассуждая, как и выше, получим для модуля абсциссы и для модуля ординаты этой точки те же значения[[Image:Alg218.jpg]] Но, учтя, что во второй четверти х < 0, а у > О, делаем вывод:

[[Image:Alg219.jpg]]

[[Image:Alg220.jpg]] Теперь найдем координаты точек, изображенных на втором макете (рис. 101). Возьмем точку [[Image:Alg221.jpg]]  опустим из нее перпендикуляр М1Р на прямую ОА и рассмотрим прямоугольный треугольник ОМхР (рис. 106). Гипотенузой этого треугольника является ОМ , причем ОМх = 1. Угол МуОР равен 30°, поскольку дуга АМ1 составляет треть дуги АВ, а дуга АВ содержит 90°. Из геометрии известно, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит, [[Image:Alg222.jpg]] это ордината точки М:

[[Image:Alg223.jpg]] По теореме Пифагора,

[[Image:Alg224.jpg]] (мы учли, что точка [[Image:Alg225.jpg]] принадлежит первой четверти, а потому обе ее координаты — положительные числа). С точкой [[Image:Alg226.jpg]]связан тот же прямоугольный треугольник, только ориентированный по-другому (рис. 106). Получаем [[Image:Alg227.jpg]]

Те же самые значения (с точностью до знака) будут координатами всех остальных точек второго макета (исключая, разумеется, точки [[Image:Alg228.jpg]] причем по чертежу нетрудно определить, какая координата равна по модулю числу [[Image:Alg229.jpg]] а какая —числу [[Image:Alg230.jpg]] Возьмем для примера точку [[Image:Alg231.jpg]] (рис. 106). Будем рассуждать так. Проведем перпендикуляр М2L к оси х. Во-первых, [[Image:Alg232.jpg]] Значит, из двух чисел [[Image:Alg233.jpg]] в качестве ординаты точки М3 нужно взять меньшее. Окончательно получаем

[[Image:Alg234.jpg]] А теперь возьмите точку [[Image:Alg235.jpg]]  и попробуйте, проведя аналогичные рассуждения, наити декартовы координаты точки. Мы же пока приведем итоговую таблицу, с помощью которой вы сможете проверить правильность своего вывода.

[[Image:Alg236.jpg]] А теперь проверьте себя: [[Image:Alg237.jpg]] (см. предпоследнюю колонку таблицы 2). '''Пример 1. '''Найти координаты точек числовой окружности:

[[Image:Alg238.jpg]] '''Решение.''' Во всех четырех случаях воспользуемся утверждением, полученным в предыдущем параграфе: числам t и [[Image:Alg239.jpg]] соответствует одна и та же точка числовой окружности. '''Пример 2.''' Найти на числовой окружности точки с ординатой [[Image:Alg240.jpg]] и записать, каким числам t они соответствуют. '''Решение.''' Прямая [[Image:Alg240.jpg]] пересекает числовую окружность в двух точках: М и Р (рис. 107). Точка М соответствует числу [[Image:Alg241.jpg]] (см. второй макет — рис. 101), а значит, и любому числу вида

[[Image:Alg242.jpg]] а значит, и любому числу вида [[Image:Alg243.jpg]] Получили, как обычно говорят в таких случаях, две серии значений:

[[Image:Alg2344.jpg]] + 2пк и — + 2т1к.

[[Image:Alg2345.jpg]] 

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

 

Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие

Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

3. Числовая окружность на координатной плоскости - История изменений

User17 в 17:26, 2 августа 2012

User9: Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...